Đề thi tham khảo KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP QUỐC GIA 2019 Mơn Tốn Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi thứ (21/12/2018) Bài (5 điểm) Với m cho trước, xét số thực dương a, b, c thỏa mãn a b2 c m( a b c ) a) Với m 1, chứng minh ab(1 ab) bc(1 bc ) ca (1 ca ) b) Hỏi có tồn hay không số thực dương m cho với ( a, b, c ) thỏa mãn điều kiện ban đầu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác? Bài (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường trịn (O ) có trực tâm H M trung điểm AH Gọi (O1 ),(O2 ) đường tròn qua H tiếp xúc với BC B, C Gọi X , Y tâm bàng tiếp góc H hai tam giác HMO1 , HMO2 a) Chứng minh XY song song với O1O2 b) Giả sử O1O2 cắt BC T Đường tròn ( MOT ) cắt OH K khác O Chứng minh tâm đường tròn ( AOK ) nằm đường trung bình tam giác ABC Bài (5 điểm) Các số thực dương x cho biểu thức x số phương 2x viết thành dãy số tăng a1 a2 a3 a) Với n 1, 2,3,ký hiệu tổng sn 1 1 Chứng minh 2 2 a a0 a2 a1 a3 a2 an an21 dãy số ( sn ) không bị chặn n b) Chứng minh a2018 a2019 có chữ số thập phân sau dấu phẩy giống Bài (5 điểm) Cho bảng ô vuông 16 16 có hàng đánh số 16 từ xuống cột đánh số 16 từ trái sang Hai bạn A, B thay phiên đánh dấu X O vào ô vuông bảng ( A trước), ô đánh khơng q lần cho khơng có hai ký tự giống thuộc vị trí ( a , b) ( c, d ) mà ( a c )(b d ) Trò chơi dừng lại hai người khơng thực lượt a) Hỏi sau lượt A B , có bảng vng khác thu được? (hai bảng gọi khác có vị trí mà bảng đánh dấu, bảng khơng, bảng đánh dấu X bảng đánh dấu O ) b) Biết A muốn đánh dấu nhiều tốt, cịn B lại muốn ngăn A làm điều Hỏi hai chơi với chiến thuật tốt A đánh nhiều ô?