PP GIAI HAM MU LOGARIT

Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ Lơgarit PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ Công thức hàm số mũ logarit Phương trình bất phương trình mũ ðể so sánh hai lũy thừa phải chuyển hai lũy thừa số so sánh hai số mũ chúng Trong trường hợp so sánh BðT (bất phương trình ) ta phải ý đến ñơn ñiệu hàm số mũ ( tức phải so sánh số với 1) Ta xét phương trình – bất phương trình sau a f (x) = a g(x) ⇔ f (x) = g(x) a f (x) = b = a a f (x) =b log a b g(x) ⇔ f (x) = log a b ⇔ f (x) = g(x)log a b a f (x) > a g(x) (1) + Nếu a>1 (1) ⇔ f (x) > g(x) + Nếu 0 ðể giải phương trình – bất phương trình mũ ta phải tìm cách chuyển phương trình – bất phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình sau 1) 2x 3) + 3x − x 8x+2 = 4x −1 2) (2 + 3)3x +1 = (2 − 3)5x + = 36.32 − x 4) x +1 42x −1 83− x = 2.0,125 Giải: 1) pt ⇔ 2x + 3x − = 22x − ⇔ x + 3x − = 2x − ⇔ x + x − = ⇔ x = 1;x = −2 2) Ta có: (2 + 3)(2 − 3) = ⇒ (2 − 3) = (2 + 3) −1 ⇒ pt ⇔ (2 + 3)3x +1 = (2 + 3) −5x − ⇔ 3x + = −5x − ⇔ x = − 3) ðK: x ≠ −2 Pt ⇔ 3x 2x+2 4− x = ⇔ x −4 2x+2 = 34 − x ⇔ x−4 log = − x x+2 x = ⇔ (x − 4)(x + + log 2) = ⇔  x = − − log  4) Pt ⇔ x +1 4x − 2 2 29 − 3x = 2 2−3 ⇔ x +1 4x − + + − 3x 2 = −3 22 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ Lơgarit ⇔x= 62 nghiệm phương trình Chú ý : Nếu tốn có ñiều kiện x : x ≥ 1;x ∈ ℕ x Ví dụ 2: Giải phương trình : 1) x x 3x 0.125 = 2) x +x − 4.2 x −x − 22x + = Giải:  x ≥ 1) ðK :  Vì số lũy thừa ñều viết ñược dạng lũy thừa số 3x ∈ ℕ nên ta biến đổi hai vế phương trình lũy thừa số so sánh hai số mũ Phương trình ⇔ 2 x x 1 ( ) 3x =2 ⇔ x x −1 2 2x = 23 x = x x ⇔ ⇔ + − = ⇔ 5x − 14x − = ⇔  x = − 2x  Kết hợp với ñiều kiện ta có x = nghiệm phương trình 2) Các lũy thừa tham gia phương trình số Ta tìm quan hệ số mũ x x + − 2 2x = 23 ta thấy (x2 + x) − (x2 − x) = 2x ⇒ x2 + x = (x2 − x) + 2x Ta có: PT ⇔ 2x ⇔ 2x −x −x 22x − 4.2x −x − 22x + = (22x − 4) − (22x − 4) = ⇔ (22x − 4)(2x −x − 1) =  22x = x = ⇔ ⇔  x − x =  x = Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: 1) x > 43x −1 3) x +1 +5 x+2 ≥3 x+2 +5 x +1 2x + x +1 4) (x + ) ≤ (x + )1− x 2 2) ( ) 2x +1 ≤ (0,125)3x + 2 Giải: 2 1) BPT ⇔ x > 26x − ⇔ x > 6x − ⇔ x < x 3 5 2) BPT ⇔ 25.5 − 5.5 > 9.3 − 3.3 ⇔ 20.5 > 6.3 ⇔   > ⇔ x > log 10   10 x x x x x x Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ Lơgarit 2x +1 3x + 9x + 1 1 1 3) BPT ⇔   ≤  =  ⇔ 2x + ≥ 9x + ⇔ 2x − 9x − ≥ 2 8 2 ⇔ x ∈ (−∞; − ] ∪ [5;+∞) 4) Vì x + > nên ta có trường hợp sau 1 * x2 + = ⇔ x = ± 2    x ≤ −1 x + > | x |> 2 * ⇔ ⇔  x >  2x + 2x ≥   2x + x + ≥ − x    | x | < x + < 1   2 * ⇔ ⇔− < x ≤ 2  2x + 2x ≤ 2x + x + ≤ − x  Vậy nghiệm bất phương trình là: x ∈ (−∞; −1] ∪ [ − 1 ;0] ∪ [ ; +∞) 2 Chú ý : Ta giải sau: BPT ⇔ (x − )(2x + 2x) ≥ Lập bảng xét dấu ta tìm tập nghiệm Ví dụ 4: Tìm tất cặp số thực (x;y) thỏa mãn ñồng thời ñiều kiện sau : |x − 2x − 3| − log = 5− (y + 4) (1) | y | − | y − 1| + (y + 3) ≤ (2) Giải: Vì | y | +1 ≥| y − 1|⇒ | y | +1− | y − 1|≥ nên từ (2) ⇒ (y + 3) ≤ ⇒ y ≤ ⇒ (2) ⇔ y + 3y ≤ ⇔ −3 ≤ y ≤ (*) Mặt khác (1) ⇔ 3|x − 2x − 3| = 5− y − ⇒ − y − ≥ ⇒ y ≤ −3 (**) Tư (*) (**) ta có y = −3 ⇒ 3|x − 2x − 3| = ⇔ x − 2x − = ⇔ x = −1;x = Thử lại ta thấy giá trị thỏa mãn (1) (2) Vậy (x; y) = (−1; −3), (3; −3) cặp (x;y) cần tìm Chú ý : 1) Với tốn ta thấy (2) Bất phương trình ẩn nên ta tìm cách giải (2) ta dư đốn tốn thỏa mãn điểm biên y 2) Ta giải (2) cách phá bỏ dấu trị tuyệt đối ta tìm nghiệm (2) −3 ≤ y ≤ , nhiên cách làm cho ta lời giải dài Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ Lơgarit Ví dụ 5: Giải biện luận phương trình : |x −1| = 2m − Giải: phương trình vơ nghiệm 1 * Nếu m > ⇒ PT ⇔ 2|x −1| = (2) 2m − 1 +) Với = ⇔ m = ⇒ (2) ⇔ 2|x −1| = ⇒ (2) có nghiệm x = 2m − +) Với m ≠ ⇒ (2) có nghiệm phân biệt x = ± log (2m − 1) * Nếu 2m − ≤ ⇔ m ≤ Bài tập: Bài 1: Giải phương trình sau: 1) 2x + 2x +1 + 2x + = 3x + 3x +1 + 3x + 3) 6) x − 5x + x +5 x 32 − 3 8)   4 =2 x −3 4) x +17 = 0,25.128 x − 2x − = x −1 x = 10 x + 6x +5 1) ≤2 x−4 2x + x −1 4) | x − 1| 6) 2.3x − x + −2 x 2x +3x + 2) 10 + 3) x −3 x −1 + x +5 5) (x + 3) = xx = 27 2x +1 x − 5x + = (x + 3) x + (x=1;x=4) 7) x − 2x + < ( 10 − 3) 5) (x + x + 1) 2x >1 ≤1 x 9) 2x.x +1 27 x 5x = 180 10) +4 =4 Bài 3: Giải bất phương trình sau: x − 4x x ( x=10) 7) x x 16 16 x −3x + x 2) 32x −3 1 ≥  3 x +1 x +3 3) (4x + 2x + 1) x −x ≤1 < (x − x + 1) x x −|x −1| 8) 4x + x.2 x +1 + 3.2 x > x 2 x + 8x + 12 Bài 4: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 3m − = 2m + |x − m + 2|  |x Bài 5: Tìm m ñể phương trình   5 − 4x + 3| = m − m + có bốn nghiệm phân biệt Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ Lơgarit 2) Các phương pháp giải PT – BPT mũ: Phương pháp ñặt ẩn phụ Cũng PT – BPT vô tỉ lượng giác, ñể giải PT – BPT mũ ta dùng phương pháp ñặt ẩn phụ Tức ta thay biểu thức chứa hàm số mũ biểu thức chứa ẩn phụ mà ta ñặt chuyển phương trình – bất phương trình ma ta biết cách giải Phương pháp ñặt ẩn phụ phong phú đa dạng, để có cách đặt ẩn phụ phù hợp ta phải nhận xét quan hệ cảu số có phương trình Ví dụ 1: Giải phương trình: 2) 4cos 2x + 4cos x − = 1) 2.16 x − 15.4 x − = Giải: 1) Nhận xét số ta thấy 16 bình phương 4, tức ta có: 16 x = (42 ) x = (4 x ) Nên ta ñặt: t = 4x , t > ⇒ 16 x = (4 x ) = t Phương trình trở thành: 2t − 15t − = ⇔ t = ⇔ 22x = 23 ⇔ x = 2) Vì số mũ hai lũy thừa phương trình hai hàm số lượng giác hai hàm số biểu thị qua hệ thức cos 2x = 2cos x − nên ta chuyển số mũ hai lũy thừa hàm lượng giác Ta có phương trình ⇔ 42 cos ðặt t = ⇔ 22 cos x + 4.4cos x − 12 = cos x 2x , t > , ta có phương trình : t + 4t − 12 = ⇔ t = π π = ⇔ 2cos x = ⇔ cos 2x = ⇔ x = + k Nhận xét: Ta có dạng tổng quát toán là: F(a f (x) ) = Với dạng ta ñặt t = a f (x) , t > chuyển phương trình F(t) = , giải tìm nghiệm dương t phương trình, từ ta tìm x Ta thường gặp dạng: m.a 2f (x) + n.a f (x) + p = Với BPT ta làm tương tự Ví dụ 2: Giải bất phương trình: 2 1) x − 21− x < 2) x − 2x − x − 7.3 x − 2x − x −1 ≤ Giải: 1) BPT ⇔ x − < ðặt t = x , t ≥ 1, ta có: x t − < ⇔ t2 − t − < ⇔ ≤ t < ⇔ x < ⇔ ≤ x < t Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ Lơgarit x − 2x − x 2) BPT ⇔ 3.9 x − 2x − x ðặt t = − 7.3 x − 2x − x ≤ , t > , ta có bất phương trình : 3t − 7t − ≤ ⇔ t ≤ ⇔ x − 2x − x ≤ ⇔ x − 2x ≤ x +  x − 2x ≥ x ≤ V x ≥   ⇔ x + ≥ ⇔  x ≥ −1 ⇔ − ≤ x ≤0 V x ≥   x ≥ −1/ x − 2x ≤ (x + 1)   Ví dụ 3: Giải bất phương trình : 1) 2.3 x +4 x +9 x+ ≥9 x 2) 32x − 8.3x + x+4 − 9.9 x+4 >0 Giải: 1) Trong bất phương trình Chia hai vế BPT cho x 4x− x ta ñược: 2.3 + 3.9 4x− x ≥ ⇔ x − x ≥ 3−1 1+ 7+3 ⇔ x − x ≥ −1 ⇔ x − x − ≤ ⇔ x ≤ ⇔0≤x≤ 2 2) Chia hai vế BPT cho x + ta ñược: 32(x- x+4) − 8.3x − x + − > 4x− x ðặt t = ðặt t = 3x − , t > , ta có BPT: 3t + 2t − ≥ ⇔ t ≥ x+4 , t > , ta có: t − 8t − > ⇔ t > ⇔ 3x − x + > 32  x + >  x > −2 x− x+4 >2⇔x+2> x+4 ⇔ ⇔ ⇔ x >  2 (x + 2) > x +  x + 3x > Ví dụ 4: Giải phương trình sau: 1) x −x − 22 + x − x = 2) 3x x − 6.2 − 3(x −1) + 12 x = Giải: 1) PT ⇔ x −x − x2 − x = ⇔ 22(x − x) − 3.2 x −x − =  x = −1 , t > Ta có: t − 3t − = ⇔ t = ⇔ x − x − = ⇔  x = 12 2) ðặt t = x , t > ta có: t − 6t − + = ⇔ (t − ) − 6(t − ) − = t t t t       ðặt y = t − ⇒ t − =  t −   t + +  =  t −  (t − ) +  = y(y + 6) t t  t  t t t     ðặt t = x −x Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ Lơgarit Nên ta có phương trình : y3 − = ⇔ y = ⇔ t − = ⇔ t − t − = ⇔ t = ⇔ x = t Ví dụ 5: Giải phương trình : 2) (7 + 3) x − 3(2 − 3) x + = 1) (5 + 24) x + (5 − 24) x = 10 Giải: Nhận xét hai số ta thấy: (5 + 24)(5 − 24) = ⇒ (5 + 24) x (5 − 24) x = Do ñặt t = (5 + 24) x , t > ⇒ (5 − 24) x = phương trình cho trở thành t t + = 10 ⇔ t − 10t + = ⇔ t = ± 24 t Từ ta tìm x = ±1 Nhận xét: Bài tốn có dạng tổng qt sau: m.a f (x) + n.b f (x) + p = , a.b = ðặt t = a f (x) , t > ⇒ b f (x) = t 2) Ta có: + = (2 + 3)2 (2 − 3)(2 + 3) = nên ta ñặt t = (2 + 3) x , t > ta có phương trình : t − + = ⇔ t + 2t − = ⇔ (t − 1)(t + t + 3) = ⇔ t = t x ⇔ (2 + 3) = ⇔ x = Ví dụ 6: Giải phương trình sau: 2) − x 1) 6.9 x − 13.6 x + 6.4 x = + 2x +1 − 34.15 2x − x + 252x − x +1 =0 Giải: 1) Nhận xét số ta có: = 32 ;4 = 22 ;6 = 3.2 , ñặt a = 3x ,b = x , ta có: 6a − 13ab + 6b2 = phương trình đẳng cấp bậc hai a,b Chia hai vế PT x a   2 cho b ñặt t = =   ta ñược: 6t − 13t + = ⇔ t = , t = b   Từ ta có: x = ±1 Nhận xét: Ta có dạng tổng quát phương trình là: m.a 2f (x) + n.(a.b) f (x) + p.b 2f (x) = Chia vế phương trình cho b 2f (x) đặt a t = ( ) f (x) , t > Ta có PT: mt + nt + p = b 2 2) PT ⇔ 9.9 2x − x − 34.152x − x + 25.252x − x = Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ Lơgarit 3 ⇔ 9  5 2(2x − x ) ⇔ t = 1; t = 3 − 34   5 2x − x 3 + 25 = ⇔ 9t − 34t + 25 = (Với t =   5 2x − x 25 3 * t= ⇔  5 = ⇔ 2x − x = ⇔ x = 0;x = 2x − x 3 =  5 −2 ⇔ x − 2x − = ⇔ x = ± Ví dụ 7:Giải phương trình: 1) 125x + 50x = 23x +1 Giải: 1) PT ⇔ , t > ) 25 3 * t =1⇔   5 3x 2x − x 2) 3.8x + 4.12 x − 18x − 2.27 x = + = 2.2 2x x 3x 5 ⇔  2 3x 5 +  2 2x −2=0 x 5 ðặt t =   , t > ta ñược: t + t − = ⇔ (t − 1)(t + 2t + 2) = ⇔ t = ⇔ x = 2 Vậy phương trình có nghiệm x = 2 2) PT ⇔   3 3x 2 + 4.  3 2x x x 2 2 −   − = ðặt t =   , t > ta ñược: 3 3 3t + 4t − t − = ⇔ (t + 1)(3t + t − 2) = ⇔ t = ⇔ x = Ví dụ 8: Tìm m để phương trình sau có nghiệm 7+3 x 7−3 x 1) x + 5.2 x + m = 2) ( ) + m( ) = 2 Giải: 1) ðặt t = 2x , t > Phương trình trở thành: t + 5t = − m (1) Suy phương trình cho có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm t > Với t > ta có hàm f (t) = t + 5t > liên tục nên phương trình cho có nghiệm ⇔ −m > ⇔ m < x 7+3 5 m 2) ðặt : t =   , t > , ta có phương trình : t + = ⇔ t − 8t = − m (2) t   Suy phương trình ñã cho có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm t > Xét hàm số f (t) = t − 8t với t > , ta có: f (t) = (t − 4) − 16 ≥ −16 nên phương trình cho có nghiệm −m ≥ −16 ⇔ m ≤ 16 Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co h t t p : / / w( w w t a i l i e u p r o c o ) http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ Lơgarit Ví dụ 9: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: 1) x + m.3x + ≤ Giải: 2) 32x − m.3x + x + − 9.9 x + < t2 + 1) ðặt t = , t > Bất phương trình trở thành: t + mt + ≤ ⇔ ≤ − m (3) t Bất phương trình cho có nghiệm ⇔ (3) có nghiệm t > ⇔ Min f (t) ≤ − m (*) t >0 x t2 + t2 − với t > Ta có f '(t) = ⇒ f '(t) = ⇔ t = Từ ñây suy t t Min f (t) = f (1) = ⇒ (*) ⇔ −m ≥ ⇔ m ≤ −2 Xét hàm số f (t) = t >0 Chú ý : BPT : f (x) ≤ k f(x) ≥ k có nghiệm D ⇔ Min f (x) ≤ k ( Max ≥ k) D 2) Chia hai vế BPT cho 3x + D x+4 ta ñược: 3x − x + − 9.3 x + − x − m < ⇔ f (t) = t − < m (**), t = 3x − x + t Xét hàm số u(x) = x − x + với x ≥ −4 Ta có 1 15 15 17 u '(x) = − ⇒ u '(x) = ⇔ x + = ⇔ x = − ⇒ u(x) ≥ u(− ) = − 4 4 x+4 − Suy t ≥ 17 ; +∞) , ta có f(t) hàm ñồng biến nên 814 1 − 729 Min f (t) = f ( ) = ⇒ BPT cho có nghiệm ⇔ (**) có nghiệm t ∈ D D 81 814 − 729 ⇔ m > Min f(t) = D 814 Xét hàm số f(t) D = [ Chú ý : 1) Ở toán thường mắc sai lầm ñặt t ta cho ñiều kiện t t > ! Dẫn ñến ñiều khơng xác định tập giá trị u(x) lúc ñó ta cho lời giải sai! 2) BPT f (x) ≥ k (f (x) ≤ k) ∀x ∈ D ⇔ Min f (x) ≥ k (Max f (x) ≤ k) D D Ví dụ 10: Tìm tất giá trị tham số a cho bất phương trình sau nghiệm với x ≤ : a.2 x +1 + (2a + 1)(3 − 5) x + (3 + 5) x < Giải: BPT ⇔ 2a.2 x + (2a + 1)(3 − 5) x + (3 + 5) x < Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ Lơgarit x x 3+  3−  ⇔  + (2a + 1)   + 2a < 2     x x 3+  3−  ðặt t =   ,0 < t ≤ ∀x ≤ ⇒ =   bất phương trình trở thành: t     t2 + t + (2a + 1) + 2a < ⇔ t + < −2a(t + 1) ⇔ < −2a (I ) t t +1 t2 + Xét hàm số f (t) = với t ∈ D = (0;1] t +1 t + 2t − Ta có: f '(t) = ⇒ f '(t) = ⇔ t = −1 + ⇒ Max f (t) = f (1) = (0;1] (t + 1) BPT ñã cho nghiệm ñúng ∀x ≤ ⇔ (I ) ñúng ∀t ∈ (0;1] ⇔ −2a > Max f (t) ⇔ a < − (0;1] Ví dụ 11: Tìm m để bpt m.9 2x x thỏa mãn | x |≥ Giải: −x − (2m + 1)6 2x −x + m.4 2x −x ≤ nghiệm ñúng với 2x − x 3 ñặt t =   ta có bất phương trình : 2 m.t − (2m + 1)t + m ≤ ⇔ t ≥ m(t − 2t + 1) (*) 1 Xét hàm số u(x) = 2x − x với | x |≥ , có u '(x) = 4x − ⇒ u(x) ≥ u( ) = ∀ | x |≥ 2 ⇒ t ≥ ∀ | x |≥ * Với t=1 ta thấy (*) ñúng t * Với t > ⇒ (*) ⇔ f (t) = ≥ m (**) t − 2t + −t + Ta có f '(t) = < ∀t > ⇒ f (t) nghịch biến (1; +∞) (t − 1) Mà lim f (t) = ⇒ f (t) > ∀t > Suy (**) ñúng ∀t > ⇔ m ≤ Chia hai vế bất phương trình cho 2x − x t →+∞ Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 10 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ Lơgarit Phương pháp ñánh giá Nội dung phương pháp dựa vào tính đơn điệu hàm số mũ để tìm nghiệm phương trình ðường lối ta dự đốn nghiệm phương trình dựa vào tính đơn điệu hàm số mũ chứng minh phương trình có nghiệm Ví dụ1: Giải phương trình sau 1) x + 3x = x 2) 3x = − x Giải: 1) Ta khó tìm mối liên hệ số xuất toán Tuy nhiên ta nhận thấy phương trình có nghiệm x=2 Ta tìm cách chứng minh x=2 nghiệm phương trình ðể làm điều ta chia hai vế phương trình cho 5x (Nhằm tạo hàm số x x 4 3 VT nghịch biến) ta ñược:   +   = (1) 5 5 Gọi f (x) VT (1) ⇒ f (x) hàm nghịch biến f (2) = * x > ⇒ f (x) < f (2) = ⇒ (1) vô nghiệm * x < ⇒ f (x) > f (2) = ⇒ (1) vơ nghiệm Vậy phương trình có nghiệm x = 2) Ta có: PT ⇔ 3x + x = (2) Ta thấy VT (2) hàm ñồng biến x=1 nghiệm phương trình nghiệm phương trình cho Ví dụ 2: Giải phương trình sau: 1) 3.4 x + (3x − 10)2 x + − x = 2) 4x −4 + (x − 4)2x − = Giải: Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình: 2 5x + 2mx + − 52x + 4mx +m + = x + 2mx + m Bài tập: Bài 1: Giải phương trình sau x −1 1) 34x + − 4.32x + + 27 = x +5 2) 3.2 x +1 − 2 + = 3) (5 − 21) x + 7(5 + 21) x = 2x + 4) ( + )sin x + ( − )sin x = Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 11 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ Lơgarit 5) x− x −5 − 12.2 x−1− x −5 + = 6) Bài 2: Giải bất phương trình sau: 1) x − 2x 1 − 2   3 2x − x ≤3 Bài tập Bài 1: Giải phương trình bất phương trình sau 10) x+1 + x + − = 11) 7) 25x − 6.5x + > 8) 3x+1 + 18.3− x < 29 12) 3.16 x + 2.81x = 5.36 x 13) 22x +1 − 5.6 x − 32x +1 ≥ 14) ( + ) x + ( − ) x = 14 15) ( + 48 ) x + ( − 48 ) x ≤ 14 16) Bài 2: Tìm m để phương trình Bất phương trình sau có nghiệm: 1) m.9x + (m − 1)3x + + m − = 2)4x − m.2x +1 + − 2m ≤ Nguyễn Tất Thu – Trường Lê Hồng Phong – Biên Hòa Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) 12 Truy cập http://www.tailieupro.com/ để có thêm nhiều tài liệu hay thú vị ;) ep u rpor oc oc m o thttpt :p/://w/ w ww ww t.at ial ii lei u http://www.tailieupro.co http://www.tailieupro.co f (x ) = gt (x )a i l i e u p r o c o w h t t logp f:(x )/=/logwg(xw )⇔  f (x ) ≥ (g(x ) ≥ 0) w h t tlogpf (:x )/= b/⇔wf (x )w t a i l i e u p r o c o =a h t tlogpf (:x ) /≥ log/ w g(x ) w w t a i l i e u p r o c o  f (x ) > g(x ) h t t p : / (*)/ w ⇔w w t a i l i e u p r o c o g(x ) > h t t p : / / w w w.tailieupro.co f (x ) < g(x )  (*) ⇔  h t t p : / / w w f (x ) >w t a i l i e u p r o c f (x ) >.0 t a i l i e u p r o c w h t t plog: f/(x )/ w w ⇔ h t t p : / / w w0w< a ≠ 1t a i l i e u p r o c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c t ph :t /t /pw: /w/ w w tw a i lt iaei ul iperuop cr oo mc http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c http://www.tailieupro.c Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ Lơgarit PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 1.Phương trình * a * * a a b a a (*) + Nếu a>1 + Nếu 01 + Nếu 0