GIẢI BÀI TẬP MÔ HÌNH TOÁN TRONG SÁCH BÀI TẬP LỚP CÔ XUYẾN HỌC VIỆN NGÂN HÀNG NĂM HỌC 2016 2017 MÔN NÀY KHÔNG KHÓ NHƯNG CẦN PHẢI HỌC CẨN THẬN KO SẼ NHẦM LẪN CHÚC CÁC BẠN ÔN THI THÀNH CMN CÔNG TRỜI ƠI MÃI KO HẾT 200 KÍ TỰ HELLOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOO
BÀI TẬP MƠ HÌNH TỐN CHƯƠNG II Nhóm - Thứ ca phòng H302: Trần Tuấn Anh Cao Kỳ Duyên Phạm Thị Nguyệt Hà (nhóm trưởng) Nguyễn Thị Khánh Huyền Hòa Bùi Ngọc Mai Đỗ Thanh Ngân Trần Hồng Nhung Đỗ Thị Phương Thảo Phạm Thu Uyên Bài tập Mơ hình tốn - Nhóm Bài 21: Cho tốn quy hoạch tuyến tính: f(x) = x1 + 4x2 + px3 → max a) Viết toán đối ngẫu cặp ràng buộc đối ngẫu b) Với điều kiện p vectơ x = (2, 1, 0) phương án tối ưu tốn gốc tốn đối ngẫu có phương án cực biên không suy biến c) Với giá trị p tìm câu b chứng tỏ x phương án cực biên tối ưu Bài giải a) Bài toán đối ngẫu : (y) = 10 y1 – y2 → Bài tốn có cặp ràng buộc đối ngẫu: x1 > ↔ (1’) x2 > ↔ (2’) x3 > ↔ (3’) b) Thay x = (2, 1, 0) vào ràng buộc toán gốc: Ta thấy thỏa mãn nên x phương án Phương án x thỏa mãn lỏng ràng buộc x1 >0; x2 > 0, x PATƯ tồn phương án y toán đối ngẫu thoả mãn chặt ràng buộc đối ngẫu tương ứng (1’) (2’) Ta có hệ phương trình : ⇔ => y = (; ) Thay y vào (3’) ta có: + ≥ p ⇔ p ≤ (*) Bài tập Mơ hình tốn - Nhóm Do tóan đối ngẫu có phương án cực biên khơng suy biến (tức PATƯ thỏa mãn chặt ràng buộc) Mà y thỏa mãn chặt ràng buộc (1’) (2’) y phải thỏa mãn lỏng ràng buộc (3’) => p ≠ (**) Từ (*) (**) => p < Vậy với p < vectơ x = (2, 1, 0) phương án tối ưu tốn gốc tốn đối ngẫu có phương án cực biên không suy biến c, Với p < => y thỏa mãn lỏng ràng buộc (3’) => PATƯ x toán gốc thỏa mãn chặt ràng buộc tương ứng tức x₃ = Ta có hệ phương trình: ⇔ => x = (2, 1, 0) Vậy x = (2, 1, 0) phương án cực biên tối ưu Bài tập Mô hình tốn - Nhóm Bài 22 : Cho tốn quy hoạch tuyến tính : a) Chứng tỏ toáng giari xác định phương án cực biên tối ưu b) Xác định tập phương án tối ưu phương án cực biên tối ưu toán đối ngẫu Bài giải : Bài toán đối ngẫu: (y) = -16y1 + 10y3 – 2y4 max Các cặp ràng buộc đối ngẫu : Dễ thấy x = (0,0,0,0) phương án cực biên toán gốc Bài tốn đối ngẫu có phương án y = (0,0,0,0) Cặp tốn đối ngẫu có phương án tối ưu x,y Vậy toán giải b) - Phương án x = (0,0,0,0) thỏa mãn chặt ràng buộc dấu ràng buộc phương trình (2) nên phương án cực biên toán gốc Mà f(x) = f(x) = (do xj ≥ nên f(x) = 0) Suy x phương án cực biên tối ưu toán - Phương án x thỏa mãn lỏng ràng buộc (1), (3), (4) nên theo định lý phương án tối ưu y toán đối ngẫu phải thoải mãn chặt ràng buộc toán đối ngẫu tức : Ta nghiệm y = (0, y2, 0, 0) Bài tập Mơ hình tốn - Nhóm - Phương án tối ưu tốn đối ngẫu có dạng : y = (0, y, 0, 0) Thay y vào ràng buộc lại ta : -1 - Tập phương án tối ưu toán đối ngẫu y = (0, y 2,0,0) với y2 Do y thỏa mãn chặt ràng buộc (5’), (6’), (7’) nên y muốn phương án cực biên tối ưu y cần thỏa mãn chặt ràng buộc số ràng buộc (1’), (3’), (4’) tức : ↔ Do tốn đối ngẫu có hai phương án cực biên tối ưu y = (0, -1, 0,0); y2= (0, , 0,0) Bài tập Mơ hình tốn - Nhóm Bài 23: Cho tốn quy hoạch tuyến tính: f(x) = 18x1 + 13x2 + 5x3 → a) Phân tích tính chất vectơ x = (,0,0) toán b) Xác định tập phương án tối ưu, phương án cực biên tối ưu cặp toán đối ngẫu cho Bài giải a) Bài toán đối ngẫu (y) = y1 + 2y2 +2y3 – y4 +6 y5 → max Các cặp ràng buộc đối ngẫu (1) y (1’) (2) (2’) (3) (3’) (4) (4’) (5) (5’) Bài tập Mơ hình tốn - Nhóm Thay x = (,0,0) vào hệ ràng buộc toán: Ta thấy x =(, 0, 0) thỏa mãn tất cá ràng buộc Vậy x = (, 0, 0) phương án toán đối ngẫu b) Giả sử x = (2/3, 0, 0) phương án toán gốc Phương án x thỏa mãn lỏng ràng buộc (1) (4) tốn đối ngẫu thỏa mãn chặt ràng buộc tương ứng (1’) (4’), ta có hệ: y = (0, 0, , 0, ) Thay y vào hệ ràng buộc tốn đối ngẫu, ta có: (Thỏa mãn) Vậy x = (,0,0) phương án tối ưu toán gốc y = (0, 0, , 0, ) phương án tối ưu toán đối ngẫu Phương án y = (0, 0, , 0, ) phương án tối ưu toán đối ngẫu, y thỏa mãn lỏng ràng buộc (3’), (5’) nên theo định lý đối ngẫu tồn phương án x thỏa mãn chặt ràng buộc tương ứng (3) (5) Ta có hệ: Đặt x2 = c ta có: => x° = ( - c, 0, 0) Thay tọa độ x vào ràng buộc lại tốn gốc : => c≥ Vậy tập PATƯ toán gốc : x° = ( – c, 0, 0) với c ≥ Bài tập Mơ hình tốn - Nhóm Bài 25 : Cho tốn quy hoạch tuyến tính: a) Viết tốn đối ngẫu cặp ràng buộc đối ngẫu b) Chứng tỏ tốn đối ngẫu tốn khơng giải Bài giải a) Bài toán đối ngẫu : Các cặp ràng buộc đối ngẫu : (1) (2) (2’) (3) (3’) (4) (4’) (5) (5’) b) Ta có tốn đối ngẫu : Xét tốn phụ : Các biến lập để đưa vào sở Ta có bảng đơn hình: HS BCS PA -3 -1 -2 0 1 1 - -2 -1 0 1 -1 [2] 0 0 1 2 (4) -1 -1 -1 -1 0 0 1 7/2 ½ -2 -1 0 1/2 -1/2 0 0 P(y) Bài tập Mơ hình tốn - Nhóm 1/2 [7/2 -1 -1 -1 -1 0 ] (4) 24/7 0 -15/7 -1 [1/7] 4/7 1/7 -1/7 0 1/7 2/7 -2/7 0 0 0 -15/7 -15 -2 -1 -7 -1 (1/7) 0 -1 24/7 24 -3 -4 -2 -25 0 16 P(y) P(y) Do nên hàm mục tiêu tốn khơng bị chặn, tốn khơng có phương án tuối ưu Bài 26: Cho f(x) = - 8x1 + 6x2 + 4x3 + 5x4 Và véc tơ xo = (3; 0; -2; 0) a) Viết toán đối ngẫu cặp ràng buộc đối ngẫu b) Phân tích tính chất véc tơ xo toán c) Xác định tập phương án tối ưu tốn đối ngẫu Tìm phương án tối ưu tốn đối ngẫu có thành phần y1 = -3 Bài giải a) Bài toán đối ngẫu : (y) = 7y1 – 4y2 + 5y3 Các cặp ràng buộc đối ngẫu : (1) (1’) (2) (2’) x1 (3’) max Bài tập Mơ hình tốn - Nhóm x2 (4’) x4 (5’) Thay xo = (3; 0; -2; 0) vào ràng buộc toán gốc ta thấy thỏa mãn Vậy xo = (3; 0; -2; 0) phương án toán xo thỏa mãn chặt ràng buộc (3 ràng buộc phương trình ràng buộc dấu) lớn số ẩn mà ràng buộc độc lập tuyến tính suy xo phương án cực biên suy biến toán gốc Phương án xo thỏa mãn lỏng ràng buộc x1 có ràng buộc đối ngẫu tương ứng (3’) Theo định lý đối ngẫu xo = (3; 0; -2; 0) phương án tối ưu toán gốc tồn phương án y = (y1, y2, y3) thỏa mãn chặt ràng buộc (3’) toán đối ngẫu Ta có : y=( Thay y vào ràng buộc lại ta có : Tập phương án tối ưu toán đối ngẫu y ={ ( / } Vậy xo phương án tối ưu toán gốc b) Tập phương án tối ưu toán đối ngẫu y ={ ( / } Với y1 = -3 c = (TM) Phương án tối ưu tốn đối ngẫu có thành phần y1 = -3 :y = (-3; 4; 1) Vậy tập phương án tối ưu toán đối ngẫu y ={ ( / } 10 Bài tập Mơ hình tốn - Nhóm Bài 27: Cho tốn quy hoạch tuyến tính : a) Viết tốn đối ngẫu cặp ràng buộc đối ngẫu b) Xác định tập phương án tối ưu toán đối ngẫu Bài giải a) Bài toán đối ngẫu: Các cặp ràng buộc đối ngẫu: (1) ↔ y1 (2) ↔ (3) ↔ Xét hệ phương trình tốn đối ngẫu ta có: Thay tọa độ vào ràng buộc lại toán đối ngẫu ta thấy thỏa mãn Do y phương án toán đối ngẫu nên y PATƯ toán đối ngẫu, tốn đối ngẫu có PATƯ Bài 28 : Cho toán quy hoạch tuyến tính : f(x) = -2x1 + 19x2 + 5x3 + 3x4 + x5 a)Viết toán đối ngẫu cặp ràng buộc đối ngẫu b) Cho y = (1, -2, phân tích tính chất y tốn đối ngẫu tốn cho c) Tìm tập phương án tối ưu tốn gốc d) Tìm tập phương án tối ưu toán đối ngẫu Bài giải a) Bài toán đối ngẫu : Các cặp ràng buộc đối ngẫu : 11 Bài tập Mơ hình tốn - Nhóm (1) (3) x1 ≥ (1’) x2 ≥ (2’) x3 ≥ (3’) x4 ≥ (4’) x5 ≥ (5’) b) Thay vecto y=(1, -2, 2) vào ràng buộc toán đối ngẫu ta thấy y thỏa mãn tất ràng buộc Vậy y = (1,-2,2) phương án toán đối ngẫu Phương án y = (1, -2, 2) thỏa mãn chặt ràng buộc (1’), (3’) nhỏ số ẩn y Vậy y = (1, -2, 2) phương án tối ưu khơng cực biên tốn đối ngẫu c) Phương án y = (1, -2, 2) thỏa mãn lỏng ràng buộc (2’), (4’), (5’), y1 ≥ 0, y2 ≤ 0, y3 ≥ có ràng buộc đối ngẫu tương ứng x2 ≥ 0, x4 ≥ 0, x5 ≥ 0, (1), , (3) Theo định lý đối ngẫu y = (1, -2, 2) phương án tối ưu tồn phương án toán gốc thỏa mãn : Thay x = (10, 0, 7, 0, 0) vào ràng buộc lại thấy thỏa mãn Vậy x = (10, 0, 7, 0, 0) phương án tối ưu toán gốc d) - Phương án x = (10, 0, 7, 0, 0) thỏa mãn lỏng ràng buộc x1 ≥ 0, x3 ≥ Vì phương án tối ưu toán đối ngẫu phải thỏa mãn chặc ràng buộc đối ngẫu tương ứng Ta có hệ Suy y = (3y2, y2, 5y2 Thay y vào ràng buộc lại tốn ta : Vậy tập phương án tối ưu toán đối ngẫu y = (3y2, y2, 5y2 với 12 Bài tập Mơ hình tốn - Nhóm 13 Bài tập Mơ hình tốn - Nhóm Bài 29: Cho tốn quy hoạch tuyến tính : f(x) = 8x1 + x2 + 3x3 + 5x4 a) Viết toán đối ngẫu cặp ràng buộc đối ngẫu b) Chứng minh tốn có phương án tối ưu c) Bài toán gốc toán đối ngẫu có phương án cực biên khơng? Vì sao? Chúng em giải không đáp án yêu cầu tốn mong xem lại đề !!! Bài 30 : Cho toán : f(x) = − + + +5 Phân tích tính chất vecto x0 = (3, 0, -2 , 0) toán Bài giải : Bài toán đối ngẫu: (y) = Các cặp ràng buộc đối ngẫu : (1) (3) 14 Bài tập Mơ hình tốn - Nhóm Vectơ = (3; 0; 0) Thay vào ràng buộc tốn thỏa mãn PA Thỏa mãn chặt ràng buộc lớn ràng buộc độc lập tuyến tính PACB; Giả sử PATƯ Gọi y = (; ) PATƯ toán đối ngẫu Vì thỏa mãn lỏng ràng buộc có ràng buộc đối ngẫu tương ứng (3’) Theo định lý đối ngẫu = (3; 0; 0) phương án tối ưu tồn phương án y tốn đối ngẫu thỏa mãn hệ phương trình : Đặt = c , ta : Suy y = ( Thay y vào ràng buộc lại toán đối ngẫu : Vậy tập PATƯ toán đối ngẫu : y= PACB TƯ toán gốc 15 ... toán đối ngẫu (y) = y1 + 2y2 +2y3 – y4 +6 y5 → max Các cặp ràng buộc đối ngẫu (1) y (1’) (2) (2’) (3) (3’) (4) (4’) (5) (5’) Bài tập Mơ hình tốn - Nhóm Thay x = (,0,0) vào hệ ràng buộc... Bài tập Mơ hình tốn - Nhóm 1/2 [7/2 -1 -1 -1 -1 0 ] (4) 24/7 0 -15/7 -1 [1/7] 4/7 1/7 -1/7 0 1/7 2/7 -2/7 0 0 0 -15/7 -15 -2 -1 -7 -1 (1/7) 0 -1 24/7 24 -3 -4 -2 -25 0 16 P(y) P(y) Do nên hàm... P(y) P(y) Do nên hàm mục tiêu tốn khơng bị chặn, tốn khơng có phương án tuối ưu Bài 26: Cho f(x) = - 8x1 + 6x2 + 4x3 + 5x4 Và véc tơ xo = (3; 0; -2; 0) a) Viết toán đối ngẫu cặp ràng buộc đối