Ec integrales

´ ´ CURSO DE METODOS DE LA F´ISICA MATEMATICA ´ ANALISIS FUNCIONAL H FALOMIR DEPARTAMENTO DE F´ ISICA FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS - UNLP NOTAS SOBRE ECUACIONES INTEGRALES Autovalores de operadores compactos Sea A un operador completamente continuo definido sobre un espacio eucl´ıdeo E En particular, A es acotado, de modo que (1.1) Ax ≤ A x , ∀x ∈ E Como no estamos suponiendo que este operador sea sim´etrico, sus autovalores (si existen) ser´an, en general, n´ umeros complejos Y los autovectores correspondientes a autovalores distintos no ser´an, en general, ortogonales entre s´ı Supongamos que F = {x1 , x2 , , xk , } ⊂ E sea un conjunto de autovectores linealmente independientes de A correspondientes a autovalores que en m´odulo superan a un n´ umero positivo δ, (1.2) A x k = λ k xk , A ≥ |λk | > δ > , ∀ k Mediante el proceso usual de ortonormalizaci´on de una secuencia podemos generar el conjunto ortonormal {e1 , e2 , , ek , }, donde k (1.3) ek = akj xj , ek ⊥ xl , para l < k j=1 Actualizado el de octubre de 2005 H Falomir En esas condiciones, A ek puede escribirse como la suma de dos vectores ortogonales entre s´ı, k (1.4) k−1 A ek = akj λj xj = λk ek + j=1 akj (λj − λk ) xj , j=1 lo mismo que la diferencia k−1 (1.5) A ek − A el = λk ek + l akj (λj − λk ) xj − j=1 alj λj xj j=1 si l < k Entonces, A e k − A el (1.6) = λk ek + k−1 j=1 = akj (λj − λk ) xj − ≥ λk ek l j=1 alj λj xj ≥ = | λk |2 > δ > Por lo tanto, el conjunto {A e1 , A e2 , , A ek , } no contiene ninguna secuencia de Cauchy Entonces, como A es compacto, F debe ser un conjunto un n´ umero finito de elementos En consecuencia, los autovalores no nulos de un operador completamente continuo forman en el plano complejo, a lo sumo, una secuencia numerable que converge al origen Adem´as, la multiplicidad de cualquier autovalor no nulo es finita ´ cleo no sime ´trico Ecuaciones integrales de nu Consideremos la ecuaci´on integral b (2.1) ϕ(t) − K(t, s) ϕ(s) ds = f (t) , a donde K(t, s) ∈ L2 (a, b) × (a, b) y f (t) ∈ L2 (a, b) son funciones conocidas y ϕ(t) ∈ L2 (a, b) es la inc´ognita El n´ ucleo de cuadrado sumable K(t, s) define un operador integral de Fredholm completamente continuo, b (2.2) A ϕ(t) = K(t, s) ϕ(s) ds , a que, en general, ser´a no sim´etrico Ecuaciones Integrales Como consecuencia del Teorema de Fubini (que autoriza a cambiar el orden de integraci´on cuando una integral doble existe), el operador adjunto A† resulta definido como b † (2.3) A ψ(t) = K(s, t)∗ ψ(s) ds a La ecuaci´on integral (2.1) puede ser escrita como (2.4) ϕ(t) − A ϕ(t) = f (t) , mientras que el problema equivalente para el operador adjunto ser´ıa ψ(t) − A† ψ(t) = g(t) , (2.5) g(t) ∈ L2 (a, b) La existencia de soluciones no triviales para la problema adjunto homog´eneo (es decir, la existencia de autovectores de A† correspondientes al autovalor 1), ψ1 (t) − A† ψ1 (t) = 0(t) , (2.6) condiciona la existencia de soluciones para la ec (2.4) En efecto, el producto escalar de ψ1 (t) por ambos miembros de (2.4) da lugar a la ecuaci´on (2.7) (ψ1 , f ) = ψ1 , I − A ϕ = I − A† ψ1 , ϕ = (0, ϕ) = , que es una contradicci´on a menos que la inhomogeneidad f (t) sea ortogonal al subespacio caracter´ıstico de A† correspondiente al autovalor (subespacio de dimensi´on finita, dado que A† es compacto) Si ese no es el caso, no existen soluciones para la ecuaci´on (2.4) Por otra parte, la existencia de soluciones no triviales para la ecuaci´on homog´enea (2.8) ϕ1 (t) − A ϕ1 (t) = 0(t) (es decir, la existencia de autovectores del operador A correspondientes al autovalor 1, los que tambi´en forman un subespacio de dimensi´on finita dado que A es compacto) implica que, de existir una soluci´on para la ec (2.4), ella no sea u ´nica En efecto, en ese caso tambi´en tenemos que (2.9) I − A ϕ(t) + ϕ1 (t) = f (t) Puede demostrarse el siguiente teorema: on homog´enea (2.8) Dos casos son posibles: Teorema 2.1 Consideremos la ecuaci´ I) esa ecuaci´ on tiene soluci´on u ´nica, ϕ1 (t) = 0(t), H Falomir II) o bien tiene una soluci´on no trivial ϕ1 (t) = 0(t) En el caso I) la ecuaci´ on inhomog´enea (2.4) tiene soluci´on u ´nica ∀ f (t) ∈ L2 (a, b), lo mismo que la ec (2.5) ∀ g(t) ∈ L2 (a, b) En el caso II), las ecuaciones homog´eneas (2.8) y (2.6) tienen el mismo n´ umero finito n de soluciones linealmente independientes La ecuaci´ on imhomog´enea (2.4) tiene soluci´on si y s´olo si f (t) es ortogonal a las n soluciones linealmente independientes de (2.6), y en ese caso no es u ´nica, sino que est´a definida a menos de una soluci´on arbitraria de (2.8) (Evidentemente, algo similar vale para la ec (2.5).) Para el caso de n´ ucleos degenerados la demostraci´on es inmediata, puesto que los operadores A y A† aplican todo L2 (a, b) en subespacios de dimensi´on finita, y el problema se reduce a mostrar la existencia de soluciones para un sistema de ecuaciones algebraicas N´ ucleos de cuadrado sumable arbitrarios pueden ser aproximados en la m´etrica de L2 (a, b) × (a, b) por las sumas parciales de sus series de Fourier respecto de alg´ un sistema ortonormal y completo de funciones La continuidad completa de estos operadores permite establecer el resultado tambi´en en este caso (ver, por ejemplo, The Theory of Linear Spaces, G Ye Shilov) De este teorema se deduce el siguiente corolario: Corolario 2.2 (de la alternativa de Fredholm) Si A es un operador integral de Fredholm de n´ ucleo de cuadrado sumable, entonces se tiene una de las siguientes dos posibilidades excluyentes: I) la ecuaci´ on ϕ(t) − A ϕ(t) = f (t) tiene una soluci´on ∀ f (t) ∈ L2 (a, b) (en cuyo caso la soluci´on es u ´nica), on homog´enea ϕ1 (t) − A ϕ1 (t) = 0(t) tiene una soluci´on no II) o bien la ecuaci´ trivial ´metro complejo Ecuaciones integrales dependientes de un para Consideremos una familia de ecuaciones integrales que incluyan un par´ametro complejo µ multiplicando al n´ ucleo de cuadrado sumable K(t, s), b (3.1) ϕ(t) − µ K(t, s) ϕ(s) ds = I − µ A ϕ(t) = f (t) a Por el corolario de la alternativa de Fredholm sabemos que, para cada µ ∈ C, puede darse s´olo una de las siguientes dos posibilidades: I) la ecuaci´on (3.1) tiene una soluci´on ∀ f (t) ∈ L2 (a, b) (en cuyo caso es u ´nica), Ecuaciones Integrales II) o bien la ecuaci´on homog´enea (3.2) I − µ A ϕ1 (t) = 0(t) tiene una soluci´on no trivial, que corresponde a un autovector del operador A autovalor 1/µ, (3.3) A ϕ1 (t) = ϕ1 (t) µ En el primer caso, µ es un valor regular de la ecuaci´on (3.1), mientras que en el segundo caso se dice que µ es un valor singular de esa ecuaci´on Ya sabemos que los autovalores no nulos de un operador completamente continuo forman, a lo sumo, una secuencia numerable que converge al origen del plano complejo, y que est´a contenida en un c´ırculo de radio A Si A es un operador integral de Fredholm de n´ ucleo de cuadrado sumable, tenemos adem´as que A ≤ K(t, s) = K En consecuencia, los valores singulares de la ecuaci´on (3.1) forman, a lo sumo, una secuencia numerable que diverge al infinito y est´a contenida en el exterior de un c´ırculo de radio (θ/K), < θ < En particular, existe un entorno de µ = libre de valores singulares Ejemplo: • Consideremos el n´ ucleo (3.4) K(t, s) = sin(t) cos(s) , t ≤ s, cos(t) sin(s) , t ≥ s, ≤ t, s ≤ π, cuya norma es K = K(t, s) = π/2, y la ecuaci´on integral b (3.5) ϕ(t) − µ K(t, s) ϕ(s) ds = f (t) a Para determinar sus valores singulares tengamos en cuenta que este n´ ucleo es sim´etrico y continuo, satisface la ecuaci´on diferencial −∂t2 K(t, s) = K(t, s) , (3.6) para t = s , tambi´en las condiciones de contorno K(0, s) = 0, ∂t K(π, s) = 0, y su derivada primera respecto de t tiene una discontinuidad en t = s de altura (3.7) ∂t K(t, s) t=s+ − ∂t K(t, s) t=s− = − sin2 (s) − cos2 (s) = −1 Adem´as, el Wroskiano W [sin(t), cos(t)] = 6 H Falomir En esas condiciones, K(t, s) puede ser considerado como la funci´on de Green del operador de Sturm - Liouville definido como (3.8) L ψ(t) = −ψ (t) − ψ(t) sobre el subespacio de las funciones dos veces diferenciables que satisfacen las condiciones de contorno ψ(0) = y ψ (π) = Entonces, el operador integral A de n´ ucleo K(t, s) tiene las mismas autofunciones que el operador L, y los autovalores de ´este coinciden los valores singulares de la ecuaci´on integral (3.5): L ψk (t) = −ψk (t) − ψk (t) = µk ψk (t) , ψk (0) = , ψk (π) = ⇒ (3.9) ψk (t) = sin N´otese que, ∀ k , | µk | ≥ c´ırculo de radio < k+ > t , K µk = k + 2 − , k = 0, 1, 2, = π2 , de modo que L es no singular, y existe un en el plano complejo de la variable µ que no contiene valores singulares Como A es sim´etrico y completamente continuo, tiene un conjunto ortonormal y completo de autovectores, A ek (t) = λk ek (t) , para k = 0, 1, 2, , donde (3.10) ek (t) = √ sin (k + 1/2) t , π λk = 1 = µk k+ −1 Entonces, I − µ A ϕ(t) = f (t) ⇒ (3.11) (1 − µ λk ) (ek , ϕ) = (ek , f ) = √ π π sin (k + 1/2) t f (t) dt Por lo tanto, para todo valor regular µ = µk , ∀ k, la soluci´on de (3.5) existe y es u ´nica ∀ f (t) ∈ L2 (0, π), y est´a dada por (3.12) µ ϕ(t) = f (t) + √ π ∞ k=0 λk (ek , f ) sin (k + 1/2) t , (1 − µ λk ) donde la serie en el segundo miembro converge absoluta y uniformemente (dado que el n´ ucleo K(t, s) satisface la condici´on de Hilbert - Schmidt y la diferencia (ϕ(t) − f (t)) ∈ Rank(A)) En particular, (ϕ(t) − f (t)) es continua Si, por el contrario, µ coincide un valor singular µk0 , entonces la soluci´on no existe a menos que f (t) ⊥ ek0 (t), en cuyo caso no es u ´nica En efecto, si (ek0 , f ) = Ecuaciones Integrales entonces ϕ(t) = f (t)+ (3.13) µ √ π k=k0 λk (ek , f ) c sin (k + 1/2) t + √ sin (k0 + 1/2) t , (1 − µ λk ) π c ∈ C arbitrario Operador resolvente Sea µ ∈ C un valor regular de la ecuaci´on (4.1) I − µA ϕ = f , donde A es un operador completamente continuo definido sobre un espacio de Hilbert E Entonces (4.1) tiene una soluci´on u ´nica ∀ f ∈ E, de modo que existe una correspondencia biun´ıvoca entre la soluci´on ϕ y la inhomogeneidad f En esas condiciones existe el inverso de I−µ A , y podemos expresar la soluci´on de (4.1) como (4.2) ϕ = Rµ f , donde Rµ = I − µ A −1 : E → E, llamado operador resolvente de A, est´a definido sobre todo el espacio de Hilbert y su rango es Rank (A) = E El operador Rµ es evidentemente lineal, dado que la ecuaci´on (4.1) es lineal En efecto, si I − µ A ϕ1,2 = f1,2 entonces la soluci´on de (4.3) I − µ A ϕ = α f1 + β f est´a dada por (4.4) Rµ (α f1 + β f2 ) = ϕ = α ϕ1 + β ϕ2 = α Rµ f1 + β Rµ f2 Mostraremos que el operador Rµ es tambi´en acotado Para ello supongamos que Rµ , que s´olo existe para valores regulares de µ, sea no acotado En ese caso es posible seleccionar una secuencia de vectores unitarios {fk ∈ E , k ∈ N} tales que las correspondientes soluciones de (4.1), ϕk = Rµ fk , tengan normas ϕk → ∞ cuando k → ∞ Dada la linealidad de la ec (4.1), para los vectores unitarios ek = ϕk / tenemos (4.5) ek = gk + µ A ek , donde, por construcci´on, gk = fk / ϕk → cuando k → ∞ ϕk H Falomir Como A es completamente continuo, el conjunto {A ek , k ∈ N} contiene una secuencia fundamental Descartando los vectores ek cuyas im´agenes no pertenezcan a esa secuencia, podemos suponer que {A ek , k ∈ N} es una secuencia convergente en el espacio de Hilbert E En esas condiciones, la secuencia {ek , k ∈ N} es convergente en E: existe un vector no nulo e ∈ E tal que (4.6) e = l´ım ek , k→∞ e = l´ım k→∞ ek = Como A es continuo, (4.7) e = l´ım {gk + µ A ek } = + µ A e = k→∞ Pero esto indicar´ıa que µ es un valor singular, en contradicci´on la hip´otesis de la existencia de Rµ Por lo tanto, Rµ es necesariamente un operador acotado ´ n de Rµ en un entorno del origen Construccio Dado que existe un entorno del origen en el plano complejo de la variable µ que no contiene valores singulares, el operador resolvente existe para valores de | µ | suficientemente peque˜ nos En lo que sigue daremos una expresi´on expl´ıcita para Rµ en esa regi´on Consideremos el operador (no lineal) definido sobre E por la relaci´on (5.1) B ϕ = µAϕ + f , y evaluemos la distancia entre las im´agenes de dos vectores arbitrarios ϕ, ψ ∈ E, (5.2) B ϕ − B ψ = µ A (ϕ − ψ) ≤| µ | A ϕ−ψ Tomando µ ∈ C tal que (5.3) |µ| A ≤θ n En esas condiciones, la serie en la ec (7.20) se reduce a un polinomio de grado n en µ, n (7.34) µk Kk (t, s) , Γ(t, s; µ) = k=1 que es una funci´ on entera (anal´ıtica en todo el plano complejo) En tal caso, el operador integral de n´ ucleo K(t, s) no tiene valores singulares Ejemplo: 18 H Falomir • Esa situaci´on ocurre, en particular, para n´ ucleos degenerados de la forma n (7.35) pk (t) qk∗ (s) , K(t, s) = pk (t) ⊥ ql (t) , k, l = 1, , n k=1 En este caso, K2 (t, s) ≡ 0, de modo que Γ(t, s; µ) = µ K(t, s) Ese es el caso de (7.36) K(t, s) = sin(t − 2s) = sin(t) cos(2s) − cos(t) sin(2s) Evidentemente, π (7.37) K2 (t, s) = sin(t − 2r) sin(r − 2s) dr = , −π de modo que (7.38) Γ(t, s; µ) = µ sin(t − 2s) , ∀µ ∈ C, y la ecuaci´on integral π (7.39) sin(t − 2s) ϕ(s) ds = f (t) , ϕ(t) − µ −π tiene soluci´on u ´nica ∀ f (t) ∈ L2 (a, b), dada por π (7.40) ϕ(t) = f (t) + µ sin(t − 2s) f (s) ds −π La serie para Γ(t, s; µ) tambi´en converge ∀ µ ∈ C si las normas de los n´ ucleos iterados est´an acotadas por constantes de la forma (7.41) Kk (t, s) ≤ c Mk k! En este caso, n+m n+m k µ Kk (t, s) | µ |k ≤ k=n+1 Kk (t, s) ≤ k=n+1 (7.42) n+m ≤c | µ |k M k → cuando n → ∞ , ∀ m ∈ N k! k=n+1 Entonces, la serie de n´ ucleos iterados ∞ (7.43) µk Kk (t, s) , Γ(t, s; µ) = k=1 converge en L2 (a, b) para todo complejo µ, y un n´ ucleo esas propiedades no tiene valores singulares Ecuaciones Integrales 19 Esa situaci´on se presenta, en particular, en el caso de operadores integrales de Volterra de n´ ucleo acotado, t (7.44) A ϕ(t) = K(t, s) ϕ(s) ds , | K(t, s) | ≤ M a Se trata de un caso particular de operadores de Fredholm para los cuales el n´ ucleo K(t, s) = para s ≥ t Consideremos el segundo n´ ucleo iterado,      b (7.45) K2 (t, s) = K(t, r) K(r, s) dr = a t K(t, r) K(r, s) dr , t > s, s     0, t ≤ s, que es tambi´en un n´ ucleo de Volterra acotado, t (7.46) | K2 (t, s) | ≤ | K(t, r) K(r, s) | dr ≤ M (t − s) ≤ M (b − a) s Para el tercer n´ ucleo iterado tenemos      b (7.47) K3 (t, s) = K(t, r) K2 (r, s) dr = a t K(t, r) K2 (r, s) dr , s     0, t ≤ s, que es tambi´en un n´ ucleo de Volterra acotado por t | K3 (t, s) | ≤ | K(t, r) K2 (r, s) | dr ≤ s (7.48) t ≤ M (r − s) dr ≤ M s (t − s)2 (b − a)2 ≤ M2 2! 2! En general, tenemos b Kk (t, s) = K(t, r) Kk−1 (r, s) dr = a      (7.49) = t K(t, r) Kk−1 (r, s) dr , s     0, t ≤ s, t > s, t > s, 20 H Falomir que es tambi´en un n´ ucleo de Volterra cuyo m´odulo est´a acotado por t | Kk (t, s) | ≤ | K(t, r) Kk−1 (r, s) | dr ≤ s (7.50) t ≤ s k−1 k−1 (r − s)k−2 k (t − s) k (b − a) M dr ≤ M ≤M (k − 2)! (k − 1)! (k − 1)! k En esas condiciones, (7.51) Kk (t, s) ≤ M (b − a) M k−1 (b − a)k−1 , (k − 1)! y la resolvente existe en todo el plano complejo El hecho de que los n´ ucleos iterados est´en uniformemente acotados (ver ec (7.50)) hace que la serie para Γ(t, s; µ) sea uniformemente convergente para a ≤ t, s ≤ b y para µ tomando valores en cualquier regi´on acotada del plano complejo, | µ | ≤ Λ, ∞ ∞ | µ |k M k k | µ Kk (t, s) | ≤ (7.52) k=1 k=1 (b − a)k−1 ≤ (Λ M ) eΛ M (b−a) (k − 1)! Esto implica, en particular, que Γ(t, s; µ) = para t ≤ s, de modo que Γµ = Rµ − I es tambi´en un operador integral de Volterra Por lo tanto, la ecuaci´on integral t (7.53) K(t, s) ϕ(s) ds = f (t) , ϕ(t) − µ | K(t, s) | ≤ M , a tiene soluci´on u ´nica ∀ f (t) ∈ L2 (a, b) y ∀ µ ∈ C, la que est´a dada por t (7.54) ϕ(t) = f (t) + Γ(t, s; µ) f (s) ds a Ecuaciones Integrales 21 Ejemplo: • Consideremos el n´ ucleo de Volterra −s2 (7.55) K(t, s) = et 0, , t > s, t ≤ s, donde a ≤ t, s ≤ b Entonces,  t 2 2 2   et −r er −s dr = (t − s) et −s ,   s (7.56) K2 (t, s) =     0, t ≤ s,      (7.57) K3 (t, s) = y en general (7.58) e t2 −r2 r2 −s2 (r − s) e s     0,      Kk (t, s) = t t (t − s)2 t2 −s2 dr = e , 2! t > s, t ≤ s, et −r s     0, t > s, (r − s)k−2 r2 −s2 (t − s)k−1 t2 −s2 e dr = e , t > s, (k − 2)! (k − 1)! t ≤ s En esas condiciones, ∞ µk Kk (t, s) = Γ(t, s; µ) = k=1       (7.59) = ∞ µk k=1      0, (t − s)k−1 t2 −s2 2 e = µ eµ (t−s) et −s , (k − 1)! t > s, t ≤ s, donde la serie converge ∀ µ ∈ C ´todo de los determinantes de Fredholm Me En el caso general, la serie de los n´ ucleos iterados, ec (7.20), tiene un radio de convergencia finito, fuera del cual s´olo es posible obtener el n´ ucleo Γ(t, s; µ) por prolongaci´on anal´ıtica de la suma de la serie en un entorno del origen En lo que sigue se presenta sin demostraci´on una f´ormula debida a Fredholm, que da una expresi´on para el n´ ucleo Γ(t, s; µ) para todo valor regular µ ∈ C Esta 22 H Falomir f´ormula fue demostrada primero por Fredholm para el caso de n´ ucleos K(t, s) continuos y acotados (ver, por ejemplo, Methods of Mathematical Physics, R Courant y D Hilbert.), y luego extendida al caso de n´ ucleos de cuadrado sumable arbitrarios (ver, por ejemplo, Mathematical Analysis, G Ye Shilov, y las referencias all´ı citadas) Definamos (8.1) C0 := , B0 (t, s) := K(t, s) , e introduzcamos las relaciones de recurrencia b Cn := Bn−1 (s, s) ds , a (8.2) b Bn (t, s) := Cn K(t, s) − n K(t, r) Bn−1 (r, s) dr a Es f´acil ver que Bn (t, s) = K(t, s) (8.3) b = b a a K(t, s1 ) K(t, sn ) K(s1 , s) K(s1 , s1 ) K(s1 , sn ) ds1 dsn , K(sn , s) K(sn , s1 ) K(sn , sn ) lo que le da su nombre al m´etodo Con estos coeficientes se definen las series de potencias ∞ (8.4) D(t, s; µ) := K(t, s) + n=1 (−1)n Bn (t, s) µn n! y ∞ (8.5) D(µ) := + n=1 (−1)n Cn µn , n! que convergen en todo el plano complejo de la variable µ, sum´andose a las funciones enteras D(t, s; µ), llamada menor de Fredholm, y D(µ), llamada determinante de Fredholm En esas condiciones, los ceros de D(µ) coinciden los valores singulares del n´ ucleo K(t, s), y el n´ ucleo del operador integral Γµ = Rµ − I est´a dado por el cociente (8.6) Γ(t, s; µ) = D(t, s; µ) D(µ) Ecuaciones Integrales 23 Entonces, para todo valor regular µ (para el cual D(µ) = 0) y ∀ f (t) ∈ L2 (a, b), la ecuaci´on integral b (8.7) ϕ(t) − µ K(t, s) ϕ(s) ds = f (t) a tiene una u ´nica soluci´on que puede ser expresada como b (8.8) ϕ(t) = f (t) + a D(t, s; µ) f (s) ds D(µ) Ejemplo: • Son raras aquellas situaciones en las que es posible sumar expl´ıcitamente las series (8.4) y (8.5) Un ejemplo corresponde al caso en que uno de los n´ ucleos Bn (t, s) se anula id´enticamente, lo que hace que esas series se reduzcan a sumas finitas Tomemos el n´ ucleo degenerado K(t, s) = t es , ≤ t, s ≤ Tenemos que (8.9) C1 = s es ds = , y B1 (t, s) = t es − (8.10) t er r es dr = t es − t es = , de modo que Cn = y Bn (t, s) ≡ para n ≥ Por lo tanto,  s   D(t, s; µ) = t e , (8.11)   D(µ) = − µ , lo que implica que el n´ ucleo K(t, s) = t es tiene un u ´nico valor singular en µ = 11 Para el n´ ucleo Γ(t, s; µ) tenemos (8.12) Γ(t, s; µ) = t es , 1−µ para µ = Bibliograf´ıa: 1En efecto, por tratarse de un operador integral de n´ ucleo degenerado que proyecta todo el espacio L2 (0, 1) en un subespacio unidimensional, vemos que todo autovector correspondiente a un autovalor no nulo es proporcional a e(t) = t Y teniendo en cuenta la integral en (8.9), concluimos que el autovalor correspondiente es λ = 24 H Falomir The Theory of Linear Spaces, G Ye Shilov Mathematical Analysis, G Ye Shilov Elementos de la Teor´ıa de Funciones y del An´ alisis Funcional, A.N Kolmogorov y S.V Fomin Ecuaciones Integrales, M Krasnov, A Kiseliov, G Macarenko Methods of Mathematical Physics, R Courant y D Hilbert Methods of Modern Mathematical Physics, M Reed y B Simon  ... punto fijo, es decir, un u ´nico vector ϕ ∈ E que satisface que (5.5) B ϕ = ϕ Ecuaciones Integrales En nuestro caso, este vector corresponder´a a la u ´nica soluci´on de la ec (4.1) para una... homog´eneo (es decir, la existencia de autovectores de A† correspondientes al autovalor 1), ψ1 (t) − A† ψ1 (t) = 0(t) , (2.6) condiciona la existencia de soluciones para la ec (2.4) En efecto, el producto... soluciones para la ecuaci´on (2.4) Por otra parte, la existencia de soluciones no triviales para la ecuaci´on homog´enea (2.8) ϕ1 (t) − A ϕ1 (t) = 0(t) (es decir, la existencia de autovectores del operador