bat-dang-thuc-trong-lop-cac-ham-luong-giac-va-luong-giac-nguoc-155639

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HOÀNG THỊ HOÀNG ANH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2018 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HOÀNG THỊ HOÀNG ANH BẤT ĐẲNG THỨC TRONG LỚP CÁC HÀM LƯỢNG GIÁC VÀ LƯỢNG GIÁC NGƯỢC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu THÁI NGUYÊN - 2018 ii Mục lục MỞ ĐẦU iv Chương Một số tính chất hàm lượng giác lượng giác ngược 1.1 Đồng thức lượng giác 1.1.1 Một số đồng thức liên quan đến hàm sin cosin 1.1.2 Một số đồng thức liên quan đến hàm số tang cotang 1.2 Tính chất hàm lượng giác ngược 1 Chương Bất đẳng thức lớp hàm lượng giác lượng giác ngược 2.1 Bất đẳng thức đại số sinh hàm lượng giác 2.1.1 Bất đẳng thức sinh hàm cosin 2.1.2 Bất đẳng thức sinh hàm sin 2.2 Bất đẳng thức đại số sinh hàm lượng giác ngược 2.2.1 Một số dạng bất đẳng thức lớp hàm arcsin arccosin 2.2.2 Một số dạng bất đẳng thức lớp hàm arctan arccotan 13 13 13 15 19 19 23 Chương Một số dạng toán liên quan 3.1 Các toán cực trị lượng giác 3.2 Phương pháp lượng giác đại số hình học 3.2.1 Phương pháp lượng giác đẳng thức 3.2.2 Phương pháp lượng giác bất đẳng thức 3.2.3 Phương pháp lượng giác phương trình, bất phương trình 3.2.4 Phương pháp lượng giác hình học 3.3 Một số dạng toán liên quan từ đề thi Olympic 28 28 35 35 41 44 50 60 iii KẾT LUẬN 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 iv MỞ ĐẦU Chuyên đề lượng giác chuyên đề quan trọng bậc trung học phổ thông Tuy nhiên, giảm tải nội dung mà vấn đề sâu sắc liên quan đến lượng giác ngược khơng cịn đề cập sách giáo khoa Lượng giác khơng đối tượng nghiên cứu mà cịn công cụ đắc lực nhiều lĩnh vực khác toán học Một phương pháp sử dụng đại số khảo sát tính chất đa thức lượng giác để áp dụng toán ước lượng đánh giá đa thức phân thức hữu tỷ, tính tốn liên quan đến đạo hàm tích phân biểu thức đại số Trong kì thi học sinh giỏi tốn cấp, Olympic Toán sinh viên, toán liên quan tới áp dụng lượng giác để khảo sát bất đẳng thức toán cực trị liên quan thường xuyên đề cập Những dạng toán thường xem thuộc loại khó, nhiều dạng tốn cần tới phần kiến thức nội suy đa thức lại không nằm chương trình thức giáo trình Đại số Giải tích bậc trung học phổ thơng hành Với mong muốn cung cấp thêm tài liệu tổng hợp chuyên đề lượng giác cho giáo viên học sinh giỏi chọn đề tài luận văn ”Bất đẳng thức lớp hàm lượng giác lượng giác ngược” Luận văn nhằm trình bày số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đa thức lượng giác xét ứng dụng liên quan đến tốn cực trị, khảo sát phương trình, bất phương trình Để hoàn thành nội dung luận văn, tác giả có sử dụng tài liệu tham khảo [1]-[6] Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận chương Chương Một số tính chất hàm lượng giác lượng giác ngược Chương trình bày tính chất hàm lượng giác lượng giác ngược Xét ví dụ áp dụng liên quan v Chương Bất đẳng thức đa thức lượng giác lượng giác ngược Chương trình bày bất đẳng thức đại số sinh hàm lượng giác, lượng giác ngược dạng toán liên quan Chương Một số dạng toán liên quan Xét số dạng tốn phương trình, bất phương trình, bất đẳng thức, cực trị đại số số tập áp dụng lượng giác tốn hình học Tiếp theo, chương trình bày hệ thống tập giải đề thi HSG quốc gia Olympic liên quan Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Nhà giáo nhân dân, GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới GS - Người thầy nghiêm khắc, tận tâm công việc truyền thụ nhiều kiến thức quý báu kinh nghiệm nghiên cứu khoa học cho tác giả suốt trình học tập, nghiên cứu đề tài Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, thầy cô giáo tham giảng dạy hướng dẫn khoa học cho lớp Cao học toán K10C Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, tập thể giáo viên toán trường THPT Lê Văn Thịnh, tỉnh Bắc Ninh gia đình tạo điều kiện cho tác giả có hội học tập nghiên cứu Tác giả Chương Một số tính chất hàm lượng giác lượng giác ngược Trong chương trình bày tính chất hàm lượng giác lượng giác ngược sở cho toán chương 1.1 1.1.1 Đồng thức lượng giác Một số đồng thức liên quan đến hàm sin cosin Ta có cơng thức Euler eiα = cos α + i sin α, α ∈ R Khi  iα −iα  cos α = e + e iα − e−iα e  sin α = 2i eα + e−α Từ đó, ta suy cos(iα) = Như hàm số cost với t = iα biểu thức   1 có dạng a+ , a = eα , cho nên, mặt hình thức ta có nhiều a biến đổi thu từ công thức liên quan đến biến x ∈ / [−1; 1] giống hàm số cost Ví dụ 1.1 Hệ thức đại số ứng với công thức cos 2t = cos2 t − 1, cơng thức      1 a + =2 a+ − a a hay     1 2x − = a + , với x = a+ , a 6= a a Ví dụ 1.2 Hệ thức đại số ứng với công thức cos 3t = cos3 t − cost, cơng thức         1 1 a + =4 a+ −3 a+ a a a   1 4x3 − 3x = a3 + , a với   1 a+ , a 6= x= a Ví dụ 1.3 Hệ thức đại số ứng với công thức cos 5t = 16 cos5 t − 20 cos3 t + cost, công thức            1 1 1 a + = 16 a+ − 20 a+ +5 a+ a a a a hay   16x − 20x + 5x = a + , a với   1 x= a+ , a 6= a Ví dụ 1.4 Hệ thức đại số ứng với công thức cos 5t + cost = cos 3t cos 2t, công thức            1 1 1 a + + a+ =2 a + a + a a a a Từ đó, sử dụng kết khai triển hàm lượng giác cos 3t cos 2t ta thu đồng thức đại số sau  
a + = −x + 4x3 − 3x (2x2 − 1), a   1 x= a+ , a 6= a Ví dụ 1.5 Cho số thực m với |m| > Tính giá trị biểu thức M = 8x3 − 6x, x= q q  p p 3 m + m2 − + m − m2 − Lời giải Vì |m| > nên tồn số thực q để có hệ thức   m= q + q Đặt t = q3 ta phương trình t − 2mt + = 0, √ √ từ suy t = m ± m2 − hay q3 = m ± m2 − Chọn q p q = m + m2 − 1, ta q   q  p p 1 q+ = m + m2 − + m − m2 − = x q Theo ví dụ 1.2 4x3 − 3x = m nên M = 2m Tiếp theo, mục trình bày số đồng thức quen biết liên quan đến hàm số sin Từ công thức Euler ta thu hệ thức i sint = eit − e−it Suy biểu thức i sin(it) nhận giá trị thực Điều gợi ý cho ta cách chuyển đổi đồng thức hàm số sin sang đồng thức đại số Ví dụ 1.6 Xét cơng thức khai triển sin 3t = sint − sin3 t, Từ ta thu công thức i sin (3it) = (i sin it) + (i sin it)3 Hệ thức đại số ứng với công thức đồng thức         1 1 a − =3 a− +4 a− , a a a hay   1 a3 − 4x3 + 3x = a với   1 x= a− , a 6= a Ví dụ 1.7 Xét công thức biến đổi
sin 5t + sint = sin 3t − sin2 t , Ta viết lại công thức dạng h i i sin i (5t) + i sin(it) = 2i sin i(3t) + (i sin it) Hệ thức đại số ứng với công thức đồng thức        "   2 # 1 1 1 a − + a− =2 a − 1+2 a− a a a a Từ ví dụ trên, sử dụng kết khai triển hàm lượng giác sin 3t ta thu đồng thức đại số sau  

a − = −x + 4x3 + 3x 2x2 + , a   1 x= a− , a 6= a