Rút ngắn đường đi trong mạng Pert

Mặt khác xuất phát từ vấn đề hạn chế về nguồn vốn đầu tư, tính cạnhtranh khốc liệt về giá thành và hiệu quả của việc rút ngắn thời gian để kịphoàn thành tiến độ công việc nên việc nghiên

MỤC LỤC

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu 1

3 Lịch sử nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Đối tượng nghiên cứu 2

6 Phạm vi nghiên cứu 2

7 Phương pháp nghiên cứu 3

Chương I: TÌM HIỂU MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG MẠNG PERT 4

1 Một số khái niệm 4

1.1 Sơ đồ mạng 4

1.2 Đường đi trong mạng 4

1.4 Sơ đồ mạng PERT 5

1.5 Giới thiệu về sơ đồ PERT 5

1.6 Các thông số thời gian trong sơ đồ PERT 7

1.7 Cách thành lập sơ đồ mạng PERT 10

Chương II: PHƯƠNG PHÁP/KĨ THUẬT RÚT NGẮN ĐƯỜNG ĐI TRONG MẠNG PERT 14

2.1 Một số khái niệm liên quan đến rút ngắn đường đi 14

2.1.1 Chi phí trực tiếp 14

2.1.2 Chi phí gián tiếp 14

2.1.3 Chi phí liên quan đến thời gian 15

2.1.4 Phương pháp thực hiện kế hoạch chi phí cực tiểu 15

2.2 Bài toán tính xác suất hoàn thành dự án 16

2.2.1 Ví dụ minh họa 19

2.3 Kĩ thuật rút ngắn đường đi trong mạng Pert sử dụng quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu 20

2.3.1 Sơ lược về lý thuyết Quy hoạch tuyến tính 20

2.3.2 Bài toán 22

2.3.3 Sơ đồ tóm tắt các bước sử dụng Quy hoạch tuyến tính để giải bài toán 23

2.3.4 Ví dụ minh họa 23

2.4 Phương pháp CMP (Critical Path Method) 39

2.4.1 Bài toán 40

2.4.2 Các bước thực hiện 40

2.4.3 Ví dụ minh họa 42

2.5 Phương pháp Unit Crash 45

2.5.1 Bài toán 45

2.5.1 Các bước thực hiện 45

2.5.2 Ví dụ minh họa 48

2.6 Phương pháp đồ thị tính giá trị gần đúng của Chi phí trực tiếp 51

2.6.1 Các bước thực hiện Phương pháp tính gần đúng chi phí trực tiếp 52

2.6.2 Ví dụ minh họa: 57

TÀI LIỆU THAM KHẢO -65

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài:

Trong quản lý dự án phần mềm, ước lượng về thời gian và chi phí tácđộng không nhỏ đến thành công của dự án, kết thúc dự án đúng hạn là mộttrong những thử thách lớn nhất, thường thì rất khó để chúng ta có thể ướclượng chính xác về số đơn vị thời gian hoàn thành dự án cho từng công việc.Các vấn đề về lịch biểu là lý do chính dẫn đến xung đột trong dự án, đặc biệt

là nữa sau của dự án Vì vậy chúng ta cần một khoảng một thời gian để dựphòng cho từng công việc

Mặt khác xuất phát từ vấn đề hạn chế về nguồn vốn đầu tư, tính cạnhtranh khốc liệt về giá thành và hiệu quả của việc rút ngắn thời gian để kịphoàn thành tiến độ công việc nên việc nghiên cứu tối ưu hoá sơ đồ mạng theochỉ tiêu thời gian với chi phí tăng thêm nhỏ nhất là hết sức cần thiết nhằmmang lại hiệu quả kinh tế cao trong việc tổ chức xây dựng sản phẩm phầnmềm

Tối ưu hoá theo chỉ tiêu thời gian - chi phí trên sơ đồ mạng là một trongnhững giải pháp tương đối hữu hiệu nhằm rút ngắn thời gian thực hiện từngdanh mục công việc hay toàn bộ công trình tương ứng với tổng chi phí thấp

nhất Xuất phát từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài: “Bài toán rút ngắn đường tới hạn trong mạng Pert”.

2 Mục tiêu nghiên cứu:

 Hiểu được mạng Pert là gì? Đường đi trong mạng Pert là gì?Đường tới hạn trong mạng Pert là gì?

 Rút ngắn đường tới hạn là làm gì? Rút ngắn để làm gì?

 Các bài toán đặt ra là gì? Cách giải các bài toán đó

3 Lịch sử nghiên cứu:

 Vấn đề này đã được một số tác giả nhắc đến trong quản lý xâydựng các công trình xây dựng (kinh tế xây dựng), trong quản lýdoanh nghiệp kinh doanh…

4 Nhiệm vụ nghiên cứu:

 Tìm hiểu mạng Pert trong quản lý dự án, đường đi trong mạngPert, cách rút ngắn đường đi

 Đưa ra được một số bài toán vận dụng quy hoạch tuyến tính đểgiải

 Chuyển về bài toán rút ngắn đường đi trong mạng PERT về bàitoán tổng quát vận dụng quy hoạch tuyến tính để giải

 Tìm hiểu một số phương pháp khác về rút ngắn đường đi trongmạng PERT

 Lưu ý mối quan hệ giữa rút ngắn thời gian và chi phí

5 Đối tượng nghiên cứu:

 Lý thuyết tối ưu và các thành phần trong sơ đồ mạng Pert

 Các bài toán trong quản lý chi phí, thời gian trong sơ đồ mạngPert

 Phương pháp rút ngắn đường đi trong sơ đồ mạng Pert

6 Phạm vi nghiên cứu:

Đề tài tập trung nghiên cứu:

 Sơ đồ mạng Pert trong quản lý dự án phần mềm

 Lý thuyết về quy hoạch tuyến tính

 Các phương pháp rút ngắn đường tới hạn trong mạng Pert

7 Phương pháp nghiên cứu:

 Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Lý thuyết về quản lý dự án,

sơ đồ mạng, lý thuyết về tối ưu…

NỘI DUNG Chương I: TÌM HIỂU MỘT SỐ KHÁI NIỆM TRONG MẠNG PERT

1 Một số khái niệm

1.1 Sơ đồ mạng:

Một tập hợp các điểm (ta gọi là các đỉnh, kí hiệu A) và tập hợp các mũitên (ta gọi là các cung, kí hiệu là U) được gọi là một sơ đồ mạng lưới nếuchúng thỏa mãn các điều kiện sau:

 Giữa hai đỉnh có không quá một cung nối liền và ngược lại mỗicung liên kết 2 đỉnh nào đó với nhau Cung nối từ đỉnh i đến đỉnh j

kí hiệu là (i, j) trong đó i là điểm gốc của cung, và j là điểm ngọncủa cung

 Trong sơ đồ không chứa vòng kín, nghĩa là từ một đỉnh bất kỳ, đitheo chiều các mũi tên, không bao giờ quay về điểm xuất phát Giữa

2 đỉnh tùy ý bao giờ cũng có một dãy các cung nối liền

 Có một đỉnh chỉ toàn các cung đi ra được gọi là đỉnh bắt đầu và cómột đỉnh chỉ toàn các cung đi vào được gọi là đỉnh kết thúc Cácđỉnh còn lại có cả cung đi ra và cung đi vào

1.2 Đường đi trong mạng:

Trong sơ đồ mạng mà một dãy các cung nối tiếp nhau được gọi là mộtđường đi

1.3 Đường tới hạn trong mạng:

Đường tới hạn là đường nối những công việc tới hạn Công việc tới hạn

là những công việc mà không cho phép trễ, vì trễ sẽ ảnh hưởng đến việc trễhạn của toàn bộ thời gian dự án

1.4 Sơ đồ mạng PERT:

Là phương pháp áp dụng kết hợp giữa lý thuyết xác suất thống kê (đểước tính thời lượng công việc trong các dự án mà công việc có thời lượngkhông xác định trước) với dạng sơ đồ mạng đường găng sử dụng lý thuyết đồthị

Áp dụng PERT/CPM đối với quản trị dự án sẽ giúp các nhà quản trị xâydựng được lộ trình và thời gian cho các hoạt động của dựán theo từng bước,từng giai đoạn cụ thể Đồng thời chủ động khống chế được thời gian của dự

án, tránh tình trạng không đảm bảo tiến độ như khá nhiều dự án đang gặpphải

1.5 Giới thiệu về sơ đồ PERT:

Trong các phương pháp sơ đồ mạng thì phương pháp PERT đượcnhiều người biết đến hơn cả, PERT có nghĩa là kĩ thuật ước lượng và kiểm tra

dự án (Program Evaluation and Review Technique)

Trước hết là kết quả đáng chú ý khi ở Mĩ người ta sử dụng PERT đểđiều khiển việc xây dựng hệ thống tên lửa Polaris vào năm 1958 đã rút ngắnthời gian xây dựng từ 55 năm xuống còn 3 năm Sau đó PERT được phổ biếnrất nhanh chóng sang các lĩnh vực khác trong nền kinh tế quốc dân ở Mĩ

Mục tiêu chính của phương pháp: đánh giá khả năng hoàn thành dự ántrong thời hạn định trước

 Thời hạn sớm nhất để hoàn thành toàn bộ dự án.

 Thời hạn bắt đầu sớm nhất và muộn nhất của mỗi công việc sao chotoàn bộ dự án được hoàn thành đúng kế hoạch

 Thời điểm kết thúc sớm nhất và muộn nhất của mỗi việc sao chotoàn bộ dự án được hoàn thành đúng kế hoạch

 Thời gian dự trữ cho mỗi việc, nghĩa là khoảng thời gian mà có thểbắt đầu muộn hoặc kết thúc muộn mà không ảnh hưởng tới toàn bộ

dự án

Trên cơ sở xem thời hạn hoàn thành mỗi công việc không đổi (tij =const) Thật ra trong thực tế xây dựng thường gặp rất nhiều yếu tố ngẫu nhiêntác động (điều kiện về thời tiết, việc cung cấp nguyên vật liệu, thiết bị ) Vìvậy, thời hạn hoàn thành các công việc nhiều khi không cố định (tij)

Ví dụ: Khi cần đóng một hệ thống cọc để gia cố nền của một tòa nhà,người điều khiển thi công dự tính làm trong 1 tháng Có khi do chuẩn bị cácmặt tốt, công tác tiến hành trong thời tiết thuận lợi, nên thời gian chỉ hết 20ngày Nhưng khi gặp khó khăn về thời tiết, về dụng cụ… thời gian hoàn thành

là 35 ngày, mất nhiều thời gian hơn kế hoạch dự tính Như vậy vấn đề đượcđặt ra là: Phải xử lí tình trạng không ổn định về thời gian như thể nào để rút rađược những kết luận đáng tin cậy và có thể sử dụng được trong thực tế thicông Muốn giải quyết vấn đề này có thể vận dụng các phương pháp của líthuyết xác suất thống kê, để nghiên cứu PERT và đó cũng là một ưu điểm nổibật trong các ưu điểm của phương pháp PERT Phương pháp PERT lại đưayếu tố không xác định (hay còn gọi là yếu tố ngẫu nhiên) vào, khi ước lượngthời gian thực hiện các công việc và thời gian hoàn thành dự án; do đó nó rấtphù hợp với những trường hợp, những số liệu ban đầu và các công việc đangđược nghiên cứu thực hiện chưa có định mức

1.6 Các thông số thời gian trong sơ đồ PERT:

Mỗi công việc thường có một định mức thời gian thực hiện dựa trêncông nghệ và tài nguyên sử dụng (thiết bị, nguyên liệu, lao động…)

Cũng có những công việc chưa có định mức thời gian, chẳng hạnnhững công việc thuộc lĩnh vực nghiên cứu, thử nghiệm, chế tạo, sản xuất lầnđầu, hoặc quy cách sản phẩm thay đổi…, do đó khó xác định được thời gianthực hiện các công việc

Thời gian dự kiến hoàn thành công việc tij của dự án thưởng là ướclượng Thực tế thời gian thực hiện các công việc không hoàn toàn đúng bằngthời gian dự kiến, cũng có khi chúng lớn hơn, cũng có lúc lại nhỏ hơn thờigian dự kiến Chỉ người nào đã quen làm một loại công việc thì với kinhnghiệm và khả năng riêng mới dự kiến đúng đắn được thời gian này cho chínhmình Vậy đây vẫn là một sự ước lượng thời gian theo chủ quan của conngười

Thời gian dự trữ của các sự kiện (điểm nút)

Công thức xác định thời gian sớm nhất và thời gian muộn nhất đạt tớimột sự kiện

Công thức tính Li

Li = Minj(Li - tij)

Lcuối cùng= thời gian thực hiện dự án

Ý nghĩa của việc tính E và L:

 Thứ nhất, tính toán thời gian dự trữ của một sự kiện

Thời gian dự trữ của một sự kiện là thời gian sự kiện có thể kéo dàithêm mà không làm ảnh hưởng đến thời gian hoàn thành dự án

Si = Li - Ei

 Thứ hai, là cơ sở để xác định đường găng

Đường găng (đường tới hạn) là đường nối các sự kiện găng Sự kiệngăng là sự kiện có thời gian dự trữ bằng không

 Thứ ba, là căn cứ để để xác định khả năng thực hiện tiến độ thờigian dự kiến đạt đến các sự kiện (điểm nút) Trên cơ sở các thông tin về thờigian cực tiểu (a), thời gian thường xuất hiện (m), thời gian cực đại (b), thờigian sớm nhất đạt tới sự kiện (Ej), thời gian muộn nhất sự kiện nào đó phảiđược thực hiện (Lj) và dựa vào lý thuyết xác suất thực hiện tiến độ thời gian

dự kiến đạt tới các sự kiện Đây là cơ sở kiểm tra tiến độ, điều chỉnh, khắcphục những bất hợp lí có thể xảy ra

Thời gian dự trữ của các công việc:

Trong quản lý dự án việc quản lý thời gian dữ trữ các công việc giữ vịtrí quan trọng, trên cơ sở thông tin về thời gian dự trữ các công việc, cán bộquản lý dự án có thể bố trí lại trình tự thực hiện các công việc theo mục tiêugiảm bớt chi phí mà vẫn đảm bảo thực hiện dự án đúng thời hạn

Thời gian dự trữ toàn phần của một công việc nào đó là khoảng thờigian công việc này có thể kéo dài thêm nhưng không làm chậm ngày kết thúc

dự án

Kí hiệu:

ES(a): Thời gian bắt đầu sớm của công việc a

EF(a): Thời gian kết thúc sớm của công việc a

t(a): Độ dài thời gian thực hiện công việc a

LS(a): Thời gian bắt đầu muộn của công việc a

LF(a): Thời gian kết thúc muộn của công việc a

LF(cc): Thời gian kết thúc muộn của công việc cuối cùng

EF(a) = ES(a) + T(a)

ES(a) = Max(EFj) (j là công việc trước a)

ES1=0

LF(a)=Min(LSj) (j là công việc đứng sau a)

LS(a)= LF(a) – t(a)

LFcc = thời gian thực hiện dự án

Thời gian dự trữ toàn phần(a) = LS(a) - LF(a)

I 3 15 18 15 18 0

Bảng 1: Thời gian dự trữ toàn phần của các công việc theo chương trình bình thường của dự án A 1.7 Cách thành lập sơ đồ mạng Pert:

Mỗi công việc hay thao tác được biểu diễn bằng một cung Công việcđược kí hiệu bằng chữ hay số kèm theo thời gian thực hiện được ghi trongngoặc

Các đỉnh của đồ thị biểu diễn kết thúc các công việc (hoặc các côngviệc bộ phận)

Các đỉnh được bố trí để phản ánh các hạn chế về trình tự thực hiện (nốitiếp hay đồng thời) các công việc

Ví dụ đồ thị dưới đây biểu diễn 4 công việc a, b, c, d với thời gian thựchiện tương ứng 6, 2, 5, 8 Các công việc a, b có thể thực hiện đồng thời,ngược lại công việc d chỉ có thể bắt đầu sau khi thực hiện xong công việc b,còn c chỉ bắt đầu sau khi hoàn thành xong cả a lẫn d Đỉnh 1 đánh dấu khởiđầu công việc a và b trong khi đỉnh 4 ứng với kết thúc công việc c

Hình 2: Cách thành lập sơ đồ PERT

Sơ đồ mạng lưới Pert là một hình thức mô tả trình tự thực hiện cáccông việc của dự án nhằm đạt một mục tiêu nào đó (tiết kiệm thời gian, chi

Hai yếu tố cơ bản của sơ đồ mạng lưới:

 Các công việc biểu thị bằng các cạnh có hướng

 Các sự kiện được biểu thị bằng các đỉnhTrong đó một đỉnh vào là sự kiện bắt đầu và đỉnh ra là sự kiện hoànthành toàn bộ

Nguyên tắc chung:

 Giữa hai đỉnh bất kỳ chỉ duy nhất có một cạnh nối liền

 Trong sơ đồ không có chu trình, các cạnh không nên bắt chéonhau khi không cần thiết

Thực hành:

Nếu có nhiều công việc cùng làm song song thì:

 Hoặc gộp chúng lại thành một công việc lớn và thời gian bằngtổng các thời gian gộp lại nếu chúng cùng tính chất công việc

 Hoặc lập thành các đỉnh mới và các cạnh giả và thời gian tij=0

Hình 3a

Hình 3b

Hình 3c Hình 3: Cách thành lập sơ đồ PERT

Nếu có một nhóm công việc tạo thành một mạch con khi đưa vào mạch lớn ta coi là một việc, thời gian bằng đường găng của mạch con

Hình 4a

Hình 4b Hình 4: Cách thành lập sơ đồ PERT

Một số trường hợp vẻ mạng PERT có sử dụng biến giả tránh các côngviệc có cùng nút bắt đầu và cùng nút kết thúc (xem phần phụ lục)

Chương II: PHƯƠNG PHÁP/KĨ THUẬT RÚT NGẮN ĐƯỜNG TỚI HẠN TRONG MẠNG PERT

2.1 Một số khái niệm liên quan đến rút ngắn đường tới hạn:

2.1.1 Chi phí trực tiếp:

Chi phí trực tiếp: là những khoản mục chi phí có thể xác định cụ thể,trực tiếp cho từng công việc cụ thể hoặc dự án Chi phí trực tiếp được dự toán,kiểm soát và quản lí dễ dàng hơn chi phí gián tiếp

2.1.2 Chi phí gián tiếp:

Là chi phí không được tính trực tiếp cho từng công việc nhưng lại rấtcần thiết để duy trì hoạt động của dự án

Ví dụ:

 Chi phí lao động gián tiếp: tiền lương của nhân viên bảo trì thiết bị,bảo vệ, nhân viên dọn vệ sinh, những người lao động phục vụ hoạtđộng chung của dự án

 Chi phí nguyên vật liệu gián tiếp: bao gồm nguyên vật liệu được sửdụng để quét dọn, lau chùi các thiết bị

 Chi phí thiết bị gián tiếp: bao gồm chi phí máy tính, máy photo, fax.

 Chi phí văn phòng dự án: tiền thuê văn phòng, điện, nước, thiết bịvăn phòng, điện thoại, internet

2.1.3 Chi phí liên quan đến thời gian:

 Chi phí thiết bị tăng thêm khi kéo dài thời gian thực hiện công việc

 Chi phí điện nước tăng lên do kéo dài thời gian hoạt động của vănphòng dự án

 Chi phí tiền công tăng lên khi rút ngắn thời gian thực hiện các côngviệc của dự án do phải làm thêm giờ

 Chi phí lao động hợp đồng trên một đơn vị thời gian không thay đổi dùkéo dài thời gian thực hiện nhưng năng suất lao động có thể bị ảnhhưởng

 Đơn giá hợp đồng không bị ảnh hưởng bởi yếu tố thời gian

2.1.4 Phương pháp thực hiện kế hoạch chi phí cực tiểu:

Kế hoạch chi phí cực tiểu là phương pháp rút ngắn tiến độ thực hiệnnhững công việc lựa chọn sao cho chi phí tăng thêm cực tiểu, giảm tổng chiphí và rút ngắn hợp lý độ dài thời gian thực hiện dự án

Thời gian bình thường: là thời gian hoàn thành công việc trong những

điều kiện bình thường, không có những thay đổi đột biến về thiết bị, lao động,các nhân tố bên ngoài…

Chi phí bình thường: chi phí cho một công việc nào đó được thực hiện

trong điều kiện bình thường (gắn với thời gian bình thường nêu trên)

Thời gian rút ngắn: thời gian thực hiện công việc trong điều kiện đã

được rút ngắn đến mực cho phép hợp lý (không thể rút ngắn thêm được nữa)trong điều kiện kỹ thuật, trình độ lao động, các nhân tố khác hiện tại

Chi phí rút ngắn: chi phí thực hiện công việc gắn với thời gian rút

ngắn, là mức chi phí được xem là cao nhất khi thời gian thực hiện công việc

đó không thể rút ngắn thêm trong điều kiện hiện tại

2.2 Bài toán tính xác suất hoàn thành dự án:

Bài toán xuôi: Cho n công việc có ràng buộc trước sau với thời gianthực hiện mỗi công việc bao gồm: thời gian thuận lợi (a), thời gian khó khăn(b), thời gian có khả năng (m) Tính xác suất hoàn thành dự án

Bài toán ngược: Cho n công việc có ràng buộc trước sau với thời gianthực hiện mỗi công việc bao gồm: thời gian thuận lợi (a), thời gian khó khăn(b), thời gian có khả năng (m) Tính số ngày cần hoàn thành dự án với xácsuất cho trước

Thời gian thực hiện từng hoạt động của dự án nói chung là một lượngbiến động khó dự đoán trước, chúng ta giả thiết chúng là các biến ngẫu nhiên.Giả sử ta có các số liệu ước tính về thời gian thực hiện các hoạt động của dự

S: thời gian dự kiến hoàn thành toàn bộ dự án

D: Độ dài thời gian hoàn thành các công việc găng

Độ lệch chuẩn của thời gian hoàn thành các công việc găng

Khi đó:

: Thời gian thực hiện công việc găng thứ i

Phương sai càng lớn thì tính không chắc chắn về thời gian hoàn thành

dự án tăng

: Phương sai hoàn thành dự án

i: là các công việc găng

: phương sai các công việc găng và được tính như sau:

a: thời gian dự án diễn ra trong điều kiện thuận lợi (thời gian sớm)

b: là thời gian dự án diễn ra trong điều kiện khó khăn (thời gian muộn)m: thời gian phù hợp (có khả năng)

: Độ lệch tiêu chuẩn, độ biến thiên

Phương pháp xác định xác suất hoàn thành dự án

2.2.1 Ví dụ minh họa:

Ví dụ: Cho sơ đồ mạng Pert sau:

Hình 1: Sơ đồ mạng PERT của dự án A

Công việc

Thời gian ước tính a

Sớm nhất

m

Khả năng xảy ra nhiều nhất

b

muộn nhất

t

Thời gian trung bình

Độ lệch tiêu chuẩn,

độ biến thiên

G 1 4 7 4 6/6

Bảng 2: Thời gian ước tính các công việc

Bước tiếp theo là lập sơ đồ mạng cho dựán với các thời gian trung bình

T và tìm đường găng Đường găng là A CE IJ

Các công việc này có độ trễ cho phép bằng 0, hay nói cách khác, khôngcho phép sự chậm trễ nào

Ta tìm kì vọng của T (thời gian trung bình thực hiện dự án) theo côngthức:

m = mT = tA+ tC + tE + tI + tJ = 20 (tuần)

Tính độ lệch chuẩn của thời gian thực hiện dự án:

Ta coi T là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn

Ta tính được N(m=20, σ =1,333)

Tính số tuần tối thiểu để dự án hoàn thành với độ tin cậy là 90%?

Đặt P(T<=t) = 90% Tra bảng phân phối chuẩn tắc N(0,1) tìm đượcZ=1,28

Z = (T-20)/1,33=1,28 => T=21,7

Dự án đang xem xét có khả năng hoàn thành với độ tin cậy tới 90%trong vòng (không vượt quá) 22 tuần

Có thể sử dụng hàm tính phân phối xác suất chuẩn và công cụ Goalseek trong Microsoft Excel để tính giá trị ngược, cho biết số tuần cần hoànthành dự án khi biết xác suất tương ứng

2.3 Kĩ thuật rút ngắn đường đi trong mạng Pert sử dụng quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu

2.3.1 Sơ lược về lý thuyết về quy hoạch tuyến tính:

Trong toán học, quy hoạch tuyến tính là bài toán tối ưu hóa, trong

và bất đẳng thức tuyến tính

Mô hình quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu:

Trong các bài toán kĩ thuật, công nghệ, quản lí, kinh tế nông nghiệp v.v nảy sinh từ thực tế, chúng ta thường phải xem xét để tối ưu hoá đồng thời mộtlúc nhiều mục tiêu

Bài toán tối ưu đa mục tiêu mà trong đó miền ràng buộc D là tập lồi đadiện và các mục tiêu zi= fi(X), với i = 1, 2,…, p là các hàm tuyến tính xác địnhtrên D, được gọi là bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu Khi đó, ta có

mô hình toán học sau đây được gọi là mô hình quy hoạch tuyến tính đa mụctiêu:

Max CX với ràng buộc trong đó

2.3.2 Bài toán:

Phát biểu bài toán tổng quát:

Có n công việc ràng buộc trước sau về thời gian trong mạng PERT Mụctiêu của bài toán là rút ngắn thời gian thực hiện ở từng công việc sao cho tổngthời gian rút ngắn và chi phí trực tiếp tăng lên sau khi rút ngắn là nhỏ nhất.Bài toán tổng quát được chuyển về như sau:

Hàm mục tiêu: cần cực tiểu hóa cả thời gian thực hiện dự án lẫn tổng chiphí gia tăng

min (thời gian)

min (chi phí)

Các ràng buộc:

Trong đó:

n: là số công việc

là thời điểm mà hoạt động i xảy ra

là thời gian cần rút ngắn của công việc thứ i

TGHT là thời gian cần thiết để hoàn thành n công việc

là thời gian rút ngắn của công việc thứ i

là thời gian bình thường của công việc thứ i

là kinh phí bổ sung/đơn vị thời gian rút gọn

2.3.3 Sơ đồ tóm tắt các bước sử dụng Quy hoạch tuyến tính để giải bài toán

Sơ đồ sử dụng phương pháp quy hoạch tuyến tính

2.3.4 Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1:

Hình 5a: Sơ đồ mạng PERT dự án cần điều chỉnh B

Sơ đồ trên có thể được biểu diễn:

Hình 5b: Sơ đồ mạng PERT dự án cần điều chỉnh B

Công việc

Thời gian bình thường (tuần)

Thời gian rút ngắn (tuần)

Bảng 3: Số liệu điều chỉnh khi dự án B bị phá vỡ

Sau khi có thời gian định mức cho các hoạt động như trong bảng 2.4.1,

dễ dàng tìm được thời gian tối thiểu cần thiết để hoàn thành kế hoạch là 16(tuần) = (tổng thời gian của các công việc trên đường găng A, C, E) Tuy

nhiên do yêu cầu mới, cần rút gọn thời gian hoàn thành dự án trong vòng(không vượt quá) 10 (tuần).

Để tính thời gian rút gọn bằng phương pháp đơn hình (có thể sử dụngcác phần mềm máy tính thích hợp), ta phải đưa ra được mô hình toán học,phát biểu được bài toán quy hoạch tuyến tính (đơn hay đa mục tiêu)

Trước hết, cần xác định các biến quyết định Gọi x1, x2, x3, x4, x5 là cácthời điểm mà các hoạt động xảy ra (tại các nút); yA, yB, yC, yD, yE là thời giancần rút bớt cho các hoạt động để yêu cầu mới về đẩy nhanh tiến độ được thoảmãn Ta có bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu sau (cần cực tiểu hóa cảthời gian thực hiện dự án lẫn tổng chi phí gia tăng):

Chuyển mục tiêu 1 thành ràng buộc (*) Nếu lúc đó bài toán quy hoạchtuyến tính không có phương án khả thi thì phải nới lỏng dần (*):

Chẳng hạn thay (*) bởi x5 ≤ x1+ 11

Giải bằng phần mềm Microsoft Excel ta có:

Bảng 4a: Bảng kết quả rút ngắn thời gian hoàn thành của dự án B

Nếu rút ngắn thời gian hoàn thành dự án từ 16 tuần xuống 10 tuần thì chi phí tăng lên là 6.5 triệu đồng

Bảng 4b: Bảng kết quả rút ngắn thời gian hoàn thành của dự án B

Nếu rút ngắn thời gian hoàn thành dự án từ 16 tuần xuống 11 tuần thì chi phí tăng lên là 4.5 triệu đồng với rút ngắn A: 1

Bảng 4c: Bảng kết quả rút ngắn thời gian hoàn thành của dự án B

triệu với rút ngắn các công việc như sau:

C: 1 tuần, E: 3 tuần

Tổng thời gian rút

ngắn trên đường găng

Công việc rút ngắn Chi phí tăng

A+C+E= 6

16–6=10

A: 2 ngàyC: 1 ngàyE: 3 ngày

6.5

A+C+E=5

16–5=11

A: 1 ngàyC: 1 ngàyE: 3 ngày

4.5

A+C+E=4

16–4=12

C: 1 ngàyE: 3 ngày

2.5

Bảng 5: Bảng kết quả giữa thời gian và chi phí tương ứng

Càng rút ngắn thời gian hoàn thành dự án thì chi phí càng tăng Do vậyngười quản lí cần cân nhắc việc cân đối giữa thời gian và chi phí tương ứng khirút ngắn

Trong trường hợp ci không cho trước, ta tính:

ci= (CPRNi-CPBTi)/(TGBTi-TGRNi)

Trong đó:

CPBTi: Chi phí bình thường của công việc thứ i

CPRNi: Chi phí rút ngắn của công việc thứ i

TGBTi: thời gian bình thường của công việc thứ i

TGRNi: thời gian rút ngắn của công việc thứ i

Để dễ nhìn hơn sơ đồ được viết lại:

Hình 6b: Sơ đồ mạng PERT của dự án C

Rút ngắn

Bình thường

Rút ngắn

Mục tiêu 2: z2=10yA+4yB+3yC+6yD+5yE+7yF+1yG+0yH Min