weharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkh

weharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkhweharha;hdkjsdhkjdsha;hdfljksahfkh

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Mơn Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao, nhận đề) Đề thi có 01 trang - Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng: A  n5  n  không số phương, với số tự nhiên n b) Chứng minh tổng lập phương ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho Câu (4,0 điểm) a) Cho x số thực thỏa mãn:  x �10 x  10  x  a Tính giá trị biểu thức: B   10 x  x theo a x5 1 a 1 b , y Hãy so sánh số x y b) Cho a  b  x  1 a  a  b  b2 Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: a) x2  x  x2   2 x 1 2x  b) x   x    x  1  x  x     3x Câu (7,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a Trên đường chéo BD lấy điểm M tuỳ ý ( M khác B, D ), gọi H I theo thứ tự hình chiếu vng góc M cạnh AB AD a) Chứng minh ba đường thẳng BI , DH CM đồng quy điểm a b) Tính diện tích tam giác CIH trường hợp BM  c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AIMH đạt giá trị lớn nhất? Câu (2,0 điểm) Cho a, b số thực không âm thoả mãn: a  b  Chứng minh  2a  40  9b �5 11 Hết Họ tên thí sinh: SBD: Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM THI MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm thi gồm trang) I Một số ý chấm  Hướng dẫn chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm  Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm  Điểm thi tổng điểm thành phần không làm tròn số II Đáp án biểu điểm Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng: A  n5  n  khơng số phương, với số tự nhiên n b) Chứng minh tổng lập phương ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho ĐÁP ÁN ĐIỂM a) (1,5 điểm) Đặt B  n  n  n  n  1 0,5 đ  n  n  1  n      n    n  1 n  n  1  n     n  1 n  n  1 Chỉ B �0 B M30, với số tự nhiên n Do đó, B có chữ số tận Vậy A có chữ số tận khơng số phương b) (1,5 điểm) Ta chứng minh C  n3   n  1   n   , với  n �� 1,0 đ 3 Thật vậy, ta có C   n  3n  5n  3 0,5 đ Đặt D  n3  3n  5n   n  n  3n     3n  3  n  n  1  n     n  1 1,0 đ Chỉ D M3, C M9 Câu (4,0 điểm) a) Cho x số thực thỏa mãn:  x �10 x  10  x  a Tính giá trị biểu thức: B   10 x  x theo a x 5 1 b 1 a , y  Hãy so sánh số x y b) Cho a  b  x   a  a2  b  b2 ĐÁP ÁN ĐIỂM a) (2,0 điểm) x  10  x  x  10  x  Ta có B    Mặt khác     x  5 x  10  x  x  5 x  10  x x  10  x x  10  x x  10  x Vì  x �10 nên Vậy B           x  5   x  10  x x  10  x (do   x  10  x �0,  x �10 )  20 nên  x  10  x x  10  x  20  a  1,0 đ  20  a 1,0 đ 20  a b) (2,0 điểm) 1 a2 b2 1  1 1   Ta có x y 1 a 1 b  1  a2 a b2 b 1 1 1 1 Vì a  b  nên   Do    a b a b a a b b 1 Vậy  , x  y x y 1,0 đ 1,0 đ Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: x2  x  x2  a)  2 x 1 2x 1 b) x   x    x  1  x  x     3x ĐÁP ÁN ĐIỂM a) (2,0 điểm) Với x �1, x � phương trình cho tương đương với 2 1,0 đ �x  x  � �x  �  1� �  1� � � x 1 � �2 x  � x2  x  x2  x  �  0 x 1 2x  1 � �1 �  x  x  3 �  � �x  x  � � 3x  � �  x  1  x  3 � � x  x      � � � � x  1 � �� x3 � x � � Đối chiếu với điều kiện, ta tìm nghiệm phương trình x  1, x  3, x  b) (2,0 điểm) Ta có x  x    x  1   0, x nên điều kiện để phương trình có nghĩa x �1  1 Với x �1, ta có  3x     x  �2 Đẳng thức xảy x  1,0 đ 1,0 đ Mặt khác với x �1, ta có x 1  x    x  1  x  x   Đẳng thức xảy x  Vậy phương trình có nghiệm x  �2  2 1,0 đ Câu (7,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a Trên đường chéo BD lấy điểm M tuỳ ý ( M khác B, D ), gọi H I theo thứ tự hình chiếu vng góc M cạnh AB AD a) Chứng minh ba đường thẳng BI , DH CM đồng quy điểm a b) Tính diện tích tam giác CIH trường hợp BM  c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AIMH đạt giá trị lớn nhất? B H A K C M I D ĐÁP ÁN a) (2,5 điểm) � Do IB  CH Chứng minh ABI  BCH  c.g c  nên � ABI  BCH Chứng minh tương tự ta có HD  CI Gọi K giao điểm IM BC �  IHM � Do CM  IH Chứng minh KCM  MIH  c.g c  nên CMK Như BI , DH CM đường cao tam giác CIH , chúng đồng quy điểm a 3a a nên BH  AI  AH  DI  4 Gọi S , S1 , S2 , S2 , S diện tích phải tìm, diện tích hình vng ABCD diện tích tam giác AIH , BCH , DCI ĐIỂM 1,0 đ 1,0 đ 0,5 đ b) (2,5 điểm) Vì BM  1,5 đ S  S1   S  S3  S4  Vì AIH , BCH , DCI tam giác vuông nên 1 S2  S3  S4  AH AI  BC.BH  DC DI 2 �3a a a 3a � 19a  �  a  a � �4 4 � 32 Vậy S  a  1,0 đ 19a 13a (đvdt)  32 32 c) (2,0 điểm) Vì AIMH hình chữ nhật nên diện tích S /  AH AI Ta có AH AI �  AH  AI  a2 / Mặt khác AH  AI  a nên S � a Đẳng thức xảy AH  AI  , tức M trung điểm BD Vậy M trung điểm BD 1,0 đ 1,0 đ Câu (2,0 điểm) Cho a, b số thực không âm thoả mãn: a  b  Chứng minh  2a  40  9b2 �5 11 ĐÁP ÁN ĐIỂM Bằng cách biến đổi tương đương ta chứng minh A2 B  A  B   � ,  x, y   *  x y x y A B  Đẳng thức xảy x y Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 32 4a   2a  �  2a � 3  2a    1  2a   � 11 11 2 40 36b  40  6b  Tương tự 40  9b   � 40 44  40  6b    nên 40  9b � 11  6a  40  6b 2  11 Từ (1) (2) suy ra:  2a  40  9b � 11 Đẳng thức xảy a  , b  3 1,0 đ 1,0 đ HẾT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Môn Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao, nhận đề) Đề thi có 01 trang - Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng: A  n5  n  khơng số phương, với số tự nhiên n b) Chứng minh tổng lập phương ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho Câu (4,0 điểm) a) Cho x số thực thỏa mãn:  x �10 x  10  x  a Tính giá trị biểu thức: B   10 x  x theo a x5 1 a 1 b , y Hãy so sánh số x y b) Cho a  b  x  1 a  a  b  b2 Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: x2  x  x2  a)  2 x 1 2x  b) x   x    x  1  x  x     3x Câu (7,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a Trên đường chéo BD lấy điểm M tuỳ ý ( M khác B, D ), gọi H I theo thứ tự hình chiếu vng góc M cạnh AB AD a) Chứng minh ba đường thẳng BI , DH CM đồng quy điểm a b) Tính diện tích tam giác CIH trường hợp BM  c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AIMH đạt giá trị lớn nhất? Câu (2,0 điểm) Cho a, b số thực không âm thoả mãn: a  b  Chứng minh  2a  40  9b �5 11 Hết Họ tên thí sinh: SBD: Ghi chú: Cán coi thi khơng giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM THI MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm thi gồm trang) I Một số ý chấm  Hướng dẫn chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp logic chia nhỏ đến 0,25 điểm  Thí sinh làm cách khác với Hướng dẫn chấm mà tổ chấm cần thống cho điểm tương ứng với biểu điểm Hướng dẫn chấm  Điểm thi tổng điểm thành phần khơng làm tròn số II Đáp án biểu điểm Câu (3,0 điểm) a) Chứng minh rằng: A  n5  n  không số phương, với số tự nhiên n b) Chứng minh tổng lập phương ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho ĐÁP ÁN ĐIỂM a) (1,5 điểm) Đặt B  n  n  n  n  1 0,5 đ  n  n  1  n      n    n  1 n  n  1  n     n  1 n  n  1 Chỉ B �0 B M30, với số tự nhiên n Do đó, B có chữ số tận Vậy A có chữ số tận khơng số phương b) (1,5 điểm) Ta chứng minh C  n3   n  1   n   , với  n �� 1,0 đ 3 Thật vậy, ta có C   n  3n  5n  3 0,5 đ Đặt D  n3  3n  5n   n  n  3n     3n  3  n  n  1  n     n  1 1,0 đ Chỉ D M3, C M9 Câu (4,0 điểm) a) Cho x số thực thỏa mãn:  x �10 x  10  x  a Tính giá trị biểu thức: B   10 x  x theo a x 5 1 a 1 b , y Hãy so sánh số x y b) Cho a  b  x  1 a  a  b  b2 ĐÁP ÁN ĐIỂM 1,0 đ a) (2,0 điểm) x  10  x  x  10  x  Ta có B    Mặt khác     x  5 x  10  x  x  5 x  10  x x  10  x x  10  x x  10  x Vì  x �10 nên Vậy B           x  5   x  10  x x  10  x (do   x  10  x �0,  x �10 )  20 nên  x  10  x x  10  x  20  a   20  a 1,0 đ 20  a b) (2,0 điểm) 1 a2 b2 1  1 1   Ta có x y 1 a 1 b  1  a2 a b2 b 1 1 1 1 Vì a  b  nên   Do    a b a b a a b b 1 Vậy  , x  y x y 1,0 đ 1,0 đ Câu (4,0 điểm) Giải phương trình sau: x2  x  x2  a)  2 x 1 2x 1 b) x   x    x  1  x  x     3x ĐÁP ÁN ĐIỂM a) (2,0 điểm) Với x �1, x � phương trình cho tương đương với 2 �x  x  � �x  �  1� �  1� � � x 1 � �2 x  � x2  x  x2  x  �  0 x 1 2x  1 � �1 �  x  x  3 �  � �x  x  � 1,0 đ � 3x  � �  x  1  x  3 � � x  x      � � � � x  1 � �� x3 � x � � Đối chiếu với điều kiện, ta tìm nghiệm phương trình x  1, x  3, x  1,0 đ b) (2,0 điểm) Ta có x  x    x  1   0, x nên điều kiện để phương trình có nghĩa x �1  1 Với x �1, ta có  3x     x  �2 Đẳng thức xảy x  1,0 đ Mặt khác với x �1, ta có  x  1  x  x   x 1  x   �2  2 1,0 đ Đẳng thức xảy x  Vậy phương trình có nghiệm x  Câu (7,0 điểm) Cho hình vng ABCD có cạnh a Trên đường chéo BD lấy điểm M tuỳ ý ( M khác B, D ), gọi H I theo thứ tự hình chiếu vng góc M cạnh AB AD a) Chứng minh ba đường thẳng BI , DH CM đồng quy điểm a b) Tính diện tích tam giác CIH trường hợp BM  c) Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AIMH đạt giá trị lớn nhất? B H A C K M D I ĐÁP ÁN ĐIỂM a) (2,5 điểm) � Do IB  CH Chứng minh ABI  BCH  c.g c  nên � ABI  BCH Chứng minh tương tự ta có HD  CI Gọi K giao điểm IM BC �  IHM � Do CM  IH Chứng minh KCM  MIH  c.g c  nên CMK Như BI , DH CM đường cao tam giác CIH , chúng đồng quy điểm 3a a a nên BH  AI  AH  DI  4 Gọi S , S1 , S2 , S2 , S diện tích phải tìm, diện tích hình vng ABCD diện tích tam giác AIH , BCH , DCI 1,0 đ 1,0 đ 0,5 đ b) (2,5 điểm) Vì BM  1,5 đ S  S1   S  S3  S4  Vì AIH , BCH , DCI tam giác vuông nên 1 S2  S3  S4  AH AI  BC.BH  DC DI 2 �3a a a 3a � 19a  �  a  a � �4 4 � 32 Vậy S  a  1,0 đ 19a 13a (đvdt)  32 32 c) (2,0 điểm) Vì AIMH hình chữ nhật nên diện tích S /  AH AI Ta có AH AI �  AH  AI  a2 / Mặt khác AH  AI  a nên S � a Đẳng thức xảy AH  AI  , tức M trung điểm BD Vậy M trung điểm BD 1,0 đ 1,0 đ Câu (2,0 điểm) Cho a, b số thực không âm thoả mãn: a  b  Chứng minh  2a  40  9b2 �5 11 ĐÁP ÁN Bằng cách biến đổi tương đương ta chứng minh A2 B  A  B   � ,  x, y   *  x y x y A B  Đẳng thức xảy x y Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 10 ĐIỂM 1,0 đ 32 4a   2a  �  2a � 3  2a    1  2a   � 11 11 2 40 36b  40  6b  Tương tự 40  9b   � 40 44  40  6b    nên 40  9b � 11  6a  40  6b 2  11 Từ (1) (2) suy ra:  2a  40  9b � 11 Đẳng thức xảy a  , b  3 2 HẾT 11 1,0 đ ...HƯỚNG DẪN CHẤM THI MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm thi gồm trang) I Một số ý chấm  Hướng dẫn chấm thi dựa vào lời giải sơ lược cách, chấm thi giám khảo cần bám sát yêu... 2a  40  9b �5 11 Hết Họ tên thí sinh: SBD: Ghi chú: Cán coi thi không giải thích thêm HƯỚNG DẪN CHẤM THI MƠN TỐN (Hướng dẫn chấm thi gồm trang)... đ HẾT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP THCS Mơn Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao, nhận đề) Đề thi có 01 trang - Câu