Bai tap co luong tu.PDF

BÀI TẬP CƠ HỌC LƯỢNG TỬ Mục lục LÝ THUYẾT TIỀN LƯỢNG TỬ HÀM SĨNG TỐN TỬ HÀM RIÊNG, TRỊ RIÊNG, TRỊ TRUNG BÌNH NGUYÊN LÝ BT NH ă PHNG TRèNH SCHRODINGER GING TH MỘT CHIỀU DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU HÒA MỘT CHIỀU 11 RÀO THẾ MỘT CHIỀU 13 PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN 16 MOMENT XUNG LƯỢNG 16 CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƯỜNG ĐỐI XỨNG XUYÊN TÂM 17 SPIN 17 CHUYỂN ĐỘNG TRONG TỪ TRƯỜNG 18 LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN 19 i LÝ THUYẾT TIỀN LƯỢNG TỬ Bài 1: Tính: a) bán kính Borh (cm) b) lượng liên kết hydro (eV) Bài 2: Tính: a) bốn bước sóng dãy Balmer để thấy nằm vùng khả kiến b) bốn bước sóng dãy Lyman để thấy nằm miền tử ngoại c) bốn bước sóng dãy Paschen để thấy nằm miền hồng ngoại Bài 3: Xác định bước sóng Compton Bài 4: Trong thí nghiệm tán xạ Compton, người ta thấy bước sóng tia X thay đổi 1% với góc tán xạ θ = 120◦ Hãy tìm giá trị bước sóng dùng thí nghiệm HÀM SĨNG Bài 1: Tính bước sóng De Broglie bóng tennis có khối lượng 1g chuyển động với vận tốc 0,5m/s nhiễu xạ qua cửa sổ có kích thước × 1.5 m2 để thấy tượng lượng tử thường bỏ qua giới vĩ mô Bài 2: Hạt chuyển động hố vng góc thành cao vơ hạn có bề rộng a (0 < x < a) có trạng thái với lượng gián đoạn: En = n2 π h¯ , 2ma n = 1, 2, 3, r ứng với hàm sóng ψn =  nπx  sin Cho trang thái mơ tả hàm sóng: a a  πx  h  πx i √ 1 + cos ψ( x ) = √ sin a a 2a a) Nêu ý nghĩa vật lý hàm sóng quan điểm nguyên lý chồng chất trạng thái Tính xác suất để hạt trạng thái b) Tính lượng trung bình hạt c) Cho biết hàm sóng mơ tả trạng thái thời điểm t = viết hàm sóng thời điểm t ψ( x, t) d) Chứng tỏ lượng trung bình khơng phụ thuộc thời gian Bài 3: Tính bước sóng de Broglie cho: (i) hạt có khối lượng 0.1 kg chuyển động với vận tốc 1m/s; (ii) elctron tự có lượng 10 eV, 100 eV; (iii) hạt alpha tự có lượng MeV; (iv) hạt neutron tự có lượng 0.02 eV; (v) electron tự có động MeV TỐN TỬ b B, b chứng minh: Bài 1: Cho hai toán tử A, h i h i b B b b = − B, b A a) A, b) h i h i h i b B b = A, b B b C b b+C b + A, A, c) h i h i h i b B b = A, b B b+ B b C b bC b C b A, A, d) h i h i h i b b b b b b b b b A B, C = A, C B + A B, C e) h h ii h h ii h h ii b b b b b b b b b A, B, C + B, C, A + C, A, B = f)  + bB b+ b b+ A A =B b B b hermite: Bài 2: Cho hai toán tử A,  b b b b A B + B A hermitic a) CM: Fb = h i b B b C b hermitic b = iC, b) CM: A,   bB b có hermitic hay không? Khi nào? b= A b−B bA c) G bn hermitic d) CM: A b2 b = d + x, tìm tốn tử A Bài 3: Cho toán tử A dx    2 d d Bài 4: So sánh toán tử x x dx dx Bài 5: Tính giáo hốn tử: a) d d x x dx dx b) x∆ ∆x, với ∆ toán tử Laplace Bài 6: Cho b L toan tử tuyến tính Chứng minh:  + L+ =b L a) b b) Các toán tử b Lb L+ b L+ b L Hermitic   + + b b b b c) Các toán tử L L i L − L Hermitic b Hermitic tốn tử G b=A bC bA b+ Hermitic Bài 7: Chứng minh C b + iB b B b A, b tốn tử Bài 8: Chứng tỏ toán tử Fb cp1 thể viết dạng Fb = A Hermitic   b b b b b b b b b b Bài 9: Cho A, B toán tử Hermitic, chứng minh A B + B A i A B + B A Hermitic Bài 10: Toán tử Fb khơng Hermitic, trường hợp Fb2 Hermitic Bài tập làm thêm: Bài 11: Tìm tốn tử chuyển vị, toán tử liên hợp phức, toán tử liên hợp toán tử: b = i d , −∞ < x < +∞ a) A dx b = ∂ với r biến số tọa độ cầu b) B ∂r Bài 12: Xét toán tử sau (−∞ < x < +∞): a) Toán tử nghịch đảo b I: b I f ( x ) = f (− x ) b) Toán tử dịch chuyển Tba : Tba f ( x ) = f ( x + a) cc : M cc f ( x ) = c) Tốn tử thay đổi kích thước M √ c f (cx ) tìm tốn tử chuyển vị, liên hợp phức, liên hợp, nghịch đảo toán tử Trong đó, tốn tử tuyến tính, tốn tử Hermitic? b(δa) phép dịch chuyển vô bé toạ độ hệ N hạt: Bài 13: Hãy biểu diễn toán tử T rk → rk0 = rk + δa (k = 1, 2, N )qua tốn tử xung lượng tồn phần hệ Trên sở đó, giải thích ý nghĩa động học giao hoán toán tử thành phần xung lượng Bài 14: Chứng minh hệ thức sau: h i h i b b −A b b B b A bB b + A, b + A, b + e A Be =B HÀM RIÊNG, TRỊ RIÊNG, TRỊ TRUNG BÌNH Bài 1: Tìm hàm riêng trị riêng toán tử: a) d dϕ b) sin d dϕ cos d dϕ Bài 2: Tìm trị riêng tốn tử b L2 tương ứng với hàm riêng: Y (θ, ϕ) = A(cos θ + sin θ cos ϕ), A = const Bài 3: Xác định toán tử tọa độ, toán tử xung lượng, toán tử moment động lượng, toán tử động biểu diễn tọa độ Chứng minh toán tử tuyến tính hermit Xác định hàm riêng, trị riêng chúng Bài 4: Trạng thái hạt mơ tả hàm sóng có dạng   ip0 x ψ( x ) = C exp ϕ( x ) h¯ ϕ( x ) hàm số thực Chứng tỏ p0 xung lượng trung bình hạt trạng thái nói Bài 5: Trạng thái hạt mơ tả hàm sóng có dạng   x2 ψ( x ) = A exp ikx − ; A, k, a = const 2a a) Chuẩn hóa hàm sóng b) Tìm vị trí mà mật độ xác suất tìm thấy hạt lớn c) Tìm xác suất để hạt nằm khoảng (−a, a) d) Tính giá trị x, p, ∆x2 , ∆p2x Bài 6: Hàm sóng mơ tả trạng thái điện tử nguyên tử hydro có dạng: ψ(r, θ, ϕ) = Ae−r/a0 , ◦ a0 = 0, 53A a) Chuẩn hóa hàm sóng b) Tìm vị trí mà mật độ xác suất tìm thấy điện tử lớn c) Tìm phân bố xác suất giá trị khác xung lượng điện tử trạng thái d) Tính giá trị trung bình r2 , r Bài tập làm thêm: Bài 7: Tìm hàm riêng trị riêng tốn tử fb = αb p + βb x tốn tử pb, xb hình chiếu xung lượng tọa độ hạt α, β số Bài 8: Chứng minh giá trị trung bình mơmen lưỡng cực hệ hạt tích điện trạng thái có tính chẵn lẻ xác định khơng Bài 9: Tốn tử Hermitic fb(λ) có phổ trị riêng gián đoạn Chứng minh hệ thức: ∂ fb(λ) ∂ f n (x) = ∂λ ∂λ Trong số n đánh số trị riêng , cịn trung bình vế phải lấy theo trạng thái ψn (λ, q) NGUYÊN LÝ BẤT ĐỊNH b B, b toán tử tuyến tính Hermitic b C Bài 1: Cho A, h i b b b b a) Chứng minh A, B có chung hệ hàm riêng A, B = h i b B b B b = A, b có chung hệ hàm riêng khơng ? b) Nếu A, c) h i h i h i b B b C b = 0, B, b = Chứng minh khơng có chung hệ hàm riêng C b có b 6= 0, A, b C A, b B b bị suy biến b phổ trị riêng C chung hệ hàm riêng với A, b b Bài h 2:i Các đại lượng vật lí A, B biểu diễn toán tử tự liên hợp A, B hệ thức giao hoán b B b với C b Hermitic Chứng minh hệ thức bất định: b = iC A,  b− A A 2  2 b − B ≥ (C ) B b = xb B b = pb Trong trị trung bình lấy theo trạng thái Xét trường hợp A Hãy tìm hàm sóng mơ tả trạng thái tích độ bất định toạ độ xung lượng đạt giá trị nhỏ Bài 3: Hạt chuyển động giếng chữ nhật chiều có thành cao vơ hạn mơ tả hàm sóng chuẩn hoá: r  nπx  ψn ( x ) = sin d d Trong d bề rộng giếng n = 1,2,3, a) Dùng hệ thức bất định ước tính mức lượng thấp có hạt b) Tính giá trị trung bình x, ( x − x )2 động trung bình T hạt Bài tập làm thêm: Bài 4: Cho dao động tử điều hoà chiều a) Xuất phát từ hệ thức bất định, tính mức lượng thấp thể có dao động tử điều hồ b) Tính trị trung bình x, x2 , x3 , x4 , r dao động từ điều hoà trạng thái (trạng thái có a ax2 mω mức lượng thấp nhất): ψ0 ( x ) = e , a = π h¯ c) Các hệ thức x2 = x2 , x4 = x2 có khơng ? ¨ PHƯƠNG TRÌNH SCHRODINGER Bài 1: Viết phương trình Schrodinger của: Hạt mang điện chuyển động điện trường từ trường vng góc Hạt chuyển động trọng trường TĐ Mặt đất xem đàn hồi tuyệt đối Điện tử nguyên tử hydro Nguyên tử hydro điện trường Nguyên tử hydro từ trường Bài 2: Xét hạt liên kết chiều a) Hãy chứng minh d dt +∞ Z ψ∗ ( x, t)ψ( x, t)dx = −∞ với ψ không thiết trạng thái dừng b) Chứng minh hạt trạng thái dừng thời điểm cho trước ln trạng thái dừng c) Nếu t = 0, hàm sóng khơng đổi khoảng − a < x < a nơi khác Hãy mơ tả hàm sóng đầy đủ thời điểm sau dạng trạng thái riêng hệ Bài 3: Một hạt có khối lượng m bị giới hạn vùng chiều ≤ x ≤ a Tại t = 0, hàm sóng chuẩn hố r h  πx i  πx  ψ( x, t = 0) = + cos sin 5a a a a) Hãy xác định dạng hàm sóng thời điểm t = t0 sau b) Tính lượng trung bình hệ t = t = t0 c) Tìm xác suất để tìm thấy hạt nửa bên trái hộp (tức vùng ≤ x ≤ a) t = t0 GIẾNG THẾ MỘT CHIỀU Bài 1: Khi xét hạt chuyển động hố vng góc thành cao vơ hạn, ta có hiệu ứng lượng tử lượng hạt cao đáy hố giá trị: π h¯ En = 8ma2 a) Hãy tính giá trị trung bình: x, x2 , p x , p2x cho trạng thái b) Hãy giải thích cận lượng sử dụng hệ thức bất định Heisenberg Bài 2: a) Tìm mức lượng hàm sóng chuẩn hố mơ tả trạng thái dừng hạt giếng sâu vô với bề rộng a:  0, < x < a V (x) = ∞, x < 0, x > b) Trong trạng thái dừng hạt, tìm hàm phân bố xác suất giá trị toạ độ hạt, trị trung bình toạ độ xung lượng thăng giáng chúng, động trung bình hạt Bài 3: Trạng thái hạt giếng sâu bề rộng a biểu diễn hàm sóng có dạng: a) ψ( x ) = Ax ( x − a)  πx  b) ψ( x ) = B sin2 a Hãy tìm phân bố xác suất giá trị lượng hạt, trị trung bình toạ độ xung lượng thăng giáng chúng, động trung bình hạt Bài 4: Hàm sóng hạt chuyển động giếng chiều cao vô hạn, bề rộng a (0 < x < a) thời điểm t = có dạng: r h  πx   i  πx  πx + cos − sin sin ψ( x, o ) = 3a a a a a) Tính lượng trung bình hệ b) Tìm hàm sóng hạt thời điểm a c) Tính xác suất tìm thấy hạt vùng < x < Bài 5: Xét hố sau: a) Các hố với độ sâu Vi (i = 1,2) nhỏ tùy ý cho phép trạng thái liên kết khơng ? Giải thích định tính b) Với V1 = V2 , lượng trạng thái liên kết hai hố liên hệ với nào? c) Đối với trạng thái liên tục với lượng cho, hố có nghiệm độc lập d) Hãy giải thích cách định tính làm để trạng thái liên kết ứng với hạt có khả năm bên ngồi hố nhiều nằm bên hố Bài 6: Tìm hàm sóng mức lượng thuộc phổ gián đọan hạt trường thế: V ( x ) = − aδ( x ), a > a) Tính động trung bình hạt trạng thái b) Hãy tìm giá trị x0 cho xác suất tìm thấy hạt vùng | x | < x0 Bài 7: Xác định mức lượng hạt trường có dạng:   aδ( x ), a > 0, | x | > a V (x) = ∞, |x| < a Bài tập làm thêm: Bài 8: Xác định mức lượng hạt trường có dạng:     U1 , x < V (x) = 0,    U2 , 0 b |x| < b h¯  h¯ ω, nghĩa dao động tử điều hoà với hàng rào mỏng mb2 cao xuyên qua x = Ở đây, V0  11 a) Xác định phổ lượng nằm thấp gần hàng rào xuyên qua b) Mơ tả định tính hiệu ứng tác động lên phổ hàng rào xuyên qua phần 12 RÀO THẾ MỘT CHIỀU Bài 1: Tìm hàm sóng mơ tả trạng thái dừng hạt chuyển động trường thế:  0, x Tính hệ số truyền qua phản xạ hạt rào cho trường hợp E > V0 Xét trường hợp E → ∞ E → V0 Bài 2: Tính hệ số truyền qua phản xạ hạt rào thế: V ( x ) = aδ( x ), a > Xét trường hợp E → ∞ E → V0 Bài 3: Một electron với lượng E = 1eV đến rào chữ nhật V0 = 2eV Hàng rào phải rộng xác suất để electron truyền qua bờ 10−3 ? 13 Bài 4: Chứng minh hệ thức R( E) + D ( E) = Trong R D hệ số phản xạ hệ số truyền qua thỏa mãn cách tự động rào dạng bậc thang: Bài tập làm thêm Bài 5: Đồng vị phóng xạ 6.0MeV 212 Bi 83 phân rã thành 212 Tl 83 cách phát hạt α có lượng E = a) Để tính thời gian sống, trước hết ta xét rào hữu hạn hình Hãy tính xác suất chuyển dời T để hạt khối lượng m sáng phía trái với lượng e giới hạn T  b) Sử dụng kết trên, tính tốn sơ thời gian sống hạt nhân 212 83 Bi Hãy chọn tham số rào hợp lý để tính gần thực hạt α 14 Bài 6: Hãy tìm hệ số phản xạ truyền qua nhảy bậc chiều hạt đến từ phía phải Bài 7: Xác định lượng hàm sóng hạt chuyển động từ trái sang phải trường thế:       x a x>a 15 PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN Bài 1: Tìm lượng, hàm sóng bậc suy biến của: a) Một hạt tự chuyển động không gian ba chiều b) Một hạt bị giam hộp hình lập phương có cạnh L c) Một dao động tử điều hòa ba chiều MOMENT XUNG LƯỢNG Bài 1: Biến đổi b L, b L2 , b Lx , c Ly , b Lz từ tọa độ Descart sang toạ độ cầu b b Bài 2: VIết biểu thức L, L2 , b Lx , c Ly , b Lz biểu diễn toán tử sinh huỷ ba chiều Xác định hàm riêng, trị riêng b Lz , b L phương pháp toán tử b B, b toán tử tuyến tính Hermitic b C Bài 3: Cho A, h i b B b B b có chung hệ hàm riêng A, b = a) Chứng minh A, h i h i h i b B b C b = 0, B, b = Chứng minh A, b B, b khơng có chung hệ hàm riêng C b b 6= 0, A, b C b C b) A, b B b bị suy biến b phổ trị riêng C có chung hệ hàm riêng với A, c) Liên hệ tính chất với tốn tử b L2 , b Lx , b Ly , b Lz Bài 4: Chứng minh toán tử lb± = b lx ± ib ly ta có hệ thức sau đây: h i h i h i a) b l+ , b l− = b lz , b lz , b l+ = 2b l+ , b lz , b l− = −b l− b) b L2 = b l+b l− + b lz2 − b lz = b l−b l+ + b lz2 + b lz Bài 5: Chứng minh hàm thu sau tác dụng tóan tử lên hàm riêng ψm tốn tử b lz (b lz ψm = mψm ) hàm riêng toán tử b lz ứng với trị riêng m + m − Bài 6: Sử dụng kết tập trước, chứng minh b L2 = `(` + 1) Bài 7: Chứng minh hệ thức sau đây: p a) b l+ Yl,m (θ, ϕ) = (l + m + 1)(l − m)Yl,m+1 (θ, ϕ) p b) b l− Yl,m (θ, ϕ) = (l − m + 1)(l + m)Yl,m−1 (θ, ϕ) Bài 8: Chứng minh trạng thái ψm với lz xác định (m xác định), ta có: a) lx = ly = b) lx ly = −ly lx = im c) lx2 = ly2 Bài 9: Tính trị trung bình lx2 , ly2 trạng thái ψl,m với l, m hoàn toàn xác định Bài 10: Có hai hệ tương tác yếu với Các trạng thái chúng đặc trưng số lượng tử (l1 , m1 ) (l2 , m2 ) Hãy xác định giá trị mơmen tồn phần L tính giá trị trung bình b L2 , L trạng thái xét Tính xác suất giá trị moment toàn phần L cho trường hợp: m1 = l1 , m2 = l2 − 16 CHUYỂN ĐỘNG TRONG TRƯỜNG ĐỐI XỨNG XUYÊN TÂM Đối xứng trục: Bài 1: Tìm mức lượng hàm sóng mơ tả trạng thái dừng dao động tử điều hoà hai k chiều với năng: U ( x, y) = ( x2 + y2 ) Tính bậc suy biến mức lượng Bài 2: Trong trạng thái dừng ψ11 dao động tử diều hoà hai chiều Hãy xác định giá trị hình chiếu moment trục z vng góc với mặt phẳng dao động (x,y) Bài 3: Tìm mức lượng thuộc phổ gián đoạn hạt trường hai chiều với năng: α U (ρ) = − , (α = const) Tính bậc suy biến mức lượng Hãy so sánh với trường hợp ρ α hạt chuyển động trường Coulomb với U (r ) = − , (α = const) r Đối xứng xuyên tâm: Bài 4: Giải toán nguyên tử Hidro Bài 5: Các mức lượng En,l thuộc phổ gián đoạn hạt chuyển động trường xuyên tâm thay đổi khi: a) Cố định l tăng nr b) Cố định nr tăng l Bài 6: Tìm mức lượng hàm sóng chuẩn hố mơ tả trạng thái dừng dao động tử điều hoà ba chiều với năng: q U (r ) = kr , r = x2 + y2 + z2 Giải lại toán toạ độ cầu Bài 7: Tìm mức lượng thuộc phổ gián đoạn hàm sóng tương ứng hạt chuyển động trường có dạng: C e2 U (r ) = − − , C = const r r Bài 8: Tìm mức lượng En,l hàm sóng ψn,l,m ứng với trạng thái dừng hạt hố sâu vô có đối xứng cầu:  0, r ≤ a U (r ) = ∞, r > a SPIN Bài 1: Sử dụng hệ thức giao hoán toán tử hình chiếu spin, xác định dạng ma trận tương ứng với tốn tử hình chiếu Sz – biểu diễn hạt có spin Bài 2: Đối với hạt có spin 1/2, từ phương trình hàm riêng trị riêng, tìm hàm spin ψsi (i = 1,2,3) mô tả trạng thái với hình chiếu spin có giá trị xác định Bài 3: Tìm dạng tốn tử hình chiếu spin điện tử Sbx , Sby , Sbz Sx – biểu diễn Bài 4: Trạng thái hạt với spin s = đặc trưng giá trị xác định số lượng tử l, m, sz Hãy tính xác suất giá trị mơmen tồn phần j = l + s hạt trạng thái nói 17 CHUYỂN ĐỘNG TRONG TỪ TRƯỜNG Bài 1: Viết Hamiltonian hạt tự chuyển động trường điện từ Bài 2: Đưa hệ tọa độ không thứ nguyên Bài 3: Chứng minh hạt chọn vectơ cho Hamiltonian hạt tích điện từ trường: b = [ pb − e A(r )]2 H µ c viết dạng: e2 b = pb − e Ab H p + A2 2m µc µc Bài 4: Tìm biểu thức vectơ mật độ dịng hạt tích điện trường điện từ Bài 5: Tìm mức lượng hạt tích điện có spin từ trường đồng với vectơ A(r) chọn sau: A x = 0, Ay = H0 x, Az = Bài 6: Tìm mức lượng hạt tích điện có spin từ trường đồng với vectơ A(r) chọn sau: A x = − H0 x, Ay = 0, Az = Bài 7: Tìm mức lượng hạt tích điện có spin từ trường đồng với vectơ A(r) chọn sau: A = [ H0 , r ] Bậc suy biến mức luợng ứng với chuyển động ngang hạt bao nhiêu? Bài tập làm thêm: Bài 8: Tìm mức lượng hàm sóng chuẩn hóa hạt tích điện có spin chuyển động trường từ trường điện trường có hướng vng góc 18 LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN Bài 1: Đối với hạt nằm hố sâu vồ có bề rộng a (0 < x < a) tính gần bậc LTNL độ dịch chuyển mức lượng tác dụng nhiễu loạn có dạng sau: a) V ( x ) = V0 ( a − |2x − a|) a  V , b) V ( x ) = 0, b < x < a−b < x < b, a − b < x < a (1) Bài 2: Chứng minh bổ sung bậc En cho mức lượng tập trước không phụ thuộc vào n n đủ lớn Bài 3: Dao động tử điều hồ tích điện đặt điện trường đồng nhất, có hướng dọc theo trục dao động Xet tác dụng điện trường nhiễu loạn, tính độ dịch chuyển mức lượng hai bậc LTNL So sánh với lời giải xác (xem 2.4 sách thầy Hoàng Dũng) 19 Bài 4: Viết hamilton dao động tử điều hoà dạng: 2 b = pb + kx + ax H 2m 2 xét số hạng ax2 /2 cách hình thức nhiễu loạn Hãy tính độ dịch chuyển mức lượng dao động tử điều hoà đến gần bậc LTNL So sánh kết thu với lời giải xác Nêu điều kiện hội tụ chuỗi LTNL Bài 5: Một dao động tử phi điều hịa mơ tả toán tử Hamilton sau: b = − d + x2 + αx4 H dx2 Hãy tính lượng hệ đến bổ bậc hai lý thuyết nhiễu loạn (Gợi ý: sử dụng tính chất truy hồi đa thức Hermite: Hn+1 ( x ) − 2xHn ( x ) + 2nHn−1 ( x ) = 20 ... riêng trị riêng toán tử: a) d dϕ b) sin d dϕ cos d dϕ Bài 2: Tìm trị riêng toán tử b L2 tương ứng với hàm riêng: Y (θ, ϕ) = A(cos θ + sin θ cos ϕ), A = const Bài 3: Xác định toán tử tọa độ, toán... hai chiều với năng: α U (ρ) = − , (α = const) Tính bậc suy biến mức lượng Hãy so sánh với trường hợp ρ α hạt chuyển động trường Coulomb với U (r ) = − , (α = const) r Đối xứng xuyên tâm: Bài 4:... bước sóng dãy Paschen để thấy nằm miền hồng ngoại Bài 3: Xác định bước sóng Compton Bài 4: Trong thí nghiệm tán xạ Compton, người ta thấy bước sóng tia X thay đổi 1% với góc tán xạ θ = 120◦