ĐỀ thi HSG huyện năm 2018 2019 (2)

PHÒNG GD&ĐT HẠ HÒA HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2018 – 2019 Mơn: Tốn I PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8 điểm) Mỗi câu 0,5 điểm Câu Câu Câu A B;D C Câu Câu 10 Câu 11 C B A II PHẦN TỰ LUẬN (12 điểm) Câu B Câu 12 C Câu C Câu 13 A;C Câu D Câu 14 C Câu D Câu 15 D Hướng dẫn giải điểm Câu a Chứng minh p, q số nguyên tố lớn p − q chia hết cho 24 Vì p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho ⇒ p − 1M (*) Mặt khác ta có ( p − 1) p ( p + 1) M a Vì p − 1; p + hai số chẵn liên tiếp nên số bội , số bội ( 1,5 điểm) Do ( p − 1) ( p + 1) = p − 1M (**) Mặt khác ( 8,3) = (***) Từ (*), (**) (***) suy p − 1M24 Tương tự ta có: q − 1M24 ⇒ ( p − 1) − ( q − 1) = p − q M24 2 Câu A Câu 16 B 2 0,5 0,5 0,25 0,25 b Cho số a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1; a + b + c = 1; a + b3 + c3 = Chứng minh: a 2017 + b 2018 + c 2019 = Ta có a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca) ⇒ − 3abc = − ab − bc − ca ⇔ ab + bc + ca = 3abc 12 = ( a + b + c ) = a + b + c + ( ab + bc + ca ) b ( 1,5 điểm) a = ⇒ ab + bc + ca = ⇒ abc = ⇔ b =  c = b + c =  2 Nếu a = => b + c = b3 + c =  ⇒ b + c + 2bc = ⇒ 2bc = ⇒ (a,b,c) =(0,0,1) (a,b,c) =(0,1,0) 0,25 0,25 0,25 0,5 Trang- 1/5 Nếu b = làm tương tự =>(a,b,c) =(0,0,1) (a,b,c) =(1,0,0) Nếu c = làm tương tự =>(a,b,c) =(0,1,0) (a,b,c) =(1,0,0) Vậy trường hợp ta có P = 0,25 3,5 điểm Câu a Giải phương trình: a (1,75 điểm) x3 + x + 3x + + x = x + + x + x  x3 + x + 3x + ≥  2 x ≥ ⇔ x≥0 + Điều kiện xác định:  x + ≥ 2 x + x ≥  + Viết lại phương trình ( x + 1) ( x + 3) + x = x + + x ( x + 1) ⇔ 0,25 ( 2x − x2 + )( 0,5 + Phương trình x − x + = ⇔ x − x + = vô nghiệm 0,5 + Phương trình x + − = ⇔ x = (thỏa mãn ĐKXĐ) 0,25 + Kết luận nghiệm PT x = b ( 1,75 điểm) ) x +1 −1 = 0.25  xy + x + = y ( *) b Giải hệ phương trình:  2 x y + xy + = 13 y  1 = ( ) ⇒ y ≠ Thay y = vào hệ ta có:  1 = 0,25 x  x+ + =7  y y  xy + x + = y  ⇒ ( **) Với y ≠ ta có:  2 x x y + xy + = 13 y  x + + = 13  y y2 0,25  a = x +  y ⇒ x + = a − 2b Đặt  y b = x  y 0,5  a =  a + b = b = ⇔ Kết hợp với ( **) ta có hệ phương trình:  a − b = 13  a = −5   b = 12 Trang- 2/5 Với  x =   y = a =  x = y ⇒ ⇔  x =   b = 3 y − y + =  y =   0, 25  x + = −5   x = 12 y y a = −5  ⇒ ⇒ Với  b = 12 12 y + y + = ( )  x = 12  y 0,25  1 Vậy hệ phương trình có nghiệm: ( x; y ) = ( 3;1) ; ( x; y ) = 1; ÷  3 0,25 Cho đường tròn (O) có dây BC cố định không qua tâm O Điểm A di động đường tròn cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao BE, CF tam giác ABC cắt H Gọi K giao điểm hai đường thẳng EF BC đoạn thẳng KA cắt (O) M Chứng minh Câu a Tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn điểm b KM KA = KB.KC c Đường thẳng MH qua điểm cố định A di động đường tròn (O) a (1 điểm) Do BE;CF đường cao tam giác Do tứ giác BCEF tứ giác nội tiếp nên 0,5 0,5 Trang- 3/5 b (1,0 điểm) · · Vì tứ giác AMBC nội tiếp nên KMB = KCA 0,25 · · µ chung; KMB ⇒ VKBM ~ VKCA (g.g) Xét VKBM VKAC có K = KCA 0,25 ⇒ KB KM = ⇒ KM KA = KB.KC (1) (ĐPCM) KA KC Chứng minh tương tự phần b ta có KE.KF = KB.KC (2) Từ (1); (2) suy KM KA = KE.KF Từ KM KA = KE.KF suy tứ giác EFMA nội tiếp (3) Có ·AEH = ·AFH = 900 suy tứ giác AEHF nội tiếp(4) Từ (3),(4) suy điểm A,M,F,H,E thuộc đường tròn c Do ·AMH = ·AFH = 900 (2 điểm) Gọi A’ điểm đối xứng với A qua O Chứng minh M,H,A’ thẳng hàng Chứng minh BH//CA’; CH//BA’ nên BHCA’ hình bình hành Suy MH qua trung điểm I cố định BC Cho số dương x,y,z thỏa mãn x + y + z = 2018 Tìm giá trị nhỏ của: 2018 2018 + x y − z Câu P= + + x y 2018 − y (1,5 2018 2018 + x y − z P= + + điểm) x y 2018 − y = x + y + z 2x + y + z y − 4z + + x y x+z  y x z+x x+z 4x 4y =  + ÷+ + + + −3 x y x y x + z x + z   y x + ≥2 Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta có: x y z+x 4x z + x 4x + ≥2 = 2.2 = x x+z x x+z Tương tự : 0,5 0, 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,5 điểm 0,5 0,25 0,25 x+z 4y + ≥4 y x+z Trang- 4/5 Suy P ≥ + – = Đẳng thức xảy x = y = z = Kết luận: Pmin = ⇔ x = y = z = 2018 2018 0,25 0,25 Trang- 5/5 ... Cho số dương x,y,z thỏa mãn x + y + z = 2018 Tìm giá trị nhỏ của: 2018 2018 + x y − z Câu P= + + x y 2018 − y (1,5 2018 2018 + x y − z P= + + điểm) x y 2018 − y = x + y + z 2x + y + z y − 4z... ⇒ KB KM = ⇒ KM KA = KB.KC (1) (ĐPCM) KA KC Chứng minh tương tự phần b ta có KE.KF = KB.KC (2) Từ (1); (2) suy KM KA = KE.KF Từ KM KA = KE.KF suy tứ giác EFMA nội tiếp (3) Có ·AEH = ·AFH = 900... + ≥4 y x+z Trang- 4/5 Suy P ≥ + – = Đẳng thức xảy x = y = z = Kết luận: Pmin = ⇔ x = y = z = 2018 2018 0,25 0,25 Trang- 5/5