ptquyveptbachai,bacnhat

CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT, BẬC HAI VÀ CÁCH GIẢI Dạng Đưa phương trình tích √ √ Bài Giải phương trình: x3 + 2x2 + 2x + 2 = Lời giải Ta có     √  √ √  √ √  x + 2x x + + = ⇔ x + x − x + + 2x x + i  √  √ h  ⇔ x + x + − x + = √ √ = ⇔ x = − √
* Phương trình x2 + − x + = vơ nghiệm (vì ∆ < 0)  √ Vậy tập nghiệm phương trình S = − * Xét x + Dạng Đặt ẩn phụ đơn giản √ Bài Giải phương trình: 2x3 + 3x2 − = Lời giải √ Viết phương trình cho dạng: 2x3 + · 2x2 − = √ Đặt y = x 2, phương trình cho trở thành √   y=1 x= 2√ y + 3y − = ⇔ (y − 1) (y + 2) = ⇔  ⇔ y = −2 x=− √   √ Vậy tập nghiệm phương trình S = − 2;

Dạng Phương trình dạng ax2 + bx + c1 ax2 + bx + c2 = A (aA 6= 0) Cách giải c1 + c2 đưa phương trình dạng  c − c 2 t2 = A +

Bài Giải phương trình: x2 + x + x2 + x + = Đặt t = ax2 + bx + Lời giải Đặt t = x2 + x + Phương trình cho trở thành  t=2 t (t + 1) = ⇔  t = −3 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI • Với t = x2 + x + = ⇔ x2 + x = ⇔ x = x = −1 √ −1 ± 21 2 • Với t = −3 x + x + = −3 ⇔ x + x + = ⇔ x = √ √   −1 − 21 −1 + 21 Vậy tập nghiệm phương trình S = −1; 0; ; 2 Bài Giải phương trình:(6x + 7)2 (3x + 4) (x + 1) = Lời giải Biến đổi phương trình thành 36x2 + 84x + 49

36x2 + 84x + 48 = 12  Đặt t = 36x2 + 84x + 48 phương trình trở thành t (t + 1) = 12 ⇔  • Với t = + 84x + 48 = ⇔ 36x2 t = −4 + 84x + 45 = ⇔  x=−  36x2 t=3 x=− • Với t = −4 36x2 + 84x + 48 = −4 ⇔ 36x2 + 84x + 52 = 0, phương trình vô nghiệm   Vậy tập nghiệm phương trình S = − ; − 4 Dạng Phương trình dạng (x + a) + (x + b) = c (c > 0) Cách giải Đặt y = x + a+b đưa phương trình trùng phương ẩn y  2  4 a−b a−b c y +6 y + − = 2 Bài Giải phương trình: (x − 1)4 + (x + 3)4 = 82 Lời giải Đặt y = x + phương trình đa cho trở thành   y=1 x=0 2y + 48y + 216 = 82 ⇔  ⇒ y = −1 x = −2 Vậy tập nghiệm phương trình cho S = {−2; 0} Dạng Phương trình dạng (x − a) (x − b) (x − c) (x − d) = A với a < b < c < d, A 6= 0, b − a = d − c Cách giải a+b+c+d đưa phương trình trùng phương ẩn y Bài Giải phương trình: (x + 1) (x + 2) (x + 4) (x + 5) = 10 Đặt y = x − CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI Lời giải x+1+x+2+x+4+x+5 = x + phương trình trở thành   √ √

y=− x=− 6−3 y − y − = 10 ⇔ y − 5y − = ⇔  ⇒ √ √ y= x= 6−3 Đặt y =  √ √ Vậy tập nghiệm phương trình S = − − 3; −

Dạng Phương trình dạng ax2 + b1 x + c ax2 + b2 x + c = Ax2 (cA 6= 0) Cách giải Do x = nghiệm, chia hai vế phương trình cho x2 ta  Đặt y = ax + ax +   c c + b1 ax + + b2 = A x x c đưa phương trình dạng phương trình bậc hai ẩn y x (y + b1 ) (y + b2 ) − A = Bài Giải phương trình: x2 + x +

x2 + 2x + = 2x2 Lời giải Do x = khơng nghiệm phương trình, chia hai vế cho x2 ta    2 x+ +1 x + + = x x Đặt y = x + phương trình trở thành x    x+ =0 y=0 x = −1 x  (y + 1) (y + 2) = ⇔  ⇒ ⇔ y = −3 x = −2 x + = −3 x Vậy tậ nghiệm phương trình S = {−2; −1} Dạng Phương trình dạng (x − a) (x − b) (x − c) (x − d) = Ax2 ab = cd 6= 0, A 6= Cách giải Phương trình viết dạng    x − (a + b) x + ab x2 − (c + d) x + cd = Ax2 , phương trình dạng Bài Giải phương trình: (x − 2) (x − 1) (x − 8) (x − 4) = 4x2 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI Lời giải Biến đổi phương trình thành [(x − 2) (x − 4)] [(x − 1) (x − 8)] = 4x2 ⇔ x2 − 6x +

x2 − 9x + = 4x2 Do x = không nghiệm nên chia hai vế phương trình cho x2 ta    8 x+ −6 x + − = x x Đặt y = x + phương trình trở thành x  (y − 6) (y − 9) = ⇔ y − 15y + 50 = ⇔  y=5 y = 10 = ⇔ x2 − 5x + = (vô nghiệm) x  √ x = − 17 • Với y = 10 x + = 10 ⇔ x2 − 10x + = ⇔  √ x x = + 17 • Với y = x +  √ √ Vậy tập nghiệm phương trình S = − 17; + 17
2
2 Dạng Phương trình dạng a1 bx2 + c1 x + d + a2 bx2 + c2 x + d = Ax2 a1 a2 bdA 6= Cách giải Nhận thấy x = khơng nghiệm phương tìrnh Chia hai vế phương trình cho  2  2 d d d x a1 bx + + c1 + a2 bx + + c2 = A, đặt y = bx + đưa phương x x x trình bậc hai ẩn y
2
2 Bài Giải phương trình: x2 + 2x − − x2 + 3x − + 5x2 = Lời giải Do x = không nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình cho x2 ta  x− +2 x 2  −2 x− +3 x 2 + = Đặt y = x − , phương trình trở thành x =1 x (y + 2)2 − (y + 3)2 + = ⇔ y − = ⇔  ⇒ y = −1 x − = −1 x  y=1  x− CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI √ −1 ±  x= 2√ ⇔ 1± x= √  √  −1 ± ± ; Vậy tập nghiệm phương trình S = 2 Dạng Phương trình dạng ax4 + bx3 + cx2 ± bx + a = (a 6= 0)  (gọi phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng (ứng với +bx) hệ số đối xứng lệch (ứng với −bx)) Cách giải Phương trình không nhận x = nghiệm, nên chia hai vế cho x2     1 + c = a x + +b x± x x đưa phương trình dạng ay + by + c ∓ 2a = x Bài 10 Giải phương trình: 3x4 − 4x3 + mx2 + 4x + = Đặt y = x ± (1) a) Với giá trị m phương trình vơ nghiệm ? b) Giải phương trình với m = −5 Lời giải Phương trình (1) khơng nhận x = nghiệm, chia hai vế cho x2     1 + m = x + −4 x− x x phương trình trở thành 3t2 − 4t + m + = (2) x a) Phương trình (1) vơ nghiệm phương trình (2) vô nghiệm, Đặt t = x − ∆0 = 3m − 14 ≤ ⇔ m ≥ − 14 b) Với m = −5 phương trình (2) có dạng 3t2 − 4t + = ⇔ t = t = √  1−  x= 2√ • Với t = x − = ⇔ x2 − x − = ⇔  1+ x x= √  − 37 1  x= 2√ • Với t = x − = ⇔ 3x2 − x − = ⇔  + 37 x x= √ √ √ √   − 37 − + + 37 Vậy tập nghiệm phương trình (1) S = ; ; ; 2 2 Dạng 10 Phương trình dạng ax4 + bx3 + cx2 + bkx + ak = (ak 6= 0) CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI (gọi phương trình bậc bốn có hệ số đối xứng tỷ lệ) Cách giải Phương trình khơng nhận x = nghiệm, nên chia hai vế cho x2     k k2 + c = a x + +b x+ x x Đặt y = x + k2 k suy ray = x2 + + 2k , phương trình trở thành bậc hai ẩn y x x ay + by + c − 2ak = Bài 11 Giải phương trình: 2x4 − 21x3 + 34x2 + 105x + 50 = (1) Lời giải 105 50 = −5 k = = 25 nên phương trình (1) phương trình bậc bốn có −21 hệ số đối xứng tỷ lệ     25 (1) ⇔ x + − 21 x − + 34 = (2) x x Ta thấy k = Đặt t = x − 25 suy t2 = x2 + − 10 x x  Phương trình (2) trở thành 2t2 − 21t + 54 = ⇔  t=6 t= √ x = − 14 • Với t = x − = ⇔ x2 − 6x − = ⇔  √ x x = + 14   9− √ 161 x= 9  √ • Với t = x − = ⇔ 2x2 − 9x − 10 = ⇔  − 161 x x= Vậy tập nghiệm phương trình (1) √ √   √ √ − 161 + 161 S= ; − 14; + 14; 4 Dạng 11 Phương trình dạng a1 a2 an + + + = A x + b1 x + b2 x + bn Cách giải Nhóm cụm phân thức để làm xuất thừa số chung 1 1 + + + = Bài 12 Giải phương trình: + x x+1 x+2 x+3 x+4 Lời giải CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI Điều kiện x 6= {−1; −2; −3; −4; 0} Ta biến đổi phương trình thành     1 1 + + + + x x+4 x+1 x+3 x+2 (x + 2) (x + 2) ⇔ + + =0 x + 4x x + 4x + x + 1 ⇔ + + = x + 4x x + 4x + (x2 + 4x + 4) Đặt u = x2 + 4x, phương trình trở thành √ −25 + 145 1 5u2 + 25u + 24  u= 10√ + + =0⇔ =0⇔ −25 − 145 u u + (u + 4) 2u (u + 3) (u + 4) u= 10 √  −25 + 145  x + 4x = 10√ Do  −25 − 145 x + 4x = 10 Từ ta tìm tập nghiệm phương trình ( ) r r r r √ √ √ √ 15 + 145 15 + 145 15 − 145 15 − 145 S = −2 − ; −2 + ; −2 + ; −2 − 10 10 10 10  Dạng 12 Phương trình dạng a1 x + b a2 x + b an x + b n + + + = A x + c1 x + c2 x + cn Cách giải Biến đổi phương trình thành a1 + d1 d2 dn + a2 + + + an + = A x + c1 x + c2 x + cn dễ dàng đưa phương trình dạng x+4 x−4 x+8 x−8 Bài 13 Giải phương trình: + − − =− x−1 x+1 x−2 x+2 Lời giải Biến đổi phương trình thành −5 10 10 10 40 + − + =− ⇔ − =− x−1 x+1 x−2 x+2 x −1 x −4 Đặt u = x2 (u 6= 1, u 6= 4, u ≥ 0) dẫn đến phương trình  u = 16 4u2 − 65u + 16 = ⇔  u= CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI  Tìm tập nghiệm phương trình cho S =  1 − ; −4; ; 2 Dạng 13 Phương trình dạng a1 x + b1 a2 x + b2 an x + b n + + + = A p x2 + q x + r p x2 + q x + r pn x2 + qn x + rn
với ∆i = qi2 − 4pi ri > i = 1, n Cách giải
Với pi x2 + qi x + ri i = 1, n có ∆i = qi2 − 4pi ri > x + b i Mi Ni = + , nên dễ dàng đưa phương trình dạng pi x + qi x + ri x + ki x + hi   1 1 Đẳng thức hay dùng = − · (x + a) (x + b) x+a x+b b−a x+6 x+2 x+5 x+1 + = + Bài 14 Giải phương trình: x + 2x x + 12x + 35 x + 4x + x + 10x + 24 Lời giải Điều kiện x 6= {−7; −6; −5; −4; −3; −2; −1; 0} Biến đổi phương trình thành x+1 x+6 x+2 x+5 + = + x (x + 2) (x + 5) (x + 7) (x + 1) (x + 3) (x + 4) (x + 6)     x+1 1 x+6 1 ⇔ − + − x x+2 x+5 x+7     x+2 1 x+5 1 = − + − x+1 x+3 x x+4 x+6         1 1 1 1 + + + + ⇔ + = + x x+7 x+2 x+5 x+1 x+6 x+3 x+4   1 1 ⇔ (2x + 7) + − − =0 x2 + 7x x2 + 7x + 10 x2 + 7x + x2 + 7x + 12  x=− ⇔ 1 1 + − − =0 x + 7x x + 7x + 10 x + 7x + x + 7x + 12 (*) Đặt u = x2 + x phương trình (*) có dạng     1 1 1 1 + − − ⇔ − + − =0 u u + 10 u + u + 12 u u+6 u + 10 u + 12 ⇔u2 + 18u + 90 = Mặt khác u2 + 18u + 90 = (u + 9)2 + > với u Do phương trình (*) vơ nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm x = − Dạng 14 Phương trình dạng a1 x + b x + c a2 x + b x + c an x + b n x + c n + + + = A m1 x + n1 m2 x + n2 mn x + nn CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI
với mi 6= i = 1, n Cách giải d ax2 + bx + c = kx + h + , ta đưa phương trình dạng 11 mx + n mx + n x2 + x + x2 + 2x + x2 + 3x + x2 + 4x + Bài 15 Giải phương trình: + − − = x+1 x+2 x+3 x+4 Phân tích Lời giải Điều kiện x 6= {−4; −3; −2; −1} Biến đổi phương trình thành    − + − =0 x+1 x+4 x+2 x+3   + =0 ⇔x x2 + 5x + x2 + 5x +  x=0 ⇔ + =0 x + 5x + x + 5x + + − − ⇔ x+1 x+2 x+3 x+4  (*) 11 + =0⇔u=− Đặt u = x2 + 5x phương trình (*) trở thành √ u+4 u+6 −5 ± Từ ta có 2x2 + 10x + 11 = ⇔ x = √  √  −5 − −5 + ; Vậy tập nghiệm phương trình cho S = 0; 2 Dạng 15 Phương trình dạng A1 x A2 An x + + + = A ax2 + b1 x + c ax2 + b2 x + c ax2 + bn x + c
với abi A 6= i = 1, n Cách giải Do x = không nghiệm phương trình nên đặt y = ax + c đưa phương trình x dạng 13 A1 A2 An + + + = A y + b1 y + b2 y + bn Chú ý Ta thường dùng phương pháp phương trình có dạng sau: mx nx a) Dạng 1: + = p ax + bx + d ax + cx + d ax2 + mx + c ax2 + px + c b) Dạng 2: + = ax + nx + c ax + qx + c ax2 + mx + c px c) Dạng 3: + = ax + nx + c ax + qx + c 4x 3x + = Bài 16 Giải phương trình: 4x − 8x + 4x − 10x + Lời giải CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI Do x = không nghiệm phương trình nên chia tử mẫu phân thức vế trái phương trình cho x, đặt y = 4x + ta x + = y − y − 10 Phương trình có hai nghiệm y = 16, y = • Với y = 4x + = ⇔ 4x2 − 9x + = Phương trình vơ nghiệm x • Với y = 16 4x + = 16 ⇔ 4x2 − 16x + = Phương trình có hai nghiệm x x= ; x= 2   Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = ; 2 Dạng 16 Phương trình quy dạng (A ± B)2 = ⇔ A ± B =

Bài 17 Giải phương trình: x2 x4 − x2 + + = Lời giải Phương trình cho tương đương với




x2 x2 + x2 − x2 + + = ⇔ x + x2 x4 + x2 − + =
2

2 ⇔ x4 + x2 − x4 + x2 + = ⇔ x4 + x2 − = ⇔ x4 + x2 − = ) ( r√ r√ 5−1 5−1 ; Giải phương trình trùng phương ta tập nghiệm S = − 2  2  2 x−2 x+2 x2 − Bài 18 Giải phương trình: 20 +5 − 20 · = x+1 x−1 x −1 Lời giải ĐK: x 6= ±1 x−2 x+2 Đặt = y; = z , phương trình cho chuyển thành x−1 x−1 20y + 5z − 20yz = ⇔ (2y − z)2 = ⇔ 2y = z Do 2· 10 x−2 x+2 = ⇔ (x − 2) (x − 1) = (x + 2) (x + 1) ⇔ 2x2 − 6x + = = x2 + 3x + x+1 x−1 √  + 73  x= 2√ ⇔ x2 − 9x + = ⇔  (tmđk) − 73 x= CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI  Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = √ 9− 73 + ; √ 73 2 Dạng 17 Phương trình quy dạng (A ± B)2 = (C ± D)2 ⇔   A±B =C ±D A ± B = − (C ± D) Bài 19 Giải phương trình: x4 = 24x + 32 Lời giải Thêm 4x2 + vào hai vế phương trình ta
2 x4 + 4x2 + = 4x2 + 32x + 36 ⇔ x2 + = (2x + 6)2   x + = 2x + x2 − 2x − = (1) ⇔ ⇔ x2 + = −2x − x2 + 2x + = (2) Phương trình (1) có nghiệm x = ± √ Phương trình (2) vơ nghiệm  √ √ Vậy phương trình cho có tập nghiệm S = − 5; + 11 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI BÀI TẬP BỔ SUNG Bài Giải phương trình: x4 + 3x3 − 2x2 − 6x + = Lời giải Cách • x = khơng nghiệm phương trình • Xét x 6= 0, chia hai vế cho x2 ta được: x + 3x − − + = ⇔ x x Đặt y = x −  x + x   +3 x− x 4 ⇒ y = x2 − + ⇒ x2 + = y + x x x   Phương trình có dạng: y + + 3y − = ⇔ y + 3y + = ⇔  − = y1 = −1 y2 = −2  x=1 = −1 ⇔ x2 + x − = ⇔  x x = −2  √ x = −1 + * Với y1 = −2, ta có x − = −2 ⇔ x2 + 2x − = ⇔  √ x x = −1 −  √ √ Vậy tập nghiệm phương trình là: S = 1; −2; −1 + 3; −1 − * Với y1 = −1, ta có x − Cách Ta biến đổi sau: x4 − 4x2 + + 3x3 − 6x + 2x2 = ⇔ x2 +
2
+ 3x x2 − + 2x2 =
2

⇔ x2 − + x x2 − + 2x x2 − + 2x2 =


⇔ x2 − x2 − + x + 2x x2 − + x =

⇔ x2 + x − x2 + 2x − =  x2 + x − = (1)  ⇔ x2 + 2x − = (2) * Giải phương trình (1): x2 + x − = ⇔ x1 = 1; x2 = −2 √ √ * Giải phương trình (1): x2 + 2x − = ⇔ x3 = −1 + 3; x4 = −1 −  √ √ Vậy tập nghiệm phương trình là: S = 1; −2; −1 + 3; −1 −

Bài Giải phương trình: x2 − 3x + x2 + 15x + 56 + = Lời giải 12 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI Cách Ta biến đổi sau x2 − 3x +
x2 + 15x + 56 + = ⇔ x4 + 12x3 + 13x2 − 138x + 120 =


⇔ x4 + 6x3 − 15x2 + 6x3 + 36x2 − 90x − 8x2 + 48x − 120 =


⇔x2 x2 + 6x − 15 + 6x x2 + 6x − 15 − x2 + 6x − 15 =

⇔ x2 + 8x − 15 x2 + 6x − =  √ x = −3 + • Giải phương trình: x2 + 6x − 15 = ⇔  √ x2 = −3 −  √ x = −3 + 17 • Giải phương trình: x2 + 6x − = ⇔  √ x4 = −3 − 17  √ √ √ √ Vậy tập nghiệm phương trình là: S = −3 + 6; −3 − 6; −3 + 17; −3 − 17
Cách Ta viết (x − 1) (x − 2) (x + 7) (x + 8) + = ⇔ (x − 1) (x + 7) (x − 2) (x + 8) + =

⇔ x2 + 6x − x2 + 6x − 16 + = Đặt y = x2 + 6x − 7, phương trình có dạng  y (y − 9) + = ⇔ y − 9y + = ⇔   y1 = y2 = x1 = −3 + √ 17 √ x2 = −3 − 17  √ x = −3 + * Với y2 = ta x2 + 6x − = ⇔ x2 + 6x − 15 = ⇔  √ x2 = −3 +  √ √ √ √ Vậy tập nghiệm phương trình là: S = −3 + 6; −3 − 6; −3 + 17; −3 − 17 2x 13x Bài Giải phương trình + = 3x − 5x + 3x + x + * Với y1 = ta x2 + 6x − = ⇔ x2 + 6x − = ⇔  Lời giải Cách Đặt t = 3x2 + phương trình có dạng: 2x 13x + = t − 5x t + x Quy đồng khử mẫu, thu gọn ta được:  2t2 − 13t + 11x2 = ⇔ (t − x) (2t − 11x) = ⇔  t=x 11x t= * Nếu t = x, ta có 3x2 − x + = vô nghiệm x=
11x * Nếu t = , ta có 3x2 + − 11x = ⇔ 6x2 − 11x + = ⇔  x=  13 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI   Vậy tập nghiệm phương trình S = ; Cách Xét x = nghiệm phương trình, nên ta chia tử mẫu phân thức cho x ta được: 13 + = 2 3x + − 3x + + x x Đặt 3x − + 2 13 = t, phương trình có dạng: + = x t−3 t+3  t1 = −1 t2 = 2 * Xét t = −1 suy 3x − + = −1 ⇔ 3x2 − x + = vô nghiệm x  x= 7 * Xét t = suy 3x − + = ⇔ 6x2 − 11x + = ⇔  x x=   Vậy tập nghiệm phương trình S = ; x2 + 3x + x2 + 6x + 53 Bài Giải phương trình: + = x − 4x + x + 5x + 12 Quy đồng, khử mẫu thu gọn được: 6t2 − 15t − 21 = ⇔  Lời giải * Vì x = khơng nghiệm phương trình * Xét x 6= 0, phân thức vế trái ta chia tử mẫu cho x, ta x+6+ x + x−4+ x+5+ x x+3+ x = 53 12 x (1) y y+3 53 + 3, phương trình (1) trở thành + = x y−7 y+2 12 Suy 12y (y + 2) + 12 (y + 3) (y − 7) = 53 (y + 2) (y − 7) ⇔ 29y − 241y − 490 = 49 Giải ta y1 = 10; y2 = − 29 √  + 37  x1 = 2√ * Với y = 10, ta có x + = ⇔ x2 − 7x + = ⇔  − 37 x x2 = 2 √ −68 + 2101 49 136  x3 = 29√ * Với y = − , ta có x + = − ⇔ 29x2 + 136x + 87 = ⇔  −68 − 2101 29 x 29 x4 = 29 √ √ √ √   + 37 − 37 −68 + 2101 −68 − 2101 Vậy tập nghiệm phương trình S = ; ; ; 2 29 29 Bài Giải phương trình: (x − 2) (x − 1) (x − 8) (x − 4) = 4x2 Đặt y = x + 14 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI Lời giải Cách Ta biến đổi sau: (x − 2) (x − 1) (x − 8) (x − 4) = 4x2 ⇔ (x − 2) (x − 4) (x − 1) (x − 8) = 4x2

⇔ x2 06x + x2 − 9x + = 4x2 Nhận xét Vì x = khơng nghiệm phương trình nên ta chia hai vế phương trình cho x2 ta được:  x−6+ x  x−9+ x  = Đặt y = x − + , phương trình có dạng: x  y (y − 3) = ⇔ y − 3y − = ⇔  y = −1 y = = −1 ⇔ x2 − 5x + = phương trình vơ nghiệm x  √ 17 x = − * Xét y = ta có x − + = ⇔ x2 − 10x + = ⇔  √ x x = + 17  √ √ Vậy tập nghiệm phương trình S = − 17; + 17 * Xét y = −1 ta có x − + Cách Ta biến đổi sau: (x − 2) (x − 1) (x − 8) (x − 4) = 4x2 ⇔ (x − 2) (x − 4) (x − 1) (x − 8) = 4x2

⇔ x2 − 6x + x2 − 9x + = 4x2 Đặt x2 − 6x + = y , phương trình có dạng: y (y − 3x) = 4x2 ⇔ 4x2 + 3xy − y = ⇔ (x + y) (4x − y) = * Nếu x + y = ⇔ x + x2 − 6x + = ⇔ x2 − 5x + = 0, phương  trình vơ√nghiệm x = + 17 * Nếu 4x − y = ⇔ 4x − x2 + 6x − = ⇔ x2 − 10x + = ⇔  √ x = − 17  √ √ Vậy tập nghiệm phương trình S = − 17; + 17  3 x−3 Bài Giải phương trình: − (x − 3)3 = 16 x−2 Lời giải 15 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI ĐK: x 6= Áp dụng đẳng thức a3 − b3 = (a − b)3 − 3ab (a − b), ta có 3   x−3 x−3 x−3 −x+3 −3· · (x − 3) − x + = 16 x−2 x−2 x−2 " #3 " #2 (x − 3)2 (x − 3)2 ⇔− −3 = 16 x−2 x−2  (x − 3)2 = y phương trình có dạng: Đặt x−2 
y+4=0 −y − 3y = 16 ⇔ y + 3y + 16 = ⇔ (y + 4) y − y + = ⇔  y2 − y + = (x − 3)2 + = ⇔ x2 − 2x + = ⇔ x = x−2 * Xét y − y + = vô nghiệm * Xét y + = ⇔ Vậy tập nghiệm phương trình S = {1} Bài Giải phương trình: x2 + 3x + x2 + 4x + x2 + x + x2 + 2x + + = + x+1 x+2 x+2 x+4 ĐK: x 6∈ {−4; −3; −2; −1} Phương trình viết dạng x+1+ +x+1+ =x+1+ +x+1+ x+1   x+2 x+4   x+3 −3x −x ⇔ − + − =0⇔ + =0 x+1 x+4 x+2 x+3 (x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3)   ⇔x + = (x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3) * Xét x = nghiệm phương trình * Xét + = (x + 1) (x + 4) (x + 2) (x + 3) √ −5 −  x= √ (tmđk) Quy đồng khử mẫu, thu gọn ta được: 4x2 + 20x + 22 = ⇔  −5 + x= √ √   −5 − −5 + Vậy tập nghiệm phương trình S = 0; ; 2  16 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI BÀI TẬP Giải phương trình sau 1) x3 − 3x2 + x + = 0; 2) x3 − 5x2 + x + = 0; √ 3) x3 + 2x − = 0; √ 4) x3 − x − = 0; 5) (x − 2)3 + (x + 1)3 = 8x3 − 6) x4 − 2x3 − x2 − 2x + = 0; 7) x4 − 10x3 + 26x2 − 10x + = 0; 8) x4 + x3 − 4x2 + x + = 0; 9) 2x4 + x3 − 11x2 + x + = 0; 10) x4 − 7x3 + 14x2 − 7x + = 0; 11) x4 + x3 − 10x2 + x + = 0; 12) x4 − 3x3 − 6x2 + 3x + = 0; 13) x4 − 3x3 + 3x + = 0; 14) x4 + 3x3 − 14x2 − 6x + = 0; 15) 6x5 − 11x4 − 11x + = 0;
16) x4 + = 5x x2 − ;

2 17) x2 − 6x − = x x2 − 4x − ;

18) x2 − 2x + x2 + 3x + = 14x2 ;

19) 2x2 − 3x + 2x2 + 5x + = 9x2 ; √ √ 20) 2x3 − 22x2 + 17 2x − = 0; √ 21) x4 − 12x2 + 16 2x − 12 = 0; 22) x (x + 1) (x + 2) (x + 3) = 8; 23) x (x − 1) (x + 1) (x + 2) = 3; 24) (x + 2) (x + 3) (x − 7) (x − 8) = 144; 25) (x + 5) (x + 6) (x + 8) (x + 9) = 40; 26) (4x + 3)2 (x + 1) (2x + 1) = 810; 27) (6x + 5)2 (3x + 2) (x + 1) = 35;
3
2 28) x2 − x + = 27 x2 − x ; 29) (x + 5) (x + 6) (x + 7) = 84; 30) (x − 2)3 + (x − 4)3 = 8; 17 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 31) (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272; 32) (x + 2)4 + (x + 4)4 = 82; √ √
4 33) x + + (x + 1)4 = 33 + 12 2; 34) (x − 2)6 + (x − 4)6 = 64;
2 35) x2 − 6x − (x − 3)2 = 81;
36) x4 + (x + 1) 5x2 − 6x − = 0;
37) x4 + (x − 1) 3x2 + 2x − = 0;
2
38) x2 + + (x + 2) 3x2 − 4x − = 0;
39) x2 (x − 1)2 + x x2 − = (x + 1)2 ; 40) x5 + x2 + 2x + = 0; 41) x4 − x2 + 2x − = 0; 42) x4 − 9x2 + 24x − 16 = 0; 43) x4 = 2x2 + 8x + 3;
2 44) x2 − 16 = 16x + 1;
2 45) x2 − a2 = 4ax + 1; 46) x4 = 4x − 3; 47) x4 = 2x2 − 12x + 8; 48) x4 = 4x + 1; 49) x4 = 8x + 7; 50) x3 − 3x2 + 9x − = 0; 51) x3 − x2 − x = ; 52) (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2;
3 √
3 √ √
3 √ 53) x − + x + + − − 2x = 0; 54) x3 − 3abx + a3 + b3 = (a, b tham số);
55) (a + b + x)3 − a3 + b3 + x3 − 12abx = (a, b tham số)

56) x2 + x2 + 9x = 22 (x − 1)2 ; 57) 2x4 − 21x3 + 34x2 + 105x + 50 = 0; = 58) − ; 4x − 12x + 9 − 4x 4x + 12x + 1 59) + + = ; x + 5x + x + 11x + 28 x + 17x + 70 4x − x+1 x−2 x−3 x+4 60) + + + = 4; x−1 x+2 x+3 x−4 1 1 61) − = − ; 2008x + 2009x + 2010x + 2011x + 13 62) + = ; 3x − 4x + 3x + 2x + x 18 - CÁCH GIẢI CÁC 63) 64) 65) 66) 67) 68) 69) 70) 71) 72) 73) 74) 75) 76) 77) 78) 79) 80) 81) 82) 83) 84) 85) 86) DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI 1 + = 15; x (x + 1)2  2  2 x+1 x−2 x+1 = 12 + ; x−2 x−3 x−3 1 1 + + = ; x + 9x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 x−1 x−2 x−4 x−5 − − + = 0; x+2 x+3 x+5 x+6 1 1 + = − ; 4x − 2006  5x + 2004  15x − 2007 6x − 2005 2 x−2 x+2 x2 − 10 = 0; + − 11 · x+1 x−1 x −1 x3 3x2 x3 + + − = 0; (x − 1)3 x − 1 + = ; (2x − 1)2 (3x + 1)2 (x + 2)2 + = ; x − 3x + x − 3x + x − 3x + 1 + = ; x2 − 2x + x2 − 2x + (x2 − 2x + 4) + = 1; (x + 1) (x + 2) (x − 1) (x + 4) x2 + 2x + x2 + 2x + + = ; x + 2x + x + 2x + 81x x2 + = 40; (x + 9)2 x2 x2 + = 15; (x + 1)2 x4 2x2 + + = 2; 2x2 +  x4   1 x + = 13 x + ; x x   1 x + = 13 x + ; x x 4x 3x + = 1; 4x2 − 8x + 4x2 − 10x + 2x 13x + = 6; 2x − 5x + 2x + x + 3x 7x + = −4; x2 − 3x + x2 + x + x2 − 10x + 15 4x = ; x2 − 6x + 15 x2 − 12x + 15 x2 − 3x + x2 − 5x + − =− ; x − 4x + x − 6x + 4x x2 + = 5; (x + 2)2 25x2 x2 + = 11; (x + 5)2 19 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 2  2 x−1 x−1 40 + = ; x x−2  2  2 x+2 x−2 x2 − + − · = 0; x+1 x − x −   x (3 − x) 3−x · x+ = 2; x+1 x + 1  5−x x (5 − x) · x+ = 6; x+1  x + 1 8−x 8−x · x− = 15; x· x−1 x−1 1 1 1 1 + + + = + + + ; x x+2 x+5 x+7 x+1 x+3 x+4 x+6 19 (1995 − x)2 + (1995 − x) (x − 1996) + (x − 1996)2 = ; 2 49 (1995 − x) − − x) (x
− 1996) + (x −
(1995
1996) 2 x − 3x + x + 3x + x − 9x + 20 = −30;

2x2 − 3x + 2x2 + 5x + = 9x2 ;  87) 88) 89) 90) 91) 92) 93) 94) 95) 96) (x + 2) (x + 3) (x + 8) (x + 12) = 4x2 ; 10 + = ; 97) 2x − x + 2x − x + 2x − 10x + x (x + 1) (x + 4) (x + 3) + 98) = 3; (x + 2)2 (x + 5) (x − 1) + x2 + 2x + x2 + 8x + 20 x2 + 4x + x2 + 6x + 12 99) + = + ; x + 4 x+2  x+3 x + 1     2 x+6 x+4 x−6 x+9 x2 + 36 ; 100) + =2· x−6 x−4 x+6 x−9 x − 36 x + = ; 101) x + 2x − x − 2x+ x2 48 x 102) + = 10 − ; x x 103) (8x + 7)2 (4x + 3) (x + 1) = 7; x2 104) x2 + = 3; (x + 1)2 4x2 + 16 105) − = + ; x +6 x +1 x +
x +
106) x2 + x + x2 + 2x + = 2x2 ;
2
2 107) x2 + 2x − − x2 + 3x − + 5x2 = 0; x 3x 108) − − = 0; x − x − x − 5x − 109) (x + 5) (x + 6) (x + 10) (x + 12) = 3x2 ; 2x 7x 110) − = 1; 3x − x + 3x + 5x + 4x2 111) x2 + = 12; (x + 2)2  2  2 x−2 x+2 x2 − 112) 20 −5 + 48 · = 0; x+1 x−1 x −1 20 - CÁCH GIẢI CÁC 113) 114) 115) 116) 117) 118) 119) 120) 121) 122) 123) DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI x2 = − 4x; (x + 1)2 x2 − 2x − x2 − 4x − − = 2; x2 − 3x − x2 − 5x − 1 = ; + 2 x (4 − x) = ; + x2 (x + 1)2 x x − 2x + = ; x2 − 3x + x2 + x + 9x2 = 16; x2 + (x − 3)2 1 + = ; 2 (x2 − x + 1) (x2 − x + 2) 2x + = x3 − 1; x4 + x2 = 3x2 − 16x + 8; (x + 1)2 1 + = ; x2 (x + 1) (2x + 1)2 x3 − 39x + 70 = 0; 124) x3 − 9x + 28 = 0; √ 125) x3 − x − = 0; 126) x3 − 3x2 + 3x + = 0; 127) x3 + 6x2 − 12x + = 0; 128) x4 − 4x3 − 3x2 + 14x + = 0; 129) (x + 1) (2x + 1) (3x + 1) (6x − 1) = 120; 130) x4 − x3 − 14x2 − 3x + = 0;

131) x2 + 3x + x2 + 9x + 18 = 168x2 ;
2
4 132) x2 − x + + 4x4 = 5x2 x2 − x + ; 133) x2 + (x + 1)3 + (x + 2)4 = 2; 134) x4 − 2x2 − 64x − 255 = 0;
135) x4 + (x − 2) x2 − 2x + = 0;
2
2 136) x2 + 3x + = x2 − x − ;

137) 12x2 − (x + 3) + 2x2 + 7x + (x − 3) = 0; 138) x3 − 3x2 − 6x + = 0; 139) 64x3 = (x − 2)3 + (3x + 2)3 ; 140) (x − 1) (x + 2) (x − 6) (x − 3) = 34;

141) x2 − 3x + x2 − 2x + = 2x2 ; 21 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI 142) (6 − x)4 + (x − 8)4 = 16; 1 (x − 3)3 − (x − 5)3 = 0; 143) 27 125 144) 125x3 − (2x + 1)3 − (3x − 1)3 = 0; 145) (x − 3)3 + (x + 1)3 = (x − 1)3 ; 146) x3 − 5x2 + 8x − = 0; 147) x4 − 4x2 + 12x − = 0; 148) (x + 1) (x + 2) (x + 3) (x + 4) − 24 = 0;

149) x2 − 3x + x2 + 15x + 56 + = 0;

150) 2x2 − 3x + 2x2 + 5x + − 9x2 = 0; 151) (x + 6)4 + (x + 8)4 = 272; 152) (5 − x)4 + (2 − x)4 = 17; 153) x5 = x4 + x3 + x2 + x + 2; 154) 5x3 + 6x2 + 12x + = 0;




155) x2 + 11x + 12 x2 + 9x + 20 x2 + 13x + 42 = 36 x2 + 11x + 30 x2 + 11x + 31 ; 12 = ; 156) + 2+x x +8 1 1 157) + + + = ; x + 4x + x + 8x + 15 x + 12x + 35 x + 16x + 63 18 18 158) + = ; x + 2x − x2 + 2x + x + 2x + 4x 3x + = 1; 159) 4x − 8x + 4x − 10x + 9x2 = 40; 160) x2 + (x + 3)2 −3 161) − = ; x + x − x + 4x + 2x − 4x2 + 16 162) = + + ; x +6 x +1 x +3 x +5 + = ; 163) x − 2x + x − 2x + x − 2x + x2 + 2x + 164) = x2 + 2x + 4; (x + 1)2 + 2x 7x 165) − = 1; 3x − x + 3x + 5x +2  x2 18 x 166) + = 13 − ; x x   1 − = 0; 167) x (x − 1) + x x  x 2  x 2 168) + = 90; x+  x −1 2 x−2 x+2 x2 − 169) 20 −5 + 48 · = 0; x+1 x−1 x −1 170) x3 − 2x2 − 2x + = 0; 22 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI √ 171) x3 + 2x − = 0; √ 172) x3 − x − = 0; √ √ 173) x3 + 2x2 + 2x + 2 = 0;
3 √
3 √ √
3 √ 174) x − + x + + − − 2x = 0; 175) x3 − 3x2 + 9x − = 0; 176) x3 − x2 − x = ; 177) x3 + 3x − = 0; 178) x3 + 6x + = 0; 179) x3 + 12x − = 0; 180) 2x4 + 3x3 − 16x2 + 3x + = 0; 181) x5 − 2x4 + x3 + x2 − 2x + = 0; 182) (x + 3)4 + (x + 5)4 = 16; 183) (x + 4) (x + 6) (x − 2) (x − 12) = 25x2 ; 184) (x + 5) (2x + 12) (2x + 20) (x + 12) = 3x2 ; 185) (4x + 1) (12x − 1) (3x + 2) (x + 1) = 4; √ 186) x4 + x2 − 2x + = 0; 187) x4 − 4x = 1; 188) x4 − 8x + = 0; 189) x4 = 3x2 + 10x + 4; √ √ 190) x4 − 2x2 − x + − = 0; 191) x4 − 10x3 − (a − 11) x2 + (5a + 6) x + 2a + a2 = 0, (a > −6); √ 192) x6 − 7x2 + = 0;
193) x2 − 16 (x − 3)2 + 9x2 = 0; 194) x4 − 4x3 − 10x2 + 37x − 14 = 0;
2 195) x2 − 6x − = x3 − 4x2 − 9x; 196) x4 − 2x2 − 400x = 9999;
2 197) x2 − a − 6x2 + 4x + 2a = 0;




198) 38 x2 + 11x + 30 x2 + 11x + 31 = x2 + 11x + 12 x2 + 9x + 20 x2 + 13x + 42 ; 1 13 + = ; 199) 2 2 36 (x + x + 1) (x + x + 2)  2  2   x+3 x−3 x −9 + 168 − 46 = 0; 200) x−2 x+2 x2 −  2  2   x−2 x+2 x −4 201) 20 −5 + 48 = 0; x+1 x−1 x−1 23 CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI - CÁCH GIẢI 2  2   x+2 x−2 x2 − + − = 0; x+1 x−1 x2 − 3x 4x + = 1; 4x − 8x + 4x − 10x + 4x 5x + = −1; x2 − 8x + x2 − 10x + x2 − 10x + 15 4x = ; x − 6x + 15 x − 12x + 15 x2 − 3x + x2 − 5x + − =− ; x − 4x +5 x − 6x  +5 3−x 3−x x+ = 2; x x + 1 x + 1  8−x 8−x x x− = 15; x−1 x−1  x 2 = x + x+1  202) 203) 204) 205) 206) 207) 208) 209) 24