Áp dụng phương pháp giải tích nghiên cứu một số bài toán Elliptic suy biếnÁp dụng phương pháp giải tích nghiên cứu một số bài toán Elliptic suy biếnÁp dụng phương pháp giải tích nghiên cứu một số bài toán Elliptic suy biếnÁp dụng phương pháp giải tích nghiên cứu một số bài toán Elliptic suy biếnÁp dụng phương pháp giải tích nghiên cứu một số bài toán Elliptic suy biếnÁp dụng phương pháp giải tích nghiên cứu một số bài toán Elliptic suy biếnÁp dụng phương pháp giải tích nghiên cứu một số bài toán Elliptic suy biếnÁp dụng phương pháp giải tích nghiên cứu một số bài toán Elliptic suy biếnÁp dụng phương pháp giải tích nghiên cứu một số bài toán Elliptic suy biếnÁp dụng phương pháp giải tích nghiên cứu một số bài toán Elliptic suy biếnÁp dụng phương pháp giải tích nghiên cứu một số bài toán Elliptic suy biếnÁp dụng phương pháp giải tích nghiên cứu một số bài toán Elliptic suy biếnÁp dụng phương pháp giải tích nghiên cứu một số bài toán Elliptic suy biến
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI KIM MY ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TỐN ELLIPTIC SUY BIẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI KIM MY ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH NGHIÊN CỨU MỘT SỐ BÀI TỐN ELLIPTIC SUY BIẾN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS TS Cung Thế Anh HÀ NỘI, 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết viết chung với tác giả khác trí đồng tác giả đưa vào luận án Các kết trình bày luận án chưa công bố bất cơng trình khác Hà Nội, tháng 02 năm 2019 NCS Bùi Kim My i LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn tận tình chu đáo PGS.TS Cung Thế Anh Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng vơ biết ơn tới Thầy, người truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm học tập nghiên cứu khoa học, định hướng tác giả tiếp cận hướng nghiên cứu thời sự, thú vị có ý nghĩa Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Khuất Văn Ninh, PGS.TS Nguyễn Năng Tâm, TS Trần Văn Bằng (trường ĐHSP Hà Nội 2), TS Phan Quốc Hưng (trường ĐH Duy Tân, Đà Nẵng) động viên cho tác giả góp ý, kinh nghiệm nghiên cứu khoa học giúp tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin cảm ơn Thầy, Cô Anh, Chị nghiên cứu sinh Xêmina Giải tích, Khoa Tốn, trường ĐHSP Hà Nội Xêmina Bộ mơn Giải tích, Khoa Tốn-Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo môi trường học tập, nghiên cứu khoa học sôi thân thiện, giúp tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Duy Tân hỗ trợ phần kinh phí để tác giả hồn thành luận án Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình, người thân bên, tin tưởng cho tác giả động lực tinh thần để tác giả hoàn thành luận án Tác giả xin cảm ơn anh chị em, bạn bè giúp đỡ, động viên để tác giả hoàn thành luận án ii Mục lục LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu 16 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 16 Phương pháp nghiên cứu 17 Kết luận án 17 Cấu trúc luận án 18 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 20 1.1 Toán tử ∆λ -Laplace 20 1.2 Các không gian hàm phép nhúng 23 1.3 Một vài kết lí thuyết điểm tới hạn 29 1.4 Một số điều kiện tiêu chuẩn số hạng phi tuyến 34 Chương SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC SUY BIẾN NỬA TUYẾN TÍNH 37 2.1 Đặt toán 37 2.2 Sự tồn nghiệm yếu không tầm thường 40 2.3 Tính đa nghiệm nghiệm yếu 48 Chương SỰ TỒN TẠI VÀ KHÔNG TỒN TẠI NGHIỆM CỦA HỆ HAMILTON SUY BIẾN 53 3.1 Đặt toán 53 3.2 Sự không tồn nghiệm cổ điển dương 57 3.3 Sự tồn dãy vô hạn nghiệm yếu 64 Chương ĐỊNH LÍ KIỂU LIOUVILLE CHO HỆ BẤT ĐẲNG THỨC ELLIPTIC SUY BIẾN 75 4.1 Đặt toán 75 4.2 Định lí kiểu Liouville cho trường hợp p, q > 76 4.3 Định lí kiểu Liouville cho trường hợp p, q > 82 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 86 DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO 89 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN RN khơng gian vectơ thực N chiều; |·| chuẩn Euclide không gian RN ; đối ngẫu X X ∗ ; ·, · (·, ·) tích vơ hướng khơng gian Hilbert X; Q số chiều không gian RN ; 2∗λ = 2Q Q−2 số mũ tới hạn phép nhúng kiểu Sobolev; C0∞ (Ω) không gian hàm khả vi vơ hạn có giá compact Ω; Lp (Ω) không gian hàm lũy thừa bậc p khả tích Lebesgue Ω; (·, ·)Lp · Lp → tích vơ hướng khơng gian Lp (Ω); chuẩn không gian Lp (Ω); hội tụ mạnh; hội tụ yếu; → phép nhúng liên tục; →→ phép nhúng compact; N ∆λ toán tử suy biến mạnh ∆λ := ∂xi (λ2i ∂xi ); i=1 ◦ W 1,p λ (Ω) không gian hàm dùng để nghiên cứu toán Chương 2, 3; ◦ · 1,p 2,p Wλ (Ω) chuẩn không gian W 1,p λ (Ω); không gian hàm dùng để nghiên cứu tốn Chương 3; · µ1 2,p chuẩn không gian Wλ2,p (Ω); giá trị riêng toán tử −∆λ với điều kiện biên Dirichlet nhất; As lũy thừa bậc s toán tử A với miền xác định D(As ) MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Nhiều phương trình đạo hàm riêng loại elliptic gắn với việc nghiên cứu trạng thái dừng q trình tiến hóa vật lí, hóa học, học sinh học Mặt khác, nhiều lớp phương trình elliptic phi tuyến quan trọng xuất phát từ tốn hình học vi phân (xin xem chuyên khảo [5, tr.75-138], [25, tr.309-367], [33, tr.13-216], [58, tr.7-68, 251266], [74, tr.1-68]) Vì vậy, việc nghiên cứu lớp phương trình có ý nghĩa quan trọng khoa học công nghệ Một mặt việc nghiên cứu phương trình elliptic thúc đẩy cung cấp ý tưởng cho phát triển công cụ kết nhiều chuyên ngành giải tích Lí thuyết khơng gian hàm, Giải tích hàm phi tuyến, Phép tính biến phân, Mặt khác, phát triển chuyên ngành dẫn đến tiến lớn lí thuyết phương trình elliptic Chính lí thuyết phương trình elliptic thu hút quan tâm nhiều nhà khoa học giới Trong năm trở lại đây, tồn nghiệm, không tồn nghiệm, tính chất định tính nghiệm nghiên cứu cho nhiều lớp phương trình hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính trường hợp khơng suy biến suy biến yếu Tuy nhiên, kết tương ứng lớp phương trình hệ phương trình elliptic trường hợp suy biến mạnh Nguyên tính suy biến mạnh hệ gây khó khăn lớn mặt tốn học, đòi hỏi phải có ý tưởng tiếp cận Chẳng hạn, khó khăn gây thiếu định lí nhúng cần thiết, thiếu kết cần thiết tính quy nghiệm tốn tuyến tính tương ứng, thiếu kết nguyên lí cực trị, Việc nghiên cứu phương trình hệ phương trình elliptic suy biến mạnh vấn đề thời sự, có nhiều ý nghĩa thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Như nói trên, vấn đề nghiên cứu tốn elliptic phương pháp giải tích nhiều nhà tốn học ngồi nước quan tâm nghiên cứu phát triển Trong vài thập kỉ gần đây, nhiều nhà toán học nghiên cứu thu nhiều kết lí thuyết định tính nghiệm nhiều lớp toán chứa toán tử elliptic toán tử elliptic suy biến (xem, chẳng hạn chuyên khảo [5, tr.75-138], [58, tr.7-68, 251-266], [74, tr.1-68] báo tổng quan gần [26, 38]) Trong lớp tốn tử suy biến, có lớp đặc biệt quan trọng lớp toán tử ∆λ -Laplace có dạng N ∂xi (λ2i (x)∂xi u), ∆λ u = i=1 λi hàm thỏa mãn số điều kiện phù hợp Lớp toán tử đưa Kogoj Lanconelli năm 2012 [39] (xem thêm [29]), N chứa nhiều lớp toán tử quan trọng toán tử Laplace ∆u = với x ∈ RN , toán tử Grushin Gα u = ∆x u + |x|2α ∆y u với (x, y) ∈ R uxi xi i=1 N1 × R N2 (xem [34]), tốn tử suy biến mạnh kiểu Pα,β u = ∆x u + |x|2α ∆y u + |y|2β ∆z u với (x, y, z) ∈ RN1 × RN2 × RN3 (xem [67, 68]), Ở |x|, |y| tương ứng chuẩn Euclide x, y không gian RN1 , RN2 ∆x toán tử Laplace theo biến x RN1 : ∆x = N1 i=1 biến y R N2 N2 : ∆y = j=1 RN3 : ∆z = N3 k=1 ∂2 ∂yj2 ∂2 , ∂x2i ∆y toán tử Laplace theo ∆z toán tử Laplace theo biến z ∂2 ∂zk2 Sự tồn nghiệm phương trình hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính khơng suy biến nghiên cứu nhiều tác giả, trường hợp số hạng phi tuyến có tăng trưởng tới hạn tới hạn, miền bị chặn không bị chặn (xem [1, 2, 13]) Sự không tồn nghiệm cổ điển phương trình elliptic trường hợp miền hình số hạng phi tuyến có tăng trưởng tới hạn tới hạn chứng tỏ cơng trình tiếng Pohozaev [55] kết mở rộng cơng trình [47, 57] Tuy nhiên, kết toán elliptic lớp tốn tử suy biến ít, chủ yếu phương trình vơ hướng với số hạng phi tuyến dạng tiêu chuẩn, xem [39, 51, 67] báo [1, 2, 3, 4, 10, 47, 50, 65] chuyên khảo [5, tr.75-138], [24, tr.1-26, 137-158], [58, tr.7-68, 251-266], [74, tr.1-68] kết tiêu biểu trường hợp toán tử Laplace Dưới đây, điểm qua số kết quan trọng tồn tính chất định tính nghiệm phương trình hệ phương trình elliptic, liên quan đến nội dung luận án • Phương trình elliptic nửa tuyến tính Trong thập kỉ qua, tốn biên phương trình elliptic nửa tuyến tính có dạng −∆u = f (x, u), x ∈ Ω, u = 0, x ∈ ∂Ω (1) nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu Nhiều vấn đề quan trọng đặt nghiên cứu lớp phương trình trên, chẳng hạn tồn nghiệm, tính quy nghiệm, đánh giá định tính nghiệm, nghiên cứu ảnh hưởng tôpô miền xét lên số nghiệm phương trình, Có nhiều phương pháp sử dụng để nghiên cứu tồn nghiệm toán (1) chẳng hạn như: phương pháp nghiệm trên-nghiệm (xem [25, tr.537-541]), phương 1 = + β > thỏa mãn α p+1 q+1 1 αβ = p + Từ đó, ta lấy β số liên hợp β, tức + = 1, thỏa β β mãn β α = q + Áp dụng bất đẳng thức Young, ta có Bây giờ, ta chọn α > cho uαβ v αβ uq+1 v p+1 w = (uv) ≤ + = + ≤ uq+1 + v p+1 β β β β α α (4.17) Từ (4.16) sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có 2∇λ u∇λ v ≤ ∇λ u∇λ v + |∇λ u∇λ v| √ √ v u ≤ ∇λ u∇λ v + √ ∇λ u √ ∇λ v u v v u ≤ ∇λ u∇λ v + |∇λ u|2 + |∇λ v|2 2u 2v −1 = w |∇λ w|2 (4.18) Từ (4.15), (4.17), (4.18), ta thu ∆λ w + wα ≤ w−1 |∇λ w|2 (4.19) Nếu ta đặt w = g ta có N N ∂xi (λ2i (x)∂xi g ) ∆λ w = ∆λ (g ) = ∂xi (λ2i (x)2g∂xi g) = i=1 i=1 N λ2i (x)[(∂xi g)2 + g∂xi xi g] = 2g∆λ g + 2|∇λ g|2 , =2 (4.20) i=1 |∇λ w|2 = |∇λ g |2 = |2g∇λ g|2 = 4g |∇λ g|2 Thay (4.20) (4.21) vào (4.19), ta thu 2g∆λ g + 2|∇λ g|2 + g 2α ≤ 83 4g |∇λ g|2 , 2g (4.21) điều tương đương với −∆λ g ≥ g 2α−1 Từ giả thiết p, q > thỏa mãn điều kiện pq > 1, nên ta có 1 p+q+2 = + = < 1, α p + q + pq + p + q + hay α > 1, điều tương đương với 2α − > Hơn nữa, từ giả thiết 1 Q−2 = + ≥ α p+1 q+1 Q−1 ta thu 2α − ≤ Do đó, ta có < 2α − ≤ Q Q−2 , Q Q−2 áp dụng Hệ 4.1 ta thu g ≡ 0, từ u ≡ v ≡ Chứng minh Định lí 4.2 hoàn thành Kết luận Chương Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu định lí kiểu Liouville cho hệ bất đẳng thức elliptic chứa tốn tử ∆λ tồn không gian RN , N ≥ Các kết đạt bao gồm: 1) Chứng minh định lí kiểu Liouville (Định lí 4.1) cho hệ bất đẳng thức elliptic suy biến số mũ p, q > 84 2) Chứng minh định lí kiểu Liouville (Định lí 4.2) cho hệ bất đẳng thức elliptic suy biến số mũ p, q > (với miền biến thiên p, q khác với trường hợp p, q > 1) Nói riêng, u = v p = q, ta thu định lí kiểu Liouville cho bất đẳng thức elliptic chứa toán tử ∆λ Khi p, q > 1, kết nhận tối ưu (như biết trường hợp toán tử Laplace) Các kết chương mở rộng kết tương ứng trước cho toán tử Laplace [30, 49, 66], cho toán tử Grushin [23] 85 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết đạt Luận án nghiên cứu tồn tại, khơng tồn tính đa nghiệm số lớp phương trình, hệ phương trình, hệ bất đẳng thức elliptic suy biến chứa toán tử ∆λ Các kết đạt luận án bao gồm: 1) Chứng minh tồn tính đa nghiệm nghiệm yếu phương trình elliptic suy biến nửa tuyến tính miền bị chặn, số hạng phi tuyến có độ tăng trưởng tới hạn không thỏa mãn điều kiện (AR) 2) Chứng minh không tồn nghiệm cổ điển dương miền δt -hình tính đa nghiệm nghiệm yếu hệ elliptic suy biến nửa tuyến tính dạng Hamilton miền bị chặn 3) Thiết lập số định lí kiểu Liouville cho bất đẳng thức hệ bất đẳng thức elliptic suy biến toàn không gian RN Kiến nghị số vấn đề nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu bao gồm: 1) Nghiên cứu điều kiện tồn nghiệm phương trình, hệ phương trình elliptic suy biến nói trường hợp số hạng phi tuyến có tăng trưởng tới hạn Nghiên cứu tính quy nghiệm yếu 2) Nghiên cứu ứng dụng định lí kiểu Liouville đánh 86 giá số phổ quát, đánh giá kì dị nghiệm, đánh giá độ suy giảm, bùng nổ nghiệm, 87 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ [1] C.T Anh and B.K My, (2016), Existence of solutions to ∆λ Laplace equations without the Ambrosetti-Rabinowitz condition, Complex Var Elliptic Equ 61 No.1, 137-150 (SCIE) [2] C.T Anh and B.K My, (2016), Liouville-type theorems for elliptic inequalities involving the ∆λ -Laplace operator, Complex Var Elliptic Equ 61 No.7, 1002-1013 (SCIE) [3] C.T Anh and B.K My, (2019), Existence and non-existence of solutions to a Hamiltonian strongly degenerate elliptic system, Adv Nonlinear Anal No.1, 661-678 (SCIE) 88 Tài liệu tham khảo [1] C.O Alves, D.C de Morais Filho, M.A Souto, (2000), On systems of elliptic equations involving subcritical or critical Sobolev exponents, Nonlinear Anal 42, 771-787 [2] C.O Alves, D.C de Morais Filho, O.H Miyagaki, (2004), Multiple solutions for an elliptic system on bounded and unbounded domains, Nonlinear Anal 56, 555-568 [3] A Ambrosetti, H Brezis, G Cerami, (1994), Combined effects of concave and convex nonlinearities in some elliptic problems, J Funct Anal 122, 519-543 [4] A Ambrosetti and P.H Rabinowitz, (1973), Dual variational methods in critical point theory and applications, J Funct Anal 14, 349-381 [5] A Ambrosetti and A Malchiodi, (2007), Nonlinear Analysis and Semilinear Elliptic Problems, in: Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol 104, Cambridge University Press, Cambridge [6] L D’Ambrosio and S Lucente, (2003), Nonlinear Liouville theorems for Grushin and Tricomi operators, J Differential Equations 193, 511-541 [7] C.T Anh, J Lee and B.K My, (2018), On classification of solutions to an elliptic equation involving the Grushin operator, Complex Var Elliptic Equ 63, 671-688 [8] S Axler, P Bourdon and W Ramey, (2001), Harmonic Function Theory, second edition, Springer-Verlag, New York 89 [9] T Bartsch and D.G de Figueiredo, (1999), Infinitely many solutions of nonlinear elliptic systems, Progr in Nonlinear Differential Equations Appl 35, Birkhăauser, Basel, 51-67 [10] T Bartsch and M Willem, (1995), On an elliptic equation with concave and convex nonlinearities, Proc Amer Math Soc 123 (11), 35553561 [11] H Berestycki, I.C Dolcetta and L Nirenberg, (1994), Superlinear indefinite elliptic problems and nonlinear Liouville theorems, Topol Methods in Nonlinear Anal 4, 59-78 [12] Z Binlin, G Molica Bisci, and R Servadei, (2015), Superlinear nonlocal fractional problems with infinitely many solutions, Nonlinearity 28, 2247-2264 [13] H Brezis and L Nirenberg, (1983), Positive solutions of nonlinear elliptic equations involving critical Sobolev exponents Comm Pure Appl Math 88 (3), 437-477 [14] A Cauchy, (1844), Mémoires sur les fonctions complémentaires, C R Acad Sci Paris 19, 1377-1384 [15] G Cerami, (1978), An existence criterion for the critical points on unbounded manifolds, Istit Lombardo Accad Sci Lett Rend A 112, 332-336 (in Italian) [16] G Cerami, (1980), On the existence of eigenvalues for a nonlinear boundary value problem, Ann Mat Pura Appl 124, 161-179 (in Italian) [17] W.X Chen and C Li, (1991), Classification of solutions of some nonlinear elliptic equations, Duke Math J 63, 615-622 90 [18] J Chen, X Tang and Z Gao, (2017), Infinitely many solutions for semilinear ∆λ -Laplace equations with sign-changing potential and nonlinearity, Studia Sci Math Hungar 54, 536-549 [19] N.T Chung, (2014), On a class of semilinear elliptic systems involving Grushin type operator, Commun Korean Math Soc 29, No.1, pp.3750 [20] N.M Chuong and T.D Ke, (2004), Existence of solutions for a nonlinear degenerate elliptic system Electron J Differential Equations, No 93, 15 pp [21] N.M Chuong and T.D Ke, (2005), Existence results for a semilinear parametric problem with Grushin type operator Electron J Differential Equations, No 107, 12 pp [22] Ph Clément, D.G de Figueiredo and E Mitidieri, (1992), Positive solutions of semilinear elliptic systems, Comm Partial Differential Equations 17, 923-940 [23] I.C Dolcetta and A Cutrì, (1997), On the Liouville property for the sublaplacians, Ann Scuola Norm Sup Pisa Cl Sci 25, 239-256 [24] L Dupaigne, (2011), Stable Solutions of Elliptic Partial Differential Equations, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, xiv+321 pp [25] L.C Evans, (1998), Partial Differential Equations, Providence, RI: Amer Math Soc Vol 19 749pp [26] D.G de Figueiredo, (1996), Semilinear elliptic systems: A survey of superlinear problem, Resnhas IME-USP Vol 2, No.4 373-391 [27] D.G de Figueiredo, J.A.M Ó and B Ruf, (2005), An Orlicz-space approach to superlinear elliptic systems, J Funct Anal 224, 471-496 91 [28] D.G de Figueiredo and P.L Felmer, (1994), On superquadratic elliptic systems Trans Amer Math Soc 343, 99-116 [29] B Franchi and E Lanconelli, (1982), Une métrique associée une classe d’opérateurs elliptiques dégénérés, (French) [A metric associated with a class of degenerate elliptic operators] Conference on linear partial and pseudodifferential operators (Torino, 1982) Rend Sem Mat Univ Politec Torino 1983, Special Issue, 105-114 (1984) [30] B Gidas, (1980), Symmetry properties and isolated singularities of positive solutions of nonlinear elliptic equations, Nonlinear partial differential equations in engineering and applied science (Proc Conf., Univ Rhode Island, Kingston, R.I., 1979), pp 255-273, Lecture Notes in Pure and Appl Math 54, Dekker, New York [31] B Gidas and J Spruck, (1981), Global and local behavior of positive solutions of nonlinear elliptic equations, Comm Pure Appl Math 34, 525-598 [32] B Gidas and J Spruck, (1981), A priori bounds for positive solutions of a nonlinear elliptic equations, Comm Partial Differential Equations 6, 883-901 [33] D Gilbag and N.S Trudinger, (2001), Elliptic Partial Differential Equations of Second Order, Reprint of the 1998 Edition, Springer [34] V.V Grushin, (1971), On a class of elliptic pseudo differential operators degenerate on a submanifold, Math USSR Sbornik 13, 155-183 (in Russian) [35] L Hăormander, (1967), Hypoelliptic second order differential equations, Acta Math 119, 147-171 92 [36] J Hulshof and R.C.A.M van der Vorst, (1993), Differential systems with strongly indefinite variational structure, J Funct Anal 114, 3258 [37] Y Jabri, (2003), The Mountain Pass Theorem: Variants, Generalizations and Some Applications Cambridge University Press, New York [38] A.E Kogoj and E Lanconelli, (2018), Linear and semilinear problems involving ∆λ -Laplacians, Two nonlinear days in Urbino 2017 Electron J Diff Eqns Conf 25, pp.167-178 [39] A.E Kogoj and E Lanconelli, (2012), On semilinear ∆λ -Laplace equation, Nonlinear Anal 75, 4637-4649 [40] N Lam and G Lu, (2013), N -Laplace equations in RN with subcritical and critical growth without the Ambrosetti-Rabinowitz condition, Adv Nonlinear Stud 13, 289-308 [41] N Lam and G Lu, (2014), Elliptic equations and systems with subcritical and critical exponential growth without the Ambrosetti-Rabinowitz condition, J Geom Anal 24, 118-143 [42] Y.Y Li, (1989), Degree theory for second order nonlinear elliptic operators and its applications, Comm Partial Differential Equations 14 (11), 1541-1578 [43] S Liu, (2010), On superlinear problems without the Ambrosetti and Rabinowitz condition, Nonlinear Anal 73, 788-795 [44] Z Liu and Z.Q Wang, (2004), On the Ambrosetti-Rabinowitz superlinear condition, Adv Nonlinear Stud 4, 563-574 93 [45] D.T Luyen and N.M Tri, (2015), Existence of solutions to boundaryvalue problems for semilinear ∆γ differential equations, Math Notes 97, 73-84 [46] D.T Luyen, (2017), Two nontrivial solutions of boundary value problems for semilinear ∆γ differential equations, Math Notes 101, No 5, 815-823 [47] E Mitidieri, (1993), A Rellich type identity and applications, Comm Partial Differential Equations 18:1-2, 125-151 [48] E Mitidieri, (1996), Nonexistence of positive solutions of semilinear elliptic systems in RN Differential Integral Equations 9, 465-479 [49] E Mitidieri and S.I Pokhozhaev, (2001), A priori estimates and the absence of solutions of nonlinear partial differential equations and inequalities, Proc Steklov Inst Math 234, 1-362 (in Russian) [50] O.H Miyagaki and M.A.S Souto, (2008), Superlinear problems without Ambrosetti and Rabinowitz growth condition, J Differential Equations 245, 3628-3638 [51] R Monti and D Morbidelli, (2006), Kelvin transform for Grushin operators and critical semilinear equations, Duke Math J 131, 167202 [52] D.D Monticelli, (2010), Maximum principles and the method of moving planes for a class of degenerate elliptic linear operators, J Eur Math Soc 12, 611-654 [53] R.S Palais and S Smale, (1964), A generalized Morse theory, Bull Am Math Soc 70 165-172 94 [54] L.A Peletier and R van der Vorst, (1992), Existence and nonexistence of positive solutions of nonlinear elliptic systems and the biharmonic equation, Differential Integral Equations 5, 747-767 [55] S.I Pohozaev, (1965), Eigenfunctions of the equation ∆u + λf (u) = 0, Soviet Math Dokl 5, 1408-1411 (in Russian) [56] P Poláˇcik, P Quittner and P Souplet, (2007), Singularity and decay estimates in superlinear problems via Liouville-type theorems, I: Elliptic equations and systems, Duke Math J 139, 555-579 [57] P Pucci and J Serrin, (1986), A general variational identity, Indiana Univ Math J 35, 681-703 [58] P Quittner and P Souplet, (2007), Superlinear Parabolic Problems: Blow-up, Global Existence and Steady States, Birkhăauser Adv Texts Basler Lehrbă ucher, Birkhăauser, Basel [59] P.H Rabinowitz, (1986), Minimax Methods in Critical Point Theory with Applications to Differential Equations, American Mathematical Society, Providence, RI [60] B Rahal, (2018), Liouville-type theorems with finite Morse index for semilinear ∆λ -Laplace operators NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl 25, no 3, Art 21, 19 pp [61] B Rahal and M.K Hamdani, (2018), Infinitely many solutions for ∆α Laplace equations with sign-changing potential, J Fixed Point Theory Appl 20, no 4, Art 137, 17 pp [62] M Schechter and W Zou, (2004), Superlinear problems, Pacific J Math 214, 145-160 95 [63] J Serrin and H Zou, (1996), Non-existence of positive solutions of Lane-Emden systems, Differential Integral Equations 9, 635-653 [64] J Serrin and H Zou, (2002), Cauchy-Liouville and universal boundedness theorems for quasilinear elliptic equations and inequalities, Acta Math 189, 79-142 [65] P Souplet, (2009), The proof of the Lane-Emden conjecture in four space dimensions, Adv Math 221, 1409-1427 [66] M.A.S Souto, (1995), A priori estimates and existence of positive solutions of nonlinear cooperative elliptic systems, Differential Integral Equations 8, 1245-1258 [67] P.T Thuy and N.M Tri, (2012), Nontrivial solutions to boundary value problems for semilinear strongly degenerate elliptic differential equations, NoDEA Nonlinear Differential Equations Appl 19, 279-298 [68] N.T.C Thuy and N.M Tri, (2002), Some existence and nonexistence results for boundary value problems for semilinear elliptic degenerate operators, Russ J Math Phys 9, 365-370 [69] D.A Tuan and P.Q Hung, (2017), Liouville type theorem for nonlinear elliptic system involving Grushin operator, J Math Anal Appl 454 (2), 785-801 [70] N.M Tri, (1998), On Grushin’s equation Mat Zametki 63, 19-105 (in Russian) [71] N.M Tri and D.T Luyen, (2018), Existence of infinitely many solutions for semilinear degenerate Schrăodinger equations, J Math Anal Appl 461 (2), 1271-1286 96 [72] R.C.A.M Van der Vorst, (1992), Variational identities and applications to differential systems, Arch Rational Mech Anal 116, No.4, 375-398 [73] X Yu, (2015), Liouville type theorem for nonlinear elliptic equation involving Grushin operators, Comm Contem Math 17 (5): 1450050 (12p) [74] M Willem, (1996), Minimax Theorems, Birkhăauser, Boston [75] M Willem, W Zou, (2003), On a Schrăodinger equation with periodic potential and spectrum point zero, Indiana Univ Math J 52, 109-132 97 ... trình elliptic chứa tốn tử suy biến mạnh ∆λ Mục đích nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu số lớp phương trình hệ phương trình elliptic suy biến mạnh chứa toán tử ∆λ phương pháp Giải tích hàm... Việc nghiên cứu phương trình hệ phương trình elliptic suy biến mạnh vấn đề thời sự, có nhiều ý nghĩa thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học giới Như nói trên, vấn đề nghiên cứu toán elliptic phương. .. quan tâm nghiên cứu phát triển Trong vài thập kỉ gần đây, nhiều nhà toán học nghiên cứu thu nhiều kết lí thuyết định tính nghiệm nhiều lớp toán chứa toán tử elliptic toán tử elliptic suy biến