c5 het

Chương BÀI TỐN KHƠNG GIAN 5.1 Sơ đồ tính Phần tử tứ diện Trong phần giới thiệu quan hệ công thức sử dụng phương pháp PTHH để giải tốn khơng gian Lý thuyết đàn hồi dựa hiểu biết đề cập phần trước Đối tượng tốn vật thể hình khối, trường ứng suất, biến dạng chuyển vị biểu diễn hàm ba biến x, Vật thể khối đàn hồi liên tục (dầm lớn, ống vỏ dày, móng, thân máy ) rời rạc hóa thành tập hợp phần tử hình khối (phần tử ba chiều) Các phần tử liên kết với nút khớp không gian Khi theo phương khơng có chuyển vị người ta gắn theo phương gối khớp khơng gian Có nhiều loại phần tử khác nhau, với số nút bậc tự khác Hai loại phần tử thường hay dùng phần tử tứ diện có điểm nút phần tử lục diện có điểm nút (hình 5.1) Ngồi sử dụng phần tử bậc cao phần tử đẳng tham số có hiệu giải tốn loại So với tốn phẳng tốn khơng gian có khối lượng tính tốn lớn nhiều Nếu chọn hàm xấp xỉ chuyển vị có dạng giống tốn phẳng số nút tăng lên dẫn đến số bậc tự tăng bề rộng dải ma trận độ cứng tăng Thí dụ, Nếu tốn phẳng lấy mạng lưới 10 x10 có 100 nút, số phương trình 200 bề rộng dải 20, tốn khơng gian tương đương, với mạng lưới 10 x 10 x10, số nút 1000, số phương trình 3000 bề rộng dải 300 Nếu lấy mạng lưới 30 x30 tốn phẳng số phương trình 1800, bề rộng dải 60, tốn khơng gian 81000 phương trình, bề rộng dải 2700 Nghĩa khối lượng tính tốn tăng lên nhiều Vì chọn dạng phần tử hợp lý tồn khơng gian quan trọng Sau giới thiệu cách sử dụng phần tử tứ diện tuyến tính phần tử đẳng tham số Hình 5.1 Ta xét phần tử tứ diện có nút i, j, m, p (hình 5.2) Vectơ chuyển vị nút có dạng {δ } = ui vi wi uj vj wj um vm wm up vp wp  T (5.1) Vectơ tải phần tử có dạng {P} e = U i Vi Wi U j V j W j U m Vm Wm U p V p W p  T (5.2) Để tìm ứng suất sau xác định chuyển vị nút ta sử dụng quan hệ: {σ } = [ D ][ B ]{δ } = [ S ]{δ } vectơ ứng suất gồm thành phần: {σ } = σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx  T 5.2 Hàm chuyển vị Hình 5.2 Đặt phần tử tứ diện ijmp hệ tọa độ không gian xyz Trạng thái chuyển vị điểm phần tử xác định thành phần chuyển vị u, v, w tương ứng với phương x,y,z Ta có u { f } =  v  w    (5.3) Ta biết vị trí tứ diện phụ thuộc hồn tồn vào vị trí điểm nút, tức phụ thuộc vào 12 thành phần chuyển vị nút Do giả thiết hàm chuyển vị có dạng sau đây: u = α1 + α x + α y + α z v = α5 + α x + α7 y + α8 z (5.4) w = α + α10 x + α11 y + α12 z Tại nút i, j, m, p ta có PPPTHH 115 ui = α1 + α xi + α yi + α zi u j = α1 + α x j + α y j + α z j um = α1 + α xm + α ym + α zm (5.5) u p = α1 + α x p + α y p + α z p Giải hệ phương trình α1 , α , α , α , sau thay lại vào (5.4) ta biểu thức liên hệ chuyển vị u chuyển vị nút: (ai + bi x + ci y + d i z )ui − (a j + b j x + c j y + d j z )u j 6V  + (am + bm x + cm y + d m z )um − (a p + bp x + c p y + d p z )u p  u= đó: (5.6) V thể tích tứ diện ijmp: V= xi yi zi 1 xj xm xp yj ym yp zj zm zp (5.7) Còn hệ số , bi , , d p là: xj yj zj = xm xp ym yp zm zp yj zj bi = − ym yp zm zp xj zj ci = − xm zm xp z p xj yj d i = − xm ym xp yp (5.8) (i , j , m , p ) Để cho thể tích V tứ diện khơng mang giá trị âm số hiệu nút i, j,m,p phải xác định theo qui tắc vặn nút chai: i,j,m quay theo chiều i → j → m p hướng lên Bằng cách tương tự ta biểu thức chuyển vị lại: (ai + bi x + ci y + di z )vi − (a j + b j x + c j y + d j z )v j 6V  + (am + bm x + cm y + d m z )vm − (a p + bp x + c p y + d p z )v p  (5.9) (ai + bi x + ci y + di z ) wi − (a j + b j x + c j y + d j z ) w j 6V  + (am + bm x + cm y + d m z ) wm − (a p + bp x + c p y + d p z ) wp  (5.10) v= w= Thay (5.6),(5.9) (5.10) vào (5.3) vectơ chuyển vị { f } = [ ]{δ } =  I đó: i I j I m I p  {δ } I ma trận đơn vị cấp 3x3, i = (ai + bi x + ci y + di z ) / 6V j = (a j + b j x + c j y + d j z ) / 6V m = (am + bm x + cm y + d m z ) / 6V p = (a p + bp x + c p y + d p z ) / 6V (5.11) Dễ dàng thấy rằng, hàm chuyển vị tuyến tính, mặt biên chung hai phần tử lân cận liền nhau, tức đảm bảo điều kiện liên tục 5.3 Biến dạng ứng suất Ma trận đàn hồi Theo lý thuyết biến dạng tuyến tính ta có vectơ biến dạng gồm thành phần:  ∂u   ∂x     ∂v   ε x   ∂y   ε    y   ∂w   ε   ∂z  {ε } =  z  =  ∂u ∂v  γ xy   +  γ yz   ∂y ∂x      γ zx   ∂v + ∂w   ∂z ∂y     ∂w + ∂u   ∂x ∂z  (5.12) Thay (5.6), (5.9), (5.10) vào biểu thức ta có PPPTHH 117 {ε } = [ B ]{δ } =  Bi − Bj Bm − B p  {δ } (5.13) đó: ∂ i  ∂x       [ Bi ] =  ∂  i  ∂y     ∂ i  ∂z ∂ i ∂y ∂ i ∂x ∂ i ∂z       bi  0 ∂ i  0 ∂z   =  6V  ci   0   ∂ i  di ∂y   ∂ i ∂x  ci bi di 0  di   0 ci   bi  ( i , j , m, p ) (5.14) Ta thấy thành phần [ B ] số, nên biến dạng phần tử số Ứng suất phần tử biểu diễn qua chuyển vị nút: {σ } = [ S ]{δ } đó: [ S ] =  Si −Sj S m − S p  với  bi  Ab  1i  A1bi E (1 −ν ) [ Si ] =  6(1 + ν )(1 − 2ν )V  A2ci    A2 d i A1 = ν −ν , A2 = A1ci ci A1ci A2bi A2 d i A1d i  A1d i  di    A2ci   A2bi  − 2ν 2(1 −ν ) Rõ ràng ứng suất phần tử số (i , j , m , p ) (5.15) (5.16) Ma trận đàn hồi vật liệu đẳng hướng có dạng:  1      E (1 −ν )  [ D] = (1 + ν )(1 − 2ν )         ν ν (1 −ν ) (1 −ν ) 0 0 0 − 2ν 2(1 −ν ) ν (1 −ν ) ®èi xøng − 2ν 2(1 −ν )               − 2ν  2(1 −ν )  (5.17) 5.4 Ma trận độ cứng Trước ta thành lập biểu thức tổng quát ma trận độ cứng phần tử: [ k ] = ∫ [ B ] [ D ][ B ] dV T V Vì thành phần [ B ] số nên ta có [ k ] = [ B ] [ D ][ B ]V T (5.18) Cũng viết  kii  −k [ k ] =  k ji mi  − k  pi − kij kim k jj − kmj k pj − k jm kmm − k pm − kip  k jp  − kmp   k pp  (5.19) Các thành phần krs (r = i, j , m, p ; r = i, j , m, p ) ma trận tính sau: Ab Ab brbs + A2 (cr cs + dr ds )  r cs + A2cr bs r ds + A2dr bs E(1−ν )   Ac cr cs + A2 (brbs + dr ds ) Ac [ krs ] = r bs + A2br cs r ds + A2dr cs  36(1+ν )(1− 2ν )V   Ad  b + A b d Ad c + A c d d d + A ( b b + c c ) r s r s r s r s r s r s r s  (5.20) 5.5 Dời tải trọng nút PPPTHH 119 Việc dời tải trọng tác dụng phần tử bốn nút dựa ngun lý cơng ảo, nhiên việc tính tốn tương đối phức tạp, giới thiệu kết số trường hợp * Lực thể tích có mật độ p: X  { p} =  Y  Z    Các lực nút tương đương {P} e = ∫[ T ] { p} dV (5.21) V Các thành phần Pi = ∫ i { p} dV (5.22) V Thí dụ, trọng lượng thân phần tử γ V , γ trọng lượng riêng, phân lên nút: T 1 1 0 0 0  (5.23) {P} = −γ V 0 4 4  * Tải trọng phân bố bậc lên mặt bên tứ diện vng góc với mặt đó, thí dụ áp lực thủy tĩnh tác dụng lên mặt ijm e Gọi mật độ phân bố nút i, j, m qi , q j , qm lực nút tương đương theo phương vng góc với mặt ijm 1 1  Pi =  qi + q j + qm  ∆ijm 6 2  1 1  Pj =  q j + qi + qm  ∆ ijm 6 2  (5.24) 1 1  Pm =  qm + qi + q j  ∆ ijm 6 2  đó: ∆ ijm diện tích mặt ijm 5.6 Ứng suất nhiệt Cũng giống toán phẳng, ta sử dụng quan hệ vật lý {σ } = [ D ] ({ε } − {ε o }) đó: α T  α T    α T  {ε o } =   = α T         1  1    1    0  0    0  (5.25) Từ ta có {σ } = [ D ][ B ]{δ } − [ D ]{ε o } = [ S ]{δ } − [ D ]{ε o } (5.26) Ma trận [ S ] tính theo cơng thức (5.15) Lực nút tương đương {P} = [ k ]{δ } − [ B ] [ D ]{ε o }V e T (5.27) Số hạng thứ hai vế phải {R} = [ B ] [ D ]{ε o }V e T biểu thị lực nút tương đương ảnh hưởng thay đổi nhiệt Thay [ B ] (5.14), [ D ] (5.17) {ε o } (5.25) vào biểu thức ta {R} e đó:  Xi  Y   i   Zi    X j   Yj    Eα (Ti + T j + Tm + Tp ) Eα T Zj  = = = 24(1 − 2ν )  X m  6(1 − 2ν )  Ym     Zm  X p     Yp  Z   p   bi   c   i   di     −b j   −c j     −d j     bm   cm     dm   −b p     −c p  −d   p  (5.28) Ti , T j , Tm , Tp thay đổi nhiệt độ nút, lấy giá trị trung bình chúng T thay cho độ thay đổi nhiệt độ phần tử 5.7 Về cách chia phân tử PPPTHH 121 a) b) Hình 5.3 Giả sử ta xét tường chắn hình 5.3a Nếu dùng mặt cắt song song với mặt phẳng tọa độ để chia kết cấu thành phần tử rời rạc, ta hai loại phần tử: phần tử lăng trụ tứ giác gồm điểm nút loại phần tử lăng trụ tam giác gồm điểm nút Lại dùng mặt cắt chéo để chia phần tử lăng trụ tứ giác thành hai phần tử lăng trụ tam giác Có thể đưa hai loại phần tử loại phần tử tứ diện cách dùng số mặt cắt chéo Thí dụ, lăng trụ tam giác hình 5.3b phân thành hình tứ diện: ABCD, EBFD FBCD Như ta sử dụng tất cơng thức trình bày Tuy nhiên cách chia vật thể khối thành phần tử tứ diện thường làm cho mạng lưới dễ bị rối, việc đánh số nút dễ bị lầm lẫn Trong nhiều trường hợp, thuận tiện Nếu ta chia vật thể thành khối có dạng hộp (hình 5.4) có mặt với điểm nút Hình 5.4 Phần tử loại có tất 24 bậc tự do, tức lấy 24 thơng số chưa biết biểu thức biểu diễn qui luật gần chuyển vị Nhờ đó, trạng thái ứng suất biến dạng phần tử miêu tả xác Chẳng hạn, giả thiết thành phần chuyển vị biểu diễn gần đa thức: u = α1 + α x + α y + α z + α xy + α yz + α zx + α x v = α + α10 x + α11 y + α12 z + α13 xy + α14 yz + α15 zx + α16 y w = α17 + α18 x + α19 y + α 20 z + α 21 xy + α 22 yz + α 23 zx + α 24 z (5.29) Cách thiết lập ma trận độ cứng tương tự phần tử tứ diện, khơng trình bày lại Ta xem thí dụ đơn giản tốn khơng gian vẽ hình 5.5 Đó tốn Boussinesq quen thuộc nửa không gian đàn hồi chịu lực tập trung theo phương thẳng đứng Nửa không gian thay hình hộp mặt Do tính đối xứng hình vẽ thể góc phần tư Vùng gần điểm đặt lực tập trung, phần tử khối lấy kích thước nhỏ Điều kiện biên lấy sau: u = v = w = mặt ABCD tức vùng đủ xa điểm đặt lực; u = mặt AEHD v = mặt AEFB lý đối xứng Các biên khác tự Hình 5.5 5.8 Khái niệm phần tử đẳng tham số Ta phần tử tứ giác phẳng có hình dạng để tìm hiểu số khái niệm phần tử đẳng tham số (nhưng mục đích để dùng vào phần tử đẳng tham số tốn khơng gian) Như nói, tốn phẳng, loại phần tử có điểm nút dùng nhiều nhất, sau phần tử chữ nhật có điểm nút Đối với phần tử chữ nhật mơ hình chuyển vị hàm bậc hai tọa độ nên ứng suất phần tử số mà thay đổi tuyến tính, phản ánh tốt tình hình phân bố ứng suất so với phần tử tam giác Nhưng phần tử chữ nhật khơng thích hợp với vật thể có biên cong biên khơng trực giao kích thước phần tử khơng dễ tùy ý thay đổi Nếu ta sử dụng loại phần tử tứ giác hình 5.6 mà dùng mơ hình chuyển vị phần tử chữ nhật biên chung hai phần tử lân cận chuyển vị thay đổi tuyến tính nữa, tính liên tục chuyển vị biên chung không bảo đảm Sử dụng phương pháp biến đổi tọa độ ta giải mâu thuẫn PPPTHH 123 E (1 −ν )  ν  εy  εx + (1 + ν )(1 − 2ν )  −ν  E (1 −ν )  ν  σy = εx  ε y + (1 + ν )(1 − 2ν )  −ν  E τ xy = γ xy 2(1 + ν ) σx = (19) Viết dạng ma trận:   σ x   E (1 −ν )  ν   σ y  =  τ  (1 + ν )(1 − 2ν ) 1 −ν  xy    ma trận đàn hồi ν −ν    εx      ε y   γ  − 2ν   xy  2(1 −ν )  (20)   ν   1 −ν   E (1 −ν )  ν  (21) [ D] =  (1 + ν )(1 − 2ν ) −ν   − 2ν   0  2(1 −ν )  Tóm lại hai loại tốn phẳng, phương trình hình học (17) nhau, phương trình vật lý có dạng với tốn ứng suất phẳng [ D ] lấy theo (16), với toán biến dạng phẳng [ D ] lấy theo (21) Cần ý rằng, N ếu công thức (16) thay E E ν thay ν cơng −ν −ν thức (21) BÀI TOÁ ĐỐI XỨ G TRỤC N ếu vật thể có hình dáng, điều kiện liên kết tải trọng đối xứng qua trục (tức tất mặt qua trục mặt đối xứng) tất ứng suất, biến dạng, chuyển vị vật thể đối xứng qua trục Bài tốn gọi tốn đối xứng trục Để biểu diễn ứng suất biến dạng toán đối xứng trục, người ta dùng hệ tọa độ trụ gồm tọa độ r , θ , z (hình 5) Vì z trục đối xứng nên thành phần ứng suất, biến dạng, chuyển vị hàm hai biến r z, mà khơng phụ thuộc θ PPPTHH 183 Hình Từ vật thể đàn hồi tách phân tố sáu mặt có kích thước hình vẽ Trên mặt bên có ứng suất pháp σ r theo phương hướng kính r, σ θ theo phương vòng quanh θ σ z theo phương trục z Do tính đối xứng vật thể tải trọng nên ứng suất tiếp τ rθ ,τ θ r ,τ θ z ,τ zθ khơng, lại τ zr = τ rz Vectơ ứng suất trường hợp có dạng: {σ } σ r  σ    =  θ σ z  τ zr  (22) Tương ứng với thành phần ứng suất thành phần biến dạng: biến dạng đường ε r , ε θ , ε z biến dạng góc γ zr Các biến dạng lại γ rθ , γ θ z khơng tính đối xứng Vectơ biến dạng {ε }  εr  ε    =  θ εz  γ zr  (23) Chuyển vị điểm vật thể phân tích thành thành phần: chuyển vị theo phương hướng kính u chuyển vị theo phương z w Phương trình hình học có dạng: 184 PPPTHH ∂u u , εθ = , ∂r r ∂w ∂u + γ zr = ∂r ∂z εr = εz = ∂w ∂z Viết dạng ma trận:  ∂u   ∂r     u   r  {ε } =    ∂w   ∂z   ∂w ∂u   +   ∂r ∂z  (24) Phương trình định luật Hooke [σ r −ν (σ θ + σ z )] E ε θ = [σ θ −ν (σ z + σ r ) ] E ε z = [σ z −ν (σ r + σ θ )] E 2(1 +ν ) γ zr = τ zr E Có thể biểu diễn ứng suất qua biến dạng: ν   1 −ν  σ r  ν  σ  E (1 −ν ) 1 −ν  θ   = ν σ z  (1 + ν )(1 − 2ν )  ν  −ν −ν τ zr    0  εr = ν −ν ν −ν    ε  r     εθ    ε  z   γ zr  − 2ν   2(1 −ν )  (25) Ta viết: {σ } = [ D ]{ε } ma trận đàn hồi: PPPTHH 185     ν E (1 −ν ) 1 −ν [ D] =  (1 + ν )(1 − 2ν )  ν  −ν    ν ν −ν −ν ν −ν ν −ν         − 2ν   2(1 −ν )  (26) BÀI TOÁ UỐ TẤM MỎ G Khi mỏng chịu tác dụng ngoại lực vng góc với mặt (cũng tức vng góc với mặt trung bình tấm) bị uốn xoắn Mặt trung bình biến dạng thành mặt võng đàn hồi Trên hình mỏng chịu uốn Chọn hệ tọa độ có mặt xy mặt trung bình, trục z vng góc với mặt trung bình Để phân tích toán người ta thường đưa giả thiết sau đây: (1) Phần tử thẳng vng góc với mặt trung bình sau bị uốn thẳng vng góc với mặt trung bình (2) Các mặt song song với mặt trung bình khơng ép đNy (3) Các điểm mặt trung bình khơng có chuyển vị mặt phẳng Hình Từ giả thiết (2) ta có ε z = , suy ∂w = , từ ta có độ võng hàm x ∂z y, w = w( x, y ) Từ giả thiết (1) ta có γ yz = , γ zx = , phương trình hình học trở thành: ∂w ∂v + =0 , ∂y ∂z Từ ta có 186 PPPTHH ∂u ∂w + =0 ∂z ∂x (27) ∂v ∂w =− , ∂z ∂y ∂u ∂w =− ∂z ∂x Tích phân z ta ∂w v = −z + f1 ( x, y ) ∂y ∂w u = −z + f ( x, y ) ∂x Từ giả thiết (3) ta có (28) ( u ) z =0 = , ( v ) z =0 = Thay vào (28) ta ∂w u = −z , ∂x v = −z ∂w ∂y Từ ta biểu diễn biến dạng qua chuyển vị: ∂u ∂2w = −z εx = ∂x ∂x ∂v ∂2w ε y = = −z ∂y ∂y γ xy = (29) ∂u ∂v ∂2w + = −2 z ∂y ∂x ∂x∂y Trong giả thiết biến dạng nhỏ − ∂2w ∂2w − biểu diễn độ cong mặt ∂x ∂y ∂2w biểu thị độ xoắn, chúng gọi thành phần biến dạng ∂x∂y mỏng, hợp thành vectơ biến dạng: tấm, −  ∂2w   −   ∂x   ∂ w  χ = { } −   ∂y   ∂2w  −2   ∂x∂y  (30) Theo (29) ta có quan hệ biến dạng biến dạng điểm (các thớ) sau: {ε } = z {χ } (31) PPPTHH 187 Vì giả thiết bỏ qua ứng suất pháp σ z , ứng suất tiếp τ xz ,τ yz thường nhỏ bỏ qua, nên ứng suất mặt cắt ngang lại là: E (ε x +νε y ) −ν E σy = (ε y +νε x ) −ν E τ xy = γ xy 2(1 + ν ) σx = Để ý tới (29) ta có σx = −  ∂2w E ∂2w  + z ν   −ν  ∂x ∂y   ∂2w E ∂2w  + ν z   −ν  ∂y ∂x  E ∂2w =− z + ν ∂x∂y σy = − τ xy (32) Để xác định nội lực ta tách phân tố có bề dày t cạnh theo phương x phương y có độ dài đơn vị (hình 7) Từ hình vẽ ta thấy: Hình Mơ men uốn đơn vị bề rộng mặt cắt vng góc với trục x t M x = ∫ 2t zσ z dz − hay để ý đến (30) ta có 188 PPPTHH Mx = − Et  ∂ w ∂2w  + ν   12(1 −ν )  ∂x ∂y  (33) Mô men xoắn mặt cắt này: t t − M xy = ∫ Et ∂2w z τ xy dz = − 12(1 + ν ) ∂x∂y (34) Tương tự ta có mặt cắt vng góc với trục y: My = − M yx Et  ∂ w ∂2w  + ν   12(1 −ν )  ∂y ∂x  (35) Et ∂2w =− = M xy 12(1 + ν ) ∂x∂y Để ý đến (3) ta có σx = 12 M x z, t3 σy = 12 M y t z, τ xy = 12 M xy t3 z (36) N ếu ký hiệu vectơ nội lực đơn vị  Mx    {M } =  M y  M   xy  (37) ta có quan hệ ứng suất nội lực: {σ } = 12 z {M } t3 (38) Từ (33),(34),(35) ta viết  ∂2w ∂2w  ν − −   ∂y   ∂x Et  ∂ w ∂ w  − {M } =  −ν  12(1 −ν )  ∂x ∂y   ∂2w   −(1 −ν )  ∂x∂y   hay viết dạng ma trận: PPPTHH 189  ∂2w    −  ∂x  1 ν     ∂ w  Et ν {M } =   − ∂y  12(1 −ν )   −ν    0   ∂ w    −2   ∂x∂y  (39) Biểu thức biểu diễn quan hệ nội lực biến dạng, viết gọn thành: {M } = [ D ] { χ } (40)   1 ν    Et ν  [ D] =  12(1 −ν )  −ν  0    (41) đó: ma trận đàn hồi chịu uốn 190 PPPTHH TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] O.C.ZIEN KIEVICZ and R.L.TAYLOR The Finite Element Method, Volum1,2, 4th Edition, Mac Graw Hill, London, 1991 [2] R.H GALLAGHER Finite Element Analysis, Prentice Hall, 1973 [3] S TIMOSHEN KO, S WOJN OWSKY KRIEGER Theory of Plates and Shells, 2th Edition, Mac Graw Hill, 1969 [4] K.J.BATHE, E.L.WILSON N umerical Methods in Finite Element Analysis, Prentice Hall, 1976 [5] J.F IMBERT Analyse des structures par éléménts finis Cepadues édition, 1979 [6] JEAN -CHARLES CRAVEUR Modélisation des structures, Calcul par élémént finis avec problèmes corrigés, Masson, Paris, 1979 [7] MIODRAG SEKULOWIC Metod konacnih elemenata, Iro Gnadevinska knjiga, Beograd, 1998 PPPTHH 191 192 PPPTHH MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Chương KHÁI N IỆM CHUN G VỀ PHƯƠN G PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN 1.1 Mơ hình rời rạc hóa kết cấu 1.2 Hàm chuyển vị Hàm dạng 1.2.1 Đa thức xấp xỉ Hàm chuyển vị 1.2.2 Biểu diễn hàm chuyển vị qua chuyển vị nút Hàm dạng 1.2.3 Lực nút 1.3 Phương trình phương pháp PTHH 1.3.1 Các quan hệ chuyển vị, biến dạng, ứng suất phần tử 1.3.2 Phương trình phương pháp phần tử hữu hạn 1.3.3 Ma trận độ cứng phần tử Vectơ tải phần tử 1.4 Trình tự tính kết cấu theo phương pháp phần tử hữu hạn 10 11 12 13 15 Chương TÍN H HỆ THAN H 16 2.1 Phần tử hữu hạn hệ 2.1.1 Phần tử chịu kéo (nén) dọc trục 2.1.2 Phần tử chịu uốn 2.1.3 Phần tử chịu xoắn túy 2.1.4 Phần tử giàn phẳng 2.1.5 Phần tử khung phẳng 2.1.6 Phần tử không gian 2.2 Biến đổi tọa độ 2.3 Ma trận độ cứng tổng thể vectơ tải tổng thể 2.3.1 Phương pháp thiết lập ma trận độ cứng tổng thể vectơ tải tổng thể 2.3.2 Tính chất ma trận độ cứng tổng thể 2.4 Thành lập phương trình Tính chuyển vị nút 2.4.1 Sắp xếp lại phương trình cân Áp đặt điều kiện biên 2.4.2 Tính chuyển vị nút 2.5 Xác định nội lực phần tử hữu hạn 2.5.1 N ội lực phần tử chịu kéo (nén) 2.5.2 N ội lực phần tử chịu uốn ngang phẳng PPPTHH 20 25 27 29 31 35 39 41 43 48 49 52 193 2.5.3 N ội lực phần tử giàn phẳng 2.5.4 N ội lực phần tử khung phẳng 2.6 Một số trường hợp cần ý 2.6.1 Trường hợp có chuyển vị cưỡng 2.6.2 Trường hợp có gối đàn hồi 2.6.3 Trường hợp có gối xiên 2.7 Dầm đàn hồi 2.7.1 Phần tử hữu hạn dầm đần hồi 2.7.2 Hàm chuyển vị 2.7.3 Ma trận độ cứng phần tử 56 57 59 62 65 67 68 69 Chương BÀI TOÁN PHẲN G CỦA LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI 73 3.1 Khái niệm chung 3.2 Phần tử hình tam giác Hàm xấp xỉ chuyển vị 3.3 Biến dạng ứng suất Ma trận đàn hồi 3.4 Ma trận độ cứng 3.5 Dời tải trọng nút Lực nút tương đương 3.6 Ma trận độ cứng kết cấu Hệ phương trình cân 3.7 Trình tự giải toán phẳng phương pháp phần tử hữu hạn 3.8 Vấn đề chia phần tử 3.9 Tính ứng suất nhiệt 3.10 Sử dụng phần tử hình chữ nhật 3.11 Tọa độ diện tích 3.12 Sử dụng phần tử tam giác bậc cao 74 75 78 79 80 81 88 89 92 97 99 Chương BÀI TOÁN ĐỐI XỨN G TRỤC 4.1 Mở đầu 4.2 Phần tử vành tiết diện tam giác 4.2.1 Hàm chuyển vị 4.2.2 Biến dạng 4.2.3 Ma trận đàn hồi 4.3 Ma trận độ cứng 4.4 N goại lực nút lực nút tương đương 4.5 Tính ứng suất Chương BÀI TỐN KHƠN G GIAN 5.1 5.2 5.3 5.4 194 Sơ đồ tính Phần tử tứ diện Hàm chuyển vị Biến dạng ứng suất Ma trận đàn hồi Ma trận độ cứng PPPTHH 108 110 111 112 113 114 115 117 119 5.5 Dời tải trọng nút 5.6 Ứng suất nhiệt 5.7 Về cách chia phân tử 5.8 Khái niệm phần tử đẳng tham số 5.9 Tính tốn phần tử khơng gian đẳng tham số 5.10 Tích phân Gauss 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 7.1 7.2 7.3 7.4 8.1 8.2 8.3 8.4 120 121 123 127 131 Chương TẤM MỎN G CHNU UỐN 134 Mở đầu Phần tử hình chữ nhật Các quan hệ Hàm chuyển vị Hàm dạng Biến dạng nội lực Ma trận độ cứng phần tử Xác định vectơ tải trọng nút Tấm mỏng tựa đàn hồi Phần tử mỏng hình tam giác 135 136 138 139 143 144 145 Chương VỎ MỎN G ĐÀN HỒI 151 Mở đầu Phần tử hình chữ nhật Phần tử hình tam giác Vỏ tròn xoay 158 160 Chương BÀI TỐN ĐỘN G 164 Phương trình động lực học Ma trận khối lượng phần tử Ma trận cản Dao động tự khơng có lực cản 165 169 170 Phụ lục ĐẠI CƯƠN G VỀ LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI 175 Tài liệu tham khảo 191 PPPTHH 195 Chịu trách nhiệm xuất LÊ TỬ GIAN G Biên tập VŨ VĂN BÁI Chế sửa XƯỞN G IN TRƯỜN G ĐẠI HỌC GTVT HÀ XUẤT BẢ GIAO THÔ G VẬ TẢI 80B Trần Hưng Đạo – Hà N ội ĐT: 04 9423345 – Fax: 04 8224784 MS 075(6V) 119/12-06 GTVT − 06 In 520 cuốn, khổ 19 x 27cm, Xưởng in Trường Đại học GTVT Quyết định xuất số: 151–2006/CXB/119–313–05/GTVT, ngày 28/2/2006 In xong nộp lưu chiểu quý I năm 2007 196 PPPTHH PPPTHH 197