TTLT ĐỀTHI ĐẠI HỌC NĂM 2009 Đề ngày 29/6 Môn thi Toán Thời gian làm bài 180 phút A. PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh (8,0 ®iÓm) CÂU I (2 ®iÓm) Cho hàm số 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x= − + + + + (1) a. Khảo sát hàm số (1) khi m=1 b. Chứng minh rằng , m ∀ hàm số (1) luôn đạt cực trị tại 1 x , 2 x với 1 2 x x− không phụ thuộc m CÂU II (2 ®iÓm) Cho hệ phương trình: 2 2 12 26 xy y x xy m − = − = + a) Giải hệ phương trình với m=2 b) Với nhương giá trị nào của m thì hệ phương trình đã cho có nghiệm? CÂU III (2 ®iÓm) a) Tính: 36 0 tan cos2 x I dx x π = ∫ b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình phẳng D giới hạn bởi các đường lny x= , 0y = , x e= .Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay D quanh trục Ox CÂU IV (2 ®iÓm) Từ một tập thể 14 người gồm 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình,người ta muốn chọn một tổ công tác gồm 6 người.Tìm số cách chọn trong mỗi trường hợp sau: a) Trong tổ phải có cả nam lẫn nữ. b) Trong tổ có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, hơn nữa An và Bình không đồng thời có mặt trong tổ B. PHẦN TỰ CHỌN (2 ®iÓm) (Thí sinh được chọn một trong 2 câu sau) CÂU VA (2 ®iÓm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho 3 đường thẳng: d 1 :x = 2 + t, y = t, z = -2 + 2t ; d 2 : 4 2 1 1 2 1 x y z− − − = = ; d 3 : 5 1 2 2 1 1 x y z− + + = = − − Và mặt cầu: 2 2 2 ( ) : 2 2 2 1 0S x y z x y z+ + + − + − = a) Chứng minh rằng d 1 ,d 2 chéo nhau và viết phương trình đường thẳng d cắt d 1 ,cắt d 2 và song song với d 3 . b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d 1 sao cho giao tuyến của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S) là đường tròn có bán kính r=1. CÂU VB (2 ®iÓm) Cho hình vuông ABCD cạnh a.Gọi O là giao điểm hai đường chéo.Trên nửa đường thẳng Ox vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông,ta lấy điểm S sao cho góc ˆ 60SCB = ° a) Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng BC và SD b) Gọi ( α ) là mặt phẳng chứa BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) .Tính diện tích thiết diện tạo bởi ( α ) và hình chóp S.ABCD ĐÁP ÁN • CÂU I: a) Khảo sát (1) khi m= 1: 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1 (1)y x m x m m x= − + + + + 3 2 1: 2 9 12 1m y x x x= = − + + • TXĐ: D= R 2 ' 6 18 12 1 6 ' 0 2 5 '' 12 18 3 11 3 11 '' 0 , 2 2 2 2 y x x x y y x y y x y x y = − + = ⇒ = = ⇔ = ⇒ = = − = ⇔ = ⇒ = ⇒ ñieåm uoán I • BBT: • Đồ thị: b) Chứng minh rằng ∀ m hàm số (1) luôn đạt cực trị tại x 1 , x 2 với x 1 - x 2 không phụ thuộc vào m. Ta có: 3 2 2 3(2 1) 6 ( 1) 1 2 ' 6 6(2 1) 6 ( 1) 2 ' 0 (2 1) ( 1) 0 (*) 2 (2 1) 4 ( 1) 1 0 y x m x m m x y x m x m m y x m x m m m m m = − + + + + = − + + + = ⇔ − + + + = ∆ = + − + = > ⇒ (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ,x x . ⇒ Hàm số luôn đạt cực trị tại 1 2 ,x x . Ta có: 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x m m x m m x x m m = + − = = + + = + ⇒ − = + − = (haèng soá) Vậy: 2 1 x x− không phụ thuộc m. • CÂU II: Cho 2 2 12 26 xy y x xy m − = − = + Giải hệ khi m=2. Ta có: Hệ phương trình ( ) 12 ( ) 26 y x y x x y m − = ⇔ − = + ( ) 12 (1) (26 ) (2) 12 y x y m y x − = ⇔ + = Thế (2) vào (1) ta được : 2 (14 ) 144 (*)y m+ = Với m= 2: Phương trình (*) trở thành : 2 16 144y = 2 9 (2) 3 7 (2) 3 7 y y x y x ⇔ = = → = ⇔ = − → = − Vậy khi m= 2 hệ có nghiệm : 7 7 3 3 x x y y = = − ∨ = = − b) Tìm m để hệ có nghiệm: Ta có: Hệ có nghiệm ⇔ phương trình (*) có nghiệm. 14 0 14 m m ⇔ + > ⇔ > − • CÂU III: a) Tính 6 3 0 cos2 tg x I dx x ∏ = ∫ Đặt t= tgx 1 2 cos dt dx x ⇒ = Đổi cận : 0 0 3 6 3 x t x t π = ⇒ = = ⇒ = 3 3 6 6 2 2 2 2 cos sin cos (1 ) 0 0 3 3 3 3 3 1 2 2 1 1 0 0 3 3 2 1 1 1 2 2 ln 1 ln 2 2 6 2 3 0 tg x tg x I dx dx x x x tg x t dt t dt t t t t π π ⇒ = = ∫ ∫ − − = = − + ÷ ∫ ∫ ÷ − − ÷ = − − − = − − ÷ b) Tính thể tích do hình phẳng giới hạn bởi y= lnx, y= 0, x= e quay quanh Ox. Đồ thị y= lnx cắt Ox tại điểm có hoành độ x= 1 Do đó: e 2 ln 1 V xdx π = ∫ Đặt ln 2 ln 2 x u x du dx x = ⇒ = dv = dx, chọn v = x ( ) e e 2 . ln 2 ln 1 1 e e 2 ln 1 V x x xdx xdx π π ⇒ = − ∫ = − ∫ Xem e ln 1 J xdx= ∫ Đặt 1 lnu x du dx x = ⇒ = dv = dx, chọn v = x ( ) e e ln 1 1 1 J x x dx⇒ = − = ∫ Vậy: (e 2)V π = − (đvtt) • CÂU IV: Có 6 nam và 8 nữ trong đó có An và Bình. Lập tổ công tác 6 người. Tìm số cách chọn: a) Có cả nam lẫn nữ: • Số cách lập tổ công tác không phân biệt nam nữ là: 6 14 C . • Số cách lập tổ công tác toàn nam là: 6 6 C . • Số cách lập tổ công tác toàn nữ là: 6 8 C . Suy ra số cách lập tổ công tác có cả nam lẫn nữ là: 6 6 6 ( ) 2974 14 6 8 C C C− + = (cách). b) Có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, An và Bình không đồng thời có mặt: Có 3 trường hợp xảy ra: • Trường hợp 1: Trong tổ không có An lẫn Bình. Như vậy còn lại 12 người. Số cách chọn tổ trưởng :12 cách. Số cách chọn tổ viên: 5 11 C . ⇒ Số cách chọn tổ trong đó không có An lẫn Bình là: 5 12. 5544 11 C = (cách). • Trường hợp 2: Trong tổ không có An và không có Bình. Như vậy có 13 người trong đó có An nhưng không có Bình. Nếu An là tổ trưởng thì số cách chọn 5 tổ viên trong 12 người còn lại là: 5 12 C . Nếu An là tổ viên thì số cách chọn 1 tổ trưởng và 4 tổ viên còn lại trong 12 người còn lại là: 4 12. 11 C . ⇒ Số cách chọn tổ mà trong đó có An và không có Bình là: 5 4 12 4752 12 11 C C+ = (cách). • Trường hợp 3: Trong tổ có Bình và không có An: Tương tự trường hợp 2 có 4752 cách. • Tóm lại: Số cách chọn tổ trong đó có 1 tổ trưởng, 5 tổ viên, An và Bình không đồng thời có mặt là: 5544 + 4752 + 4752 = 15048 (cách). • CÂU IV: a) 21 d;d chéo nhau. Ta có 1 d đi qua A(0, -2, -6) có VTCP (1,1, 2) 1 a = uur 2 d đi qua B(4, 2, 1) có VTCP (1,2,1) 2 a = uur Ta có: , ( 3,1,1) 1 2 , . 1 0 1 2 (4,4,7) a a a a AB AB = − ⇒ = − ≠ = uur uur uur uur uuur uuur Vậy: 21 d;d chéo nhau. • Phương trình đường thẳng d cắt 1 d cắt 2 d , song song 3 d . Ta có VTCP của 3 d là (2, 1, 1) 3 a = − − uur Gọi α là mặt phẳng chứa 1 d và song song 3 d . , (1,5, 3) 1 2 n a a α ⇒ = = − uuur uur uur ⇒ phương trình α : x + 5y - 3z – 8 = 0 Gọi β là mặt phẳng chứa 2 d song song 3 d . , ( 1,3, 5) 2 3 n a a β ⇒ = = − − uuur uur uur ⇒ Phương trình β : -x + 3y -5z -8 = 0. Đường thẳng d cần tìm là giao tuyến của α và β . ⇒ Phương trình d là: 5 3 8 0 3 5 3 0 x y z x y z + − − = − + − + = ( d khác phương 1 2 , dd ) b) • Mặt cầu (S) có tâm I(-1, 1, -1) và R= 2. • Mặt phẳng (P) cắt (S) theo đường tròn có bán kính r= 1. ⇒ d(I,(P))= 2 2 3R r− = • Mặt phẳng (P) chứa 1 d nên phương trình có dạng: m(x – y – 2 ) + n(2x – z – 6 )= 0 ⇔ (m+2n)x-my-nz-2m-6n=0 Ta có: d(I,(p))= 3 2 2 2 2 2 6 3 ( 2 ) 2 2 2 4 7 3 ( 2 ) 2 2 2 2 16 49 56 6 15 12 2 2 10 34 44 0 2 2 5 22 17 0 m n m n m n m n m n m n m n m n m n mn m n mn m n mn m mn n ⇔ − − − + − − = + + + ⇔ − − = + + + ⇔ + + = + + ⇔ + + = ⇔ + + = Cho n= 1, ta có 2 5 22 17 0m mn+ + = 17 1 5 m m⇔ = − ∨ = − Vậy phương trình (P) là: 4 0 7 17 5 4 0 x y z x y z + − − = − + − = • CÂU Vb) a) Khoảng cách giữa BC và SD. Ta có SO là trục hình vuông ABCD và ¼ 60SCB = ⇒ SA = SB = SC = SD = CB = a Và BC// (SAD) nên d(BC, SD) = d(I,(SAD)) Với I là trung điểm CB. Gọi H là trung điểm AD, ta có: ( )BC SHI⊥ . Veơ IJ SH⊥ ta có ( )IJ SAD⊥ ⇒ d(BC, SD) = IJ • Tam giác SIH có 2 . . 6 2 3 3 . 2 a a SO HI a IJ SH a = = = Vậy d(BC, SD) = 6 3 a . b) ( ) α Cắt hình chóp theo thiết diện là hình thang BCFE. Do hình chóp đều nên BCFE là hình thang cân: (EF+BC).IJ E 2 S BCF = Ta có: 3 3 3 ; , 3 6 2 a a a HJ SJ SH= = = Do EF//AD nên: 3 EF 1 6 AD 3 3 2 a SJ SH a = = = 2 a EF⇒ = . Vậy 6 2 6 2 3 2 4 a a a a S BCEF + = = . hoành độ x= 1 Do đó: e 2 ln 1 V xdx π = ∫ Đặt ln 2 ln 2 x u x du dx x = ⇒ = dv = dx, chọn v = x ( ) e e 2 . ln 2 ln 1 1 e e 2 ln 1 V x x xdx xdx π π ⇒. d; d chéo nhau. • Phương trình đường thẳng d cắt 1 d cắt 2 d , song song 3 d . Ta có VTCP của 3 d là (2, 1, 1) 3 a = − − uur Gọi α là mặt phẳng chứa 1 d