1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Toàn cảnh đề thi bộ giáo dục chủ đề tích phân (file word)

48 156 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 48
Dung lượng 1,57 MB

Nội dung

GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập PHÂN DẠNG ĐỀ MINH HỌA – ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI THPTQG 2017 + 2018 + 2019 CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN oOo -A – ĐỀ BÀI Câu [2D3-1-MH2] Tìm nguyên hàm hàm số f  x   cos x  f  x  dx  sin x  C C  f  x  dx  2sin x  C A Câu Câu [2D3-1-MH3] Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x  A  C  x3  C x x3 f  x  dx    C x f  x  dx  C  cos xdx   Câu Câu  D  x3  C x x3 f  x  dx    C x f  x  dx  B  cos xdx  sin x C sin x C D  cos 3xdx  sin 3x  C 5x  dx B    ln  x    C 5x  2 dx D   ln x   C 5x  [2D3-1-102] Tìm nguyên hàm hàm số f  x   dx A  x   ln x   C C  x   5ln 5x   C dx [2D3-1-103] Tìm nguyên hàm hàm số f  x   sin x A  2sin xdx  cos x  C B  2sin xdx  sin x  C C  2sin xdx  sin x  C D  2sin xdx  2cos x  C [2D3-1-104] Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x A  x dx  x ln  C B  x dx  Câu B ? x2 [2D3-1-101] Tìm nguyên hàm hàm số f  x   cos x A  cos 3xdx  3sin 3x  C Câu  f  x  dx   sin x  C D  f  x  dx  2sin x  C B 7x  C ln C  x dx  x 1  C D  x dx  x 1  C x 1 [2D3-1-MH1] Viết cơng thức tính thể tích V khối tròn xoay tạo quay hình thang cong, giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục Ox hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  , xung quanh trục Ox b A V    f  x  dx a b B V   f  x  dx a TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập b C V    f  x  dx a b D V   f  x  dx a Trang 1/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG Câu [2D3-1-MH2] Cho hàm số f  x  có đạo hàm đoạn 1; 2 , f 1  f    Tính I   f   x  dx A I  B I  1 Câu [2D3-1-102] Cho  f  x  dx  1 A I  B I  1 C I   Câu 10 [2D3-1-104] Cho  g  x  dx  1 Tính I    x  f  x   3g  x  dx 1 D I  C I  17 D I  11   f  x  dx  Tính I    f  x   2sin x  dx 0 B I   A I   D I    C I  Câu 11 [2D3-2-MH1] Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x  A  f  x  dx   x  1 C  f  x  dx   2x 1  C 2x 1  C B  f  x  dx   x  1 D  f  x  dx  2x 1  C 2x 1  C Câu 12 [2D3-2-103] Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   e x  x thỏa mãn F    Tìm F  x  A F  x   e x  x  C F  x   e x  x  B F  x   2e x  x  D F  x   e x  x    Câu 13 [2D3-2-104] Tìm nguyên hàm F  x  hàm số f  x   sin x  cos x thoả mãn F    2 A F  x   cos x  sin x  B F  x    cos x  sin x  C F  x    cos x  sin x  Câu 14 [2D3-2-104] Cho F  x   D F  x    cos x  sin x  f  x nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm 2x x hàm số f   x  ln x   ln x  C x 2x  B  f   x  ln xdx  ln x  C x x2  ln x   C x2 x  D  f   x  ln xdx  ln x  C x 2x e2  D I  A  f   x  ln xdx    C  f   x  ln xdx    e Câu 15 [2D3-2-MH1] Tính tích phân I   x ln xdx : A I  2 B I  e 2 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C I  e2  Trang 2/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập Câu 16 [2D3-2-MH1] Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x3  x đồ thị hàm số y  x  x A 37 12 B I  C 81 12 D 13 Câu 17 [2D3-2-MH1] Kí hiệu  H  hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y   x  1 e x , trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay hình  H  xung quanh trục Ox : C V  e  B V    2e   A V   2e D V   e    y Câu 18 [2D3-2-MH3] Gọi S diện tích hình phẳng  H  giới hạn đường y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  1 , x  (như hình vẽ bên dưới) Đặt a   1 đúng? A S  b  a f  x  dx , b   f  x  dx , mệnh đề sau 1 B S  b  a C S  b  a 2x O D S  b  a Câu 19 [2D3-2-MH3] Tính tích phân I   x x  1dx cách đặt u  x  , mệnh đề đúng? B I   u du C I   u du A I   u du Câu 20 [2D3-2-MH3] Cho e A S  D I  u du 1 dx 1 e  a  b ln , với a , b số hữu tỉ Tính S  a  b3 1 x B S  2 C S  D S  Câu 21 [2D3-2-MH3] Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x  x  , biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x 1  x  3 thiết diện hình chữ nhật có hai cạnh 3x A V  32  15 B V  124 C V  124 3x2    D V  32  15  Câu 22 [2D3-2-101] Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y   cos x , trục hoành  đường thẳng x  , x  Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V    B V    1  C V    1  D V    Câu 23 [2D3-2-101] Cho  f  x  dx  12 Tính I   f  3x  dx A I  B I  36 C I  Câu 24 [2D3-2-102] Cho F  x  nguyên hàm hàm số f  x   A I  e B I  e TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C I  D I  ln x Tính F  e   F 1 x D I  Trang 3/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG Câu 25 [2D3-2-101] Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I  2;9  trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính quãng đường s mà vật di chuyển (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A s  23, 25 (km) B s  21,58 (km) C s  15,50 (km) Câu 26 y I O 123 t D s  13,83 (km) [2D3-2-102] Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y   sin x , trục hoành đường thẳng x  , x   Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? A V     1 B V  2   1 C V  2 D V  2 Câu 27 [2D3-2-103] Cho  1    x   x   dx  a ln  b ln với a , b số nguyên Mệnh đề đúng? A a  b  B a  2b  C a  b  2 D a  2b  Câu 28 [2D3-2-103] Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y  e x , trục hoành đường thẳng x  , x  Khối tròn xoay tạo quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu?   e  1   e  1  e2 e2  A V  B V  C V  D V  2 2 Câu 29 [2D3-2-104] Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y  x  , trục hoành đường thẳng x  , x  Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? 4 A V  B V  2 C V  D V  3 Câu 30 [2D3-3-MH1] Một ô tô chạy với tốc độ 10 m/s người lái đạp phanh ; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với v  t   5t  10  m/s  , t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ di chuyển mét? A 0, m B m C 10 m D 20 m  Câu 31 [2D3-3-MH1] Tính tích phân I   cos x.sin xdx A I    B I   C I  D I   F    Tính F  3 x 1 C F  3  D F  3  Câu 32 [2D3-3-MH2] Biết F  x  nguyên hàm f  x   A F  3  ln  B F  3  ln  Câu 33 [2D3-3-MH2] Cho  f  x  dx  16 Tính tích phân I   f  x  dx A I  32 B I  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C I  16 D I  Trang 4/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập Câu 34 [2D3-3-MH2] Biết I   S  a  b  c A S  dx  a ln  b ln  c ln , với a , b , c số nguyên Tính x x B S  Câu 35 [2D3-3-MH2] Cho hình thang cong C S  2 D S  y giới hạn đường H  y  e x , y  , x  , x  ln Đường thẳng x  k (0  k  ln 4) chia H  thành hai phần có diện tích S1 S hình vẽ bên Tìm k để S1  2S A k  ln C k  ln S2 B k  ln S1 D k  ln O Câu 36 [2D3-3-MH2] Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16 m độ dài trục bé 10 m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/ m Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm tròn đến hàng nghìn) A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng x ln k 8m D 7.826.000 đồng Câu 37 [2D3-3-MH3] Cho hàm số f  x  thỏa mãn   x  1 f   x  dx  10 f 1  f    Tính  f  x  dx A I  12 B I  C I  D I  8 Câu 38 [2D3-3-101] Cho hàm số f  x  thỏa mãn f   x    5sin x f    10 Mệnh đề đúng? A f  x   x  cos x  B f  x   3x  5cos x  C f  x   x  cos x  D f  x   x  5cos x  15 Câu 39 [2D3-3-102] Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc vào thời gian t (h) có đồ thị phần đường parabol có đỉnh I (2;9) trục đối xứng song song với trục tung hình bên Tính qng đường s mà vật di chuyển A s  24, 25 (km) B s  26, 75 (km) C s  24, 75 (km) D s  25, 25 (km) v I O t Câu 40 [2D3-3-102] Cho F  x    x  1 e x nguyên hàm hàm số f  x  e x Tìm nguyên hàm hàm số f   x  e x  f  x e C  f   x  e A 2x dx  (4  x)e x  C 2x dx    x  e x  C TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập 2 x x e C 2x dx   x   e x  C 2x  f  x e D  f   x  e B dx  Trang 5/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – NGUN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG Câu 41 [2D3-3-103] Cho F  x    f  x nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm 3x x hàm số f   x  ln x ln x  C x3 5x5 ln x f   x  ln xdx    C x 3x ln x  C x x5 ln x f   x  ln xdx     C x 3x A  f   x  ln xdx  B  f   x  ln xdx  C  D  Câu 42 [2D3-4-MH3] Cho hàm số f  x  liên tục  thỏa mãn f  x   f   x    cos x , 3 x   Tính I   f  x d x  3 A I  6 C I  2 B I  D I  Câu 43 [2D3-4-104] Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình bên Đặt g  x   f  x    x  1 Mệnh đề đúng? y A g  3  g  3  g 1 B g  3  g  3  g 1 3 C g 1  g  3  g   x O D g 1  g  3  g  3  2 Câu 44 [2D3-4-104] Cho hàm số y  f  x  Đồ thị hàm số y  f   x  hình vẽ Đặt y g  x   f  x   x Mệnh đề đúng? A g  3  g  3  g 1 B g 1  g  3  g  3 O 1 3 C g 1  g  3  g  3 x 3 D g  3  g  3  g 1 Câu 45 [2D3-1-MH18] Cho hàm số y  f  x  liên tục đoạn  a ; b  Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  , trục hoành hai đường thẳng x  a , x  b  a  b  Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo cơng thức b A V    f  x  dx a b b b B V  2  f  x  dx C V    f  x  dx D V    f  x  dx a a a Câu 46 [2D3-1-MH18] Họ nguyên hàm hàm số f  x   x  A x  C x3 B  xC Câu 47 [2D3-1-MH18] Tích phân dx  x3 C 6x  C D x  x  C C ln D A 16 225 B log TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập 15 Trang 6/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập H  Câu 48 [2D3-3-MH18] Cho hình phẳng giới hạn parabol y  x , cung tròn có phương trình y   x (với  x  ) y trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích  H  A 4  12 B 4  C 4   D  2 Câu 49 [2D3-3-MH18] Biết I    x  1 2 x O dx  a  b  c với a , b , c số nguyên x  x x 1 dương Tính P  a  b  c A P  24 B P  12 C P  18 D P  46 1  Câu 50 [2D3-3-MH18] Cho hàm số f  x  xác định  \   thỏa mãn f   x   , f  0  2x 1 2 f 1  Giá trị biểu thức f  1  f  3 A  ln15 C  ln15 B  ln15 D ln15 Câu 51 [2D3-4-MH18] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  , 1 0  f   x   dx  0 x f  x  dx  Tích phân A B  f  x  dx C D Câu 52 [2D3-1-MĐ101] Nguyên hàm hàm số f  x   x3  x A x  x  C B x   C C x  x  C D x  x C D x  x C Câu 53 [2D3-1-MĐ102] Nguyên hàm hàm số f  x   x  x A x  x  C B x3   C C x  x  C Câu 54 [2D3-1-MĐ103] Nguyên hàm hàm số f  x   x  x A x  x  C B x  x C C x  x  C D x  x  C Câu 55 [2D3-1-MĐ104] Nguyên hàm hàm số f  x   x  x A x  x  C B x  x C C x  x  C D x  x  C Câu 56 [2D3-1-MĐ101] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  e x , y  , x  , x  Mệnh đề đúng? A S    e x dx B S   e x dx TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập C S    e x dx D S   e x dx Trang 7/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG Câu 57 [2D3-1-MĐ102] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x , y  , x  , x  Mệnh đề đúng? 2 A S   x dx B S    22 x dx C S   22 x dx D S    x dx 0 Câu 58 [2D3-1-MĐ103] Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x  , y  , x  , x  Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Ox Mệnh đề sau đúng? 2 A V     x  3 dx 2 2 B V    x  3 dx C V     x  3 dx D V    x  3 dx 0 0 Câu 59 [2D3-1-MĐ104] Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x  , y  , x  , x  Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng? 2 A V    x   dx 2 2 B V    x   dx C V     x   dx D V     x   dx 2 1 Câu 60 [2D3-2-MĐ101]  e3 x 1dx A e  e  B e e C e5  e D e  e  Câu 61 [2D3-2-MĐ102]  e3 x 1dx A e  e B e  e Câu 62 [2D3-2-MĐ103] dx  3x  C e  e D e3  e A ln B Câu 63 [2D3-2-MĐ104] dx  2x  ln C ln D ln A 2ln B ln C ln 35 D ln Câu 64 [2D3-3-MĐ101] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 11 theo thời gian quy luật v  t   t  t  m s  , t (giây) khoảng thời gian tính 180 18 từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a  m s  ( a số) Sau B xuất phát 10 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 22  m s  B 15  m s  C 10  m s  D  m s  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 8/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập Câu 65 [2D3-3-MĐ102] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 59 theo thời gian quy luật v  t   t  t  m/s  , t (giây) khoảng thời gian tính 150 75 từ lúc a bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a  m/s2  ( a số) Sau B xuất phát 12 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 20  m/s  B 16  m/s  C 13  m/s  D 15  m/s  Câu 66 [2D3-2-MĐ103] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 13 theo thời gian quy luật v  t   t  t  m/s  , t (giây) khoảng thời gian 100 30 tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm 10 giây so với A có gia tốc a  m/s2  ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 25 m/s  B 15 m/s  C  m/s  D 42 m/s  Câu 67 [2D3-3-MĐ104] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 58 theo thời gian quy luật v  t   t  t  m s  , t (giây) khoảng thời gian 120 45 tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a  m s  ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 21  m s  B 36  m s  55 Câu 68 [2D3-2-MĐ101] Cho x 16 đúng? A a  b   c 21 Câu 69 [2D3-2-MĐ102] Cho  sau đúng? A a  b  2c C 30  m s  D 25  m s  dx  a ln  b ln  c ln11 với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề x9 B a  b  c C a  b  3c D a  b  3c dx  a ln  b ln  c ln , với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề x x4 B a  b  c C a  b   c D a  b  2c Câu 70 [2D3-2-MĐ103] Cho x  với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề đúng? A a  b   c B a  b  c C a  b  c D a  b  c e Câu 71 [2D3-2-MĐ104] Cho    x ln x  dx  a.e  b.e  c với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề đúng? A a  b  c B a  b   c C a  b  c D a  b  c g  x   dx  ex  ( a , b , c , d , e   ) Biết đồ thị y Câu 72 [2D3-3-MĐ101] Cho hai hàm số f  x   ax  bx  cx  hàm số y  f  x  y  g  x  cắt ba điểm có hồnh độ 3 ; 1 ; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích A B C TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập 3 1 O x D Trang 9/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập A 4  12 B 33 4  C 4   D  2 Lời giải Chọn B y O x Phương trình hoành độ giao điểm parabol y  x cung tròn y   x (với  x  )  x2   x  3x2   x2  x    x  (vì  x  ) x    Cách 1: Diện tích  H  2 31 x I   I với I    x dx  x dx  3 2 S   x dx      Đặt: x  2sin t , t    ;   dx  2cos t.dt  2   Đổi cận: x   t  , x   t      I    4sin t 2cos t.dt   4cos t.dt   1  cos 2t  dt   x  sin 2t  2     6 2  3 2 4  I     3 Cách 2: Diện tích  H  diện tích phần tư hình tròn bán kính trừ diện tích hình Vậy S  phẳng giới hạn cung tròn, parabol trục Oy Tức S        x  x dx Câu 49 [2D3-3-MH18] Biết I    x  1 dx  a  b  c với a , b , c số nguyên x  x x 1 dương Tính P  a  b  c A P  24 B P  12 C P  18 Lời giải D P  46 Chọn D Ta có: x   x  , x  1;2 nên: I   x  1 dx dx  x  x x  1 x  x  1 x   x TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập   Trang 33/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG  x  x  1    x  x   x dx x 1  2 x 1  x    34  x   x dx x  x  1    x  x      32  12     d x  x x 1  1 a  32  Mà I  a  b  c nên b  12 Suy ra: P  a  b  c  32  12   46 c     1  Câu 50 [2D3-3-MH18] Cho hàm số f  x  xác định  \   thỏa mãn f   x   , f  0  2x 1 2 f 1  Giá trị biểu thức f  1  f  3 A  ln15 B  ln15 C  ln15 Lời giải D ln15 Chọn C Ta có: f  x    f   x  dx   1  dx  ln x   C , với x   \   2x 1 2 1  + Xét  ;  Ta có f    , suy C  2  1  Do đó, f  x   ln x   , với x   ;  Suy f  1   ln 2  1  + Xét  ;   Ta có f 1  , suy C  2  1  Do đó, f  x   ln x   , với  ;   Suy f  3   ln 2  Vậy f  1  f  3   ln  ln   ln15 Câu 51 [2D3-4-MH18] Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục đoạn  0;1 thỏa mãn f 1  , 1   f   x   dx  A  x f  x  dx  Tích phân B  f  x  dx C D Lời giải Chọn A  du  f   x  dx u  f  x   Cách 1: Tính:  x f  x  dx Đặt   x3 d v  x d x v    1 x3 f  x  Ta có:  x f  x  dx    x f   x  dx 30  1 f 1  f   1   x f   x  d x    x f   x  dx 30 30 Mà  x f  x  dx  1 1    x f   x  dx    x f   x  dx  1 30 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 34/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập Ta có   f   x   35 dx  (1) 1 x7 1 x d x     49 x dx  49  (2) 0 7 1  x f   x  dx  1   14 x f   x  dx  14 (3) 0 1 Cộng hai vế (1) (2) (3) suy   f   x   dx   49 x dx   14 x f   x  dx    14    2    f   x    14 x f   x   49 x dx     f   x   x3  dx  0 2 Do  f   x   x      f   x   x3  dx  Mà   f   x   x  dx   f   x   7 x 0 7 7x  C Mà f 1     C   C  4 4 7x Do f  x     4 f  x   Vậy  1  x4   x5  f  x  dx       dx     x  4  20  0 Cách 2: Tương tự ta có:  x f   x  dx   Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz, ta có: 1 1  1  1  2    x f   x  dx      x  dx      f   x   dx       f   x   dx    f   x  dx 0 0  0  0  Dấu xảy f   x   ax , với a   1 ax Ta có  x f   x  dx  1   x ax dx  1   1  a  7 0 3 Suy f   x   7 x  f  x    x4  C , mà f 1  nên C  4  x  x     x4   x5  f  x  dx       dx     x  4 20 0    Do f  x   Vậy  Chú ý: Chứng minh bất đẳng thức Cauchy-Schwarz Cho hàm số f  x  g  x  liên tục đoạn  a; b  b  b  b  Khi đó, ta có   f  x  g  x  dx     f  x  dx     g  x  dx  a  a  a  Chứng minh: Trước hết ta có tính chất: b Nếu hàm số h  x  liên tục không âm đoạn  a; b   h  x  dx  a TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 35/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG 36 Xét tam thức bậc hai   f  x   g  x     f  x   2 f  x  g  x   g  x   , với    Lấy tích phân hai vế đoạn  a; b  ta b  b b  f  x  dx  2  f  x  g  x  dx   g  x  dx  , với    * a a a Coi  * tam thức bậc hai theo biến  nên ta có   b  b  b     f  x  dx     f  x  dx    g  x  dx   a  a  a  b  b  b     f  x  dx     f  x  dx   g  x  dx  (đpcm) a  a  a  Câu 52 [2D3-1-MĐ101] Nguyên hàm hàm số f  x   x3  x A x  x  C B x   C C x  x  C D x  x C D x  x C Lời giải Chọn D Ta có x  x  dx  x  x C Câu 53 [2D3-1-MĐ102] Nguyên hàm hàm số f  x   x  x A x  x  C B x3   C C x  x  C Lời giải Chọn D Ta có x  x  dx  x  x C Câu 54 [2D3-1-MĐ103] Nguyên hàm hàm số f  x   x  x A x  x  C B x  x C C x  x  C D x  x  C Lời giải Chọn B Theo công thức nguyên hàm Câu 55 [2D3-1-MĐ104] Nguyên hàm hàm số f  x   x  x A x  x  C B x  x C C x  x  C Lời giải D x  x  C Chọn B Ta có F  x     x  x  dx  x  x C Câu 56 [2D3-1-MĐ101] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  e x , y  , x  , x  Mệnh đề đúng? 2 2x A S    e dx x B S   e dx x C S    e dx 0 D S   e x dx Lời giải TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 36/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập 37 Chọn B Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  e x , y  , x  , x  tính theo cơng 2 thức S   e x dx   e x dx 0 Câu 57 [2D3-1-MĐ102] Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x , y  , x  , x  Mệnh đề đúng? 2 A S   x dx B S    22 x dx C S   22 x dx D S    x dx 0 Lời giải Chọn A 2 S   x dx   x dx (do x  0, x   0; 2 ) 0 Câu 58 [2D3-1-MĐ103] Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x  , y  , x  , x  Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Ox Mệnh đề sau đúng? 2 A V     x  3 dx 2 2 B V    x  3 dx C V     x  3 dx D V    x  3 dx 2 0 Lời giải Chọn C Ta tích khối tròn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Ox b 2 V     f  x   dx     x  3 dx a Câu 59 [2D3-1-MĐ104] Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x  , y  , x  , x  Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành quay  H  xung quanh trục Ox Mệnh đề đúng? 2 A V    x   dx 2 2 B V    x   dx C V     x   dx D V     x   dx 2 1 Lời giải Chọn C Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay  H  giới hạn đường 2 y  x  , y  , x  , x  xung quanh trục Ox V     x   dx 2 Câu 60 [2D3-2-MĐ101]  e3 x 1dx A e  e  B e e C e5  e D e  e  Lời giải Chọn A 2 1 Ta có:  e3 x 1dx  e3 x1   e5  e  3 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 37/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – NGUN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG 38 Câu 61 [2D3-2-MĐ102]  e3 x 1dx A e  e B e  e C e  e D e3  e Lời giải Chọn A e 1 1 dx   e3 x 1d  3x  1  e3 x1   e  e  30 3 x 1 Câu 62 [2D3-2-MĐ103] dx  3x  A ln B ln C ln D ln Lời giải Chọn D Ta có: dx 2 1 1 C ln 35  3x    ln 3x     ln  ln1  ln  ln Câu 63 [2D3-2-MĐ104] dx  2x  A 2ln B ln D ln Lời giải Chọn B 2 dx 1 1 x   ln  x  3  ln Câu 64 [2D3-3-MĐ101] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 11 theo thời gian quy luật v  t   t  t  m s  , t (giây) khoảng thời gian tính 180 18 từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a  m s  ( a số) Sau B xuất phát 10 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 22  m s  B 15  m s  C 10  m s  D  m s  Lời giải Chọn B +) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp A 15 giây, B 10 giây +) Biểu thức vận tốc chất điểm B có dạng vB  t    adt  at  C , lại có vB    nên vB  t   at +) Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp quãng đường hai chất điểm Do 15 10  11  0  180 t  18 t  dt  0 atdt  75  50a  a  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 38/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập 39 Từ đó, vận tốc B thời điểm đuổi kịp A vB 10   10  15  m s  Câu 65 [2D3-3-MĐ102] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 59 theo thời gian quy luật v  t   t  t  m/s  , t (giây) khoảng thời gian tính 150 75 từ lúc a bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a  m/s2  ( a số) Sau B xuất phát 12 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 20  m/s  B 16  m/s  C 13  m/s  D 15  m/s  Lời giải Chọn B 15  59  Quãng đường chất điểm A từ đầu đến B đuổi kịp S    t  t  dt  96  m  150 75   Vận tốc chất điểm B vB  t    adt  at  C Tại thời điểm t  vật B trạng thái nghỉ nên vB  3   C  3a Lại có quãng đường chất điểm B đến gặp A 15 15  at  S    at  3a  dt    3at   72a  m   3 Vậy 72a  96  a   m/s  Tại thời điểm đuổi kịp A vận tốc B vB 15  16  m/s  Câu 66 [2D3-2-MĐ103] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 13 theo thời gian quy luật v  t   t  t  m/s  , t (giây) khoảng thời gian 100 30 tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm 10 giây so với A có gia tốc a  m/s2  ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 25 m/s  B 15 m/s  C  m/s  D 42 m/s  Lời giải Chọn A Khi B đuổi kịp A tức A chuyển động 25 giây kể từ thời điểm bắt đầu xuất phát A chuyển động quãng đường  25 13  375 S  t  t (m) 100 30 0  Vì B chuyển động với gia tốc a m/s  nên vận tốc B v  t   at  C Tại thời điểm bắt đầu xuất phát t  10; v   c  10a Vận tốc chất điểm B thời điểm t v  t   at  10a (m/s) Quãng đường chất điểm B 15  s  kể từ bắt đầu xuất phát TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 39/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUYÊN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG 25 S   at  10a  dt  10 40 225 a Vì sau chuyển động 15 giây chất điểm B đuổi kịp chất điểm A , ta có: 225a 375  m  a  2 50  v t   t  3 50 Vậy vận tốc B đuổi kịp A ứng với t  25( s )  v  25   25   25  m/s  3 Câu 67 [2D3-3-MĐ104] Một chất điểm A xuất phát từ O , chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên 58 theo thời gian quy luật v  t   t  t  m s  , t (giây) khoảng thời gian 120 45 tính từ lúc A bắt đầu chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O , chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có gia tốc a  m s  ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 21  m s  B 36  m s  C 30  m s  D 25  m s  Lời giải Chọn C +) Từ đề bài, ta suy ra: tính từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp A 18 giây, B 15 giây +) Biểu thức vận tốc chất điểm B có dạng vB  t    adt  at  C , lại có vB    nên vB  t   at +) Từ lúc chất điểm A bắt đầu chuyển động bị chất điểm B bắt kịp quãng đường hai chất điểm Do 18 15 225  58  t  t d t  0  120 45  0 atdt  225  a  a  Từ đó, vận tốc B thời điểm đuổi kịp A vB 15   2.15  30  m/s  55 Câu 68 [2D3-2-MĐ101] Cho x 16 đúng? A a  b   c dx  a ln  b ln  c ln11 với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề x9 B a  b  c C a  b  3c D a  b  3c Lời giải Chọn A Đặt t  x   t  x   2tdt  dx Đổi cận: x  16  t  ; x  55  t  8 2tdt dt  dt dt  dx    16 x x  5  t   t 5 t   5 t   5 t   55 Khi 1   ln x   ln x   = ln  ln  ln11 3 3 Vậy a  1 , b  , c   Mệnh đề a  b   c 3 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 40/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập 21 Câu 69 [2D3-2-MĐ102] Cho x sau đúng? A a  b  2c 41 dx  a ln  b ln  c ln , với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề x4 B a  b  c C a  b   c Lời giải D a  b  2c Chọn A Đặt t  x   2tdt  dx Với x   t  ; x  21  t  21 5 dx dt 1 1 Ta có   2   ln t   ln t    ln  ln  ln t 4 2 2 x x4 Câu 70 [2D3-2-MĐ103] Cho x  với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề đúng? A a  b   c B a  b  c C a  b  c D a  b  c Lời giải Chọn D e e e e Ta có  1  x ln x  dx   dx   x ln xdx  e    ln xd  x  21 1 e e e   1 1 1 x2  e    x ln x   x d  ln x    e    e   xdx   e    e  2 1 2 2   e  1 1 e2   e   e2     e2  e  2 2 4 Suy a  ; b  1; c    a  b  c 4 e Câu 71 [2D3-2-MĐ104] Cho    x ln x  dx  a.e  b.e  c với a , b , c số hữu tỉ Mệnh đề đúng? A a  b  c B a  b   c C a  b  c Lời giải D a  b  c Chọn C e e e 1    x ln x  dx  x   e x ln xdx  2e    x ln xdx dx  u  ln x  du  x Đặt  dv  xdx  v  x  e e e e e e2 x ln x x e2 x2 e2 x ln x d x   d x       x ln x d x   2e    1   12 4 4 Vậy a  b  c g  x   dx  ex  ( a , b , c , d , e   ) Biết đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  cắt ba điểm có hồnh Câu 72 [2D3-3-MĐ101] Cho hai hàm số f  x   ax  bx  cx  độ 3 ; 1 ; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích TỐN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 41/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – NGUN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG y 42 A x 1 O 3 B C D Lời giải Chọn C Diện tích hình phẳng cần tìm 1 S    f  x   g  x   dx    g  x   f  x  dx 3 1 1 3 3      ax3   b  d  x   c  e  x   dx    ax3   b  d  x   c  e  x   dx 2 2 3  1  Trong phương trình ax3   b  d  x   c  e  x  0  * phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  Phương trình  * có nghiệm 3 ; 1 ; nên 3    27a   b  d    c  e    27a   b  d    c  e   a     3     a  b  d  c  e     a  b  d  c  e              b  d   2    3    a   b  d    c  e    a   b  d    c  e    c  e       1 3 3 1 1 Vậy S    x  x  x   dx    x  x  x   dx    2   2 2 2 2 3  1  Câu 73 [2D3-3-MĐ102] Cho hai hàm số f  x   ax  bx  cx  g  x   dx  ex  ( a , b , c , d , e   ) Biết đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  cắt ba điểm có hồnh độ 2 ; 1 ; (tham khảo hình vẽ) y 2 1 O x Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích 37 13 A B C 2 Lời giải Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị f  x  g  x  D 37 12 ax3  bx  cx   dx  x   a   b  d  x   c  e  x   * TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 42/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập 43 Do đồ thị hai hàm số cắt ba điểm suy phương trình  * có ba nghiệm x  2 ; x  1 ; x  Ta ax3   b  d  x   c  e  x   k  x   x  1 x  1 Khi 4  2k  k  Vậy diện tích hình phẳng cần tìm   x   x  1 x  1 dx  2 37 (a, b , c, d , e   ) Biết đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  cắt ba điểm có hồnh độ Câu 74 [2D3-4-MĐ103] Cho hai hàm số f  x   ax  bx  cx  g  x   dx  ex  3 ; 1 ; (tham khảo hình vẽ) y x 3 1 O Hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số cho 125 253 253 125 A B C D 12 12 48 48 Lời giải Chọn C Cách 1: Phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x   ax   b  d  x   c  e  x   1 2 Đặt m  b  d , n  c  e , phương trình 1 có dạng  ax  mx  nx     Đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  cắt ba điểm có hồnh độ 3 ; 1 ; ax3  bx  cx   dx  ex  nên phương trình   có ba nghiệm x  3 ; x  1 ; x  Do đó, ta có hệ phương trình   27a  9m  3n  a       m  a  m  n  2     8a  4m  2n  n     Vậy diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  2 1 3 3 253 1 1 S    x3  x  x   dx    x  x  x   dx  4 2 4 2 48 3  2  Cách 2: Từ giả thiết ta có: f  x   g  x   k  x  3 x  1 x    f    g    k   3  1    k  Vậy f  x   g  x   2 Khi đó: S   3  x  3 x  1 x   1  x  3 x  1 x   dx    x  3 x  1 x   dx Bấm máy đáp án C 4 2 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 43/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – NGUN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG 44 3 Câu 75 [2D3-4-MĐ104] Cho hai hàm số f  x   ax  bx  cx  g  x   dx  ex  ( a , b , c , 4 d , e   ) Biết đồ thị hàm số y  f  x  y  g  x  cắt ba điểm có hồnh độ 2 ; ; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích y 2 A 125 48 B 253 24 O x 125 24 Lời giải C D 253 48 Chọn D Ta có: f  x   g  x   1  x   x  1 x  3   x3  x2  x   4 S   f  x   g  x  dx    g  x   f  x   dx 2 Câu 76 [2D3-3-MĐ101] Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     2 f   x   x  f  x   với x   Giá trị f 1 A  35 36 B  C  19 36 D  15 Lời giải Chọn B f  x  0 Ta có f   x   x  f  x       2x    x2  C   2 x  f  x  f  x    f  x  f  x suy C   2 Do f 1    1 12      2 Từ f     Câu 77 [2D3-3-MĐ102] Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     f   x   x  f  x   với x   Giá trị f 1 A  11 B  C  Lời giải D  Chọn B TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 44/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập 45 Từ hệ thức đề cho: f   x   x  f  x   (1), suy f   x   với x  1;  Do f  x  hàm không giảm đoạn 1; 2 , ta có f  x   f    với x  1;  f  x  x, x  1; 2  f  x   Lấy tích phân vế đoạn 1; 2 hệ thức vừa tìm được, ta được: Chia vế hệ thức (1) cho  f  x    f  x 2 1 1 1  f  x  dx  1 xdx  1  f  x  df  x    f  x    f 1  f        Do f     nên suy f 1   3 Chú ý: tự kiểm tra phép biến đổi tích phân có nghĩa Câu 78 [2D3-3-MĐ103] Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     f   x   x  f  x   với 25 x   Giá trị f 1 A  10 B  41 400 C  40 D  391 400 Lời giải Chọn A f  x f  x 2 f   x   x  f  x     4x   dx   x dx    x4 2 f  x  f  x     f  x   1 1    15  25   15  f 1   f   f 1 f 1 10 3 Câu 79 [2D3-3-MĐ104] Cho hàm số f  x  thỏa mãn f     f   x   x  f  x   với x   Giá trị f 1 A  35 B  79 20 C  Lời giải D  71 20 Chọn C   f  x 1 Ta có f   x   x  f  x     x3     x4  C   x  f  x f  x  f  x  Mà f     nên C  1 4 Khi f  x   x 4 Vậy f 1   Câu 80 [2D3.2-1-MH2019] Cho  f  x  dx   g  x  dx    f  x   g  x  dx A 3 B 12 C 8 Lời giải D Chọn C TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 45/47 TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – NGUN HÀM-TÍCH PHÂN-ỨNG DỤNG Ta có 1  g  x  dx   2 g  x  dx  10   g  x  dx  10 0 1   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx Xét 46 0   10  8 Câu 81 [2D3.1-1-MH2019] Họ nguyên hàm hàm số f  x   e x  x B e x  A e x  x  C x C x e  x  C D e x   C x 1 C Lời giải Chọn B Ta có  e x x C  x  dx  e x  Câu 82 [2D3.3-2-MH2019] Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo cơng thức đây? y y  x2  2x 1 x 1 O y  x2  A   2x 2  x   dx B 1 C   2 x   dx 1   x   dx D 1   2 x  x   dx 1 Lời giải Chọn D Ta thấy: x   1;2 :  x   x  x  nên 2 S     x  3   x  x  1  dx  1   2 x  x   dx 1 Câu 83 [2D3.1-2-MH2019] Họ nguyên hàm hàm số f  x   x 1  ln x  A x ln x  x B x ln x  x C x ln x  3x  C D x ln x  x  C Lời giải Chọn D Cách Ta có  f  x  dx   x 1  ln x  dx   xdx   x ln xdx + Tính  xdx  x  C1 + Tính  x ln xdx  u  ln x  du  dx Đặt   x dv  xdx v  x  Suy  x ln xdx  x ln x   xdx  x ln x  x  C2 Do I  x ln x  x  C Cách Ta có  x ln x  x    x  ln x  x  ln x    x  TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 46/47 GV TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập  x.ln x  x  x x  x 1  ln x  47 Do x ln x  x nguyên hàm hàm số f  x   x 1  ln x  Hay x ln x  x  C họ nguyên hàm hàm số f  x   x 1  ln x  Câu 84 [2D3.2-2-MH2019] Cho xdx   x  2  a  b ln  c ln với a , b , c số hữu tỷ Giá trị 3a  b  c A 2 Chọn B xdx B 1 C Lời giải D 1 x  2   dx 2dx 0  x  2  0  x  2 dx  0 x   0  x  22  ln  x    x  2  1 1  ln  ln      ln  ln 3 Vậy a   ; b  1; c   3a  b  c  1 TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM sưu tầm biên tập Trang 47/47 ... TRẦN QUỐC NGHĨA – sưu tầm biên tập PHÂN DẠNG ĐỀ MINH HỌA – ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI THPTQG 2017 + 2018 + 2019 CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM- TÍCH PHÂN oOo -A – ĐỀ BÀI Câu [2D3-1-MH2] Tìm nguyên hàm... Phân tích phương án nhiễu: - Học sinh dễ nhìn đồ thị mà nhầm tưởng S  b  a nên Chọn B - Còn Chọn C D thi nhầm dấu Câu 19 [2D3-2-MH3] Tính tích phân I   x x  1dx cách đặt u  x  , mệnh đề. .. x  dx    x  sin x  02      1 Phân tích phương án nhiễu: - Áp dụng sai cơng thức tính thể tích, thi u  dẫn đến Chọn D A - Khi tính tích phân nhầm dấu dẫn đến Chọn B Câu 23 [2D3-2-101]

Ngày đăng: 24/01/2019, 11:23

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w