www.ChiaSeDeThi.net TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN TỈNH QUẢNG TRỊ ĐỀ THI THỬ LẦN ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM 2014 Mơn: TỐN - Kh ối: D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu (2điểm) Cho hàm số y = - x3 + x - x + a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm m để đường thẳng D : y = (m - 9) x + cắt (C) ba điểm A, B, C cho x A < xB < xC AC = AB tan x + cos x Câu (1 điểm) Giải phương trình: = - sin x 3 ì x + y - 3( x + y ) = - 3( x + y ) Câu (1 điểm) Giải hệ phương trình: í ỵ xy ( x - 2)( y - 2) = dx Câu (1 điểm) Tính : I = ò -6 x - x + Câu (1 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O , SO vng góc với đáy, SA = a Các mặt phẳng ( SAB ), (SBC ) hợp với đáy góc 450 600 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD góc AC với SB Câu (1 điểm) Cho số thực dương x, y thỏa mãn x - y = x2 y2 + + xy y x2 PHẦN RIÊNG (3 điểm) (Thí sinh làm hai phần: A B) A Theo chương trình chuẩn: Câu 7a (1 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy lập phương trình đường tròn (C ) tiếp xúc với đường thẳng D : x + y + = A(2; -3) cắt đường thẳng D ' : x - y - 11 = hai điểm B, C cho tam giác ABC có diện tích 7, biết tâm đường tròn (C ) có tung độ dương Câu 8a (1 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ): x + y + z + = đường thẳng: x y z+2 a: = = Gọi j góc hợp đường thẳng a mặt phẳng ( P ) Tính cos j lập phương -2 trình mặt phẳng (Q ) chứa a cho góc mặt phẳng ( P ) mặt phẳng (Q ) j Câu 9a (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = n ( ) n-k k n ỉ ỉ Cho khai trin: P( x) = ỗ x + ữ = Cnk x ỗ ữ bit ba hệ số lập thành x ø k =0 è è2 xø cấp số cộng Tìm n tìm số hạng khai triển nhận giá trị hữu tỷ "x Ỵ N * B Theo chương trình nâng cao: Câu 7b (1điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm phương trình tắc elip biết hai tiêu điểm với hai đỉnh trục bé xác định hình vng phương trình hai đường chuẩn là: x = ±8 Câu 8b (1 điểm) Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( a ): x - y - z - = hai đường thẳng: x - y - z -1 x y z+2 Chứng minh D nằm mặt phẳng (a ) D1 : = = ; D2 : = = -2 1 -2 tìm phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc D1 , tiếp xúc với mặt phẳng (a ) điểm K thuộc D Câu 9b (1 điểm) Cho số phức z thỏa mãn: (2 - z )5 = z Chứng minh z có phần thực Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Số báo danh thí sinh:…………………………………………………… facebook.com/ChiaSeDeThi.net www.ChiaSeDeThi.net TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM 2014 TỈNH QUẢNG TRỊ Môn: TOÁN; Kh ối: D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề THI THỬ LẦN PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu Lời giải vắn tắt 1a(1 đ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = - x + x - x + Điểm Txđ: R Giới hạn: lim y = -¥; lim y = +Ơ x đ+Ơ x đ-Ơ y ' = -3 x + 12 x - 0,25 y ' = Û x = 1Ú x = Bbt x y' y -¥ - + +¥ - +¥ -3 0,25 -¥ Hs đồng biến khoảng (1;3) , nghịch biến khoảng (-¥;1), (3; +¥) Hàm số đạt cực đại x = 3; yCD = , cực tiểu x = 1; yCT = -3 Điểm uốn đồ thị I (2; -1) Đồ thị: Đi qua 0,25 (0;1), (4; -3) CĐ O -3 1b(1 đ) CT 0,25 Tìm m để đường thẳng D : y = ( m - 9) x + cắt (C) ba điểm A, B, C cho x A < xB < xC AC = AB PTHĐGĐ: éx = - x + x - x + = ( m - 9) x + Û x éë x - x + m ùû = Û ê 2 ë x - x + m = 0; (1) D cắt (C) điểm phân biệt (1) phải có nghiệm phân biệt khác Þ - m > Þ -3 < m < , m ¹ Khi đó(1)có hai ngiệm phân biệt dương nên x A = 0, xB xC hai nghiệm (1) Để AC = AB xC = xB ì ïï xB = ìï xB + xC = ì4 xB = 3 Theo Vi-et ta co í Þí Þí Þm=± 2 ỵ3 x B = m ỵï xB xC = m ï 27 = m ïỵ facebook.com/ChiaSeDeThi.net 0,25 0,25 www.ChiaSeDeThi.net 0,50 3 thỏa mãn tan x + cos x Giải phương trình: = - sin x p Điều kiện: cos x ¹ Û x ¹ + kp Thử lại m = ± 2(1 đ) tan x + cos x sin x (1 + cos x ) - cos x (1 + cos x ) = Û = Û = - sin x cos x - sin x - sin x - sin x Û (1 + cos x ) éë1 - cos x - (1 + sin x) ùû = é x = p + k 2p é cos x = -1 ê Û Û êê æ p ö 1- ê sin x + cos x = - sin ỗ x + ữ = ê êë 6ø 2 ë è é ê x = p + k 2p ê p 1- Û êê x = - + arcsin + k 2p ; k Ỵ Z Đối chiếu điều kiện nghiệm thỏa mãn ê 5p 1- ê êë x = - arcsin + k 2p 3(1 đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 ì x + y - 3( x + y ) = - 3( x + y ) Giải hệ phương trình: í ỵ xy ( x - 2)( y - 2) = ìï( x - 1)3 + ( y - 1)3 = ì x + y - 3( x + y ) = - 3( x + y ) Ta có: í Ûí 2 ỵ xy ( x - 2)( y - 2) = ïỵ( ( x - 1) - 1)( ( y - 1) - 1) = 4 (1 đ) 0,25 ìy = 2- x ìï y = - x ìy = - x ï Ûí Û í é ( x - 1) - = Ûí 2 ỵ( x - 1) = ïỵ( ( x - 1) - 1) = ïê ỵ ë ( x - 1) - = -2(vn) 0,5 ìï x = + ìï x = - Ûí Úí ỵï y = - ïỵ y = + 0,25 Tính : I = -6 Đặt t = I= dx x+6 ò x-7 x + Þ x = t - 6, dx = 3t dt 0,25 dx t dx t dx = = ò ò0 t - 7t - ò0 (t - 3)(t + 1)(t + 2) = -6 x - x + 0,25 = æ 16 ö + dt = ln t 5ln( t + 1) + 16 ln( t + 2) = ( ) | ỗ ữ 20 ũ0 è t - t + t + ø 20 (8ln - ln ) 10 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình chữ nhật tâm O , SO vng góc với đáy, SA = a Các mặt phẳng ( SAB ), ( SBC ) hợp với đáy góc 450 600 Tính theo a thể tích khối chóp S ABCD góc AC với SB = 5(1 đ) facebook.com/ChiaSeDeThi.net 0,25 0,25 www.ChiaSeDeThi.net Gọi M, N trung điểm AB AC S = 600 nên Dễ thấy SMO = 450 ; SNO SO Ta có: SA2 = SO + OA2 = SO + MO + MA2 = OM = SO, ON = I B M A N C O 7.SO æ SO = SO + SO + ỗ = ữ è 3ø 2 Þ SO = D AB = NO = Vậy: VS ABCD 0,25 a ; 2a 2a ; BC = MO = 7 1 2a 2a a 4a = AB.BC.SO = = 3 7 7 0,25 0,25 Gọi I trung điểm SD ta có SB / / OI nên ( SB, AC ) = ( OI , AI ) 12 a + a2 AD + SA SD a 31a a 2a , AI = OI = SB = , AO = = = 2 4 28 2 4a a 31a + 2 AO + OI AI 28 = - cos AOI = = 2a a AO.OI Þ cos ( SB, AC ) = Þ ( SB, AC ) » 67 48' 6(1 đ) 2 0,25 Cho số thực dương x, y thỏa mãn x - y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = x2 y2 + + xy y x2 2 ỉ x2 - y2 ỉ x x2 y2 Ta có: P = + + xy = = ỗ - ữ + + xy = ỗ ữ + + xy = 2 + xy + x y y x èy xø è xy ø 0,25 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 + xy + = 2 + xy + xy + ³ + = x y x y 0,5 ì 1+ ïx = 2 ìx - y = ï Đẳng thức xãy í Ûí î xy = ï -1 + ïy = ỵ 0,25 Vậy GTNN P 7a (1 đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy lập phương trình đường tròn (C ) tiếp xúc với đường thẳng D : x + y + = A(2; -3) cắt đường thẳng D ' : x - y - 11 = hai điểm B, C cho tam giác ABC có diện tích 7, biết tâm đường tròn (C ) có tung độ dương Gọi I ( a; b) , ( b > ) tâm đường tròn (C ) ta có: uur uur 3(b + 3) AI ^ uD Þ (a - 2).4 - (b + 3).3 = Þ a - = (1) facebook.com/ChiaSeDeThi.net 0,25 www.ChiaSeDeThi.net S DABC = = 14 BC.d ( A, D ') Þ BC = = 10 d ( A, D ') 2 ỉ BC æ 3a - 4b - 11 ö 2 d ( I , D ') = R - ỗ ữ = AI - 25 ỗ ữ = (a - 2) + (b + 3) - 25 è ø è ø 2 Û ( 3( a - 2) - 4b - ) = 25 ( ( a - 2) + (b + 3) - 25 ) , (2) 337 288 Do b > nên I (5;1) Þ R = Þ (C ) : ( x - 5) + ( y - 1) = 25 Từ (1) (2) suy ra: b = Ú b = - 8a(1 đ) 0,25 0,25 0,25 Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( P ): x + y + z + = đường thẳng: x y z+2 Gọi j góc hợp đường thẳng a mặt phẳng ( P ) Tính cos j lập = = -2 phương trình mặt phẳng (Q ) chứa a cho góc mặt phẳng ( P ) mặt phẳng (Q ) j uur uur nP = (4;3; 2); ua = (1; 2; -2) , a qua I (0;0; -2) a: ( uur uur æ ÷ = 29 è 29 ø ) Ta có: cos j = - sin j = - cos nP , ua = - ç (Q ) chứa a nên (Q ) qua I (0;0; -2) Gọi m giao tuyến (P) (Q), góc mặt phẳng ( P ) mặt phẳng (Q ) j nên a^m uur uur uur um = éë nP , u a ùû = ( -10;10;5) uur uur uur nQ = éëua , u m ùû = (30;15;30) a a' m P 0,25 0,25 0,25 Q Vậy mp (Q) có phương trình: x + y + z + = 9a(1 đ) æ n ( ) n-k k æ ỗ ữ bit ba h s u tiờn lập è è2 x ø thành cấp số cộng Tìm n tìm số hạng khai triển nhận giá trị hữu tỷ "x Ỵ N * Cho khai trin: P ( x) = ỗ x + n ö k = ÷ å Cn x ø k =0 0,25 x Ba hệ số khai triển Cn0 = 1; Cn1 n n(n - 1) ỉ1ư lập thành cấp số = v Cn2 ỗ ữ = 2 ố2ứ cng nên: 1+ én = n(n - 1) n = Û n - 9n + = Û ê ë n = 1, (l ) 0,25 0,25 ( n = khai triển chi có số hạng) 8- k Ck x Các số hạng khai triển có dạng: 8k k x4 ì(8 - k )M Số hạng nhận giá trị hữu tỷ "x Ỵ N * ứng vi ị k ẻ {0; 4;8} ợk M C4 Vậy khai triển có số hạng ln nhận giá trị hữu tỷ "x Ỵ N * là: 1; 84 x 2 x facebook.com/ChiaSeDeThi.net 0,25 0,25 www.ChiaSeDeThi.net 7b(1 đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy tìm phương trình tắc elip biết hai tiêu điểm với hai đỉnh trục bé xác định hình vng phương trình hai đường chuẩn là: x = ±8 Hai tiêu điểm F1 (-c;0), F2 (c; 0) hai đỉnh trục bé B1 (0; -b), B2 (0; b) xác định hình vng nên b = c > a a2 = ± = ±8 e c 2 2 2 ìïb + c = a ìï 2c = a ìï2c = 8c ìc = 4, (c > 0) Nên ta có hệ: í Þí Ûí Ûí Þ b = 16 ỵa = 32 ỵïa = 8c ỵïa = 8c ỵïa = 8c Phương trình hai đường chuẩn Elips x = ± x2 y + =1 32 16 Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt phẳng ( a ): x - y - z - = hai đường thẳng: x - y - z -1 x y z+2 Chứng minh D nằm mặt phẳng (a ) D1 : = = ; D2 : = = -2 1 -2 tìm phương trình mặt cầu ( S ) có tâm I thuộc D1 , tiếp xúc với mặt phẳng (a ) điểm K Vậy phương trình tắc elips 8b(1 đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 thuộc D Ta có hai điểm A(0; 0; -2), B( -1; -2;0) thuộc đường thẳng D thuộc mặt phẳng (a ) nên đường thẳng D nằm mặt phẳng (a ) 0,25 Tọa độ tâm mặt cầu: I (1 + 2t ;3 - 2t :1 + t ) Ỵ D1 Tọa độ tiếp điểm mặt cầu với (a ) là: K (k ; 2k ; -2 - k ) Ỵ D uur 0,25 uur Ta có KI = I (1 + 2t - k ;3 - 2t - k ;3 + t + k ) phương với na = (4; -5; -3) Nên ta có ìk = 1 + 2t - k - t - k + t + k = = Þí -5 -3 ỵt = - 0,25 Vậy I (-3;7; -1), bán kính mặ cầu: R = IK = d ( I , (a ) ) = nên phương trình mặ cầu cần tìm là: ( x + 3) + ( y - 7) + ( z + 1) = 50 9b(1 đ) 0,25 Cho số phức z thỏa mãn: (2 - z )5 = z (1) Chứng minh z có phần thực ỉ 2- z Ta có z = 0; z = khơng thỏa mãn (1) nên (2 - z ) = z Û ç ÷ =1 è z ø 2- z 2- z ¹ nên đặt = r ( cos j + i sin j ) z z 5 0,25 ổ 2- z ịỗ ữ = r ( cos 5j + i sin 5j ) = = ( cos k 2p + i sin k 2p ) z è ø 2- z k 2p k 2p k 2p k 2p ổ Nờn = 1ỗ cos + i sin + i sin ạ0 ữ = + cos z 5 ø z 5 è 2 Þz= = = k 2p k 2p kp ỉ kp kp + cos + i sin cos + i sin ỗ cos ữ 5 è 5 ø kp kp kp kp cos - i sin cos - i sin 5 5 = - i tan kp = = kp kp æ kp 2 k p cos cos - i sin ỗ cos ữ 5 è 5 ø Vậy z ln có phần thực facebook.com/ChiaSeDeThi.net 0,25 0,25 0,25 .. .www.ChiaSeDeThi.net TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐÁP ÁN ĐỀ THI ĐẠI HỌC NĂM 2014 TỈNH QUẢNG TRỊ... ta co í Þí ịớ ịm= 2 ợ3 x B = m ỵï xB xC = m ï 27 = m ïỵ facebook.com/ChiaSeDeThi.net 0,25 0,25 www.ChiaSeDeThi.net 0,50 3 thỏa mãn tan x + cos x Giải phương trình: = - sin x p Điều kiện: cos... theo a thể tích khối chóp S ABCD góc AC với SB = 5(1 đ) facebook.com/ChiaSeDeThi.net 0,25 0,25 www.ChiaSeDeThi.net Gọi M, N trung điểm AB AC S = 600 nên Dễ thấy SMO = 450 ; SNO SO Ta có: