khoảng cách

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là: 1. Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này. 2. Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”. BÀI GIẢNG QUA MẠNG HÌNH HỌC 11 CHƯƠNG III. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN − QUAN HỆ VUÔNG GÓC §5 Khoảng cách Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12 Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689 1 chủ đề 5 khoảng cách A. Tóm tắt lí thuyết 1. khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đờng thẳng Định nghĩa 1: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (đến đờng thẳng d) là khoảng cách giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P) (trên đờng thẳng d). 2. khoảng cách giữa đờng thẳng và mặt phẳng song song , giữa hai mặt phẳng song song Định nghĩa 2: Khoảng cách giữa đờng thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P). Định nghĩa 3: Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. 3. khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau Định lí: Cho hai đờng thẳng chéo nhau a và b, luôn có duy nhất một đờng thẳng d cắt cả a và b, và vuông góc với mỗi đờng thẳng ấy. Đờng thẳng d đợc gọi là đờng vuông góc chung của a và b. Định nghĩa 4: Khoảng cách giữa hai đờng thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đờng thẳng đó. B. phơng pháp giải toán Vấn đề 1: Khoảng cách từ một điểm tới một đờng thẳng Phơng pháp áp dụng Để tính khoảng cách từ điểm O tới đờng thẳng d, ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1: Trong mặt phẳng (O, d) hạ OH d với H d. Bớc 2: Thực hiện việc xác định độ dài OH dựa trên hệ thức lợng trong tam giác, tứ giác và đờng tròn. Chú ý: 2 d K A O a d H O 1. Nếu tồn tại đờng thẳng a qua O và song song với d thì: d(O, d) = d(A, d), với A d. 2. Nếu AO d = I thì: d(O,d) OI d(A,d) AI = . Ví dụ 1: Cho hình lập phơng ABCD.ABCD cạnh a. Chứng minh rằng các khoảng cách từ các điểm B, C, D, A, B, D đến đờng chéo AC đều bằng nhau. Tính khoảng cách đó. Giải Nhận xét rằng: BAC' = CA'A = DAC' = A'AC = B'C'A = D'C'A và cùng có chung đáy AC nên khoảng cách từ các điểm B, C, D, A, B, D đến đờng chéo AC đều bằng nhau. Hạ CH vuông góc với AC', ta đợc: 222 C'C 1 AC 1 CH 1 += CH = 3 6a . Nhận xét: Nh vậy, để tính khoảng cách từ một điểm tới một đờng thẳng trong ví dụ trên chúng ta chỉ cần sử dụng công thức về đờng cao của một tam giác vuông đã có sẵn các thuộc tính. Do đó, ví dụ trên chỉ mang tính minh hoạ, bởi trong hầu hết các trờng hợp chúng ta cần tìm các giá trị trung gian dựa trên kiến thức về hình học phẳng. Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O, SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi I, M theo thứ tự là trung điểm của SC, AB. a. Chứng minh rằng OI (ABCD). b. Tính khoảng cách từ I đến đờng thẳng CM, từ đó suy ra khoảng cách từ S tới CM. Giải a. Trong SAC, ta có: OI là đờng trung bình OI // SA OI (ABCD). b. Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên CM, ta có: CM HI CM OI CM (IOH) CM OH. Trong ABC có K là trọng tâm, ta có: 3 d K A O I H A D C B I O S M H O H K A B C D M A' A D' D C' C B' B H OB = 1 2 AC = a 2 2 . OK = 1 3 OB = a 2 6 . Trong OCK vuông tại O, ta có: 2 2 2 1 1 1 OH OK OC = + = 2 2 1 1 (a 2 / 6) (a 2 / 2) + = 2 20 a OH = a 20 . Trong OIH vuông tại O, ta có: IH 2 = OI 2 + OH 2 = 2 2 a a 2 20 + ữ ữ = 2 3a 10 IH = a 30 10 . Vậy, khoảng cách từ I tới CM bằng a 30 10 . Vì SI CM = C nên: d(S,CM) SC d(I,CM) IC = = 2 d(S, CM) = 2d(I, CM) = 2IH = a 30 5 . Nhận xét: Nh vậy, trong lời giải của ví dụ trên: Với giá trị trung gian OB (ta thấy ngay OB = 1 2 BD) nhng lại viết dới dạng OB = 1 2 AC với mục dích giúp các em học sinh ôn lại "tính chất đờng trung tuyến của một tam giác vuông". Với giá trị trung gian OB chúng ta cần sử dụng tính chất trong tâm của tam giác. ý tởng tính khoảng cách từ S tới CM đã đợc nêu trong phần chú ý của bài toán và các em học sinh cần ghi nhớ nó, bởi để tăng độ khó, bài toán thờng đợc phát biểu dới dạng bỏ bớt điểm I. Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA = 2a và vuông góc với mặt phẳng (ABC), ABC vuông tại C với AB = 2a, BÂC = 30 0 . Gọi M là một điểm di động trên cạnh AC, H là hình chiếu vuông góc của S trên BM. a. Chứng minh rằng AH BM. b. Đặt AM = x, với 0 x 3 . Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x. Tìm các giá trị của x để khoảng cách này có giá trị nhỏ nhất, lớn nhất. Giải a. Vì SA (ABC) nên AH là hình chiếu vuông góc của SH trên (ABC), do đó: 4 S C B A H M AH BM, theo định lí ba đờng vuông góc. b. Ta thấy ngay khoảng cách từ S đến BM chính là SH và trong SAH ta có: SH 2 = SA 2 + AH 2 . (1) Trong ABC vuông tại C có BÂC = 30 0 nên: BC = 2 AB = a và AC = AB.cosBÂC = 2a.cos30 0 = 3a . Trong BCM vuông tại C, ta có: BM 2 = BC 2 + CM 2 = BC 2 + (AC AM) 2 = a 2 + ( 3a x) 2 = x 2 2 3 ax + 4a 2 BM = 22 a4ax32x + . Nhận xét rằng AMH và CMB là hai tam giác vuông có ã ã AMH CMB= nên chúng đồng dạng, suy ra: BM AM BC AH = AH = BM BC.AM = 22 a4ax32x xa + . (2) Thay (2) và SA = 2a vào (1), ta đợc: SH 2 = 4a 2 + 22 22 a4ax32x ax + = 22 4322 a4ax32x a16xa38ax5 + + SH = 22 4322 a4ax32x a16xa38ax5 + + . Từ hệ thức (1) với SA = 2a không đổi, ta có nhận xét: SH đạt giá trị lớn nhất khi: AH Max AM Max M C x = 3a . SH đạt giá trị nhỏ nhất khi: AH Min AM Min M A x = 0. Vấn đề 2: Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng Phơng pháp áp dụng Để tính khoảng cách từ điểm O tới mặt phẳng (P), ta thực hiện theo các bớc sau: Bớc 1: Để dựng OH với H là hình chiếu vuông góc của O lên (P), ta thực hiện: Lấy đờng thẳng a nằm trong (P). Dựng mặt phẳng (Q) qua O vuông góc với a cắt (P) theo giao tuyến b (cần chọn a sao cho mặt phẳng (Q) dễ dựng). Trong (Q), hạ OH b tại H. 5 P Q O b a H Bíc 2: OH lµ kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn α. TÝnh ®é dµi cña ®o¹n OH lµ kho¶ng c¸ch tõ A ®Õn (P). 6 Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 1.250.000đ. 1. Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689 2. Bạn gửi tiền về: LÊ HỒNG ĐỨC Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN 0 & PTNT Tây Hồ 3. 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email. LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY 7 Chú ý: 1. Trong bớc 1, trớc khi chọn a và dựng mặt phẳng (P) nên xét xem a và (P) đã có sẵn trên hình vẽ cha. Nếu có, chúng ta sẽ giảm thiểu đợc phép dựng hình. 2. Nếu đã có sẵn đờng thẳng d vuông góc với thì chỉ cần dựng Ox // d ta đợc Ox . 3. Nếu OA // thì: d(O, ) = d(A, ). 4. Nếu OA cắt tại I thì: AI OI ),A(d ),O(d = . 5. Sử dụng tính chất của trục đờng tròn, cụ thể: Định nghĩa: Đờng vuông góc với mặt phẳng chứa đờng tròn tại tâm của đờng tròn gọi là trục của đờng tròn đó. Ta có thể dùng tính chất của trục đờng tròn để: a. Chứng minh đờng thẳng vuông góc với mặt phẳng b. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Cụ thể với trờng hợp: Nếu O là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC và M là một điểm cách đều ba điểm A, B, C thì đờng thẳng MO là trục của đờng tròn ngoại tiếp ABC. Khi đó MO (ABC) và MO = d(M, (ABC)). Nếu MA = MB = MC và NA = NB = NC trong đó A, B, C là ba điểm không thẳng hàng thì đờng thẳng MN là trục của đờng tròn qua ba điểm A, B, C. Khi đó MN (ABC) tại tâm O của đờng tròn qua ba điểm A, B, C. Ví dụ 1: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của BC và BD. a. Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (BCD). b. Tính khoảng cách từ A tới đờng thẳng PQ. Giải a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (BCD), chúng ta đã biết rằng H chính là trọng tâm BCD, do đó: d(A, (BCD)) = AH = 2 2 AB BH = 2 2 2 AB BM 3 ữ = 2 2 4a a 9 = a 5 3 . b. Giả sử PQ cắt BM tại I thì I là trung điểm của PQ, ta có: APQ cân tại A AI PQ. Do đó: 8 D A B M C H P I Q H d O H A O K H A O K I d(A, PQ) = AI = 2 2 AP IP = 2 2 1 AP PQ 2 ữ = 2 2 3a a 4 16 = a 11 4 . Nhận xét: Nh vậy, trong lời giải của ví dụ trên việc khai thác đợc tính chất của một tứ diện đều (hoặc hình chóp đều) chúng ta xác định đợc ngay hình chiếu vuông góc của A trên (BCD). Và để tính độ dài của AH chúng ta chỉ cần sử dụng định lí Pitago cùng độ dài đờng trung tuyến của một tam giác đều. ở ví dụ tiếp theo, chúng ta cũng sẽ dễ dàng dự đoán đợc đoạn vuông góc nhng cần phải chứng minh. Ví dụ 2: Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O cạnh a và có góc B ÂD = 60 0 . Đờng thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO = 4 a3 . Gọi E là trung điểm của BC, F là trung điểm của BE. a. Chứng minh mặt phẳng (SOF) vuông góc với mặt phẳng (SBC). b. Tính các khoảng cách từ O và A đến mặt phẳng (SBC). Giải a. Với giả thiết, ta có: OBE đều OF BC. (1) Mặt khác, ta cũng có: SO (ABCD) SO BC. (2) Từ (1) và (2) suy ra: BC (SOF) (SBC) (SOF). b. Trong SOF hạ OH vuông góc với SF, suy ra: OH (SBC) OH = d(O, (SBC)). Trong SOF vuông tại O, ta có: 222 OF 1 OS 1 OH 1 += OH = 8 a3 . Vì AO (SBC) = C nên: 2 1 AC OC ))SBC(,A(d ))SBC(,O(d == d(A, (SBC)) = 2d(O, (SBC)) = 2OH = 4 a3 . Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có ã ASB = 90 0 , ã BSC = 60 0 , ã ASC = 120 0 và SA = SB = SC = a. Gọi I là trung điểm của cạnh AC. a. Chứng minh rằng SI (ABC). b. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC). Giải a. Trong SAB vuông cân tại S, ta có: 9 D C B A S O E F H S A C I B AB = SA 2 = a 2 . Trong SBC cân tại S có ã BSC = 60 0 nên là tam giác đều, suy ra BC = a. Trong SAC cân tại S, ta có: SÂC = 30 0 , AC 2 = SA 2 + SC 2 2SA.SC.cos ã ASC = 3a 2 AC = a 3 . Nhận xét rằng: AB 2 + BC 2 = 2a 2 + a 2 = 3a 2 = AC 2 ABC vuông tại B I là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC. Vậy với SA = SB = SC, ta đợc: SI (ABC) và d(S, (ABC)) = SI. b. Trong SAI vuông tại I, ta có: SI = SA.sinSÂI = SA.sinSÂC = a.sin30 0 = a 2 . Vậy, khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) bằng a 2 . Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = a, ASB = 120 0 , BSC = 60 0 , CSA = 90 0 . a. Chứng tỏ rằng ABC là tam giác vuông. b. Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC). Giải a. Nhận xét rằng: Trong SAB, ta có: AB 2 = SA 2 + SB 2 2SA.SB.cosASB = a 2 + a 2 2.a.a. 2 1 = 3a 2 . Trong SAC đều, ta có AC = a. Trong SBC vuông cân tại S, ta có BC = 2a . Từ đó, nhận thấy: AB 2 = AC 2 + BC 2 ABC vuông tại C. b. Gọi H là trung điểm AB, ta có: SH AB, (1) SH = 2 1 SA = 2 a , CH = 2 1 AB = 2 3a , suy ra: 10 B S A C H . hệ 093 654 6689 1 chủ đề 5 khoảng cách A. Tóm tắt lí thuyết 1. khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, đến một đờng thẳng Định nghĩa 1: Khoảng cách từ. nghĩa 2: Khoảng cách giữa đờng thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P). Định nghĩa 3: Khoảng cách