Để giúp các em hệ thống lại kiến thức của mình một cách dễ dàng và hiệu quả hơn, xin giới thiệu với bạn đọc một bài viết nhỏ tổng hợp tất cả những kiến thức trọng yếu chương trình Toán lớp 12 kèm theo đó là các công thức giải nhanh được nghiên cứu và đúc kết để các em dễ dàng áp dụng trong quá trình làm bài. Hi vọng với những kiến thức chắt lọc vô cùng bổ ích này sẽ giúp các em có một mùa thi thật thành công.
HỆ THỐNG KIẾN THỨC ÔN THI THPT QUỐC GIA MÔN TOAÙN Tìm m để hàm bậc ba đơn điệu chiều đoạn k ? B1 Tính y f ( x; m) ax2 bx c a Vấn đề Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số x1 ― Nếu f ( x) đổi dấu từ âm sang dương x qua điểm xo a; b (theo chiều tăng) hàm số f ( x) đạt cực tiểu điểm xo B2 Tính f (a), f (b), f ( xi ) B3 Kết luận: max f ( a); f (b); f ( xi ) f ( x) f ( a); f (b); f ( xi ) a;b B1 Tìm TXĐ Tính f ( x) Cho f ( x) tìm nghiệm Hàm số đạt cực đại điểm x B3 Dựa bảng biến thiên, kết luận GTLN (GTNN có) Một số lưu ý: ― Nếu đề chưa cho đoạn khoảng ta tìm điều kiện xác định cho hàm f ( x) điều kiện đó khoảng đoạn mà ta cần xét việc tìm GTLN, GTNN ― Trong số trường hợp, để đơn giản ta có thể đổi biến số Vấn đề Bài tốn liên quan đến tính đơn điệu hàm số ― Để f ( x) nghịch biến y ― Dấu của tam thức bậc hai f ( x) f ( x) 0, x f ( x) ax f ( x) 0, x bx 0, x c a 0 Tìm m để y = f(x) đơn điệu miền D cho trước ? B1 Ghi điều kiện để hàm đơn điệu D Chẳng hạn: Hàm đồng biến D y f ( x; m) Hàm nghịch biến D y m B2 Tách m khỏi biến đặt m f ( x; m) Khi m Tìm m để y ax cx Khi m g( x) D g( x) D d c x ( ; ) ad cb (cx d)2 ad d c cb ; cb d c d c y ( xo ) y ( xo ) y ( xo ) y ( xo ) y ( xo ) B3 Gọi A( x1 ; Ax1 B2 Dựa vào (C ) để tìm số nghiệm của ( ) g( x) Giải hệ tìm k x1 b ,P a x2 nghiệm y y đổi dấu lần qua có nghiệm phân biệt ay 0 y giải hệ tìm m x1 c (1) a x1 x2 x1 x2 c a Khảo sát cực trị của hàm trùng phương (C): y = ax4 + bx2 + c ? x y c B1 Ta có: y 4ax3 2bx g( x) 2ax2 b B2 Hàm số có điểm cực trị biệt b a.b 0 B3 Giải g( x) m ? x1,2 m g( x) có nghiệm phân ax2 g( x) bx y1 f b 2a Nên tọa độ điểm cực trị là: A(0; c), B( x1 ; y1 ), C( x2 ; y2 ) tính đối xứng nên ABC cân A B4 Dựa vào ĐK đề để tìm m D2 m D1 D2 p xo để chia Hoocner PT bx c) ax2 bx c phương trình g( x ) có nghiệm phân biệt khác xo q), B( x1 ; px1 x1 , x2 hai nghiệm của g( x) Theo Viét, ta có: x1 x2 g( xo ) 0 D1 q), C( x2 ; px2 q) với b x1 x2 a D1 đề cho yo Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến giao điểm của đồ thị (C) : y f ( x) đường thẳng d:y ax b Khi đó hoành độ tiếp điểm nghiệm của phương trình hồnh độ giao điểm d (C ) Đặc 0, trục tung Oy : x biệt: trục hoành Ox : y Nếu đề cho hệ số góc tiếp tuyến k , ta làm theo bước sau: B1 Gọi M( xo ; yo ) tiếp điểm tính y f ( x) f ( xo ) giải phương trình tìm xo , suy yo Nếu tiếp tuyến d (1) (2) D2 Nguyên tắc nhẩm nghiệm Nếu phương trình chứa tham số, ta chọn nghiệm x cho triệt tiêu tham số m thử lại tính sai :y ax b a k Nếu tiếp tuyến tạo với trục hồnh Ox góc k tan Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) kẻ từ A(xA; yA) B1 Gọi M(a; f (a)) tiếp điểm tính hệ số góc của tiếp tuyến k c a Thế (1) vào (2) thu phương trình bất phương trình với biến m Giải chúng tìm giá trị m D2 B5 Kết luận: m f ( xo ) Tương tự cho trường hợp Ngoài ra, đề thường cho hệ số góc tiếp tuyến dạng sau: Nếu tiếp tuyến d : y ax b k a B2 Để d cắt (C ) ba điểm phân biệt B3 Gọi: A( xo ; pxo yo B3 Ứng với tiếp điểm, ta tìm tiếp tuyến d : y k.( x xo ) yo Giải hệ này, tìm giá trị m xo ) hàm số ban đầu, tức yo B2 Ta có k xo g( x) g( x) c B4 Biến đổi K dạng tổng tích của x1 , x2 D1 b 2a q , ta đưa phương trình bậc ba nhẩm ( x xo ) (ax x xo k.( x Lưu ý: Nếu đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ xo , đó ta tìm yo cách vào (2) q x nghiệm đặc biệt x Theo px q , PT Nếu d D1 b P a x2 Nếu d d f ( xo ) có dạng d : y B) hai tọa độ giao B), B( x2 ; Ax2 y ( xo ) f ( x) Suy hệ số góc tiếp tuyến B2 Phương trình tiếp tuyến của đồ thị điểm M( xo ; yo ) Thế (1) vào (2) thu phương trình bất phương trình với biến m Giải chúng tìm giá trị m D2 Kết luận giá trị m D1 D2 cx B1 Tính đạo hàm y D1 Ta có: S bx2 Vấn đề Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) M(xo;yo) F E g điểm của d (C ), đó x1 , x2 nghiệm của ax3 B2 Để hàm số có cực trị ( ) Nếu phương trình ( ) có thể đưa dạng f ( x) g(m) ( ) B4 Biến đổi K dạng tổng tích của x1 , x2 Cho hàm sớ bậc ba: y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Tìm m để đồ thị hàm sớ có điểm cực trị x1, x2 thỏa mãn K cho trước ? B1 Tìm TXĐ D tính y 3ax2 2bx c ; ad B4 Biến đổi điều kiện K dạng tổng S tích P Từ đó giải tìm m D2 Kết luận: m D1 D2 max g( x) m d tính y c \ B2 Hàm số đồng biến x g( x) y ( xo ) xo là điểm cực đại Viét, ta có: S m xo giá trị m B3 Thử lại với m vừa tìm Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu tìm giá trị cực trị tương ứng, ta sẽ thế x xo , m ? vào y f ( x) Còn nếu đề bài yêu cầu xác định tại g( x) b đồng biến (α, β) (tương tự NB) d B1 Tìm TXĐ: D y g( x) ag ( x ) F E c phương trình g( x) g( x) B3 Gọi x1 , x2 nghiệm của phương trình y B3 Khảo sát tính đơn điệu của hàm số g( x) D B4 Từ BBT kết luận: xo Hàm số đạt cực trị điểm x x 0, x Hàm số đạt cực tiểu điểm x bx Tìm tham số m để để đường thẳng d: y = px + q cắt đồ thị hàm đó là điểm cực đại hay cực tiểu, ta thế x xo , m ? vào y , nếu số (C): y = ax3 +bx2 + cx + d điểm pb thỏa điều kiện K ? giá trị y ( xo ) x xo là điểm cực tiểu và nếu y ( xo ) B1 Lập phương trình hồnh độ giao điểm của d (C ) là: Tìm m để y = f(x) đơn điệu tập xác định của ? Để làm dạng toán này, ta cần nhớ: ― Để f ( x) đồng biến y f ( x) xo ax2 phương trình bậc hai g( x) có nghiệm pb B2 Ghi điều kiện giải hệ tìm tham số Cụ thể: Cho phương trình: F( x, m) phương trình hồnh độ giao điểm của đờ thị B1 Lập phương trình hồnh độ giao điểm của d (C ) (C) : y f ( x) đường thẳng nằm ngang (d) : y g(m) Khi đó để biện luận số nghiệm của ( ) ta thực bước sau: Cx D Ax B Biến đổi phương trình dạng B1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) : y f ( x) Ex F B2 Để d cắt (C ) điểm pb Tìm tham số để hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x = xo ? B1 Tìm tập xác định D của hàm số tính y , y f ( x) lập bảng biến thiên (tính giới hạn) a D điểm phân biệt thỏa mãn điều kiện K ? F (theo chiều tăng) hàm số f ( x) đạt cực đại điểm xo Tìm GTLN & GTNN của hàm số y = f(x) khoảng ( a; b) B2 Xét y Cx Ex ― Nếu f ( x) đổi dấu từ dương sang âm x qua điểm xo max f ( x) a;b k Vấn đề Cực trị hàm số B1 Hàm số f ( x) xác định liên tục đoạn a; b tìm nghiệm xi x2 Vấn đề Biện luận số nghiệm phương trình đồ thị Tìm m để đường thẳng d: y = Ax + B cắt đồ thị hàm sớ (C) y B2 u cầu tốn Tìm GTLN & GTNN của hàm số y = f(x) đoạn a; b Tính f ( x) cho f ( x) Vấn đề Tương giao y (a) f (a) theo a B2 Tiếp tuyến dạng d : y Vì điểm A( xA ; yA ) d f (a).( x yA a) ( ) y(a) f (a).( xA a) y(a) giải phương trình với ẩn a tìm a B3 Thế a vào ( ) tiếp tuyến cần tìm Vấn đề Tìm điểm đặc biệt thuộc đồ thị B1 Gọi M(a; f (a)) (C) B2 Từ điều kiện cho trước, biến đổi dẫn đến PT (hoặc BPT) f a M a; f (a) theo a , giải tìm a ― Loại a f ( x) Vấn đề Giải PT – BPT mũ & logarit PP Cho a, b số thực dương x y số thực tùy ý an a.a.a a ax x b n số a a x y ax x a a ax ay y a x y ( a.b) an n a ( ax )y ax bx ( a y )x b f ( x) 2; y 1, u( x) a.n b n n ( n a )m log a b log a 0, log a a loga b n logb c a loga c ) m n ― Loại P log a f ( x) ax ln a (e x ) ex ( au ) log a c n.log a b lẻ n.log a b chẵn log b a log a b clogb a b ln b log e b lg b log b (eu ) ln b ln a aloga b log10 b u u ln a log a u u ( n u) eu u x ln a log a x u au ln u n n un u ; ( x 0) (ln u) x u Giải PT – BPT cách đưa số: Một số dạng bản: ― Nếu a f ( x) ag( x) f ( x) g( x) ― + Khi : ― Khi a ― Khi a ― a f ( x) a a f ( x) 0, a a g( x ) : log a x 0, a f ( x) ag( x ) + Khi: a log a f ( x) + Khi : a f ( x) b : log a f ( x) g( x) f ( x) f ( x) log a g( x) g( x) g( x) f ( x) g( x) a b Phương pháp đặt ẩn phụ ― Loại P(a ― Loại ) a2 f ( x) PP (ab) f ( x) a λ.b2 f ( x) x C f ( x) ,t a g( x ) c logb a I2 dx cos2 x PP logb x để đặt t a t x logb a C Chia hai vế cho b2 f ( x ) đặt t a b ( ax b) a n b)n dx sin( ax px I3 ax2 q bx b)dx sin ( ax cot x C dx b) cos ( ax tan x C tan( ax a dx b) c p 2a dx 0) b) tìm nghiệm xi 4a 4a 1; n) g( x) dx f ( x) x1 b2 4ac bp q 2a dx ax bx c I2 mẫu xi y 0, x a x b, (a b) quanh trục Ox xác f ( x)dx định công thức: VOx a ― Nhận dạng: Tích hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác,… x Vi phân dv b Suy ra: I dx a x b, a b, f ( x) 0, g( x) f ( x), y 0, x u.v a f2 x quanh trục hoành Ox VOx a; b quay g x dx a v Thể tích khối tròn xoay giới hạn x g( y) 0, x 0, d vdu a g( x), b b b udv du Nguyên m dx a; b , b Thể tích khối tròn xoay giới hạn y ― Phương pháp: đặt g( x) dx xét dấu để bỏ trị tuyệt đối (sử dụng casio) ― Thể tích khối tròn xoay tròn xoay Thể tích khối tròn xoay giới hạn y f ( x) 0, x Tích phân phần u g( x) để xi f ( x) tan t dx với x1 ; x2 , (i x2 B2 Khi đó: S giải A cách đặt t C B1 Giải phương trình hồnh độ giao điểm: f ( x) b 2a a x (2ax b)dx ax2 bx c A C cos( ax b) C a sin(ax b) C a cot(ax b) C a b)dx cos( ax ,( b 2a Phân tích: I dx ln ax b C ax b a 1 dx C a ax b ( ax b) C c đặt x log a f ( x) cos x C e x dx y c, y a g ( y).dy d quay quanh trục Oy VOy c ― Thứ tự ưu tiên chọn u: log – đa – lượng – mũ dv phần còn lại Nghĩa có ln hay log a x chọn u ln hay u log a x ln x dv ln a chọn u đa thức dv ex C ax e a ax b lại Nếu khơng có ln; log Thể tích khối tròn xoay giới hạn x y c, y d, c d , f ( y) 0, g( x) f ( y), x g( y), c; d quay 0, y d f ( y) quanh trục hoành Oy V g ( y) dy b a I1 P( x) dx với P(x) và Q(x) là Q( x) Loại 1: I1 I1 bậc mẫu Q( x) PP Loại 2: I Chia đa thức PP bậc của mẫu số Q( x) ( ax m)(bx P( x) ( x xo )n (x a n) an bm ax A x xo B ( x xo )2 P( x) x1 )( x x2 )( x ( x m)(ax2 bx c) x3 ) A x m A x x1 I f ( ax2 f n dx PP b)n xdx g( x) dx f ( a2 I f ( x2 I3 I3 f (cos x) sin x dx I3 f (tan x) Bx C với ax bx c Loại 3: x3 b 4ac n PP a2 )m x2 n dx C ( x xo )n x dt ax t x ).x n dx dx PP x f (sin x) cos x dx C xn t PP I3 B x x2 ax b t PP n bx t a.dx m xn axn PP (n 1)xn dx dt b g(x) dt 2ax.dx tn g(x) x a sin t của thực bình cộng ảo bình) ― Số phức liên hợp của z a bi z a bi (ngược dấu ảo) ― Hai số phức z1 a1 b1 i z2 a2 b2 i gọi a1 a2 b1 b2 (hai số phức thực thực ảo ảo) ― Trong tốn tìm thuộc tính của số phức z thỏa mãn điều kiện K cho trước, K z (tất z ) z đó tốn giải phương trình bậc nhất (phép cộng – trừ – nhân – chia số phức) với ẩn z (hoặc z ) Còn chứa b m f ( ax b)n xdx Trừ số trường hợp sau: Xem xét mẫu số đó: + Nếu mẫu sớ phân tích được thành tích số, ta sử dụng đồng nhất thức để đưa dạng tổng của phân số Một số trường hợp đồng nhất thức thường gặp: f x dx bx c lại Nếu khơng có log, đa e dx C thức, ta chọn u lượng giác,… Vấn đề 10 Số phức ― Lưu ý bậc của đa thức bậc của ln tương ứng với số lần Trong trường phức , cho số phức z a b.i có phần thực a ax dx x a lấy tích phân phần ax dx C ln C Khi đó, ta cần nhớ: phần ảo b với a, b i ln a x a x a2 2a ― Dạng mũ nhân lượng giác dạng TPTP luân hồi ― Mônđun của số phức z a b.i z OM a2 b2 (căn Nhận xét Khi thay x ( ax b) lấy ngun hàm nhân Tích phân đổi biến số 0 ax2 đặt t ( ax cosxdx sin x C đặt t logb c a f ( x) PP ― Nếu bậc của tử số P( x) trên, rồi giải B3 So với điều kiện kết luận nghiệm (tập nghiệm) PP b Nếu mẫu sớ khơng phân tích được thành tích số, ta xét Lưu ý: Nếu gặp bậc chẵn của sin, cos hạ bậc số trường hợp đặc biệt sau: Diện tích hình phẳng & Thể tích tròn xoay dx PP ― Các bước tính diện tích hình phẳng giới hạn f ( x), g( x), I1 đặt x a.tan t , (n N *) ( x2 a2 )n đường x x1 , x x2 n ― Nếu bậc tử P( x) B2 Dùng công thức biến đổi đưa f ( x) a g( x) đa thức không Phương pháp giải: Các bước giải PT – BPT mũ & logarit bản: ĐK v Tích phân hàm hữu tỉ I log a g( x) B1 Đặt điều kiện: log a b sin xdx g( x) log a g( x) log a f ( x) t 1 dx ln x x 1 dx x x kết thêm ab x x dx dx sin2 x nu n ln u u (lnn u) (ln x) + Khi: a b f ( x) Vấn đề Tích phân & Ứng dụng Đạo hàm ( ax ) u đặt ẩn ― Loại Sử dụng a log a b log a b PP b log a c b a f ( x) a g( x ) ) 2; n a a f ( x ) ab (n b, c a a am log a b log c b log c a loga (b c) n a , (y x log a b n log an b ― Loại a f ( x) + a f ( x ) a g( x ) x y ax u( x) Cho log a f ( x) y c , với a.b đặt t x a b y b f ( x) I3 f (ln x) t PP ln x x a tan t dt PP t sin x PP t cos x dx PP t tan x cos x f (sin x cos x)(sin x cos x)dx t dx x hai loại trở lên z a bi , z a bi Từ đó sử dụng phép toán số phức để đưa hai số phức thực thực, ảo ảo để giải hệ phương trình tìm a, b z ― Số phức z a bi ảo phần thực a z số thực phần ảo b ― Xét phương trình bậc hai az2 bz c 0, ( ) với a có b2 biệt số: sin x cos x ( z , z , z ) ta gọi z1,2 b 2a với 4ac Khi đó nghiệm xác định bởi: bậc hai Vấn đề 11 Hình học khơng gian cổ điển Lưu ý: Ngồi pp trên, có thể sử dụng d( A;(SBC )) S h đáy Thể tích khới lăng trụ: Vlăng trụ Sđáy h Thế tích khới chóp: Vchóp Khới nón: Sxung quanh nón Stp Sxq Sđáy Khối trụ: Sxq tru rh, Stp tru Thể tích khối trụ: Vtru Khới cầu: Sc Sxq Sđáy h Tích có hướng và ứng dụng cho a r2 1 Sđáy h r2 h 3 2Sđáy rh r r Vnón rl Vấn đề 12 Phương pháp tọa độ không gian Oxyz r l Sđáy r2 h ― Tích có hướng của véctơ a , b ― Tích vơ hướng: a.b a1b1 hình chóp S.ABC có cạnh bên SA ( ABC) (hình 1) a2 b2 ABC S ― Diện tích Khi đó: BC H AI ABC SH AI BC , : BC Suy ra: AI (SAH ) (SBC) nên d( A;(SBC)) BC SA BC AH AI điểm của AA Ngược lại, tốn u cầu tìm hình chiếu của điểm lên đường ta viết mặt làm tương tự Vị trí tương đới của đường thẳng x xo ta1 Cho d1 : y yo ta2 ,(t z zo ta3 AB, AC AD AB, AD ABCD B1 Tìm Hình I a3 k M2 ( xo ; yo ; zo ) d2 , ud2 ( a1 ; a2 ; a3 ) ud1 , ud2 + Nếu: ud , ud AB, AC AD cos a sin( a) sin a tan( a) cot( a) tan( a • VTPT : n( P ) Suy ( P) : A.( x xo ) B.( y u1( P ) , u2( P ) yo ) C.( z ( A; B; C) zo ) d1 d1 d2 d2 sin cos By Cz D M1 M2 d1 , d2 chéo sin a cos a 2 cos( cos a sin a 2 AxM + Khoảng cách: d M ,( P ) ByM A2 CzM B2 C2 Các phương pháp quy toán chân đường cao: ― Kẻ song song để dời điểm chân đường vuông góc ― Dùng tỉ số khoảng cách để dời chân đường vuông góc ― Tạo chân đường cao giả ( đường cao, mặt chứa chân) Tính khoảng cách cạnh bên và cạnh thuộc mặt đáy Cho hình chóp S.ABCD có SA ( ABCD) Hãy tính khoảng cách cạnh bên SB cạnh thuộc mặt đáy AC (hình 2) B1 Xác định giao điểm của cạnh bên SB mặt phẳng đáy + Từ ( P) : Ax (II) Cz D n( P ) ( A; B; C) tan( a) tan a tan a cot a 2 cot( cot Để viết phương trình đường thẳng (d), cần xác định điểm SH AK d , : d d( AC ,(SB, d)) d( A,(SB, d)) (SAH ) AK B3 Tính độ dài đoạn thẳng AK dựa vào hình phẳng (IV) (III) 3π song trùng với d) ud ( a1 ; a2 ; a3 ) -1 ( d) : • Đi qua M( xo ; yo ; zo ) • VTCT : ud Nếu a1a2 a3 ( a1 ; a2 ; a3 ) (d) : x xo x xo a1t ( d) : y yo a2 t , (t z zo a3t y yo z ) 2sin cos cos2 sin 2cos (S) : • Tâm : I (a; b; c) • Bán kính : R ― Phương trình (S) : x a2 (S) : ( x a)2 b2 c2 bán kính: R d y z ( y b)2 2ax 2by ( z c)2 2cz d R2 với a tan a Hạ bậc 1 2sin sin cos 2 cos2 cos 2 cos cos cot cot 2 cot cot cos cos cos a cos b 2cos sin a sin b 2sin a b a b a a cos cos b a b b Công thức biến đổi tích thành tổng Giá trị LG tan Cung phần tư zo cot a a b cos a cos b 2sin sin 2 a b a b sin a sin b 2cos sin 2 sin( a b) tan a tan b cot a cot b cos a cos b cosx qua M( xo ; yo ; zo ) véctơ phương (có giá song a1 a2 a3 Đây tốn bản: tìm khoảng cách từ chân đến Mặt cầu: mặt bên Cụ thể: ― Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần tìm tâm I(a; b; c) Từ A kẻ AH d H dựng AK SH bán kính R AK 2π O -1 a) tan a tan b tan a tan b b) (I) π Đường thẳng: B B2 Qua giao điểm B, dựng đường thẳng d song song với AC Khi đó: d( AC , SB) d( AC ,(SB, d)) d( A,(SB, d)) By cos a Công thức biến đổi tổng thành tích D a) tan tan sinx sin( a) sin a tan Vấn đề 13 Công thức lượng giác & Phương trình lượng giác cot a Cung phụ Công thức nhân đôi và hạ bậc d2 ud1 , ud2 M1 M2 + Nếu: ud , ud tan a Cung bù Nhân đôi ud1 , M1 M2 ud1 , ud2 + Nếu: cos( a) sin sin(a b) sin a cos b cos a sin b cos(a b) cos a cos b sin a sin b d1 Cung đối cot Cơng thức cộng cung Tính ud , ud , ud , M1 M2 ud , M1 M2 1 B d( AC , SB) zo ) cos2 tan π H (SB, d) do: a2 k ,( k ud1 , M1 M2 • Đi qua M( xo ; yo ; zo ) ― Cho điểm M( xM ; yM ; zM ) ( P) : Ax Lúc này: AK yo ( a1 ; a2 ; a3 ) C SB ( ABCD) ) d2 : y z d1 , ud1 + Nếu: Mặt phẳng: ― Để viết phương trình mặt phẳng ( P), ta cần xác định điểm Mặt phẳng ( P) : S A a1 k M1 ( xo ; yo ; zo ) AB, AD AA ― Thể tích khối tứ diện ABCD VABCD xo B2 Xét vị trí tương đối dựa vào trường hợp sau: AB AH x qua véctơ pháp tuyến (vng góc với mặt phẳng) B3 Tính AI hệ thức lượng quen thuộc,…… Hình Bài tốn tìm tọa độ hình chiếu và điểm đới xứng Cần lưu ý, tốn tìm tọa độ của điểm A lên mặt (P) viết đường (d) qua điểm A vuông góc với mặt (P) Khi đó tọa độ hình chiếu H giao điểm của đường với mặt Còn muốn tìm điểm A đối xứng với A qua ( P) H trung Do đó để chứng AB, AC ― Thể tích khối hộp VABCD A B C D SH I Ngược lại, để a, b c minh AB, AC , AD không đồng phẳng B2 Từ chân đường cao A , dựng AH vuông với giao tuyến AI a b cos(a; b) minh điểm A, B, C , D điểm của tứ diện, cần chứng B1 Xác định giao tuyến của mặt bên mặt phẳng đáy: Dựng AH a3 b3 ― Diện tích hình bình hành ABCD S BC (b1 ; b2 ; b3 ) a2 a3 a3 a1 a1 a2 ; ; b2 b3 b3 b1 b1 b2 chúng không đồng phẳng a , b c Tính khoảng cách từ chân đường cao của hình chóp đến mặt bên của hình chóp Chẳng hạn tính khoảng cách từ A đến mặt bên (SBC ) của (SBC) ( ABC) (a1 ; a2 ; a3 ), b ― Để ba véctơ a, b, c đồng phẳng R R2 , Vc 3V S I II III IV cos a cos b + + – – sin a sin b + – – + + – + – + – + – (Nhất – Nhì sin – Tam tan – Tứ cos) phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c), Công thức và cung góc liên kết sin2 cos2 tan cot a b2 c d sin a cos b cos(a b) cos(a b) cos( a b) cos(a b) sin(a b) sin( a b) Phương trình lượng giác sin a sin b cos a cos b a b k2 a a a b b k2 k2 b k2 , (k , (k ) ) sin( a b) sin a sin b tan a cot a tan b cot b a b k , (k a b k , (k ) ) Phương trình lượng giác qui bậc và bậc cao hàm Dạng Đặt ẩn phụ t sin x a sin2 x b sin x c t t t a cos2 x b cos x c a tan2 x b tan x c a cot x b cot x c cos x tan x cot x Phương trình lượng giác cổ điển a sin x Dạng: b cos x a.sin mx b.cos mx a.sin mx b.cos mx ( a2 PP: chia c , ( ĐK : a a2 b2 b2 AD: c2 b 2 c ) a2 b2 cos nx a2 b2 sin nx c.sin nx , (a b 0) d.cos nx d2 ) sin a cos b cos a sin b sin(a b) cos a cos b sin a sin b cos( a b) Phương trình lượng giác đẳng cấp Dấu hiệu nhận dạng: đồng bậc lệch bậc theo sin cos (tan cotan xem bậc 0) Phương pháp: Chia cho bậc cao nhất (sau xét TH) Phương trình lượng giác đối xứng Dấu hiệu nhận dạng: chứa tổng tích của sin, cos Phương pháp: đặt t sin x cos x, t điểm F cho BF AC Đường qua F, BC , cắt AD G Khi đó: DNF vuông cân N Vấn đề 15 Hình học phẳng Oxy Cho HCN ABCD có AB 2CD E Q Gọi E là điểm đới xứng của D Một sớ tính chất hình học phẳng thường gặp qua A và M, N, F, G lần lượt là D H Cho M ngoài đường tròn tâm I trung điểm AB, DM, DC, NF Kẻ Kẻ tiếp tuyến MH và cát tuyến M B A C BI AC , lấy K là đới xứng với I MAB, MCD Khi đó: M B qua I, I là trung điểm của PC N H P A MA.MB MC.MD MH B và NC MG H Khi đó: I G Cho H, G, I theo thức tự là trực tâm, trọng tâm, tâm ngoại của F D EN BN C ABC Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC và AH Kẻ EK HC A đường kính AD Khi đó: K L Tứ giác MHFCB nội tiếp BHCD hình bình hành CH 2HM CN 5.HN N G trọng tâm ∆AHD ANMI hình bình hành I LA, QC AC AC 5.IC , PK DC , HL LD G H HNIM hình bình hành Hình vng ABCD có điểm E cạnh BC Đường AH 2.IM M C B AE DC F , DE BF G, IE BF H Khi đó: IH 3.IG n( A) n( ) B3 Áp dụng công thức: P A lũy thừa ― ― ― ― ― MN FE, MN Q PQ N H, K đối xứng qua BC I , I đối xứng qua BC AHI’I hình bình hành ABRC hình bình hành P E I AF BF Gọi K, L là hình chiếu của B, D lên DE Khi đó: DK LC Gọi M là điểm đối xứng của D qua C, hạ CN, DP vng góc với AM Khi đó: ADCNB nội tiếp, ∆DPN vuông cân P và PI S CG và CH B PP C D , với A C Đặt điều kiện, chuyển vế: lũy thừa đưa dạng 3 A A B B 3 AB( A C ( A A M L C A B P P BJC ( C )3 B) B) C A 3 ABC B C a) Liên hợp: nghiệm đơn đẹp xo : ghép số a f ( xo ) liên f ( x) hợp (nếu ngược dấu truy ngược: nghiệm kép đẹp xo : ghép bậc nhất ax tìm a, b điều kiện tiếp xúc: tìm a, b cách giải hệ: f ( x) a b để liên hợp f ( xo ) axo ( f ( xo )) nghiệm đẹp x1 , x2 : ghép bậc nhất ax I H K C b n f ( x) c b ( axo b) b để liên hợp f ( x1 ) ax1 b f ( x2 ) ax2 b Phương pháp: đặt t a f ( x) b g( x) tn f ( x) n f ( x) 2ab f ( x).g( x) h( x) Nhận dạng: chứa tổng/tích hiệu/tích Phương pháp: đặt t tổng t hiệu, suy ra: t n a f ( x) m b f ( x) c Nhận dạng: lệch bậc đồng bậc cao a n A2 n b n a f ( x) v m b f ( x) A.B c Phương pháp: đặt u ax2 bx ax2 un u Phương pháp: I D trung điểm của JK N F J DB tiếp tuyến đường C B ― Cho tập A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k , (1 k n) E tròn ngoại tiếp ABE D phần tử của A gọi tổ hợp chập k của n phần tử AD trung trực BF C E B Lập tổ hợp chập k của A lấy k phần tử của A (không DN trung trực FC K K F trực tâm ADN quan tâm đến thứ tự phần tử) Số tổ hợp chập k của n k Cho hình chữ nhật ABCD có H là hình chiếu vng góc của An n! F phần tử kí hiệu là: Cnk B lên đường chéo AC Gọi M, K, E lần lượt là trung điểm của k !.(n k )! k! G N AH, DC và BH Khi đó: Kẻ CM, CN, CP vng góc với AB, AD, BD Khi đó: tứ giác F Cơng thức xác suất cổ điển BM KM MIPN nội tiếp B1 Tính số phần tử của khơng gian mẫu n( ) tập hợp Nếu ABCD hình vuông kết có thể xảy của phép thử (giải Vấn đề 16 Phương trình, Bất phương trình, Hệ phương trình BMK vng cân M tốn đếm trước chữ "Tính xác śt") Phương trình vơ tỷ MECK hình bình hành B2 Tính số phần tử của biến cố A xét kết của A B B A hay B E trực tâm MBC phép thử làm xảy A (giải toán sau chữ A B A B M E Trên tia đối của tia BH, lấy A B A B "Tính xác suất") n( A) D D Giải phương trình hệ Các phương pháp thường gặp giải phương trình vô tỷ a f ( x) D K I' tâm ngoại tiếp B b) Đặt ẩn phụ: Một số dạng đặt ẩn phụ thường gặp H B C BD B (PT hệ quả) A 3 D AC B Nghiệm xấu: Tìm nhân tử bậc 2, casio liên hợp DN , PI BN F AH, AI đối xứng qua p/g BAC L H tâm nội tiếp ∆EFL K Khai triển Newton I n R SI trung trực của AB N G ( a b)n Cnk an k bk Cn0 an Cn1 an 1b Cnn bn E Gọi AX, AY là đường phân giác và ngoài của góc A k Gọi Z là trung điểm XY Khi đó: k n k k U H Số hạng tổng quát: Tn Cn a b số hạng thứ N A AX , AY qua trung điểm M k N D C F cung nhỏ cung lớn BC I Số mũ của a giảm, số mũ của b tăng dần Tứ giác AZMI nội tiếp M C Z B X Y Hoán vị, tổ hợp, chỉnh hợp Hình bình hành ABCD tâm I, có phân giác góc A cắt AZ tiếp tuyến của ( I ) Cho tập hợp A có n phần tử (n 1) Khi xếp n phần tử BC E và DC F Gọi K là tâm ngoại ∆ECF Khi đó: tứ AZX cân Z W theo thứ tự ta hoán vị phần tử của tập Cho I, J, K theo thức tự là tâm ngoại, tâm nội và tâm bàng giác BKCD nội tiếp hợp A xác định bởi: Pn n! n(n 1)(n 2) 3.2.1 tiếp (góc A) của ABC Đường phân giác AI cắt đường tròn A N D Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử của A ( I ) D, cắt BC E Khi đó: M A, (1 k n) theo thứ tự đó gọi chỉnh DB DC DJ hay D hợp chập k của n phần tử của tập A Số chỉnh hợp chập k của n! n phần tử kí hiệu Ank , (1 k n) (n k)! A D Gọi E, F lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, C Đường cao AH cắt đường tròn điểm thứ hai là K Gọi I là tâm đường x tròn ngoại tiếp ∆HBC Khi đó: A AI FE, AI PQ Vấn đề 14 Nhị thức Newton Xác suất A B C PP đặt điều kiện, chuyển vế cho dương lũy thừa, giải phương trình hệ c d bx n B2 n vm u a v b c n A, v B , đưa đẳng cấp f ( x) mx2 c nx p dx ex f Nhận dạng: Biểu thức thức phân tích thành tích số biểu thức ngồi biến đổi thành tổng bình phương của biểu thức bên Phương pháp: Đưa dạng đẳng cấp Lưu ý: PT (2) lũy thừa đưa PT (1) a f ( x) b.g( x) c d f ( x) e.g ( x) Nhận dạng: biểu thức lớn phân tích thành tổng bình phương của nhỏ (hoặc đa thức), (casio) Phương pháp: chia lượng dương (chẳng hạn g( x) ) (hoặc đặt ẩn phụ) để đưa dạng ( ax n b) n p cx Phương pháp: d q.x r với n A 2; B Đặt ay b n cx d tích số p.c Đặt (ay b) n cx d tích số p.c Đưa hệ đối xứng loại II gần đối xứng loại II x a2 2a x b b x a2 2a x b b cx d Phương pháp: sử dụng đẳng thức, định nghĩa A mx n a x b x x2 c Phương pháp: sử dụng đẳng thức, định nghĩa A Biểu diễn: mx n (1 x) (1 x) ( )x ( m đồng nhất hệ số hệ: với ( ax b)2 c c , ) , Sau đó n x 0, v x 0, để đưa phương đặt: u trình hai ẩn u, v có thể giải cách đưa tích số ẩn phụ khơng hồn tồn (xem u biến số v số ngược lại sử dụng casio gán biến) Dạng khác: Ngoài dạng trên, ta sử dụng phương pháp đặt ẩn khơng hồn tồn, đặt ẩn để đưa phương trình tích số hệ bản, lượng giác hóa c) Phương pháp đánh giá: Đánh giá hàm số: vận dụng nội dung của kết sau “Nếu hàm số f (t ) đơn điệu chiều miền D phương trình f (t) f (u) f (v) u có tối đa nghiệm u, v v " D Một số dạng xây dựng hàm đặc trưng dựa vào casio ax3 bx2 ax bx cx cx Xây hàm ax3 d n ex dx f (t) bx2 cx Xây hàm t e f (t) t nt (a x mt t3 f (t ) ( fx d Xây hàm f g) hx t i t b) cx pt d q Đánh giá bất đẳng thức cổ điển: Hướng Biến đổi phương trình f ( x) a, ( a const a h( x)), mà đó ta dùng bất đẳng thức chứng minh kết f ( x) a f (x) a Lúc đó, nghiệm tất giá trị x thỏa mãn dấu " " xảy Hướng Biến đổi PT dạng f ( x) g( x), mà đó ta dùng BĐT chứng minh được: f ( x) a f ( x) a hay , ( a const a h( x)) Lúc g( x) a g( x) a đó, nghiệm phương trình giá trị x thỏa hệ: f ( x) a g( x) a Đưa tổng số không âm A2 An B2 dạng Bn (thường thì số trước chẵn) Các phương pháp thường gặp giải bất phương trình vô tỷ a) Bất phương trình vô tỷ bản: A B B A A B A b) Bất phương trình chứa mẫu số B A B B A B2 Đối với bất phương trình chứa mẫu số, hướng xử lý thường gặp xét mẫu số khử mẫu Nghĩa mẫu dương bỏ mẫu làm cho bất phương trình khơng đổi dấu, mẫu âm bất phương trình đổi dấu Còn thật chưa biết dấu của nó khơng thể bỏ mà cần phải chia hai trường hợp âm, dương bỏ mẫu đưa bất phương trình dạng tích – thương xét dấu Do đó, bỏ mẫu ta cần lý luận chứng minh mẫu đó dương hay âm Công cụ để đánh giá điều thường đẳng thức c (ax b)2 c , a (bx c)2 a sử dụng phương pháp phản chứng bất đẳng thức cổ điển cực trị của hàm số,… Lưu ý Ta có thể sử dụng biến đổi của giải phương trình để giải bất phương trình, chẳng hạn: đưa tích số liên hợp, đặt ẩn phụ, đánh giá,… Các phương pháp thường gặp giải hệ phương trình a) Hệ phương trình bản: Hệ đối xứng loại Nhận dạng: Đổi chỗ ẩn HPT khơng thay đổi trật tự phương trình khơng thay đổi Phương pháp: Biến đổi dạng tổng – tích đặt ẩn phụ S x y , P xy , (S2 4P) Hệ đối xứng loại Nhận dạng: Đổi chỗ hai ẩn hệ phương trình khơng thay đổi trật tự phương trình thay đổi (phương trình trở thành phương trình kia) Phương pháp: Lấy vế trừ vế phân tích thành nhân tử, đưa ( x y) f ( x) 0, tức có x y Hệ gần đối xứng loại Là hệ gần giống đối xứng loại 2, sai lệch dấu số số vị trí Khi đó lối thường gặp cộng trừ hai vế của hai phương trình với thu phương trình (nếu cộng trừ) hệ phương trình (nếu vừa cộng vừa trừ) giải (đẳng cấp, tích số ) Hệ đẳng cấp bậc dạng: a1 x2 a2 x b1 xy b2 xy c1 y c2 y 2 d ( a x b1 xy c1 y ) d1 d2 Ta có: (i) 2 d1 ( a2 x b2 xy c2 y ) d1 d2 (1) (2) (a1d2 a2 d1 )x d1 d2 (i) (1) (2) (b1d2 b2 d1 )xy (c1d2 c2d1 )y Đây phương trình đẳng cấp bậc hai b) Hệ phương trình giải phương pháp thế: Sử dụng phương pháp nhằm tạo phương trình bậc cao cùng biến đờng bậc (2 biến) c) Hệ phương trình giải phương pháp cộng: Thông thường sử dụng phương pháp hệ có dạng đa thức mà phương trình thân khơng đưa dạng tích số (delta khơng số phương khơng đặt ẩn phụ được) Khi đó lấy PT(1) k.PT(2) để đưa n dạng A n B dạng (ax b) f ( x; y) dạng b) f ( x; y) dạng (ax by c) f ( x; y) (ay số k thường rơi vào trường hợp sau: Đối với hệ phương trình có chứa hạng tử x3 , y , x , y , x, y độc lập nhau, thường lấy (1) k.(2) để đưa 2 dạng ( x a)3 ( y b)3 hệ số bất định Nếu hệ bậc hai biệt số delta khơng số phương, ta có thể viết hệ phương trình theo ẩn x (hoặc ẩn y), rồi lập tỉ lệ tỉ số để tìm giá trị chung của x (hoặc y), vào Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz (Bunhiaxcôpki) hệ ban đầu ko tối giản để xác định lượng nhân vào a, b, x, y (a.x b.y)2 (a2 b2 )( x2 y ) Tìm mối liên hệ tuyến tính cặp nghiệm Thế quan x y a b Dấu " " hệ tuyến tính cho có lợi nhất vào hệ phân tích thành a b x y nhân tử Từ đó tìm biểu thức nhân vào phương trình a, b, c , x, y , z (ax by cz)2 (a2 b2 c2 )( x2 y2 z2 ) d) Hệ phương trình đưa tích sớ: Tam thức bậc hai đưa tích sớ: x y z a b c Dấu " " Khi gặp hệ phương trình mà đó có phương trình a b c x y z dạng đa thức, phương trình có dạng đa thức Khi Hệ Nếu a, b, c x, y , z thì: đó suy nghĩ có viết dạng phương trình 2 2 2 y y ( x y z )2 ( x y) x x z bậc 2, bậc bậc bốn trùng phương theo biến a a b b c a b c a b nhóm biến hay không đó biệt số delta có số Bất đẳng thức véctơ phương hay khơng ? Nếu có sử dụng phương pháp Với việc hổ trợ của casio, ta hoàn toàn có thể giải Xét u ( a; b), v ( x; y) ta có: u v u v dạng delta số phương a b2 x2 y (a x)2 (b y)2 Phương pháp liên hợp đưa tích sớ: Nếu hệ phương trình chứa thức, ta chọn phương Dấu " " u, v cùng hướng trình hệ cho y 1000 (hoặc x 1000 ) bấm Một số biến đổi đẳng thức thường gặp shift solve để tìm nghiệm, từ đó suy mối liên hệ x3 y3 ( x y)3 3xy( x y) biến Nếu phương trình có dạng đẳng cấp ta ưu x2 y2 z2 ( x y z)2 2( xy yz zx) tiên phương pháp đánh giá bất đẳng thức Còn x3 y3 z3 ( x y z)3 3( x y)( y z)( z x) không, ta sử dụng phương pháp liên hợp dựa vào nhân tử vừa tìm để ghép biểu thức với hợp lý x3 y3 z3 3xyz ( x y z)( x2 y2 z2 xy yz zx) e) Giải hệ phương trình cách đặt ẩn phụ: (a b)(b c)(c a) ab2 bc2 ca2 ( a2 b b2 c c2 a) Đặt ẩn phụ đưa phương trình bậc 1, 2, phương (a b)(b c)(c a) (a b c)(ab bc ca) abc trình: Thông thường dạng bắt gặp phương trình (a b)2 (b c)2 (c a)2 2(a2 b2 c2 ab bc ca) đa thức của hệ nhìn nhận nhóm biến với góc độ đẳng thức quen thuộc (a b)3 (b c)3 (c a)3 3(a b)(b c)(c a) Đặt ẩn phụ dựa vào tính đẳng cấp của phương trình Một số đánh giá và bất đẳng thức phụ Đặt ẩn phụ đưa hệ phương trình bản: Các đánh giá thường sử dụng (không cần CM lại): + Biến đổi phương trình để phát ẩn phụ dự kiến x, y , z x2 y2 z2 xy yz zx dựa vào ẩn phụ dự kiến để biến đổi phương x, y, z ( x y)( y z)( z x) 8xyz trình lại x, y , z 3( x2 y2 z2 ) ( x y z)2 + Chia để xác định lượng ẩn phụ + Đặt ẩn phụ dạng tổng – hiệu: a x y , b x y x, y , z ( x y z)( x2 y2 z2 ) 3( x2 y y2 z z2 x) f) Giải hệ phương trình phương pháp hàm số: Một số dạng và hướng xử lý: PP ax ( ax)2 by (by)2 Liên hợp để sử dụng hàm số PP a1 x3 b1x c 1x d a 2y b 2y c 2y sử dụng casio để đưa hàm đặc trưng a1 x3 b1 x2 ( a1 x b1 ) c1 x c1 y d1 d1 ( a2 y ( a2 y b2 ) b2 ) c2 y d2 c2 y x, y , z x, y , z (x xy x, y , z x, y , z 3( x2 y2 x, y , z (x d2 Một số kỹ xuất hàm đặc trưng: Chia để xuất hàm số đặc trưng Kết hợp phương trình phương pháp cộng g) Giải hệ phương trình phương pháp đánh giá BĐT CÁC BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG ĐƯỢC SỬ DỤNG a, b a , b, c thì a ab Dấu " b c " abc Dấu " a b " x, y xy xy x, y x, y 0;1 a b yz yz zx 3xyz( x yz zx) xyz( x z x2 ) z)( xy yz zx) y2 z2 y c y3 1 x (x 1 y2 1 ( xy y y yz (x zx) z) z) zx)2 y)( y (1 x, y x y y )3 xy x y Bất đẳng thức Cauchy (AM – GM) 3( xy 2 ( xy x3 Vấn đề 17 Bất đẳng thức cực trị b z)( z x) Các bất đẳng thức phụ thường sử dụng (CM lại áp dụng) PP bám sát vào thức (bậc thấp nhất phương trình) để xây dựng hàm đặc trưng sử dụng casio a z)2 y xy x) (1 y) 1 xy x x 1 y 1 y 2 x xy y ... dạng: a1 x2 a2 x b1 xy b2 xy c1 y c2 y 2 d ( a x b1 xy c1 y ) d1 d2 Ta có: (i) 2 d1 ( a2 x b2 xy c2 y ) d1 d2 (1) (2) (a1d2 a2 d1 )x d1 d2 (i) (1) (2) (b1d2 b2 d1 )xy (c1d2... Liên hợp để sử dụng hàm số PP a1 x3 b1x c 1x d a 2y b 2y c 2y sử dụng casio để đưa hàm đặc trưng a1 x3 b1 x2 ( a1 x b1 ) c1 x c1 y d1 d1 ( a2 y ( a2 y b2 ) b2 ) c2 y d2 c2 y ... hạ bậc d2 ud1 , ud2 M1 M2 + Nếu: ud , ud tan a Cung bù Nhân đôi ud1 , M1 M2 ud1 , ud2 + Nếu: cos( a) sin sin(a b) sin a cos b cos a sin b cos(a b) cos a cos b sin a sin b d1 Cung đối