Đề và ĐA thi thử ĐH số 25

x ĐỀ THI THỬ SỐ 25 THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi: TOÁN, khối A, B Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x 4 − 8x 2 + 7 (1). 1. Khảo sát sự biết thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng y = mx – 9 tiếp xúc với đồ thị của hàm số (1).  π   π  Câu II (2 điểm) 1.Giải phương trình sin  2x −   = sin  x −  + 2 . 4   4  2 2. Giải bất phương trình 1 1 − x 2 + 1 > 3x . 1 − x 2 Câu III (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 3y – 3z + 1 = 0, đường thẳng d : x − 3 = y = z + 5 và ba điểm A(4 ; 0 ; 3), B( - 1 ; - 1 ; 3), C(3 ; 2 ; 6). 2 9 1 1. Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt phẳng (P). 2. Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính lớn nhất. Câu IV (2 điểm) 1. Tính tích phân π 2 I = ∫ sin 2 xdx . 0 3 + 4sin x − cos 2 x 2. Chứng minh rằng phương trình 4 x ( 4 x 2 + 1 ) = 1 có đúng 3 nghiệm thực phân biệt. PHẦN RIÊNG Th í s i nh c h ỉ đượ c l àm 1 t r ong 2 c âu: V.a hoặ c V.b Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban (2 điểm) 1. Tìm hệ số của số hạng chứa x 5 trong khai triển nhị thức Niutơn của (1 + 3x) 2n , biết rằng A 3 + 2 A 2 = 100 (n là số nguyên dương, A k là số chỉnh hợp chập k của n phần tử). n n n 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x 2 + y 2 = 1. Tìm các giá trị thực của m để trên đường thẳng y = m tồn tại đúng 2 điểm mà từ mỗi điểm có thể kẻ được hai tiếp tuyến với (C) sao cho góc giữa hai tiếp tuyến đó bằng 60 o . Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm) 1. Giải phương trình 3 + 1 = log  9x − 6  . log 3 x    x  2. Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông, SA = SB = SC = a. Gọi N, M, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC ; D là điểm đối xứng của S qua E ; I là g ia o điểm của đường thẳng AD với mặt phẳng (SMN). Chứng minh rằng AD vuông góc với SI và tính theo a thể tích của khối tứ diện MBSI. ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn: Toán (đề số 2), khối A Câu Nội dung Điểm I 2,00 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm) Tập xác định : D = R. Sự biến thiên : y ' = 4x 3 - 16x = 4x ( x 2 - 4 ) , y ' = 0 Û x = 0 hay x = ± 2 0,25 y CĐ = y(0) = 7; y CT = y( ± 2 ) = - 9. 0,25 Bảng biến thiên : x -∞ -2 0 2 +∞ y’ - 0 + 0 - 0 + y +∞ 7 +∞ -9 -9 0,25 Đồ thị : y 7 -2 -1 2 − 7 O 1 7 x -9 0,25 2 Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng … (1,00 điểm) Đường thẳng y = mx – 9 tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương 4 2 trình sau có nghiệm:    x − 8x + 7 = mx − 9 (1)   4x 3 − 16x = m (2) 0,25 Thay (2) vào (1) ta được x 4 − 8x 2 + 7 = ( 4 x 3 − 16 x ) x − 9 ⇔ 3x 4 − 8x 2 − 16 = 0 ⇔ x = ±2. 0,50 Thay x = ±2 vào (2) ta được m=0. Suy ra m = 0 là giá trị cần tìm. 0,25 II 2,00 1 Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm) Phương trình tương với 2 ( s i n 2x − cos 2 x ) = 2 ( s i n x − cos x ) + 2 2 2 2 ⇔ ( c os x − sin x )( 2 cos x − 1 ) = 0. 0,50 • cos x - sin x = 0 Û t gx = 1 Û x = p + k p, k Î Z . 4 • 2 cos x - 1 = 0 Û cos x = 1 Û x = ± p + k 2p, k Î Z . 2 3 Nghiệm của phương trình đã cho là: x = p + k p hay x = ± p + k 2p với k Î Z . 4 3 0,50 2 Giải bất phương trình… (1,00 điểm) Điều kiện: x < 1 . Bất phương trình đã cho tương đương với 1 − x 2 + x 2 3x x 2 3x + 1 > ⇔ − + 2 > 0 ( 1 ) . 1 − x 2 1 − x 2 1 − x 2 1 − x 2 Đặt t = x , khi đó bất phương trình (1) trở thành: 1 − x 2 t 2 - 3t + 2 > 0 Û t < 1hay t > 2. 0,25 a. Với t<1 thì x < 1 ⇔ x < 1 − x 2 (2). 1 − x 2 Nếu − 1 < x ≤ 0 thì bất phương trình (2) đúng. Nếu 0 < x < 1 thì bất phương trình (2) ⇔ x 2 < 1 − x 2 ⇔ 0 < x < 1 . 2 Tập nghiệm của bất phương trình (2) là S =  − 1; 1  .   1  2  0,25 b. Với t > 2 thì x > 2 ⇔ x > 2 1 − x 2 (3). 1 − x 2 ( Điều kiện: x < 1 ) Bất phương trình (3) ⇔  x > 0 ⇔ x > 2 5 .   x 2 > 4 ( 1 − x 2 ) 5  2 5  Tập nghiệm của bất phương trình (3) là S 2 =  ;1  .  5    0,25 Nghiệm của bất phương trình là S = S ∪ S =  − 1; 1  ∪  2 5 ;  1 2    1  .  2   5    0,25 III 2,00 1 Viết phương trình mặt cầu… (1,00 điểm) 2,00  IA = IB Tâm I(a ; b ; c) của (S) xác định bởi hệ  IA = IC   I ∈ ( P )  0,25  ( 4 − a ) 2 + ( 0 − b ) 2 + ( 3 − c ) 2 = ( − 1 − a ) 2 + ( − 1 − b ) 2 + ( 3 − c ) 2  2 2 2 2 2 2  ( 4 − a ) + ( 0 − b ) + ( 3 − c ) = ( 3 − a ) + ( 2 − b ) + ( 6 − c )  2a + 3b − 3c + 1 = 0   a = 1 ⇔  = 2  b   c = 3. 0,50 Bán kính của (S) là R= 13 . Phương trình của (S) là: ( x − 1 ) 2 + ( y − 2 ) 2 + ( z − 3 ) 2 = 13. 0,25 2 Viết phương trình mặt phẳng (Q)…(1,00 điểm) Mặt phẳng (Q) cần tìm chính là mặt phẳng chứa d và đi qua tâm I của (S). 0,25 Đường thẳng d đi qua M(3 ; 0 ; - 5) có vectơ chỉ phương là u = ( 2;9;1 ) . Ta có IM = ( 2;−2;−8 ) = 2 ( 1;−1;−4 ) , do đó vectơ pháp tuyến của (Q) là 1 [ IM , u ] = ( 35 ; − 9 ; 11 ) . 2 0,50 Mà (Q) đi qua I(1 ; 2 ; 3) nên phương trình của (Q) là: 35 ( x − 1 ) − 9 ( y − 2 ) + 11 ( z − 3 ) = 0 ⇔ 35x − 9 y + 11z − 50 = 0. 0,25 IV 2,00 1 Tính tích phân…(1,00 điểm) π 2 sin x.cos xdx Ta có: I = ∫ sin 2 x + 2 sin x + 1 0 Đặt t = sinx ⇒ dt = cosxdx. Với x = 0 thì t= 0, với x = π thì t = 1. 2 0,50 1 tdt 1  1  t 1 1 dt Suy ra I = ∫ ( t + 1 ) 2 = − ∫ td  t + 1  = − t + 1 + ∫ t + 1 0 0   0 0 = − 1 + ln t + 1 1 = − 1 + ln 2. 2 0 2 1 1 1 1 Cách khác: I = ò t + 1 - 1 dt = dt - dt = (ln t + 1 + 1 ) ( t + 1 ) 2 ò t + 1 ò (t + 1) 2 t + 1 0 0 0 0 0,50 2 Chứng minh p t có đúng 3 nghiệm thực phân biệt (1,00 điểm) Phương trình đã cho tương đương với: 4 x ( 4 x 2 + 1 ) − 1 = 0 Xét hàm số f ( x ) = 4 x ( 4 x 2 + 1 ) − 1 với x ∈ R Có f ' ( x ) = 4 x ln 4 ( 4 x 2 + 1 ) + 8x.4 x = 4 x [ l n 4 ( 4 x 2 + 1 ) + 8 x ] 0,50 f ' ( x ) = 0 ⇔ ln 4 ( 4 x 2 + 1 ) + 8x = 0 ⇔ ( 4 ln 4 ) x 2 + 8x + ln 4 = 0 ( * ) Phương trình (*) có biệt thức ∆ > 0 nên có đúng hai nghiệm phân biệt. Từ bảng biến thiên của f(x) suy ra phương trình f(x) = 0 có không quá 3 nghiệm phân biệt Mặt khác: f  − 1  = 0, f ( 0 ) = 0, f ( − 3 ) . f ( − 2 ) < 0    2  Do đó phương trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt: x = 0, x = 1 , x ∈ ( − 3 ; − 2 ) . 1 2 2 3 0,50 V.a 2,00 1 Tìm hệ số…(1,00 điểm) Điều kiện: n ∈ N , n ≥ 3. Ta có A 3 + 2A 2 = n ! + 2 n ! = n 2 ( n - 1 ) . n n ( n - 3 ) ! ( n - 2 ) ! Do đó A 3 + 2 A 2 = 100 ⇔ n 2 ( n − 1 ) = 100 ⇔ n = 5. n n 0,50 Do đó ( 1 + 3x ) 2 n = ( 1 + 3x ) 10 = C 0 + C 1 ( 3x ) + . + C 10 ( 3x ) 10 . 10 10 10 Hệ số của số hạng chứa x 5 là C 5 .3 5 = 61236. 10 0,50 2 Đường tròn có tâm O(0 ; 0) và bán kính R=1. Giả sử PA, PB là hai tiếp tuyến (A, B là các tiếp điểm). • Nếu AP ˆ B = 60 o ⇒ OP = 2 ⇒ P thuộc đường tròn (C 1 ) tâm O bán kính R=2. • Nếu AP ˆ B = 120 o ⇒ OP = 2 ⇒ P thuộc đường tròn (C ) 2 3 tâm O bán kính R = 2 . 0,50 Đường thẳng y = m thỏa mãn yêu cầu bài toán cắt đường tròn (C 1 ) và không có điểm chung với đường tròn (C 2 ). • Đường thẳng y = m cắt (C 1 ) ⇔ −2 < m < 2 . • Đường thẳng y = m không có điểm chung với (C ) ⇔ m < − 2 hoặc m > 2 . 2 3 3 Suy ra các giá trị cần tìm của m là − 2 < m < − 2 va 2 < m < 2. 3 3 0,50 V.b 2,00 1 Giải phương trình lôgarit (1,00 điểm) 2,00  0 < x ≠ 1 Điều kiện   6   9x − x > 0. 0,50 Phương trình đã cho tương đương với log ( 3x 3 ) = log  9x − 6  x x    x  Û 3x 3 = 9x - 6 Û x 4 - 3x 2 + 2 = 0 Û x = ± 1 hay x = ± 2. x Đối chiếu với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = 2. 0,50 2 Tính thể tích … (1,00 điểm) Ta có SA ⊥ (SBC) ⇒ SA ⊥ BD. Mà BD ⊥ SB ⇒ BD ⊥ (SAB) ⇒ BD ⊥ SM. Mà SM ⊥ AB (do tam giác SAB vuông cân) ⇒ SM ⊥ (ABD) ⇒ SM ⊥ AD. Chứng minh tương tự ta có SN ⊥ AD ⇒ AD ⊥ (SMIN) ⇒ AD ⊥ SI. 0,50 Ta có AD = SA 2 + SD 2 = a 3 2 SD 2 = DI .DA ⇒ DI = SD = 2a 3 . DA 3 SM = MB = AB = a 2 . 2 2 Kẻ IH ⊥ AB (H ∈ AB). A I N H C M D E S B Suy ra IH // BD. Do đó IH = AI = AD − DI = 1 BD AD AD 3 ⇒ IH = 1 DB = a . Mặt khác SM ⊥ (ABD) nên 3 3 1 1 1 a 2 a 2 a a 3 V MBSI = SM .S ∆ MBI = SM .BM .IH = . . . = (đvtt). 3 6 6 2 2 3 36 0,50 Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì được đủ điểm từng phần như đáp án quy định. . x ĐỀ THI THỬ SỐ 25 THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG Môn thi: TOÁN, khối A, B Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO. I (2 điểm) Cho hàm số y = x 4 − 8x 2 + 7 (1). 1. Khảo sát sự biết thi n và vẽ đồ thị của hàm số (1). 2. Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng