Tiểu luận cơ sở dữ liệu nhom2

cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu cơ sở dữ liệu

LỜI MỞ ĐẦU

Các bạn ạ, trong lúc công nghệ thông tin đang bùng nổ như hiện nay thì yêu cầu vềmột phần mềm ứng dụng vừa đơn giản,vừa dễ sử dụng nhưng lại phải có tính bảo mậtcao đang là những yêu cầu hàng đầu của các công ty và các doanh nghiệp trong và ngoàinước Để giải quyết được yêu cầu trên thì môn học “Cơ sở dữ liệu” đã ra đời nhằm đápứng nhu cầu về an toàn dữ liệu khi quản lý của các phần mềm ứng dụng

Là những sinh viên đang theo học công nghệ thông tin và mới hoàn thành môn học

“Cơ cở dữ liệu” thì nhóm chúng em đã chọn việc nghiên cứu các phép toán lý thuyết tậphợp, và các bài toán liên quan đến phụ thuộc hàm Mong rằng thày cô và các bạn sẽ đónggóp cho bài tiểu luận của chúng em để bài làm của chúng em hoàn thiện hơn Dưới đây làbản báo cáo chi tiết của chúng em

NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN

NỘI DUNG

I Phần bài tập đại số quan hệ

Bài số 1:Cho 2 quan R và S như sau:

1.2 Phép nối tự nhiên (kí hiệu là *)

Nhằm loại bỏ thuộc tính thứ 2 trong điều kiện nối bằng Nếu không có một tổ hợp các bộ nào thỏa mãn điều kiện nối nào thì kết quả là 1 quan hệ rỗng không chứa bộ nào.Nếu không có diều kiện nối , mọi tổ hợp nối sẽ được chọn và phép nối trở thành tích đề các

1.3 Phép Chiếu (π) : Chọn một số hàng của bảng thỏa mãn điều kiện chọn và ) : Chọn một số hàng của bảng thỏa mãn điều kiện chọn và

bỏ qua các hàng không thỏa mãn điều kiện chọn hay nói cách khác phép chiếu là lựa chọn một số cột của bảng

1.4 Phép hợp hai quan hệ : kí hiệu là R U S cho biết kết quả là một quan hệchứa tất cả quan hệ của R và S hoặc các bộ chứa trong R hoặc trong S Các bộ trùnglặp sẽ bị loại bỏ

2 Lời giải chi tiết

(R + S) X chính là phép giao của X với hợp của hai quan hệ R và S

4 Tuấn 74 Nam VF Tin

14 Quyên 76 Nữ VF Tin học 22

Sau đó dùng phép chọn(với điều kiện là lấy NS và Quê vì 2 thuộc tính này mang tính chất duy nhất –coi như thuộc tính khóa) từ bảng KQ trên thì được DS như ý muốn:

DS ←σ(NS=77 and Quê=’HN’) or(NS=76 and Quê=’HP’) or(NS=75 and NS=77 and Quê=’HN’) or(NS=77 and Quê=’HN’) or(NS=76 and Quê=’HP’) or(NS=75 and NS=76 and Quê=’HP’) or(NS=77 and Quê=’HN’) or(NS=76 and Quê=’HP’) or(NS=75 and NS=75 and Quê=’SG’)or(NS=77 and Quê=’HN’) or(NS=76 and Quê=’HP’) or(NS=75 and NS=74 and Quê=’VF’)(NS=77 and Quê=’HN’) or(NS=76 and Quê=’HP’) or(NS=75 and KQ)

DS: chính là bảng cần tìm:

MSV : Mã sinh viên HT : Họ tên sinh viên

NS : Năm sinh QUE : Quê quánMĐT : Mã đề tài TĐT : Tên đề tài

GV : Giáo viên KP : Kinh phíNTT : Nơi thực tập KQ : Kết quảHãy trả lời các câu hỏi sau dưới dạng biểu thức quan hệ :

a Cho biết tên của các giáo viên hướng dẫn sinh viên có quê ở Hà nội và có kết quả thực tập khá ( KQ ( 7)

b Cho biết tên của các sinh viên có kết quả thực tập khá và thực tập tại quê hoặc thực tập tại Quảng ninh

c Cho biết tên của các giáo viên hướng dẫn sinh viên có quê ở Hà nội và thực tập đề tài có kinh phí lơn hơn 5 triệu

d Cho biết tên của các sinh viên có kết quả thực tập khá và thực tập đề tài có kinh phí lớn hơn 4 triệu

e Danh sách sinh viên thực tập tại quê nhà

f.Thông tin về các đề tài có sinh viên thực tập

g Cho biết mã của các đề tài không có sinh viên nào tham gia

h Cho biết mã của các đề tài có kinh phí nằm trong khoảng 1.5 đến 2 triệu

i Cho biết mã của sinh viên có tuổi nhỏ hơn 20 và kết qủa thực tập là khá ( KQ>7)

Bài làm

a Ten(Que=’HaNoi’ and (KQ>7)((SV⋈TT) ⋈DT))

b Ten(KQ>=7 and Que=’NTT’ or Que=’QN’(SV⋈TT))

c TenGV(KP>5 and Que=’HN’((SV⋈TT) ⋈DT))

Tính các biểu thức đại số quan hệ sau đây:

Tính các biểu thức đại số quan hệ sau đây:

a ACB(R) - EFG(D=E(S) )

Bài 3 Cho các quan hệ SINHVIEN, DIEMTHI và MONHOC lần lượt như sau:

NH

1

DIEMLAN 2

TI01 Pascal 4

Tính các biểu thức đại số quan hệ dưới đây và cho biết chức năng của mỗi biểu thức

a HOTEN,GIOITINH(DIACHI=’Huế’(SINHVIEN))

b HOTEN,TENMH,DIEMLAN1(SINHVIEN DIEMTHI MONHOC)⋈ DIEMTHI ⋈ MONHOC) ⋈ DIEMTHI ⋈ MONHOC)

c TENMH,DIEMLAN1,DIEMLAN2(HOTEN=’Lê Hoài Nam’ (SINHVIEN)

DIEMTHI MONHOC))⋈ DIEMTHI ⋈ MONHOC) ⋈ DIEMTHI ⋈ MONHOC)

Bài 4 Cho các quan hệ sau :

TAPCHI ( MATC, TUA, GIA, LOAI, TANSUAT)

NHAPHANPHOI (MAPP, TENPP, DIACHI)

PHANPHOI (MAPP, MATC, NGAYGIAO, SOLUONGGIAO)

Viết các truy vấn sau bằng NNĐSQH

a Giá bán các tạp chí?

b Danh sách các tạp chí phát hành hàng tuần

c Mã các tạp chí được phân phối cho nhà phân phối Bến Thành

d Danh sách các nhà phân phối nhận được nhiều loại tạp chí

e Số lượng tạp chí A đã giao trong ngày 12/2

Bài làm:

a) GIA (TAPCHI)

b) MATC,TUA (TANSUAT=’Tuần’ (TAPCHI))

c) MATC(TENPP=’BếnThành’ (TAPCHI PHANPHOI NHAPHANPHOI))⋈ DIEMTHI ⋈ MONHOC) ⋈ DIEMTHI ⋈ MONHOC)

d) MAPP,TENPP,DIACHI(COUNT(MATC)>1(MAPP|COUNT(MATC)

(MAPP,MATC(PHANPHOI)⋈NHAPHANPHOI)))

e) SOLUONGGIAO(TUA=’TCA’۸ NGAYGIAO=#12/02/2008# (PHANPHOI⋈TAPCHI))

Bài 5 Cho các quan hệ sau :

XUONG ( MAX, TENX, TP)

Tân từ : Môt xưởng sản xuất được mô tả bởi mã xưởng MAX, tên xưởng TENX và thành phố mà xưởng toạ lạc

SANPHAM (MASP, TENSP, MAUSAC, TRONGLUONG)

Tân từ : Môt sản phẩm được mô tả bởi mã sản phẩm MASP, tên sản phẩm TENSP, màu sắc và trọng lượng của sản phẩm

NHACUNGCAP (MACC, TENCC, LOAI, TP)

Tân từ : Môt nhà cung cấp được mô tả bởi mã cung cấp MACC, tên nhà cung cấp TENCC, LOAI nhà cung cấp (VD: thầu phụ, thầu chính…), và thành phố mà nhà cung cấp đặt trụ sở

PHANPHOI (MASP, MAX, MACC, SOLUONG)

Tân từ : Môt số lượng SOLUONG sản phẩm MASP được phân phối đến một xưởngsản xuất MAX bởi một nhà cung cấp MACC

Viết các truy vấn sau bằng NNĐSQH

a Cho biết mã số, tên của tất cả các xưởng sản xuất tại TPHCM

b Danh sách các nhà cung cấp phân phối sản phẩm 1 cho xưởng sản xuất 1

c Danh sách tên và màu sắc các sản phẩm được phân phối bởi nhà cung cấp 1

d Danh sách các nhà cung cấp phân phối cho xưởng sản xuất 1 các sản phẩm cómàu đỏ

e Danh sách các nhà cung cấp phân phối cho các xưởng sản xuất ở Hà nội hayHuế các sản phẩm có màu đỏ

f Danh sách các sản phẩm được phân phối cho một xưởng sản xuất bởi một nhàcung cấp trong cùng thành phố

g Danh sách các sản phẩm được phân phối cho một xưởng sản xuất ở Huế bởimột nhà cung cấp tại Hà nội

h Danh sách các xưởng sản xuất có tối thiểu một nhà cung cấp ở khác thành phố

i Danh sách các nhà cung cấp phân phối cùng lúc cho xưởng sản xuất số 1 vàxưởng sản xuất số 2

j Cho biết sản phẩm có trọng lượng nhẹ nhất

k Danh sách các xưởng sản xuất không nhận được bất kỳ một sản phẩm có màu

đỏ nào từ một nhà cung cấp ở Hà nội

l Danh sách các sản phẩm được phân phối cho tất cả các xưởng sản xuất tạiHuế

m Danh sách các nhà cung cấp phân phối cùng một sản phẩm cho tất cả cácxưởng sản xuất

n Danh sách các xưởng sản xuất nhận được tất cả các sản phẩm được phân phốibởi nhà cung cấp số 4

o Danh sách các xưởng sản xuất chỉ nhận duy nhất các sản phẩm phân phối bởinhà cung cấp số 3

Bài làm

a) MAX,TENX(TP=’TPHCM’(XUONG))

b) MACC,TENCC(MSP=’1’ ۸ MAX=’1’(PHANPHOI⋈NHACUNGCAP))

c) TENSP,MAUSAC(MANCC=’1’(PHANPHOI⋈SANPHAM))

d) MACC,TENCC(MAX=’1’۸ MAUSAC=’Đỏ’(PHANPHOI⋈NHACUNGCAP ⋈SANPHAM))e) MACC,TENCC((TP=’HANOI’۸ MAUSAC=’Đỏ’)۷(TP=’Hue’۸ MAUSAC=’Đỏ’)

(PHANPHOI⋈NHACUNGCAP ⋈SANPHAM⋈XUONG))

f) MASP,TENSP(NHACUNGCAP ⋈XUONG⋈PHANPHOI⋈SANPHAM)

g) R1 :  XUONG.TP=’Hue’۸ NHACUNGCAP.TP=’HaNoi’(PHANPHOI XUONG NHACUNGCAP)⋈ DIEMTHI ⋈ MONHOC) ⋈ DIEMTHI ⋈ MONHOC)Kết quả:  MASP,TENSP(R1 SANPHAM)⋈ DIEMTHI ⋈ MONHOC)

MASP,TENSP(TPHO=’Hue’۸ TP=’HaNoi’(PHANPHOI⋈NHACUNGCAP

⋈SANPHAM⋈(ƿMAX,TENX,TPHO(XUONG)))

h) MAX,TENX(TPHO≠TP(PHANPHOI⋈NHACUNGCAP ⋈(ƿMAX,TENX,TPHO(XUONG)))

MAX,TENX(COUNT(MACC)>=1(MAX|COUNT(MACC)

(TPHO≠TP(PHANPHOI⋈NHACUNGCAP ⋈(ƿMAX,TENX,TPHO(XUONG))))

i) MACC,TENCC(MAX=’1’۸ MAX=’2’ (PHANPHOI⋈NHACUNGCAP⋈XUONG))

l) MASP,TENSP(TP=’Hue’ (PHANPHOI⋈SANPHAM⋈XUONG))

R1 :  MASP,MAX(PHANPHOI) ÷  MAX( TP=’Hue’ (XUONG))

Kết quả:  MASP,TENSP(R1 SANPHAM)⋈ DIEMTHI ⋈ MONHOC)

m) MACC,TENCC((COUNT(MASP)=1(MACC|

COUNT(MASP)MACC,MASP(PHANPHOI)))⋈NHACUNGCAP)

n) R1: MACC=’4’ (MACC|COUNT(MASP) (MASP,MACC(PHANPHOI⋈XUONG))

Kết quả: MAX,TENX (COUNT(MASP) = R1.COUNT(MASP)(MAX|COUNT(MASP)( R1⋈PHANPHOI⋈ XUONG)))

R1: MAX(MACC <> 3(PHANPHOI))

R2: MAX(MACC = 3(PHANPHOI))

F={AB  C, B D, CD E, CE GH, GA}

f=ABE, chứng minh rằng với mọi quan hệ R trên U nếu R thoả F thì R cũng thoả f

Bài làm

Muốn chứng minh rằng với mọi quan hệ R trên U nếu thỏa mãn F thì cũng thỏa mãn f thì

ta phải chứng minh f được suy dẫn từ F

Từ (4) và (5) suy ra AB→E (theo tính chất bắc cầu)

Vậy F được suy dẫn từ F(đpcm)

Bài tập 2:

Cho lược đồ quan hệ (=(U, F) với

U=ABCDEGHIJ và tập phụ thộc hàm

F={AB E, AGJ, BEI, EG, GI H}

f=ABGH, chứng minh rằng f suy dẫn được từ F

E  GH (3) ( theo quy tắc chiếu )

I  GH (4)

AB  E ( giả thiết )

===> AB  GH ( đpcm )Vậy f suy dẫn được từ F

AB→E(câu a) mà CE→GH(gt) AB→HVậy AB→G(đpcm)

Bài tập 4

Cho lược đồ quan hệ α=(u, F) và tập phụ thộc hàm

F={ABE, AGI, BEI, EG, GIH}

Chứng minh rằng ABGH suy dẫn được từ F

Bài làm:

Trước tiên ta cần tính bao đóng (AB)+

(AB) = ABEIG H= ABEIGH=U⁺= ABEIG ◡H= ABEIGH=U ◡H= ABEIGH=U

Từ (AB) =u suy ra AB→GH từ F (đpcm).⁺= ABEIG ◡H= ABEIGH=U

Bài tập 5

Tìm phủ không dư của tập phụ thuộc hàm

F={AC, ABC, CDI, ECAB, EIC}

Bài làm:

 Xét phụ thuộc hàm: A →C

Đặt G=F-{A →C}={AB→ C , C → DI , EC → AB , EI →C}Xét (A¿ ¿+¿ ¿G=A ∄ C

Theo giả thiết C  B, theo quy tắc suy diễn đối với các phụ thuộc hàm

Do C  B, theo quy tắc phản xạ: B—>C (1)

Theo bài ra ta có: A—>B,C—>D (2)

Từ (1) và (2) suy ra: A—>B, B—>C, C—>D

Theo quy tắc bắc cầu suy ra: A—>D

Vậy A—>D suy dẫn được từ F điều phải chứng minh

Bài tập 8

Một phụ thuộc hàm XY được gọi là dư thừa trong tập phụ thuộc hàm F nếu như F+= {XY})+

(F-cho F={XYW, XWZ, ZY, XYZ}

hãy cho biết phụ thuộc hàm XYZ có dư thừa trong F hay không

Tìm phủ không dư của

F={ XYZ, ZWP, PZ, WXPQ, XYQYW, WQYZ}

G không chứa YZ nên phụ thuộc hàm XYZ không dư thừa trong F

 Loại phụ thuộc hàm ZWP ra khỏi F ta được

G={ XYZ, PZ, WXPQ, XYQYW, WQYZ }

 Loại phụ thuộc hàm PZ ra khỏi F ta được

G={ XYZ , WXPQ, XYQYW, WQYZ }

Có: P+

G=P

Ta thấy P+

G không chứa Z nên phụ thuộc hàm PZ không dư thừa trong F

 Loại phụ thuộc hàm WXPQ ra khỏi F ta được

G={ XYZ , PZ, XYQYW, WQYZ }

Ta có: W+

G=W

Ta thấy W+

G không chứa W nên phụ thuộc hàm WXPQ không dư thừ trong F

 Loại phụ thuộc hàm XYQYW ra khỏi F ta được

G chứa YZ nên phụ thuộc hàm WQYZ dư thừa trong F

 Loại WQYZ ra khỏi F

Vậy tập phụ thuộc hàm không dư là F ={ XYZ , PZ , WXPQ, XYQYW }

Bài tập 10

Cho lược đồ quan hệ R(ABCD) v à F={AB, BCD}

hãy cho biết các phụ thộc hàm nào dưới đây có thể suy dẫn được từ F

Phụ thuộc hàm X Y∈ F+ khi và chỉ khi Y∈X+ hay X Y suy dẫn được từ Fkhi và chỉ khi Y ∈ X+ Áp dụng tình chất này với các phụ thuộc hàm bài cho

a AC D

Bao đóng của AC là:

(AC)+=AC∪ B∪ D= ABCD =R ∋D

Vậy AC D suy dẫn được từ F

Loại bỏ các phụ thuộc hàm dư thừa trong tập

F={XY, YX, YZ ZY, XZ, ZX}

Bài làm

 Tạm thời xóa XY ra khỏi F ta được G={ YX, YZ, ZY, XZ, ZX }

Ta có: X+

G= X ∪ Z ∪ Y =XYZ chứa Y nên phụ thuộc hàm XY dư thừa trong F

 Loại XY ra khỏi F

 Tạm xóa YX ra khỏi F ta được G={Y→Z, ZY, XZ, ZX }

Ta có: Y+

G= Y ∪ Z ∪ X = XYZ chứa X nên phụ thuộc hàm YX dư thừa trong F

 Loại phụ thuộc hàm YX ra khỏi F

 Tạm xóa YZ ra khỏi F ta được G={ ZY, XZ, ZX }

Ta có: Y+

G=Y không chứa Z nên YZ không dư thừa trong F

 Tạm xóa ZY ra khỏi F ta được G={ YZ, XZ, ZX }

G= X không chứa Z nên phụ thuộc hàm XZ không dư thừ trong F

 Tạm xóa ZX ra khỏi F ta được G={ YZ, ZY, XZ }

cho F={XYW, YZ, WZP, WP QR, QX}

chứng minh rằng XYQ suy dẫn được từ F

XY P (bắc cầu)

Vậy XYP suy diễn được từ F(điều phải chứng minh)

+Qua bài 2 cho ta thấy sự vận dụng của các quy tắc suy diễn đối với các phụ thuộc hàm +Các quy tắc suy diễn được sử dụng trong bài là:

_Quy tắc phản xạ

_Quy tắc gia tăng

_Quy tắc bắc cầu

Đây là ba quy tắc suy diễn AMSTRONG

AMSTRONG đã chứng minh rằng các quy tắc suy diễn từ quy tắ 1 đến quy tắc 3 là đúng

và dâyd đủ.Đúng có nghĩa là cho trước 1 tập hợp các phụ thuộc hàm F trên một lược đồ quan hệ R,bất kỳ một phụ thuộc hàm suy diễn đuợc bằng cách áp dụng các quy tắc từ 1 đến 3 cũng đúng trong mỗi trạng thái của các quan hệ r trên R thỏa mãn các phụ thuộc hàm trong F.Do đó việc chứng minh XYP suy dẫn được từ F là đúng đắn

Bài tập 14

Cho F={ABC, EC, DAEF, AFB,AFD}

phụ thuộc hàm AF→B có dư thừa trong F không

Bài làm

Tạm thời ta xóa phụ thuộc hàm AF→B ra khỏi F ta được

G= { ABC, EC, DAEF,AFD }

Ta có: (AF)+

G= AF ∪ D ∪ AEF ∪C ∪BC =ABCDEF chứa B nên phụ thuộc hàm AF→B

dư thừa trong F

Bài tập 15

Nếu XY F , AX, thuộc tính A được gọi là dư thừa nếu

{ X- A }  Y F+

hãy loại bỏ các thuộc tính dư thừa trong các tập sau:

a F={XYW, XWZ, ZY, XYZ }

b F={ABC, EC, DAEF, ABFBD }

Bài làm:

a) F={XYW, XWZ, ZY, XYZ }

 Tạm thời xóa XYW ra khỏi F ta được:

G= { XWZ, ZY, XYZ }

X+

G= X không chứa YW nên phụ thuộc hàm XYW không dư thừa trong F

 Tạm thời xóa XWZ ra khỏi F ta có

G= { XYW, ZY, XYZ }

G=Z không chứa Y nên phụ thuộc hàm ZY không dư thừa trong F

 Tạm thời xóa XYZ ra khỏi F ta có

G= { XYW, ZY }

Ta có: (XY)+

G= XY ∪YW =XYW không chứa Z nên phụ thuộc hàm XYZ không dư thừa trong F

Vậy tập phụ thuộc hàm không dư thừa là: F={ XYW, ZY, XYZ }

b) F={ABC, EC, DAEF, ABFBD }

 Tạm thời xóa ABC ra khỏi F ta có

G= { EC, DAEF, ABFBD }

Ta có: A+

G= A không chứa trong B nên phụ thuộc hàm ABC không dư thừa trong F

 Tạm thời xóa EC ra khỏi F ta có

G= { ABC, DAEF, ABFBD }

Ta có: E+

G= E không chứa C nên phụ thuộc hàm EC không dư thừa trong F

 Tạm thời xóa DAEF ra khỏi F ta có

G= { ABC, EC, ABFBD }

Ta có: D+

G= D không chứa AEF nên phụ thuộc hàm DAEF không dư thừa trong F

 Tạm thời xóa ABFBD ra khỏi F ta có

G= { ABC, EC, DAEF}

Sử dụng các luật của hệ tiên đề Amstrong chứng minh các tính chất sau:

a Tính tựa bắc cầu: Nếu XY và YZW thì XZW

b Tính phản xạ chặt XX

c Tính cộng tính : Nếu XY và ZW thì XZYW

d Tính chất hợp : Nếu XY và XZ th ì XYZ

e Tính tách : Nếu XYZ thì XY v à XZ

f Tính tích luỹ: Nếu XYZ, ZVW thì XYVW

Cần chứng minh R thỏa mãn phụ thuộc hàm XZ→YW(3)

Biểu thức (3) có nghĩa là với 2 bộ u,v bất kỳ ЄR, ta có u.ZX=vZX(4), ta cần R, ta có u.ZX=vZX(4), ta cần chứng minh u.YW=v.YW(5)

Từ (4) ta suy ra u.X=v.X(6)

u.Z=v.Z(7)

Do (6) và (1) suy ra u.Y=v.Y(8)

Do (7) và (2) suy ra u.W=v.W(9)

Từ (8) và (9) suy ra u.YW=vYW(đpcm)

d) Từ X→Y theo tính chất gia tăng thì X→XY(1)

Từ X→Z theo tính chất gia tăng thì XY→YZ(2)

Từ (1), (2) theo tính chất bắc cầu thì X→YZ(đpcm)

e) Ta luôn có:

YZ→Y(phản xạ)(1)

YZ→Z(phản xạ)(2)

Mặt khác theo giả thiết có X→YZ(3)

Từ (1),(2) và (3) theo tính chất bắc cầu thì X→Y

Cho lược đồ quan hệ =(U, F) với U=ABCDEG và

F={AC, BCD, DE, EA}

Hãy tính

a) (AB)+

b) ((DE)+A)+

Bài làm:

a) Ta có: (AB)+=AB ∪ C ∪ D ∪ E ∪ A=ABCDE

b) ((DE)+A)+= (ADE)+ = ADE ∪ C ∪ E ∪ A =ACDE