Xác định nhiệt dung debye của mạng tinh thể bằng phương pháp thống kê biến dạng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ ÁNH NGUYỆT XÁC ĐỊNH NHIỆT DUNG DEBYE CỦA MẠNG TINH THỂ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ BIẾN DẠNG Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết Vật lí tốn Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: PGS – TS Nguyễn Thị Hà Loan HÀ NỘI, 2017 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan, người hướng dẫn thực luận văn Cô cung cấp tài liệu truyền thụ cho kiến thức mang tính khoa học Sự quan tâm, bồi dưỡng cô giúp tự tin vượt qua khó khăn q trình học tập nghiên cứu Đối với cô gương sáng tinh thần làm việc khơng mệt mỏi, lòng hăng say với khoa học, lòng nhiệt thành quan tâm bồi dưỡng hệ trẻ Nhân dịp cho phép chân thành cảm ơn Ban Chủ Nhiệm Khoa Vật Lý Trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội thầy giáo tận tình giảng dạy, tạo điều kiện giúp đõ tơi hồn thành khóa học Học viên Bùi Thị Ánh Nguyệt LỜI CAM ĐOAN Trong trình nghiên cứu luận văn đề tài: Xác định nhiệt dung Debye mạng tinh thể phương pháp thống kê biến dạng, thực cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu đề tài để hồn thành luận văn Đây đề tài không trùng với đề tài khác kết đạt không trùng với kết tác giả khác Tôi xin cam đoan luận văn hoàn thành nỗ lực thân với hướng dẫn bảo tận tình hiệu PGS TS Nguyễn Thị Hà Loan, giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn ghi rõ nguồn gốc Học viên Bùi Thị Ánh Nguyệt MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Đóng góp NỘI DUNG CHƯƠNG 1: DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG q 1.1 Dao động biến dạng q-Boson 1.1.1 Dao động Boson 1.1.2 Dao động biến dạng q-Boson 1.2 Dao động biến dạng q Fermion 10 1.2.1 Dao động Fermion .10 1.2.2 Dao động biến dạng q Fermion 11 CHƯƠNG II: THỐNG KÊ BIẾN DẠNG q 14 2.1 Thống kê biến dạng q hạt có spin nguyên 14 2.1.1 Thống kê Boson 14 2.1.2 Thống kê Boson biến dạng q 15 2.2 Thống kê biến dạng q hạt có spin bán nguyên 16 2.2.1 Thống kê Fermion 16 2.2.2 Thống kê Fermion biến dạng q 17 CHƯƠNG III: XÁC ĐỊNH NHIỆT DUNG DEBYE CỦA MẠNG TINH THỂ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ BIẾN DẠNG 19 3.1 Nhiệt dung Debye 19 3.2 Xác định nhiệt dung Debye mạng tinh thể phương pháp thống kê biến dạng 26 KẾT LUẬN 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO 34 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Vật lý đại nghiên cứu cấu trúc vi mô vật chất Vật chất hệ nhiều hạt, hệ nhiều hạt tn theo quy luật thống kê Cho nên nghiên cứu hệ nhiều hạt phương pháp thống kê, để xác định đại lượng vật lý hệ nhiều hạt quy luật thống kê cần phải tìm hàm phân bố thống kê Khi tập hợp hạt xem tập hợp dao động điều hòa phân bố thống kê hệ xác định; hạt có spin ngun tn theo thống kê Bose-Einstein hạt có spin bán nguyên tuân theo thống kê Fermi-Dirac đại lượng vật lý mơ tả hệ hồn tồn tính qua hàm phân bố thống kê cho kết có sai lệch so với thực nghiệm Vài chục năm gần đây, có nhiều nhà vật lý nước giới nghiên cứu đưa khái niệm nhóm lượng tử, đại số biến dạng dao động biến dạng chúng có nhiều ứng dụng mơ hình vật lý như: chúng liên quan đến vấn đề tán xạ ngược lượng tử học thống kê, nghiên cứu nghiệm phương trình Yang-Bacter lượng tử, đặc biệt chúng tỏ hữu ích việc nghiên cứu mơi trường đậm đặc, nghiên cứu quang lượng tử,… Theo quan niệm dao động biến dạng hệ hạt xem hệ dao động biến dạng nghiên cứu hệ nhiều hạt hình thức luận dao động biến dạng thống kê hạt boson gọi thống kê BoseEinstein biến dạng q thống kê hạt fermion gọi thống kê Fermi-Dirac biến dạng q với hi vọng tính hàm phân bố thống kê biến dạng để tìm đại lượng vật lý mơ tả trạng thái hệ nhiều hạt cho kết gần với thực nghiệm tính hàm phân bố thống kê trường hợp chưa biến dạng Ở luận văn này, chúng tơi áp dụng hình thức luận dao động biến dạng để tính hàm phân bố thống kê biến dạng cho hệ nhiều hạt có spin nguyên spin bán nguyên từ ứng dụng để tính đại lượng vật lý mơ tả trạng thái hệ Mục đích nghiên cứu - Nghiên cứu dao động biến dạng phân bố thống kê dao động biến dạng - Áp dụng phương pháp thống kê dao động biến dạng để xác định nhiệt dung Debye mạng tinh thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu áp dụng thống kê biến dạng để xác định nhiệt dung Debye mạng tinh thể Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp vật lý thống kê - Phương pháp đại số lượng tử (đại số biến dạng) Đóng góp Áp dụng thống kê biến dạng để xác định nhiệt dung Debye mạng tinh thể NỘI DUNG CHƯƠNG I: DAO ĐỘNG BIẾN DẠNG q 1.1 Dao động biến dạng q-Boson 1.1.1 Dao động Boson Dao động tử Boson đơn mode đặc trưng hệ thức giao hoán: a, a  (1.1) 1 Toán tử số dao động tử N biểu diễn theo toán tử sinh dao động tử a+ toán tử hủy dao động tử a sau:  N a a (1.2) Và thỏa mãn hệ thức giao hoán:  N , a   a N,a  a (1.3)  Không gian Fock không gian mà vector sở trạng thái với số hạt xác định Trong không gian Fock trạng thái chân không định nghĩa trạng thái có số hạt 0, thoả mãn điều kiện: (1.4) a 0 n trạng thái n hạt: số hạt n hay trạng thái n dao động tử Biểu thức (1.1) thực khơng gian Fock với sở vector riêng chuẩn hóa toán tử số dao động tử N: n  a  n!  n n = 0,1,2… (1.5) Ta chứng minh hệ thức sau:      a, a  n   n a   n1 Chứng minh: Ta chứng minh (1.6) phương pháp quy nạp sau: Với n = 1: (1.6) a, a  1 Với n = 2:    a, a    a  a, a    a, a   a   2a   Nhận thấy (1.6) với n = 1,2 Giả sử biểu thức (1.6) với n=k , tức là:      a, a  k   k a  k 1 Ta phải chứng minh biểu thức với n=k+1 Ta có:    a, a      a, a    a, a    k 1 k 1 k 1       a   a, a  k   a, a   a        k 1 a    a  k a  k 1    a k k (đpcm)  k Dễ dàng thử lại được: m n   mn m,n = 1,2,… Từ hệ thức (1.6) ta chứng minh n (1.7) vector riêng toán tử số hạt N ứng với trị riêng toán tử số hạt N tương ứng với trị riêng n tức là: N n n n Thật vậy: N n  a a n  N n a a N n  N n  N n  (1.8) a  n!  n a  a  a  n n! n   a a,  a   n! n a  n!  n a   n  n N n n! N n n n (1.9) Trong hình thức luận dao động tử điều hòa, tốn tử tọa độ x xung lượng p định nghĩa: x a 2m  pi m a  (1.10) a  (1.11)   a Chúng thỏa mãn hệ thức giao hoán:  p, x   i (1.12) Thật vậy:  m p, x   2m   i  i  2a a p, x     a a  a   a    a   a  a   a    2aa     p, x    a, a     i  p, x   i Toán tử Hamiltonian mơ tả dao động tử điều hòa biểu diễn theo toán tử sinh, hủy dao động tử a+,a sau: H2  x p  H  2m H  H m a  (1.13)  a  a a    2 h  h a  a aa  (1.14)   N   1.1.2 Dao động biến dạng q-Boson Dao động tử biến dạng q - Boson đơn mode mô tả toán tử hủy toán tử sinh dao động tử a, a  tuân theo hệ thức giao hoán sau:   aa  qa a  q Trong đó: N (1.15) q thơng số biến dạng N toán tử số dao động thỏa mãn phương trình hàm riêng, trị riêng: N n q  n n q (1.16) thỏa mãn hệ thức giao hoán  N , a   a  N,a a (1.17)  Nếu q→1 (1.15) lại trở hệ thức dao động tử điều hòa Boson:   aa  a a  Chúng ta đưa vào khơng gian Fock có vector sở vector riêng toán tử số dao động N : a  n   n (1.18)  n q  Ở trạng thái dùng kí hiệu:  n qn   q n q 1 q q (1.19)  n    n  n 1 n  q2  q q 1 q q   Tác dụng a a, aa lên trạng thái riêng n q ta được: a a n  aa n q   n q nq q   n  1 n q (1.20) q Chứng minh: Ta chứng minh biểu thức a  a n q   nq nq (1.20) phương pháp quy nạp sau: q * Ta xét số trường hợp đặc biệt sau đây: Ở vùng nhiệt độ thấp, T  TD có giá trị lớn Ta khảo T TD  sát hàm D TD  trường hợp giới hạn tích phân    T hàm Debye tiến đến vô Tức  T  T   D  3T  T3  D D x3dx exp  x 1  T D 3T  D   T   TD 15  T D  T D   T  5TD (3.29) Do đó, theo (3.27) lượng vật rắn nhiệt độ thấp tỉ lệ với lũy thừa bốn nhiệt độ: 3 Nk U  E0  (3.30) T D 5T Và nhiệt dung là: Cv  U T Cv  12 NkT 5TD (3.31) Đó định luật Debye Ở nhiệt độ cao, T  TD  hàm D TD  lấy gần đúng:    T  T  3T T   TD T x3dx TD T có giá trị nhỏ Ta khảo sát T3  (3.32) exp  x 1 D D   D 1 Theo (3.25) ta tìm cơng thức lượng: U  E0  3NkT (3.33) Từ ta suy giá trị cổ điển nhiệt dung CV  3R  3Nk (3.34) Như lý thuyết Debye hoàn toàn phù hợp với thực nghiệm Người ta phát thấy vài sai lệch số liệu thực nghiệm so với lý thuyết Debye nhiệt độ vào khoảng 1K, có xuất thêm nhiệt dung electron 3.2 Xác định nhiệt dung Debye mạng tinh thể phương pháp thống kê biến dạng Dao động tử Bosson đơn mode biến dạng q mơ tả qua tốn tử sinh hủy hạt theo hệ thức giao hoán:   aa  qa a  (3.35) Ta đưa vào khơng gian Fock có vector riêng toán tử số dao động là: a   n n  (3.36)  n q ! Ở đây, trạng thái ta dùng kí hiệu:  n q n q 1  q 1 (3.37) Hàm Hamiltonian có dạng: H  WN  với: (3.38) * e  W  e 1 (3.39) Thì hàm Green toán tử Hamiltonian định nghĩa: F   Tr  e H F n Z Với Z hàm phân bố xác định: Z  Tr  e H    Fr Gˆ  n Gˆ n (3.40)  Z   n e  WN n0 (3.41) n Z 1  e  W Với hệ dao động tử biến dạng q thỏa mãn hệ thức giao hoán (3.35) ta thu phân bố thống kê:  a a  Tr  e H a  (3.42) a Z W  1e a a   q 1   qe  W aa  aa H  Tr  e aa  Z  W 1e   q 1 1W  qe q  q 1 (3.43) q 1 Năng lượng trung bình:  hv a  a  aa  d  n hv Tr e WN  a  a  aa   Z  hv  e W   d   (3.44) 1  q     d   W q 1 e  q  Số sóng đứng đàn hồi thể tích V vật rắn có tần số khoảng từ ν đến ν+dν là: 12V dn  v   v 2dv (3.45) v Năng lượng hệ sóng đứng vật rắn xác định nội chuyển động nhiệt vật rắn: U  v  vmax   d dn (3.46) Trong đó,  lượng trung bình sóng đứng Các sóng có tần số d cao mà bước sóng nhỏ khoảng cách nguyên tử truyền vật rắn nên νmax thể tích V vật rắn có N nguyên tử ứng với 3N dao động độc lập: vmax dn  v   v3 3N  4 V (3.47) max v Nội vật rắn: U  12 V v vmax  d v dv U  kT 12 V hv  e  hv  vmax 1 1  q  hv   v dv   v q 1 q e  kT  v   hv 12V  q max e kT  v dv U  Eo  hv v3   o e kT  q q (3.48) Trong đó: vmax E  E0  12 V 2h vdv v  q0 9N h 1 vmax (3.49) q Thay (3.49) vào (3.48) viết lại biểu thức xác định nội U vật rắn, ta được: V  U  12Nhv max vmax v 1  q   Đặt I vmax  hv3dv  hv  exp   q  kT  hv dv (3.50)  hv  exp   q  kT  đưa vào biến số TC  hvmax k , X  hv kT , T h Khi ν = → νmaxthì X   C ; lúc I trở thành dX  kT dv T k 4T I  h3 TC T Xe dX X q (3.51) * Khi T→0 (ở nhiệt độ thấp), tức I k T h  e 0 k T 6Li I h  q4  6Li dX   q q X dX X e  q  X X  TC   ta có T 4 q  (3.52) q Ta viết lại biểu thức nội vật rắn: U  54 Nk NkT 1 q   T Li   C q C 4 q   T  (3.53)  Lúc này, nhiệt dung vật rắn C   216 N k U 1 q   T  T (3.54) T Li   V 3 q  c q   Trong đó, N số hạt mol chất Khi q→1 X 3dX  nội nhiệt dung vật rắn viết lại  e 1 X 15  sau: U 8 5Vk 2T Nhvmax  3 5v h U NkTC  N (3.55) T C kT CV  U T  N T kT C * Khi T >> TC (ở nhiệt độ cao) ta có: (3.56) Tc T X dX  X  C  4q  e   T   T     C 4   T T    ln exp   q  T    C q T     T    exp    TC   q    12  Li2   q   T      TC   TC   4  ln  exp  T  T (3.57) C T      TC     TC   exp     1   exp T  T TC        Li 24Li  24       T  q q 24Li       q           Thay vào (3.51) dựa theo (3.50) ta tìm nội 9  U  NkT  Nk C 4 1  q    T    4T ln  exp C  q  T  C q   T     TC   exp      2 TC  T  T  4T ln  exp   q  Li2  T  1 12 q    T   C      TC     exp  T T T    24  24 Li   T q T  C C        TC    exp    T T    24   Li Li 4 T  q  q    C   Và nhiệt dung 1  q U CV   T   9N k exp TC  ln  e  q     TC  T e q     q   ln  T q  1  T  exp  TC  C   (3.58)  TC   T   T ln e T  3Li1  exp  C  q  T    T    q     T   T    C C   exp    exp    T T  T     T   12 Li2   24  Li3    q T   q C  C T      T  24 Li  CT   exp     T T       24 Li      T q  C  TC     (3.59)    1    q     * Khi T >> TC X  hvmax  T X nhỏ, e X   X2  1! 2! C kT T  ta xét đến gần bậc e X  1 X TC TC T  T X dX X e    q 1  TC   3 T  3 X dX X 1 q TC 1 q      1  q  TC    T T  31  q  ln q  ln 1  q   T  TC 1 q   (3.60)  1  Nội U  NkT C  9Nk 1  q  T 1T  3 T 1  q  C T T  TC1  q    1  q  ln   q2   TC TC  T  T  1  q  ln 1  q  TC  (3.61) Và nhiệt dung CV   T 1  1  q U T  9N k 1  q  3  TC  T 1T q ln  C  T3 1  q   34      q  T T T    C  C 2 (3.62)    4T1 q 1  T q   T T  C C 1  T  C ln 1  q     q KẾT LUẬN CHƯƠ NG III: T Như vậy, chương ta nghiên cứu nội nhiệt dung đẳng tích vật rắn coi vật rắn hệ dao động điều hòa Đồng thời tính nội nhiệt dung đẳng tích vật rắn coi vật rắn hệ dao động điều hòa biến dạng Kết cho thấy, coi vật rắn hệ sóng đàn hồi lan truyền vật rắn giống hệ dao động biến dạng đại lượng vật lý tìm trường hợp có giá trị tổng quát ta coi vật rắn hệ dao động điều hòa thơng thường Cụ thể: thông số biến dạng q tiến đến giá trị giới hạn (q→1) tất kết coi vật rắn hệ dao động điều hòa biến dạng mà ta tìm trở kết coi vật rắn hệ dao động điều hòa thơng thường Điều chứng tỏ, dao động biến dạng xem xét vấn đề cách tổng quát Và dao động chưa biến dạng trường hợp riêng dao động biến dạng KẾT LUẬN Sau thời gian tiến hành nghiên cứu, tìm hiểu dao động tử điều hòa, dao động tử biến dạng q giải nhiệm vụ sau đây: (1) Viết tổng quan dao động dao động tử điều hòa dao động tử biến dạng q hạt có spin ngun bán ngun (2) Tính thống kê dao động tử điều hòa dao động tử biến dạng q (3) Áp dụng phương pháp thống kê phương pháp thống kê biến dạng để tìm nhiệt dung Debye mạng tinh thể Và nhận thấy: kết tính tốn dao động biến dạng tổng quát Giá trị đại lượng vật lý tìm dao động biến dạng có chứa kết dao động lúc chưa biến dạng xem dao động lúc chưa biến dạng trường hợp riêng thông số biến dạng q tiến đến giá trị giới hạn Trong khoảng thời gian giới hạn, tơi cố gắng để trình bày hồn chỉnh luận văn khơng tránh khỏi sai sót Vì vậy, tơi mong nhận góp ý q báu q Thầy, Cơ bạn đọc để tơi hồn thiện luận văn tốt nghiên cứu sâu sắc điều kiện cho phép TÀI LIỆU THAM KHẢO TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT (1) Nguyễn Ngọc Long (2007), Vật lý chất rắn, cấu trúc tính chất vật rắn, NXB Đại học quốc gia Hà Nội (2) Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoàn, Nguyễn Văn Hùng (năm 2004), Vật lý thống kê, NXB Đại học quốc gia Hà Nội (3) Nguyễn Thị Hà Loan (2005), Thống kê dao động tử lượng tử, Báo cáo tổng kết đề tài KHCN cấp trường (4) Nguyễn Văn Hiệu, Nguyễn Bá Ân (2003), Cơ sở lý thuyết vật lý lượng tử, NXB Đại học quốc gia Hà Nội (5) Tập giảng GS – TSKH Đào Vọng Đức (6) Vũ Thanh Khiết (1984), Vật lý thống kê, NXB Đại học sư phạm Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG ANH (7) E G Floratos (1990), The Many-body problem for the q-Oscillator, Preprint LPTENS, Paris (8) S Chaturvedi, A K Kapoor, R Saudhya, V Srinivasan, R Simon, Generalized commutation relations for single mode oscillator, Preprint University of Hyderabad (9) W S Chung, A U Klimyk (1995), On Deformation of the Oscillator, Algebra, Preprint SNTUP 95-014 ... thống kê biến dạng để xác định nhiệt dung Debye mạng tinh thể Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp vật lý thống kê - Phương pháp đại số lượng tử (đại số biến dạng) Đóng góp Áp dụng thống kê biến dạng. .. Thống kê Fermion 16 2.2.2 Thống kê Fermion biến dạng q 17 CHƯƠNG III: XÁC ĐỊNH NHIỆT DUNG DEBYE CỦA MẠNG TINH THỂ BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ BIẾN DẠNG 19 3.1 Nhiệt dung Debye. .. động biến dạng phân bố thống kê dao động biến dạng - Áp dụng phương pháp thống kê dao động biến dạng để xác định nhiệt dung Debye mạng tinh thể Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu áp dụng thống