SÁCH THAM KHẢO HÌNH học họa HÌNH

Để làm đơn giản cách phát biểu các mệnh đề hình học, người ta bổ sung cho không gian Euclide các yếu tố hình học vô tận:  Mỗi đường thẳng hữu hạn sẽ có thêm một điểm vô tận được xác địn

Trang 1

Dương Thị Bích Huyền – BM HH&VKT Trang 1

PHẦN MỞ ĐẦU

I MÔ HÌNH HÌNH HỌC CỦA KHÔNG GIAN

Bản vẽ kỹ thuật là các văn kiện cơ bản để chỉ đạo sản xuất được xây dựng nhờ các

phương pháp biểu diễn và các hệ thống quy ước

Để làm cơ sở cho việc thiết lập các bản vẽ kỹ thuật, môn Hình Học Họa Hình nghiên cứu các phương pháp xây dựng các mô hình hình học trên mặt phẳng từ những mô hình hình học trong không gian

Không gian Euclide ba chiều chi gồm các yếu tố hình học cơ bản (điểm, đường thẳng, mặt phẳng) hữu hạn Để làm đơn giản cách phát biểu các mệnh đề hình học, người ta bổ sung cho không gian Euclide các yếu tố hình học vô tận:

 Mỗi đường thẳng hữu hạn sẽ có thêm một điểm vô tận được xác định bằng hướng của đường thẳng đó

 Mỗi mặt phẳng hữu hạn sẽ có thêm một đường thẳng vô tận được xác định bằng hướng của mặt phẳng đó: tập hợp các điểm xa vô tận của đường thẳng

 Không gian Euclide sẽ có thêm một mặt phẳng vô tận chứa mọi yếu tố vô tận của không gian

Với việc bổ sung các yếu tố vô tận như vậy, ta có thể phát biểu:

 Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cắt nhau ở điểm vô tận

 Hai mặt phẳng song song là hai mặt phẳng cắt nhau theo đường thẳng vô tận

Sau khi được bổ sung các yếu tố vô tận, các mô hình phẳng được xây dựng trong các không gian ấy Công cụ để xây dựng mô hình là các phép chiếu

Trang 2

Để chiếu xuyên tâm một điểm A bất kỳ lên mặt phẳng

P, người ta làm như sau:

 OA đường thẳng chiếu hay tia chiếu

 A’: hình chiếu xuyên tâm của A

Như vậy, trong phép chiếu xuyên tâm, hình chiếu

của một điểm là một điểm Nếu có điểm B sao

cho tia chiếu OB thuộc mặt phẳng P’ song song

với P thì hình chiếu của B là B Nếu có một

điểm C thì hình chiếu của nó là một điểm C’

Như vậy, bất kỳ điểm nào thuộc đường thẳng l

cũng sẽ có hình chiếu thuộc hình chiếu l’ của đường thẳng Đây cũng là một tính chất của phép chiếu gọi là tính chất bảo toàn sự liên thuộc

Hình chiếu xuyên tâm của đường thẳng đi qua tâm chiếu O sẽ suy biến thành 1 điểm

Trang 3

Tính chất 2: Hình chiếu xuyên tâm của những đường thẳng song song nói chung là

Để xác định hình chiếu A’ của điểm A, ta thực

hiện như sau:

 Vẽ qua A đường thẳng song song l

 Tìm A’ là giao của đường thẳng l với P

Ta gọi:

 l: hướng chiếu

 AA’: đường thẳng chiếu

 A’: hình chiếu song song của A

b Tính chất:

Vì chiếu song song là trường hợp đặc biệt của chiếu xuyên tâm nên phép chiếu song song

có đầy đủ tính chất của phép chiếu xuyên tâm Ngoài ra, phép chiếu song song còn có những tính chất riêng sau đây:

Trang 4

Tính chất 1: Hình chiếu song song của những đường thẳng song song là những đường thẳng song song

Tỉ số của 3 điểm thẳng hàng như trên gọi là tỉ số đơn

Vậy, phép chiếu song song bảo toàn tỉ số đơn giữa 3 điểm thẳng hàng

III CÁC PHƯƠNG PHÁP BIỂU DIỄN

Yêu cầu đối với bản vẽ

1 Điều kiện phản chuyển: tính tương đương hình học:

Trang 5

Yêu cầu cơ bản của bản vẽ là phải thỏa mãn tính tương đương hình học Bản vẽ biểu diễn đối tượng nào thì ngược lại, từ hình biểu diễn cũng có thể dựng ngược lại chính đối tượng

đó Yêu cầu này còn được gọi là tính phản chuyển của bản vẽ Một bản vẽ thỏa mãn tính phản chuyển còn được gọi là đồ thức

2 Tính trực quan:

Ngoài tính tương đương hình học, người ta còn muốn hình biểu diễn trên bản vẽ phải gây nên ấn tượng giống như khi quan sát trực tiếp trong thực tế, gọi là tính trực quan Muốn vậy, thì những điểm, đường thẳng trong thực tế phải được biểu diễn bằng điểm, đường thẳng trên bản vẽ Như vậy, bản vẽ xây dựng bằng phép chiếu thỏa mãn một phần tính trực quan

Tuy nhiên,tính trực quan không phải là một yêu cầu bắt buộc

Trang 6

PHÉP CHIẾU THẲNG GÓC

I HỆ THỐNG HAI MẶT PHẲNG HÌNH CHIẾU THẲNG GÓC Trong không gian, người ta lấy 2 mặt phẳng thẳng góc với nhau

Mặt phẳng thứ nhất thẳng đứng, ký hiệu là P1, tên gọi là mặt phẳng hình chiếu đứng Mặt phẳng thứ hai nằm ngang, ký hiệu là P2, tên gọi là mặt phẳng hình chiếu bằng

Hai mặt phẳng thẳng góc với nhau trong không gian sẽ giao nhau theo giao tuyến là đường thẳng,ký hiệu là x, tên gọi là trục hình chiếu

Hai mặt phẳng thẳng góc với nhau trong không gian sẽ chia không gian ra làm 4 góc tư, quy ước được gọi tên là góc tư thứ nhất (I), góc tư thứ hai (II), góc tư thứ ba (III), góc tư thứ tư (IV), với vị trí của các góc tư như hình vẽ sau:

Trang 7

a Độ cao của điểm

Là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng hình chiếu bằng P2

Về giá trị, độ cao của điểm A bẳng đoạn A1AX

Trang 8

Về dấu:

Độ cao của A>0 A thuộc không gian phía trên P2 A1 ở phía trên x

Độ cao của A=0 ⟺ A thuộc mặt phẳng hình chiếu bằng P2 ⇔ A1 ∈ x

Độ cao của A<0 A thuộc không gian phía dưới P2 A1 ở phía dưới x

b Độ xa của điểm

Là khoảng cách từ điểm đó đến mặt phẳng hình chiếu đứng P1

Về giá trị, độ xa của điểm A bẳng đoạn A2AX

Về dấu:

Độ xa của A>0 A thuộc không gian phía trước P1 A2 ở phía dưới x

Độ xa của A=0 ⟺ A thuộc mặt phẳng hình chiếu đứng P1 ⇔ A2 ∈ x

Độ xa của A<0 A thuộc không gian phía sau P1 A2 ở phía trên x Trong hệ mặt phẳng hình chiếu còn có một cặp mặt phẳng khác:

 Mặt phẳng phân giác thứ nhất, ký hiệu là G1, chia đôi góc I và III

 Mặt phẳng phân giác thứ hai, ký hiệu là G2, chia đôi góc II và IV

Nhận xét:

 Điểm E thuộc G1 sẽ có 2 hình chiếu đối xứng với nhau qua trục x

 Điểm L thuộc G2 sẽ có 2 hình chiếu trùng nhau

2 Mặt phẳng hình chiếu cạnh và tương quan vị trí giữa các hình chiếu

Trong không gian, ta lấy thêm một mặt phẳng hình chiếu thứ ba, vuông góc với trục x, ký hiệu là P3, gọi là mặt phẳng hình chiếu cạnh

Như vậy, P3 sẽ giao với P1 theo giao tuyến là một đường thẳng, ký hiệu là z P3 sẽ giao với P2 theo giao tuyến là một đường thẳng, ký hiệu là y

Tiếp tục chiếu điểm A lên P3 ta sẽ có hình chiếu A3 của điểm A

Trang 9

Lần lượt quay P3 về trùng với P1, rồi lại quay về P2 trùng với P1, ta sẽ có đồ thức của điểm A với 3 hình chiếu thẳng góc

Mô hình hệ thống 3 mặt phẳng hình

chiếu thẳng góc: chiếu: khoảng cách AĐồ thức của điểm A với 3 hình 1Az gọi là

độ xa cạnh của điểm A

3 Sự tương quan về biểu diễn giữa hình giải tích và hình học họa hình

Trong hình học giải tích, ta xác định một điểm nhờ 3 tọa độ x, y, z Trong hình học họa hình, một điểm được xác định nhờ khoảng cách của điểm đến các mặt phẳng hình chiếu

Ví dụ, đối với điểm A, các khoảng cách đó là: độ xa cạnh AzA1, độ xa AxA2 và độ cao

Trang 10

III ĐƯỜNG THẲNG

1 Đồ thức

Do hình chiếu của một đường thẳng là một đường thẳng, do phép chiếu thẳng góc bảo toản sự liên thuộc, và do đường thẳng được xác định bằng 2 điểm nên đồ thức của một đường thẳng được xác định bằng đồ thức của 2 điểm phân biệt xác định đường thẳng đó

2 Các đường thẳng có vị trí đặc biệt

Người ta gọi các đường thẳng song song với ít nhất 1 mặt phẳng hình chiếu là các đường thẳng có vị trí đặc biệt Như vậy, đường thẳng không song song với mặt phẳng hình chiếu nào cả gọi là đường thẳng thường

a Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu

 Đường bằng

 Định nghĩa: Là đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu bằng P2

Trang 11

o Hình chiếu bằng của một đoạn thẳng thuộc đường bằng có độ dài bằng với

độ dài thật của đoạn thẳng đó

o Hình chiếu đứng của một đoạn thẳng thuộc đường mặt có độ dài bằng với

Trang 12

o Hình chiếu cạnh của một đoạn thẳng thuộc đường cạnh có độ dài bằng với

o Góc của hình chiếu cạnh c3 với trục z bằng với góc của đường cạnh c với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 , góc của hình chiếu cạnh c3 với trục y bằng với góc của đường cạnh c với mặt phẳng hình chiếu bằng P2

Với đường cạnh, cần phải biểu diễn rõ 2 điểm thuộc đường cạnh để xác định 1 đường cạnh duy nhất trong không gian

Trang 13

b Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu

o Hình chiếu bằng vuông góc với trục x và đi qua điểm suy biến

o Một đoạn thẳng thuộc đường thẳng chiếu đứng có hình chiếu bằng giữ nguyên độ dài thật

 Đường thẳng chiếu bằng

 Định nghĩa: Là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng P2

Trang 14

 Tính chất:

o Hình chiếu bằng suy biến thành 1 điểm Đây là tính chất đặc trưng của đường thẳng

o Hình chiếu đứng vuông góc với trục x và đi qua điểm suy biến

o Một đoạn thẳng thuộc đường thẳng chiếu bằng có hình chiếu đứng giữ nguyên độ dài thật

 Đường thẳng chiếu cạnh

 Định nghĩa: Là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3

 Tính chất:

o Hình chiếu cạnh suy biến thành 1 điểm

o Hình chiếu đứng và hình chiếu bằng song song với nhau và song song với trục x

o Một đoạn thẳng thuộc đường thẳng chiếu cạnh có hình chiếu đứng và hình chiếu bằng giữ nguyên độ dài thật

Trang 15

3 Sự liên thuộc giữa điểm và đường thẳng

 Đường thẳng không là đường cạnh

Định lý: Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc một đường thẳng (không phải là đường cạnh) là các cặp hình chiếu cùng tên của chúng liên thuộc nhau

A1  l1

A  l 

A2  l2 Chứng minh:

Trang 16

Cho đồ thức của điểm C và đường cạnh được xác định bằng 2 điểm A, B như hình vẽ (1)

ở dưới đây Điểm C có thuộc đường cạnh AB hay không?

Cho đồ thức của đường cạnh AB và hình chiếu đứng C1 của điểm C như hình vẽ (2) ở dưới đây Hãy xác định hình chiếu bằng C2 của C sao cho C ∈ AB

4 Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng

a Vị trí cắt nhau

Định lý: Điều kiện cần và đủ để 2 đường thẳng không là đường cạnh cắt nhau là các cặp hình chiếu cùng tên của chúng cắt nhau tại những

điểm cùng thuộc một đường dóng đứng

l1  m1  A1

l  m  A 

l2  m2  A2

Trang 17

 Đường thẳng là đường cạnh

Cho đồ thức của đường thẳng l và đường cạnh AB như hình vẽ sau đây Hai đường thẳng này có cắt nhau hay không?

b Vị trí song song

Định lý: Điều kiện cần và đủ để 2 đường thẳng không là đường cạnh song song với nhau

là các cặp hình chiếu cùng tên của chúng song song nhau

l1 // m1

l // m 

l2 // m2

Trang 18

Trang 19

Trang 20

2 Các mặt phẳng có vị trí đặc biệt

Người ta gọi các mặt phẳng vuông góc với ít nhất một mặt phẳng hình chiếu là các mặt phẳng có vị trí đặc biệt Như vậy, mặt phẳng không vuông góc với mặt phẳng hình chiếu nào cả thì gọi là mặt phẳng thường

a Mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu

Trang 21

Trang 22

o Một hình phẳng bất kỳ thuộc mặt phẳng chiếu cạnh sẽ có hình chiếu cạnh suy biến thành 1 đoạn thẳng trùng với hình chiếu suy biến của mặt phẳng

Trang 23

b Mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu

Trang 24

3 Sự liên thuộc giữa điểm, đường thẳng và mặt phẳng

 Định lý 1: Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng thuộc một mặt phẳng là đường thẳng đó đi qua 2 điểm đã biết thuộc mặt phẳng đang xét

 Định lý 2: Điều kiện cần và đủ để một điểm thuộc một mặt phẳng là điểm đó thuộc một đường thẳng dã biết thuộc mặt phẳng đang xét

Trang 25

BÀI TOÁN CƠ BẢN SỐ 1:

Vẽ hình chiếu còn lại của đường thẳng l thuộc mặt phẳng xác định bằng 2 đường thẳng cắt nhau (a,b)

BÀI TOÁN CƠ BẢN SỐ 2

Vẽ hình chiếu còn lại của điểm K thuộc mặt phẳng xác định bằng 2 đường thẳng song song (a//b)

Trang 26

CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN

I CÁC BÀI TOÁN VỊ TRÍ

Là những bài toán để xác định sự tương quan về vị trí giữa các yếu tố hình học hoặc xác định vị trí của một yếu tố nào đó

1 Bài toán song song

a Đường thẳng song song mặt phẳng

Để xét sự song song của đường thẳng và mặt phẳng trên đồ thức, ta áp dụng định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng trong không gian như sau:

 Định lý: Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng song song với một mặt phẳng

là đường thẳng đó song song với ít nhất một đường thẳng thuộc mặt phẳng

Ví dụ: Qua điểm M cho trước, hãy vẽ đường bằng b song song với mặt phẳng (ABC) Giải: Phân tích: Đường thẳng b có những điều kiện sau:

Trang 27

2 Bài toán tương giao

a Trường hợp biết một hình chiếu của giao

 Giao của mặt phẳng chiếu và đường thẳng thường

Ví dụ 1 : Cho đường thẳng l và mặt phẳng chiếu đứng A Hãy vẽ giao của chúng

Giải: Gọi K là giao của l và A

Ví dụ 2: Cho đường thẳng AB Hãy vẽ giao của nó với các mặt phẳng hình chiếu

Giải: Gọi U là giao của AB và P1

Vì U ∈ P1 nên U2 ∈ x

Mà U2 ∈ A2B2

Trang 28

Vậy, U2 ≡ A2B2 ∩ x

Biết U2, theo điều kiện liên thuộc, vẽ U1

Tương tự, Gọi V là giao của AB và P2

Vì V ∈ P2 nên V1 ∈ x

Mà V1 ∈ A1B1

Vậy, V1 ≡ A1B1 ∩ x Biết V1, theo điều kiện liên thuộc, vẽ

V2

Người ta gọi giao điểm của một đường thẳng với các mặt phẳng hình chiếu là vết của đường thẳng đó

U là giao của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 gọi là vết đứng

V là giao của đường thẳng với mặt phẳng hình chiếu bằng P2 gọi là vết bằng

 Giao của đường thẳng chiếu và mặt phẳng thường

Ví dụ: Cho đường thẳng chiếu bằng d và mặt phẳng thường (a ∩ b) Hãy vẽ giao của chúng

Giải: Gọi K là giao của d và (a, b)

Vì K ∈ d nên K2 ≡ d2

Biết K2, theo điều kiện K ∈ (a, b), vẽ K1

Trang 29

 Giao của mặt phẳng chiếu và mặt phẳng thường

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng chiếu đứng A và mặt phẳng thường (a ∩ b) Hãy vẽ giao của chúng

Giải: Gọi g là giao của A và (a, b)

Vì g ∈ A nên g1 ≡ A1

Biết g1, theo điều kiện g ∈ (a, b), vẽ g2

Ví dụ 2:Cho mặt phẳng thường R (a ∩ b) Hãy vẽ giao của nó với các mặt phẳng hình chiếu

Giải: Gọi u là giao của R và P1

Trang 30

Hình chiếu bằng của vết đứng và hình chiếu đứng của vết bằng vì trùng với trục x nên qui ước không vẽ Còn là u1 và v2 thì chỉ ghi đơn giản là u và v Vết của các mặt phẳng khác nhau A, B, … được ký hiệu (uA, vA), (uB, vB), …

Vết của mặt phẳng chứa các vết của các đường thẳng thuộc mặt phẳng Vậy, để tìm vết của mặt phẳng (a,b), ta có thể tìm vết của các đường thẳng a, b

Hình dưới đây minh họa việc biểu diễn các mặt phẳng A, B bằng vết của chúng

Trang 31

b Trường hợp tổng quát

 Giao của đường thẳng thường và mặt phẳng thường

Để tìm giao điểm của đường thẳng thường và mặt phẳng thường, người ta dùng phương pháp mặt phẳng cắt phụ trợ:

 Giao của giao tuyến phụ g với

đường thẳng là giao điểm cần

tìm

Ví dụ: Cho đường thẳng m và mặt phẳng R (a//b) Hãy tìm giao của R và m

Giải: Dựng mặt phẳng phụ trợ chiếu đứng Q qua m

 Giao của hai mặt phẳng thường

Giao của hai mặt phẳng là đường thẳng, để xác định, ta cần tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng

Trang 32

 Cách 1: Để tìm 1 điểm chung, ta có thể tìm giao điểm của 1 đường thẳng thuộc mặt phẳng này với mặt phẳng kia Điểm chung thứ hai tìm tương tự Như vậy, ta

sẽ thực hiện 2 lần bài toán tìm giao của đường thẳng với mặt phẳng

Trang 33

Giải: Dùng mặt phẳng phụ trợ là mặt phẳng bằng B cắt R theo giao tuyến phụ m ≡ 12

và cắt Q theo giao tuyến phụ n ≡ 34

m ∩ n ≡ I thuộc giao tuyến cần tìm

Tương tự, ta tìm được J

Ví dụ 2: Cho mặt phẳng xác định bằng vết R và Q Hãy tìm giao của chúng

Trang 34

3 Qui ước về xét thấy khuất vị trí tương đối trên các mặt phẳng hình chiếu

 Các yếu tố hình học được xem là các phần tử đục

 Khi nhìn hình chiếu đứng, người quan sát đặt mắt ở tâm chiếu xa vô tận theo hướng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu đứng P1

 Khi nhìn hình chiếu bằng, người quan sát đặt mắt ở tâm chiếu xa vô tận theo

hướng vuông góc với mặt phẳng hình chiếu bằng P2

 Đối với một cặp điểm đồng tia chiếu, điểm nào gần mắt hơn sẽ là điểm thấy trên mặt phẳng hình chiếu tương ứng

 Xét trên hình chiếu đứng:

A và B là cặp điểm đồng tia chiếu đứng (nên A và B có hình chiếu đứng trùng nhau) Điểm B có độ xa lớn hơn điểm A, nên điểm B gần mắt người quan sát hơn Vậy, B là điểm thấy trên hình chiếu đứng

 Xét trên hình chiếu bằng:

B và C là cặp điểm đồng tia chiếu bằng (nên B và C có hình chiếu bằng trùng nhau) Điểm C có độ cao lớn hơn điểm B, nên điểm C gần mắt người quan sát hơn Vậy, C là điểm thấy trên hình chiếu bằng

 Như vậy, thấy và khuất của các yếu tố trên các mặt phẳng hình chiếu là độc lập với nhau Khi xét thấy khuất trên các mặt phẳng hình chiếu, cần phải xét riêng cho từng mặt phẳng

Trang 35

II NHỮNG BÀI TOÁN VỀ LƯỢNG

Nói chung, giá trị thật không được bảo tồn qua phép chiếu, nên để xác định giả trị thật trên đồ thức, ta phải giải những bài toán nhất định gọi là bài toán lượng

1 Đo độ dài thật của đoạn thẳng

Giả sử có đồ thức của đoạn thẳng AB Từ đồ thức, hãy xác định độ dài thật của nó

Từ vị trí của AB trong không gian, ta thấy độ dài thật của đoạn thẳng là cạnh huyền của một trong hai tam giác vuông:

 Tam giác vuông AB’B vuông tại B’ có:

Đồng thời với độ dài thật, ta còn xác định được góc thật giữa AB với các mặt phẳng hình chiếu

: góc giữa AB với mặt phẳng hình chiếu đứng P1

Định dạng
Số trang	71
Dung lượng	3,37 MB