Đề chuên Toán Tin Quốc Học 07

Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên Tin QuốC HọC Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2007-2008 Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1: (2,75 điểm) Cho các biểu thức 3 4A x x= + ì và ( ) ( ) 3 4B x x= + a) Tìm x để A có nghĩa. Tìm x để B có nghĩa. b) Với giá trị nào của x thì B A= ? c) Rút gọn biểu thức ( ) ( ) 2 3 4 9 x x C x + = Bài 2: (1,75 điểm) Không sử dụng máy tính bỏ túi, giải phơng trình: 2 2 3 2 11 0x x = Bài 3: (3,0 điểm) Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của cạnh BC. Đờng tròn (O) tâm O tiếp xúc với hai cạnh AB và AC lần lợt tại F và G. Trên đoạn AF lấy điểm D tùy ý ( D A, D F ). Qua D kẻ tiếp tuyến của (O) (khác AB) cắt cạnh AC tại E. a) Chứng minh rằng ã 0 DOE = 60 . b) Chứng minh rằng ba tam giác BDO, COE và ODE đôi một đồng dạng với nhau. c) Cho biết cạnh của tam giác đều ABC bằng a , tính chu vi tam giác ADE theo a . Bài 4: (1,5 điểm) Cho hình vuông ADEF có cạnh AD = 21cm . Vẽ đờng tròn tâm A bán kính AE cắt tia AF tại B. Vẽ hình chữ nhật ABCD. Nếu cắt một tờ giấy bằng hình chữ nhật ABCD thì ta đợc tờ giấy khổ A4 thông dụng. Gọi I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng: Nếu gấp tờ giấy A4 này theo các đờng thẳng AC và BI thì ta đợc góc vuông có đỉnh là giao điểm của 2 đờng gấp và 2 cạnh chứa hai đờng gấp. B ài 5: (1 điểm) Để lát gạch cho một khu vờn hình chữ nhật có số đo chiều dài và chiều rộng là những số tự nhiên lớn hơn 2, ngời ta chỉ chọn các viên gạch đợc thiết kế theo 3 loại nh hình vẽ (các ô vuông nhỏ ở mỗi loại gạch có kích thớc 1 1ì ). Cách lát gạch này phải thỏa mãn đồng thời các điều kiện: (i) Không để lại lỗ trống trong khu vờn hình chữ nhật; (ii) Không đợc chồng 2 viên gạch lên nhau; (iii) Sử dụng cả 3 loại gạch nguyên gốc và không đợc cắt hoặc làm biến dạng. a) Chứng tỏ rằng khu vờn hình chữ nhật có các kích thớc 3 5ì có thể đợc lát gạch theo cách trên. b) Hỏi khu vờn hình chữ nhật có các kích thớc 2007 2005ì có thể đợc lát gạch theo cách trên không? Giải thích. Hết 1 SBD thÝ sinh: . Ch÷ ký GT1: 2 Sở Giáo dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên tin QUC HC Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2007-2008 Đề chính thức Đáp án và thang điểm Bài ý Nội dung Điểm 1 2,75 1.a + Điều kiện để biểu thức A có nghĩa: 3 0x + và 4 0x 3x và 4x 4x . + Điều kiện để biểu thức B có nghĩa: ( ) ( ) 3 4 0 ( 3)x x x+ + và ( 4)x cùng không âm hoặc cùng không dơng ( 3x và 4x ) hoặc ( 3x và 4x ) ( 3x hoặc 4x ) 0,25 0,25 0,25 0,25 1.b + ( ) ( ) 3 4 3 4B A x x x x= + = + ì 3 0x + và 4 0x 3x và 4 4x x 0,25 0,25 1.c + ( ) ( ) 2 3 4 9 x x C x + = có nghĩa ( ) ( ) 3 4 0x x+ và ( ) ( ) 3 3 0x x+ > ( 3x hoặc 4x ) và ( 3x < hoặc 3x > ) 3x < hoặc 4x (*) 0,25 0,25 0,25 + Với điều kiện (*) ta có ( ) ( ) 3 4 0x x+ và 2 9 0x > . Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 4 3 4 4 3 3 3 9 x x x x x C x x x x + + = = = + 0,25 0,25 2 1,75 + Nếu 2 0 2x x thì phơng trình trở thành: 2 2 2 3( 2) 11 0 2 3 5 0x x x x = = . Phơng trình này có 2 nghiệm: 1 1 2x = < (loại) và 2 5 2 2 x = > . 0,25 0,50 + Nếu 2 0 2x x < < thì phơng trình trở thành: 2 2 2 3(2 ) 11 0 2 3 17 0x x x x = + = 3 4 3 145 3 145 3 12 9 0 2; 2 4 4 4 4 x x + + = < < = > = > (loại) 0,25 0,50 + Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm: 5 2 x = và 3 145 4 x = 0,25 1 3 3,0 3a + Hình vẽ đúng + Gọi H là tiếp điểm của tiếp tuyến DE với (O). Ta có DH và DF là 2 tiếp tuyến của (O), nên OD là tia phân giác của góc ã FOH . Suy ra: ã ã FOD DOH= . + Tơng tự: ã ã HOE EOG= . + Do đó: ã ã 2FOG DOE= Mà ã 0 120FOG = , nên ã 0 60DOE = 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 3b + Hai tam giác BDO và ODE có: ã ã 0 60DBO DOE= = và ã ã BDO ODE= (DO là phân giác của các ã EDF ) Vậy hai tam giác BDO và ODE đồng dạng. + Chứng minh tơng tự: Hai tam giác ODE và COE cũng đồng dạng. + Từ đó suy ra ba tam giác BDO, ODE, COE đôi một đồng dạng với nhau. 0,50 0,25 0,25 3c Ta có: DH = DF và EH = EG. Do đó chu vi tam giác ADE bằng 2AF AG AF + = Trong tam giác vuôngAOB, ta có 2 3 4 a AF AB AO AFì = = . Vậy chu vi của tam giác ADE bằng 3 2 a 0,25 0,25 0,25 4 1,50 + Đặt AD a= ( 21a = cm ) + Ta có AE là đờng chéo của hình vuông ADEF, nên 2AE a= . Do đó 2AB AE a= = . + Suy ra: ã 2 2 2 2 IC a tg IBC BC a = = = (1) ã 1 2 2 2 2 BC a tg BAC AB a = = = = (2) + Từ (1) và (2), ta có: ã ã ã ã tg IBC tg BAC IBC BAC= = (vì hai góc đều nhọn) + Mà ã ã ã ã 0 0 90 90IBC ABI BAC ABI+ = + = . + Suy ra ã 0 90AKB = (K là giao điểm của AC và BI ). 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 K 2 5 1,0 5a (a) Víi h×nh ch÷ nhËt 3 5× , ta cã thÓ thùc hiÖn c¸ch l¸t g¹ch nh sau: 0,50 5b (b) Ta cã 2007 3 669; 2005 5 401= × = × , nªn cã thÓ chia khu vên h×nh ch÷ nhËt kÝch thíc 2007 2005 × thµnh 669 401 × h×nh ch÷ nhËt cã kÝch thíc 3 5 × . Theo c©u (a) th× c¸c h×nh ch÷ nhËt kÝch thíc 3 5× cã thÓ thùc hiÖn c¸ch l¸t g¹ch tháa ®iÒu kiÖn bµi to¸n. V× vËy khu vên h×nh ch÷ nhËt kÝch thíc 2007 2005 × cã thÓ l¸t g¹ch ®îc theo yªu cÇu bµi to¸n. 0,50 3 . dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên Tin QuốC HọC Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2 007- 2008 Đề chính thức Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1:. dục và đào tạo Kỳ THI TUYểN SINH LớP 10 chuyên tin QUC HC Thừa Thiên Huế Môn: TOáN - Năm học 2 007- 2008 Đề chính thức Đáp án và thang điểm Bài ý Nội dung