Tập hợp các phương pháp hay để giải phương trình lượng giác
Phương trình lượng giác Gv: Phan Đăng Phi & http://www.toanthpt.net trang 1 PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC. A:LÍ THUYẾT . 1/Phương trình lượng giác cơ bản . Sin u = sin v ⇔ +−= += ππ π 2 2 kvu kvu ( k ∈ Z ) Cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π. ( k ∈ Z ) tgu = tgv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) cotgu = cotgv ⇔ u = v + kπ ( k ∈ Z ) 2/ Phương trình đặc biệt : sinx = 0 ⇔ x = kπ , sinx = 1 ⇔ x = 2 π + k2π ,sinx = -1 ⇔ x = - 2 π + k2π cosx = 0 ⇔ x = 2 π + k π , cosx = 1 ⇔ x = k2π , cosx = -1 ⇔ x = π + k2π . 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1)hay asinx + bcosx = c (2). trong đó a 2 + b 2 ≠ 0 Cách 1: acosx + bsinx = c ⇔ )cos(. 22 ϕ −+ xba = c với 22 cos ba a + = ϕ asinx +bcosx = c ⇔ )sin(. 22 ϕ ++ xba = c với 22 cos ba a + = ϕ . Cách 2 : Xét phương trình với x = π + k π , k ∈ Z Với x ≠ π + k π đặt t = tg 2 x ta được phương trình bậc hai theo t : (c + b)t 2 – 2at + c – a = 0 hay (c + b )t 2 – 2at + c – b = 0. Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm ⇔ a 2 + b 2 - c 2 ≥ 0 . Bài tập :Giải các phương trình sau: 1. 2sincos3 =− xx , 2. 1sin3cos −=− xx 3. xxx 3sin419cos33sin3 3 +=− , 4. 4 1 ) 4 (cossin 44 =++ π xx 5. )7sin5(cos35sin7cos xxxx −=− , 6. )cos3(sin4cot3 xxgxtgx +=− 4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác : Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0 với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tgx hay u(x) = cotgx. Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 . Bài tập: Giải các phương trình sau: a. 2cos 2 x +5sinx – 4 = 0 , b. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 c. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x d. 2(sin 4 x + cos 4 x) = 2sin2x – 1 e.sin 4 2x + cos 4 2x = 1 – 2sin4x f. x x 2 cos 3 4 cos = Phương trình lượng giác Gv: Phan Đăng Phi & http://www.toanthpt.net trang 2 5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx : a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin 2 x +b sinx cosx + c cos 2 x = 0 . Cách 1 : • Xét phương trình khi x = 2 π + k π . • Với x ≠ 2 π + k π chia hai vế của phương trình cho cos 2 x rồi đặt t = tgx. Cách 2: Thay sin 2 x = 2 1 (1 – cos 2x ), cos 2 x = 2 1 (1+ cos 2x) , sinxcosx = 2 1 sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x . b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tgx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp x = 2 π + k π ,k ∈ Z. Bài tập : 1. 2sin 2 x – 5sinx.cosx – cos 2 x = - 2 2. 3sin 2 x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos 2 x = 0 3. 4sin 2 x +3 3 sin2x – 2cos 2 x = 4 4. 6sinx – 2cos 3 x = 5sin2x.cosx. 6/ Phương trình đối xứng dạng : a( cosx + sinx ) + b sinxcosx + c = 0 . Đặt t = cosx + sinx , điều kiện 22 ≤≤− t khi đó sinxcosx = 2 1 2 −t Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t . Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0 Đặt t = cosx - sinx , điều kiện 22 ≤≤− t khi đó sinxcosx = 2 1 2 t− Bài tập : giải các phương trình sau : 1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0 7/ Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường dùng : Các bước giải một phương trình lượng giác: B1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của phương trình có nghóa B2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để đưa phương trình đã cho về phương trình đã biết cách giải . B3: Giải phương trình và chọn phù hợp. B4: kết luận a/ Phương pháp1: Biến đổi pt về phương trình đã biết cách giải b/ Phương pháp 2: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tich1 số . c / Phương pháp3: Biến đổi phương trình về dạng có thể đặt ẩn phụ. Phương trình lượng giác Gv: Phan Đăng Phi & http://www.toanthpt.net trang 3 B. BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI: I . PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Bài 1: Giải các phương trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos 2 x – 9sinx = 0, 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg 2 x + 3 = xcos 3 , 6/ 4sin 4 +12cos 2 x = 7 Bài 2 : giải các phương trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx 2/ x x 2 cos 3 4 cos = ĐS : x = k3 π , x= ± 4 π +k3 π , x = ± 4 5 π +k3 π 3/ 1+ sin 2 x sinx - cos 2 x sin 2 x = 2cos 2 ( − 4 π 2 x ) ĐS: sinx =1 v sin 2 x = 1 4/ 1+ 3tgx = 2sin 2x HD : đặt t = tgx , ĐS : x = - 4 π + k π 5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = xcos 1 ĐS : x = k2 π , x = ± 3 π +k2 π 6/ sin2x(cotgx +tgx ) = 4cos 2 x ĐS : cosx = 0 , cos 2x = 2 1 7/ 2cos 2 2x +cos 2x = 4sin 2 2xcos 2 x 8/ cos 3x – cos 2x = 2 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tgx HD :đặt t = tg 2 x 10/ sin2x+ 2tgx = 3 11/ sin 2 x + sin 2 3x = 3cos 2 2x HD :đặt t =cos 2x 12/ tg 3 ( x - 4 π ) = tgx - 1 ĐS : x = k π v x = 4 π + k π 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về phương trình bậc hai theo sinx. 14/ sin2x + cos 2x + tgx = 2 ĐS : x = 4 π + k π 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX. Giải các phương trình sau : 1/ sin 2 x + 2sin 2x –3 +7cos 2 x = 0 . 2/ cos 3 x – sin 3 x = cosx + sinx. 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos 3 x 4/ sin 3 x + cos 3 x = 2( sin 5 x + cos 5 x ) ĐS : x= 4 π + 2 π k 5/ sin 3 (x - 4 π ) = 2 sinx ĐS : x = 4 π +k π 6/ 3cos 4 x – sin 2 2x + sin 4 x = 0 ĐS :x = ± 3 π + k π v x= 4 π + 2 π k 7/ 3sin 4 x +5cos 4 x – 3 = 0 . Phương trình lượng giác Gv: Phan Đăng Phi & http://www.toanthpt.net trang 4 8/ 6sinx – 2cos 3 x = 5sin 2x cosx III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG . Giải các phương trình sau : 1/ cos 3 x + sin 3 x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos 3 x + cos 2x +sinx = 0 3/ 1 + sin 3 x + cos 3 x = 2 3 sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0 5/ sin 3 x – cos 3 x = 1 + sinxcosx 6/ 3 10 cossin sin 1 cos 1 =+++ xx xx 7/ tgx + tg 2 x + tg 3 x + cotgx+cotg 2 x +cotg 3 x = 6 8/ x 2 sin 2 + 2tg 2 x + 5tgx + 5cotgx + 4 = 0 9/ 1 + cos 3 x – sin 3 x = sin 2x 10/ cos 3 x – sin 3 x = - 1 11/ 2cos 2x + sin 2 x cosx + cos 2 x sinx = 2( sinx + cosx ). IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÁC . Giải các phương trình sau: 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin 2 x + sin 2 3x – 3cos 2 2x = 0 4/ cos3x cos 3 x – sin3xsin 3 x = cos 3 4x + 4 1 5/ sin 4 2 x + cos 4 2 x = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 7/ sin 6 x + cos 6 x = sin 4 x + cos 4 x 8/ sin 4 x + cos 4 x – cos 2 x = 1 – 2sin 2 x cos 2 x 9/ 3sin3x - 3 cos 9x = 1 + 4sin 3 x. 10/ x x xx sin cos1 sincos = − + 11/ sin 2 ) 42 ( π − x tg 2 x – cos 2 2 x = 0 12/ cotgx – tgx + 4sinx = xsin 1 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin 2 x - sinx + 1 14 / sin 3x = cosxcos 2x ( tg 2 x + tg2x ) . 15/ 32cos) 2sin21 3sin3cos (sin5 += + + + x x xx x 16/ sin 2 3x – cos 2 4x = sin 2 5x – cos 2 6x 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/ x xx xtg 4 2 4 cos 3sin)2sin2( 1 − =+ 19/ tgx +cosx – cos 2 x = sinx (1+tgx.tg 2 x ) 20/ cotgx – 1 = xx tgx x 2sin 2 1 sin 1 2cos 2 −+ + 21/ 3 –tgx(tgx + 2sinx)+ 6cosx = 0 22/ cos2x + cosx(2tg 2 x – 1) = 2 23/ cotgx – tgx +4sin2x = x2sin 2 24/ )sin1(2 cossin )1(coscos 2 x xx xx += + − 25/ cotgx = tgx + x x 2sin 4cos2 26/ x x xx cos 3 1 sin2 2 cos 2 sin 33 = + − 27/ tg2x – tgx = 3 1 cosx.sin3x 28/ (sinx + cosx) 3 - 2 (sin2x +1) +sinx +cosx – 2 = 0 29/ 0 cos 2cos39sin62sin4 22 = −−+ x xxx 30/ sin 2 x + sin 2 2x + sin 2 3x = 2 Phương trình lượng giác Gv: Phan Đăng Phi & http://www.toanthpt.net trang 5 31/ 1 + sinx +cosx +sin2x +cos2x = 0 32/ xtg xx xx 2 8 13 sincos cossin 22 66 = − + 33/ tg2x + cotgx = 8cos 2 x 34/ sinx+sin2x+sin3x - 3 ( cosx +cos2x+cos3x ) =0 35/ sin 4 x + cos 4 x – cos2x + 4 1 sin 2 2x = 0 36/ 4cosx – 2cos2x – cos4x = 1 37/ 2cosx.cos2x.cos3x + 5 = 7cos2x 38/ (cos4x – cos2x) 2 = 5 + sin3x 39/ sinx.sin2x +sin3x = 6cos 3 x HD :đặt t = tgx. 40/ sin 2 2x – cos 2 8x = sin(10x + 2 17 π ) 41/ 2cos 3 x + cos2x +sinx = 0 42/ cos 3 3x.cos2x – cos 2 x = 0 43/ 1+ sinx + cosx +sin2x + cos2x = 0 44/ cos 4 x + sin 4 x + cos(x - 4 π )sin(3x - 4 π )- 2 3 = 0 45/ 5sinx –2 = 3(1 – sinx ) tg 2 x 46/ (2cosx – 1)(2sinx + cosx) = sin2x – cos2x 47/ cotgx – tgx + 4sin2x = x2sin 2 48/ sin 2 ( 42 π − x )tg 2 x – cos 2 2 x 49/ cox + cos2x + cos3x = sinx +sin2x + sin3x . 50/ cos3x + sin7x = 2sin 2 ( 4 π + 2 5 x ) – 2cos 2 2 9 x 51/ sin 3 x +sinxcosx = 1- cos 3 x 52/ sin3x + cos2x = 2(sin2xcosx – 1) 53/ 4cosx – 2cos 2 x – cos2x – cos4x = 0 , 54/ 1 2cos1 2sin = + + x x 55/ 2(cos 4 x – sin 4 x) + cos4x – cos2x = 0, 56/ 2(cos 4 x + sin 4 x) = cos( x 2 2 − π ) 57/ 2cosxcos2x = 1+ cos2x +cos3x 58/ 4(cos 4 x + sin 4 x) + 3 sin4x = 2 59 / sin2x + cos2x = 1 - 3 sin2x +2 3 cos 2 x 60/ cos 4 x + sin 4 x –cos2x + 4 1 sin 2 2x = 0 , 61/ cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0 62/ cos7x +sin8x = cos3x – sin2x , 63/ sin2x + 22 cosx +2sin(x+ 4 π )+3 = 0 64/ 0 sin22 cossin)sin(cos2 66 = − −+ x xxxx 65/ cotgx + sinx(1+tgxtg 2 x ) = 4 66/ 1 1cossin2 12sinsin23sin2 2 −= + +−+ xx xxx V. CÁC BÀI TỐN CĨ CHỨA TAM SỐ 1/Cho ph ương trình 02sin 4 1 2coscossin 244 =++−+ mxxxx . Tìm m đ để phương trình có nghiệm. 2/ Đònh m để phương trình : m xx gxtgxxx =++++++ ) cos 1 sin 1 cot( 2 1 1cossin có nghiệm ∈ 2 ;0 π x 3/ Cho ph ương trình : 1)cos cos 2 ()cos cos 4 (2 2 2 =−++ x x mx x .Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc ). 2 ;0( π 4/ . Tìm tất cả các giá trò của m sao cho ta có: Rxmxxxx ∈∀≥++ ,cos.sincossin 66 Phương trình lượng giác Gv: Phan Đăng Phi & http://www.toanthpt.net trang 6 5/ Cho phương trình : 01)cot(3 sin 3 2 2 =−+++ gxtgxmxtg x . Tìm tất cả các giá trò của m để phương trình có nghiệm