cong thuc toan hoc 7

3 1.3K 15
cong thuc toan hoc 7

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC A. Kiến thức cơ bản 1. Phương pháp qui nạp toán học Để chứng minh những mệnh đề liên quan đến số tự nhiên n ∈ N* là đúng với mọi n mà không thể thử trực tiếp được, ta có thể dùng phương pháp quy nạp toán học (hay gọi tắc là phương pháp quy nạp) như sau: - Bước 1: Kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n = 1. - Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1 bất kì (gọi là giả thiết quy nạp) - Bước 3: Chứng minh rằng nó cũng đúng vớii n = k + 1. 2. Các kiến thức cần nhớ: * Cách viết số tự nhiên:  Các số tự nhiên liên tiếp: n ; n + 1 ; n + 2 ; …  Các số tự nhiên chẵn liên tiếp: 2n ; 2n + 2 ; n + 4 ; …  Các số tự nhiên lẻ liên tiếp: 2n + 1 ; 2n + 3 ; n + 5 ; … * Tính chất chia hết:  Các số chẵn thí chia hết cho 2.  Các số tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5.  Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.  Các số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.  Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 4 thì chia hết cho 4.  Số tạo bởi hai chữ số tận cùng chia hết cho 25 thì chia hết cho 25.  Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 thì chia hết cho 8.  Số tạo bởi 3 chữ số tận cùng chia hết cho 125 thì chia hết cho 125.  Một số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 thì chia hết cho 6.  Tích của hai số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2.  Tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3 và 6.  Tích của bốn số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 2, 3, 4, 6, 8. * Tính chất lũy thừa:  a m . a n = a m+n  a m :a n = a m – n  (ab) n = a n . b n  (a m ) n = a m.n  n n n b a b a =        n m n m aa = * Phân tích đa thức ax 2 + bx + c thành nhân tử : Nếu phương trình ax 2 + bx + c = 0 có 2 nghiện phân biệt x 1 , x 2 thì: ax 2 + bx + c = a(x – x 1 )(x – x 2 ) B. Bài tập 1. Chứng minh rằng: Với mọi n ∈ N*: a) n 5 – n  5 b) 6 2n + 3 n+2 + 3 n  11 c) 13 n – 1  6 d) n 3 + 2n  3 e) 3 n + 2n – 1  4 f) 3 2n – 1  8 g) 3 2n-1 + 2 n+1  7 h) 4.3 2n+2 + 32n – 36  64 i) 4 n + 15n – 1  9 j) n 3 + 11n  6 k) 16 n – 15n – 1  225 l) n 3 – n  3 m) n 3 + 3n 2 + 5n  3 n) 3n 3 + 15  9 o) n 7 – n  7 p) 2n 3 – 3n 2 + n  6 2. Chöùng minh raèng: Vôùi moïi n ∈ N*: a) 1 + 2 + 3 + … + n = 2 )1n(n + b) 4 )1n(n n321 22 3333 + =++++  c) )1n(nn2642 +=++++  d) 1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n 2 e) 1n n )1n(n 1 3.2 1 2.1 1 + = + +++  f) nn32 3.4 3n2 4 3 3 1 3 1 3 1 3 1 + −=++++  g) n n n 2 12 2 1 8 1 4 1 2 1 − =++++  h) 3 + 9 + 27 + … + 3 n = )33( 2 1 1n − + i) 2 )1n3(n )2n3(741 − =−++++  j) 2 + 5 + 8 + … + 3n– 1 = 2 )1n3(n + k) 6 )1n2)(1n(n n321 2222 ++ =++++  l) 1 – 2 + 3 – 4 + … – 2n + (2n + 1) = n + 1 m) )2n)(1n(4 )3n(n )2n)(1n(n 1 4.3.2 1 3.2.1 1 ++ + = ++ +++  n) 2 )1n(n)1n3(n7.24.1 +=++++  o) 3 )2n)(1n(n )1n(n4.33.22.1 ++ =+++++  vôùi n ≥ 2 p) 3 )1n2)(1n(n2 )n2(642 2222 ++ =++++  q) 1.2 + 2.5 + 3.8 + … + n(3n – 1) = n 2 (n + 1) r) 3 )1n4(n )1n2(531 2 2222 − =−++++  s) 1 + 3 + 6 + 10 + … + 2 )1n(n + = 6 )2n)(1n(n ++ 3. Chöùng minh raèng: Vôùi moïi n ∈ N*: a) 2 n ≥ 2n + 1 vôùi n ≥ 3 b) 2 n > n 2 vôùi n ≥ 5 c) n n ≥ (n + 1) n–1 d) n! > 2 n – 1 với n ≥ 3 e) 3 n > n 2 + 4n + 5 với n ≥ 3 f) 2 n + 2 > 2n + 5 g) sin 2n α + cos 2n α ≤ 1 h) 3 n – 1 > n(n + 2) với n ≥ 4 i) 2 n – 3 > 3n – 1 với n ≥ 8 j) 3 n > 3n + 1 với n ≥ 2. 4. Chứng minh rằng: n nn 2 ba 2 ba       + ≥ + , trong đó a, b > 0 và n ∈ N*. 5. Chứng minh rằng nếu ∆ABC vuông tại A, có số đo các cạnh là a, b, c thì với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta có bất đẳng thức : b n + c n ≤ a n . 6. Với giá trò nào của số nguyên dương n, ta có: a) 2 n + 1 > n 2 + 3n b) 2 n > 2n + 1 c) 2 n > n 2 + 4n + 5 d) 3 n > 2 n + 7n ? 7. Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là 2 )3n(n − . 8. Cho tổng )1n2)(1n2( 1 7.5 1 5.3 1 3.1 1 S n +− ++++=  , với n ∈ N*. a) Tính S 1 , S 2 , S 3 , S 4 . b) Hãy dự đoán công thức tính S n và chứng minh bằng quy nạp. 9. Cho tổng )1n(n 1 5.3 1 3.2 1 2.1 1 S n + ++++=  , với n ∈ N*. a) Tính S 1 , S 2 , S 3 , S 4 . b) Hãy dự đoán công thức tính S n và chứng minh bằng quy nạp. 10. Cho tổng )1n4)(3n4( 1 13.9 1 9.5 1 5.1 1 S n +− ++++=  , với n ∈ N*. a) Tính S 1 , S 2 , S 3 , S 4 . b) Hãy dự đoán công thức tính S n và chứng minh bằng quy nạp. 11. Cho n số thực a 1 , a 2 , a 3 , … , a n thỏa – 1 < a i ≤ 0 với i = n,1 . Chứng minh rằng: ∀n ∈ N* ta có: (1 + a 1 ) (1 + a 2 ) … (1 + a n ) ≥ 1 + a 1 + a 2 + … + a n 12. Chứng minh rằng với các số thực a 1 , a 2 , a 3 , … , a n (n ∈ N*), ta có: a 1 + a 2 + … + a n ≤ a 1  + a 2  + a n . . 4n + 5 d) 3 n > 2 n + 7n ? 7. Chứng minh rằng số đường chéo của một đa giác lồi n cạnh là 2 )3n(n − . 8. Cho tổng )1n2)(1n2( 1 7. 5 1 5.3 1 3.1 1 S n +−. g) n n n 2 12 2 1 8 1 4 1 2 1 − =++++  h) 3 + 9 + 27 + … + 3 n = )33( 2 1 1n − + i) 2 )1n3(n )2n3 (74 1 − =−++++  j) 2 + 5 + 8 + … + 3n– 1 = 2 )1n3(n +

Ngày đăng: 25/08/2013, 12:10

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan