chơng khái niệm truyền nhiệt 1.1 đối tợng phơng pháp nghiên cứu truyền nhiệt(TN) 1.1.1 Đối tợng nghiên cứu TN Truyền nhiệt môn khoa học nghiên cứu luật phân bố nhiệt độ luật trao đổi nhiệt(TĐN) không gian theo thời gian vật có nhiệt độ khác Các vật (hoặc hệ vật) đợng nghiên cứu vật rắn, chất lỏng hay chất khí Luật phân bố nhiệt độ qui luật cho biết nhiệt độ vật thay đổi theo toạ độ (x, y, z) thời gian () Luật trao đổi nhiệt độ quy luật cho biết phơng chiều độ lớn dòng nhiệt q [W/m2] qua điểm bên biên W vật V 1.1.2 Mục đích nghiên cứu ứng dụng TN Mục đích nghiên cứu truyền nhiệt lập phơng trình công thức cho phép tính đợc nhiệt độ dòng nhiệt mô hình TĐN khác Các qui luật truyền nhiệt đợc ứng dụng để: 1) Tìm hiểu, giải thích, lợi dụng tợng tự nhiên; 2) Khảo sát, điều chỉnh, kiểm tra trình công nghệ; 3) Tính toán, thiết kế, chế tạo thiết bị TĐN 1.1.3 Phơng pháp nghiên cứu TN Khi nghiªn cøu TN nhiƯt ng−êi ta cã thĨ sử dụng phơng pháp ngành khoa học tự nhiên khác, bao gồm lý thuyết thực nghiệm Phơng pháp lý thuyết dựa định luật vật lý, lập hệ phơng trình mô tả tợng TĐN, giải phơng pháp giải tích(hoặc phơng pháp toán tử, phơng pháp số nh sai phân hữu hạn hay phần tử hữu hạn) để tìm hàm phan bố nhiệt độ công thức tính nhiệt Phơng pháp thực nghiệm dựa vào lý thuyết đồng dạng, lập mô hình, thí nghiệm, đo xử lý số liệu, trình bày kết dạng bảng số, đồ thị công thức thực nghiệm Phơng pháp thực nghiệm cần nhiều thiết bị, công sức thời gian, nhng có phạm vi áp dụng rộng công cụ thiếu để kiểm định độ xác lý thuyết 1.2 Các khái niệm truyền nhiệt 1.2.1 Trờng nhiệt độ Để mô tả quy luật phân bố nhiệt độ không gian thêi gian ng−êi ta dïng tr−êng nhiƯt ®é Tr−êng nhiƯt độ tập hợp giá trị nhiệt độ tức thời điểm vật khảo sát khoảng thời gian xét Trờng nhiệt độ trờng vô hớng, đơn trị, có phơng trình mô tả t = t(M(x, y, z), τ), ∀M(x, y, z) ∈ V vµ ∀τ ∆τ xÐt Hµm sè t(M(x, y, z), τ) luật phân bố nhiệt độ vật V mà ta cần tìm Theo thời gian , trờng nhiệt độ đợc phân làm loại: ổn định không ổn định Trờng t đợc gọi ổn định không đổi theo thời gian, hay có ∂t =0 , ∂τ ∀M(x, y, z) ∈ V vµ xét Nếu có chứa điểm M vào lúc , làm cho t , trờng t gọi không ổn định Theo tính đối xứng không gian, ngời ta gọi số toạ độ mµ tr−êng t phơ thc lµ sè chiỊu cđa tr−êng VÝ dơ, tr−êng nhiƯt ®é 0, 1, 2, chiều có phơng trình tơng ứng t = t(τ), t = t(x, τ), t = t(r, z), t = t(x, y, z) Trờng nhiệt độ t ẩn số toán TN 1.2.2 Mặt đẳng nhiệt Để định hớng dòng nhiệt, ngời ta dùng mặt đẳng nhiệt Mặt đẳng nhiệt quỹ tích điểm có nhiệt độ thời điểm xét Mặt đẳng nhiệt có dạng mặt cong, hở kín, đợc mô tả phơng trình t (x, y, z) = t0 = const Do tr−êng t đơn trị, nên mặt đẳng nhiệt không cắt Theo định nghĩa, nhiệt độ t thay đổi theo hớng cắt mặt đẳng nhiệt Do đó, dòng nhiệt q truyền theo hớng vuông góc với mặt đẳng nhiệt 1.2.3 Vận tốc gia tốc thay đổi nhiệt độ Để đánh giá mức thay đổi nhiệt ®é nhanh hay chËm theo thêi gian τ , ng−êi ta định nghĩa vận tốc gia tốc thay đổi nhiệt độ theo thời gian, vt = dt d 2t , [K/s] vµ a t = [K/s2] d d Để đánh giá mức độ thay đổi nhiệt độ khoảng cách l theo hớng l (có véc tơ đơn vị l ) cho trớc không gian, ngời ta định nghĩa vận tốc gia tốc thay đổi theo hớng l véctơ: vl = l ∂t ∂2t , [K/m] vµ a l = l , [K/m2] ∂l ∂l → §é lín cđa vËn tèc thay ®ỉi nhiƯt ®é theo h−íng v l sÏ thay ®ỉi l → quay quanh ®iĨm M ®· cho , không l tiếp xúc với mặt đẳng nhiệt 1.2.4 Véctơ gradient nhiệt độ Để tìm cực đại v l xác định dòng nhiệt q, gnời ta dùng véctơ gradient nhiệt độ Gradient nhiệt độ, ký hiệu grad t véctơ vận tèc thay ®ỉi nhiƯt ®é v n theo → h−íng pháp tuyến n mặt đẳng nhiệt, theo chiều tăng nhiệt độ grad t = n tăng nhiệt độ, t với n véctơ đơn vị vuông góc mặt đẳng nhiệt theo chiều n t = t m ( M ) = gradt ( M ) , [K/m] đạo hàm trờng t theo hớng n pháp tuyến n qua điểm M mặt đẳng nhiệt z Trong hệ toạ độ vuông gãc (x, y ,z) nÕu tr−êng nhiƯt ®é t = t(x, y, z, ) tìm đợc theo c«ng thøc → → gradt = i ∂t → ∂t → ∂t → + j +k = ∇t ∂x ∂y ∂z → → → → Vgradt dt t+ víi i , j , k véc tơ đơn vị trục Có thể chứng minh đợc gradt = max v l , ∀ l qua M ∂n ∂l n0 t M → → y Ngoµi ra, nÕu biÕt grad t , dễ dàng tìm đợc dòng nhiệt q theo định luật Fourier, giới thiệu chơng sau q x Hình Véctơ grad t q 1.2.5 Véctơ dòng nhiệt Để mô tả luật trao đổi nhiệt ngời ta dùng véctơ dòng nhiệt Véctơ dòng nhiệt q véc tơ có độ dài q công suất nhiệt truyền qua 1m2 mặt đẳng nhiệt [W/m2], phơng vuông góc với mặt đẳng nhiệt, theo chiều giảm nhiệt độ q = − n q , dÊu (-) ng−ỵc chiỊu víi grad t → VÐct¬ q chØ râ ph−¬ng chiỊu cờng độ dòng nhiệt qua điểm M bên biên vật V Đó luật trao đổi nhiệt đô mà ta cần tìm Theo lý thuyết trờng véctơ, đại lợng vô hớng div q = ∂q x ∂q y ∂q z + , + ∂x ∂y ∂z [W/m3] chÝnh lµ hiƯu sè dòng nhiệt (ra - vào) 1m3 vật quanh ®iĨm M ⎧> → VËtVto¶ nhiƯt ⎪ div q = (Q − Q vµo ) / V = ⎨= → VËt can b»ng nhiÖt ⎪< → VậtV thu nhiệt Divergent véctơ dòng nhiệt div q( M) đặc trng cho độ rò nhiệt độ phát tán nhiệt điểm M vật 1.2.6 Công suất nguồn nhiệt Khi vật có phản ứng hoá học có dòng điện chạy qua, điểm vật phát sinh công suất nhiệt khác Để đặc trng cho công suất phát nhiệt điểm M vật V, ngời ta dùng công suất dòng nhiệt qv Công suất nguồn nhiệt qv [W/m3] thĨ tÝch dV bao quanh M ph¸t chia cho dV: q v = δq dV NÕu biÕt luËt ph©n bè qv (M(x, y, z), τ) tính công suất phát nhiệt Qv vËt V theo c«ng thøc: Q v = ∫ q v ( M )dV [W] V Đặc biệt, qv = const, MV, vật V đợc gọi có nguồn nhiệt phân bố đều, có Qv = V.qv 1.3 Các phơng thức trao đổi nhiệt Trao đổi nhiệt tợng tao đổi động phân tử vi hạt khác vật tiếp xúc Theo định luật nhiệt động học, tợng trao đổi nhiệt xảy có sai khác nhiệt độ, t 0, nhiệt truyền từ vật nóng đến vật nguội Tuỳ theo đặc tính tơng tác(trực tiếp hay gián tiếp ) chuyển động(hỗn loạn hay định hớng) phân tử vật tơng tác, ngời ta chia trình TĐN phơng thức sau 1.3.1 Dẫn nhiệt Dẫn nhiệt tợng trao đổi động va chạm trực tiết phân tử không tham gia chuyển động định hớng Ví dụ, dẫn nhiệt xảy có khác biệt nhiệt độ vật rắn, chất lỏng hay chất khí đứng yên, vật Điều kiện để dẫn nhiệt xảy có tiếp xúc trực tiếp vật đứng yên, khác nhiệt độ Quá trình dẫn nhiệt xảy chậm , khoảng cách ngắn, có cờng độ q tỷ lệ với gradient nhiệt độ 1.3.2 Toả nhiệt(hay trao đổi nhiệt ®èi l−u) Táa nhiƯt lµ hiƯn t−êng trao ®ỉi ®éng va chạm trực tiếp phân tử mặt vật rắn với phân tử chuyển động ®Þnh h−íng cđa chÊt láng hay chÊt khÝ tiÕp xóc với Ví dụ, nớc nóng toả nhiệt vào mặt ống, mặt ống toả nhiệt không khí đối lu xung quanh Điều kiện để toả nhiệt xảy ra, có dòng chất lỏng chảy qua mặt vật rắn khác biệt nhiệt độ Dòng nhiệt toả qua 1m2 mặt tiếp xúc đợc tính theo công thøc Newton q = α(tW - tf), [W/m2] ®ã tW tf nhiệt độ mặt vách nhiệt độ chất lỏng vách, = q , [W/m2K] hệ số toả nhiệt tW tf 1.3.3 Trao đổi nhiệt xạ Trao đổi nhiệt xạ tợng trao đổi động phân tử vật phát vật thu xạ, thông qua môi trờng trung gian sóng điện từ Ví dụ, mặt trời phát xạ, truyền không gian dới dạng sóng điện từ, va đập biến thành nhiệt nung nóng trái đất hành tinh khác Điều kiện để TĐN xạ xảy có môi trờng hấp thu sóng điện từ (nh chân không khí loãng ) vật có nhiệt độ khác TĐN xạ không cần tiếp xúc vật, xảy khoảng cách lớn, có biến dạng lợng, cờng độ tăng mạnh theo nhiệt độ vật phát xạ Phần minh hoạ tóm tắt đặc điểm phơng thức trao đổi nhiệt đợc giới thiệu bảng số Bảng Tóm tắt đặc điểm phơng thức TĐN P thức ý nghĩa Minh họa Dẫn nhiệt Toả nhiệt TĐN xạ TĐN vật đứng TĐN vật rắn với TĐN vật phát với yên tiếp xúc chất lỏng chảy qua nã vËt hÊp thu sãng ®iƯn tõ t1 > t2 Điều t1 > t2 kiện cần có tiếp xúc trực tiếp vật, không chuyển động cờng độ qλ = λgradt tW t q ω 2 tf t W ≠ tf cã chÊt láng chuyÓn động, tiếp xúc mặt vật rắn q = (tW - tf) T1 > T2 có môi trờng truyền sóng điện từ vật q T14 1.3.4 Trao đổi nhiệt phức hợp Các vật hữu hạn thực tế thờng tiếp xúc với nhiều môi trờng khác nhau, nên đồng thời thực nhiều phơng thức TĐN khác Hiện tợng TĐN có phơng thức TĐN xảy đợc gọi TĐN phức hợp Ví dụ, vỏ ấm nhận nhiệt đối lu xạ từ lửa, toả nhiệt cho nớc bên Cờng độ TĐN phức hợp mặt đợc xác định nh tổng cờng độ phơng thức thành phần CHNG DN NHIT N NH 2.1 ĐỊNH LUẬT FOURIER VÀ HỆ SỐ DẪN NHIỆT 2.1.1 Thiết lập định luật Fourier dẫn nhiệt Định luật Fourier định luật dẫn nhiệt, xác lập quan hệ vectơ q gr adt Để thiết lập định luật ta tính nhiệt lượng δ Q dẫn qua mặt dS nằm lớp phân tử khí có nhiệt độ T1 > T2, cách dS đoạn x quảng đường tự trung bình phân tử, Hình Để tìm dòng nhiệt q thời gian dτ , hình H2 Vì T1 T2 sai khác bé, nên coi mật độ phân tử n0 vận tốc trung bình ω phân tử lớp , bằng: d 2n = i n ωdSdτ Lượng lượng qua dS từ T1 đến T2 d E = E 1d n = i kT1 n ωdSdτ d E = E 2d n = 1 kT2 n ωdSdτ , k = Rµ NA = 8314 = 1,3806.10 − 23 J / K số Boltzmann, NA số 6,02217 phân tử kmol chất khí (số Avogadro), I số bậc tự cảu phân tử chất khí Trừ đẳng thức cho nhau, thu lượng nhiệt trao đổi qua dS, bằng: δ Q = ( E − E )d n = i k (T1 − T2 ) n ωdSdτ ⎛ ∂T ⎞ ⎟2 x ⎝ ∂x ⎠ Vì T1 − T2 = −⎜ Rµ ⎛ i i µ ⎞⎛ i R µ ⎟⎜ n 0k = n = ⎜⎜ n 6 N A ⎝ N A ⎟⎠⎜⎝ µ ⎞ ⎟⎟ = ρC v nên có: ⎠ ⎛1 ⎞ ∂T δ Q = −⎜ ρC v ωx ⎟ dSdτ , ddawtj λ = ρC v ωx ⎝3 ⎠ ∂x có δ2Q ∂T = q x = −λ δSsτ ∂x Đây dòng nhiệt theo phương x Khi dS có vị trí bất kỳ, véctơ dòng nhiệt qua ⎛ ∂T ∂T ∂T ⎞ + j + k ⎟⎟ = −λgr adT dS q = −λ⎜⎜ i ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x 2.1.2 Phát biểu hệ định luật Fourier Định luật Fourier phát biểu, vectơ dòng nhiệt q tỷ lệ thuận với véc tơ gradien nhiệt độ Biểu thức dạng vectơ q = −λgr adt , dạng vô hướng q = −λgradt = −λt n (M) Dấu (-) vectơ ngược chiều Nhờ định luật Fourier, biết trường nhiệt độ t(x, y, z,τ), tính cơng suất nhiệt Q[W] dẫn qua mặt S [m2] theo công thức Q = ∫∫ S − λgradt.dS tìm lượng nhiệt Qτ [J] dẫn qua S sau thời gian τ[s] theo công thức τ Qτ = ∫ ∫∫ S − λgradtdSdτ , [J] 2.1.3 Hệ số dẫn nhiệt Hệ số dẫn nhiệt hệ số định luật Fourier: λ= q q , [W/mK] = ∂t gradt ∂n Vì λ tỷ lệ với q nên λ đặc trưng cho cường độ dẫn nhiệt vật liệu Với chất khí, theo chứng minh trên, có 1⎛ p ⎞ 8kT ⎛ kT ⎞ 2C v ⎜ ⎟= λ = ρC v ωx = ⎜ ⎟C v πm ⎜⎝ π 2d p ⎟⎠ 3Rd 3 ⎝ RT ⎠ k 2T π3 m Hệ số dẫn nhiệt λ khí lý tưởng khơng phụ thuộc vào áp suất p, λ tăng tăng nhiệt độ tăng CV, λ giảm tăng số chất khí, R = Rµ µ , tăng đường kính d tăng khối lượng m phân tử chất khí Với vật liệu khác λ tăng theo nhiệt độ, xác định thực nghiệm cho bảng công thức thực nghiệm tài liệu tham khảo Ví dụ, trị trung bình hệ số λ số vật liệu thường gặp nêu bảng Vật liệu λ[W/mK] Vật liệu λ[W/mK] Bạc 419 Thuỷ tinh 0,74 Đồng 390 Gạch khô 0,70 Vàng 313 Nhựa PVC 0,13 Nhôm 209 Bông thuỷ tinh 0,055 Thép Cacbon 45 Polyurethan 0,035 Yhép CrNi 17 Khơng khí 0,026 Bảng Hệ số dẫn nhiệt trung bình vật liệu thường dùng 2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DẪN NHIỆT 2.2.1 Nội dung ý nghĩa PTVPDN PTVPDN phương trình cân nhiệt cho vi phân thể tích dV nằm hồn tồn bên vật V dẫn nhiệt PTVPDN phương trình để tìm trường nhiệt độ t(M, τ) V, cách tính phương trình 2.2.2 Thiếtt lập PTVPDN Xét cân nhiệt cho vi phân thể tích dV Hình Cân nhiệt cho dV bao quanh điểm M(x,y,z) bên vật V, có khối lượng riêng ρ, nhiệt dung riêng Cp, hệ số dẫn nhiệt λ, công suất sinh nhiệt qv , dòng nhiệt qua M q Định luật bảo toàn lượng cho dV phát biểu rằng: [Độ tăng enthalpy dV] = [hiệu số nhiệt lượng (vào - ra)dV]+ [lượng nhiệt sinh dV] Trong thời gian giây, phương trình có dạng : ρdVC p ∂t = −divq.dV + q v dV hay ∂τ ∂t = (q v − divq ) ∂τ ρC p Theo định luật Fourier q = −λgr adt , λ = const ta có ⎡ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞ ∂ ⎛ ∂t ⎞⎤ divq = div(−λgr adt ) = −λ ⎢ ⎜ ⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜ ⎟⎥ = −λ∇ t ⎣ ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂z ⎝ ∂z ⎠⎦ ⎧ ∂2t ∂2t ∂2t ⎪ + + (Trong tảo âäü vng gọc (xyz)) ∂z ∂y ⎪ ∂x2 ∂2t ∂2t ⎪ ∂ t ∂t với ∇ t = ⎨ + Trong toả âäü trủ (r, ϕ, z) + + r ∂r r ∂ϕ ∂z ⎪ ∂r2 cos θ ∂t ∂2t ∂2t ⎪ ∂ t ∂t + + + + ⎪ ∂r r ∂r r ∂θ r sin θ ∂θ r sin θ∂ϕ , toả âäü cáưu (r, ϕ, θ) ⎩ gọi toán tử Laplace hàm t(M) PTVPDN phương trình kết hợp định luật nói trên, có dạng: ∂t λ ⎛ qv λ ⎞ ⎛q ⎞ [m2/s] gọi hệ số khuếch = + ∇ t ⎟ = a ⎜ v + ∇ t ⎟ , với a = ⎜ ∂τ ρC p ⎝ λ λ ρ C ⎠ ⎠ ⎝ p tán nhiệt, đặc trưng cho mức độ tiêu tán nhiệt vật 2.2.3 Các dạng đặc biệt PTVPDN Phuơng trình VPDN tổng quát [ ] ∂T = q V − div(−λgr adt ) có dạng đơn ∂τ ρc P giản hơn, cần đáp ứng đủ điều kiện đặc biệt sau đây: 1) Vật V khơng có nguồn nhiệt, qv = 0, 2) Với λ = const, ∀M(x,y,z) ∈ V, ( ∂t = div λgr adt ∂τ ρC p ) ∂t = a∇ t ∂τ 3) Nếu nhiệt độ ổn định V, ∂t = ∀M∈V, ∇ t = ∂τ 4) Khi trường t(M) ổn định chiều : t(x) toạ độ vng góc tìm theo t(r) toạ độ trụ tìm theo t(r) tạo độ cầu tìm theo d2t =0 dx d t dt + =0 dr r dr d t dt + =0 dr r dr 2.3 CÁC ĐIỀU KIỆN ĐƠN TRỊ Phương trình vi phân dẫn nhiệt phương trình đạo hàm riêng cấp 2, chứa ẩn hàm phân bố nhiệt độ t(x,y,z,τ) Nghiệm tổng quát thu cách tích phân phương trình ln chứa số số tuỳ ý chọn Để xác định nghiệm riêng PTVPDN, cần cho trước số điều kiện, gọi chung điều kiện đơn trị Điều kiện đơn trị tập hợp điều kiện cho trước , đủ để xác định nghiệm hệ phương trình 2.3.1 Phân loại điều kiện đơn trị Theo nội dung, điều kiện đơn trị phân loại sau 1) Điều kiện hình học: Cho biết thơng số hình học đủ để xác định hình dạng, kích thước vị trí hệ vật V 2) Điều kiện vật lý: Cho biết luật xác định thông số vật lý điểm M ∈V, tức cho biết (ρ, λ, a, qv, …)= f(M∈V, t) 3) Điều kiện đầu: Cho biết luật phân bố nhiệt độ thời điểm đầu τ = điểm M∈V, tức cho biết t(M ∈ V, τ = 0) = t(x, y, z) 4) Điều kiện biên: cho biết luật phân bố nhiệt độ luật cân nhiệt điểm M biên W vật V thời điểm khảo sát Nếu ký hiệu dòng nhiệt dẫn vật V đến M ∈ W q λ = −λ ∂t = −λt n (M) mơ tả tốn học ∂n điều kiện biên có dạng: 10 ⎧ dt ⎪ dτ = a∇ t − tdivω + q v ⎪ ⎪ ρd ω = pg − gr adp + µ∇ ω ⎪ dτ ⎪⎪ ∂ρ = −div(ρω), våïi caïc ÂKÂT : hỗnh hoỹc : hỗnh daỷng, kờch thỉåïc l ca W ⎪ ⎪- váût l : lût xạc âënh (ρ, C p , µ, a, λ, q v ) = f(t) ⎪- ban âáöu : t(∀M, τ = 0) = t(x, y, z) ⎪ ⎪⎩- biãn W3 : - λgradt(M ∈ W3 ) = α[t(M ∈ W3 ) - t f ] Đây toán phức tạp, chưa có lời giải tổng quát Việc tính α chủ yếu dựa vào số liệu cơng thức thực nghiệm, trình bày sau 3.4 LÝ THUYẾT ĐỒNG DẠNG Lý thuyết đồng dạng mơn học nghiên cứu tính chất tượng vật lý đồng dạng nhau, lý thuyết đạo cho công tác thực nghiệm 3.4.1 Các khái niệm đồng dạng Các khái niệm đồng dạng mở rộng từ đồng dạng hình học 1) Đồng dạng hình học: Hai vật thể hình học gọi đồng dạng tỷ sơ kích thước z z' tương ứng khơng đổi Ví dụ: Hai hình hộp đồng dạng x ' y' z ' l ' = = = = C l = const x y z l l l' x' y' y x Hình 3.4 Đồng dạng hình học Khi vật thể đồng dạng với tỷ số c l tỷ số diện tích thể tích tương ứng f' = C l2 f V' = C 3l V 2) Đồng dạng trường vật lý 33 Hai trường đại lượng vật lý ϕ = ϕ(M( x, y, z), τ) gọi đồng dạng tỷ số giá trị ϕ điểm tương ứng không gian, thời gian không đổi: ϕ' ϕ' ( M ' (C l x , C l y, C l z), C τ τ) = C ϕ = const , ∀(M, τ) = ϕ(M ( x , y, z), τ) ϕ Để trường vật lý đồng dạng, cần có số C l , C τ , C ϕ 3) Đồng dạng tượng vật lý: Hai tượng vật lý mơ tả phương trình F(ϕ1, ϕ1,…ϕi,…ϕn)=0 gọi đồng dạng nhau, trường đại lượng vật lý tên đồng dạng nhau: ϕi' ϕ' (M ' (C l x , C l y, C l z), C l τ) =Cφi, ∀( M, τ) ∀i = (1 ÷n) = ϕi ϕ(M ( x , y, z), τ) Hai tượng vật lý đồng dạng không gian đồng dạng hình học, cần (n+2) số đồng dạng, Cl , C τ n số Cφi 3.4.2 Tiêu chuẩn đồng dạng phương trình tiêu chuẩn 1) Định nghĩa: Tiêu chuẩn đồng dạng biến số không thứ nguyên chứa số đại lượng vật lý, suy từ tính đồng nhất(hay tương đương) phương trình mơ tả tượng đồng dạng 2) Ví dụ: hiên tượng toả nhiệt đồng dạng, phương trình α∆t = −λ ∂t ∂t α' ∆t ' = −λ' đương → thay thông số ϕ i' = C ϕi ϕ i vào ∂n ∂n ' phương trình thứ có C α αC t ∆t = −C λ λC t ∂t /(C l ∂n ) →Do phương trình tương đương với phương trình đầu , nên có ⎛ α' ⎞⎛ l' ⎞ ⎛ λ' ⎞ C α C t = C λ C t / C l → C α C l / C λ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ → Suy ⎝ α ⎠⎝ l ⎠ ⎝ λ ⎠ α ' l ' αl αl = = idem (như nhau) →tổ hợp không thứ nguyên Nu = có giá trị λ' λ λ cho tượng đồng dạng, gọi tiêu chuẩn Nusselt Xét tương tự với phương trình khác hệ phương trình vi phân toả nhiệt, dẫn tiêu chuẩn : 34 Tiêu chuẩn Prandtl Pr = Galilei: Ga = Gr = ωl ν , tiêu chuẩn Reynolds Re = tiêu chuẩn a ν ρ − ρ0 gl Nếu nhân Ga với = β ∆t tiêu chuẩn Grashoff: ρ0 ν gβ ∆tl ν2 3)Phân loại : tiêu chuẩn đồng dạng phân loại : tiêu chuẩn xác định chứa thông số cho điều kiện đơn trị (ví dụ Pr Gr) tiêu chuẩn chưa xác định có chứa thơng số chưa biết Ví dụ: Nu = định chứa α chưa biết Re = αl chưa xác λ ωl tiêu chuẩn xác định toả nhiệt cưỡng ν biết ω, tiêu chuẩn chưa xác định toả nhiệt tự nhiên, lức chưa biết ω 4) Phương trình tiêu chuẩn phương trình liên hệ tiêu chuẩn đồng dạng Ví dụ, phương trình tiêu chuẩn suy từ hệ phương trinh vi phân toả nhiệt có dạng tổng quát Nu=f(Re, Gr, Pr) 3.4.3 Các định lý đồng dạng ứng dụng 1) Định lý 1: hai tượng đồng dạng trị số tiêu chuẩn đồng dạng tên Định lý cho phép xác định thông số tượng thực tế cách đo thơng sơ mơ hình thí nghiệm đồng dạng với 2) Định lý 2: Hệ phương trình vi phân phương trình tiêu chuẩn suy từ hệ tương đương Định lý cách giải hệ phương trình vi phân thực nghiệm theo bước sau: - Từ hệ phương trình vi phân suy tiêu chuẩn đồng dạng - Lập mơ hình đồng dạng đo đại lý có tiêu chuẩn - Tính lập bảng tương ứng tiêu chuẩn đồng dạng xấp xỉ bảng phương trình tiêu chuẩn 35 Phương trình tiêu chuẩn cơng thức thực nghiệm, tương đương với nghiệm hệ phương trình vi phân cho 3) Định lý 3: Điều kiện cần đủ để tượng đồng dạng điều kiện đơn trị đồng dạng tiêu chuẩn xác định tên Định lý cách lập mơ hình thí nghiệm đồng dạng với tượng cần khảo sát, cách tạo trường thông số cho trước đồng dạng chọn hệ số đồng dạng cho tiêu chuẩn xác định Nó cho hay phạm vi ứng dụng công thức thực nghiệm lớp tượng đồng dạng với mơ hình xét 3.5 PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH THỨ NGUN TÌM PHƯƠNG TRÌNH TIÊU CHUẨN 3.5.1 Cơ sở bước áp dụng phương pháp PTTN - Phương pháp PTTN phương pháp tìm biến số độc lập không thứ nguyên ảnh hưởng tới tượng vật lý đó, thay vào quan hệ đại lượng có thứ nguyên biết - Cơ sở phương pháp PTTN nguyên lý cho rằng, nội dung phương trình mơ tả tượng vật lý không đổi thay đổi đơn vị đo đại lượng vật lý chứa phương trình - Các bước áp dụng phương pháp PTTN gồm : 1) Phân tích thứ nguyên đại lượng vật lý có ảnh hưởng tới tượng để tìm hệ đơn vị 2) Thay đổi hệ đơn vị theo tỷ lệ thích hợp để khử biến số phụ thuộc tìm biến độc lập không thứ nguyên - Đặc điển phương pháp PTTN dựa vào nhận xét tổng quát đại lượng vật lý có ảnh hưởng tới tượng, khơng cần lập hệ phương trình vi phân mơ tả tượng Do phương pháp tiện lợi nghiên cứu tượng 3.5.2 Tìm phương trình tiêu chuẩn tỏa nhiệt phương pháp PTTN 36 Nhận xét tổng quát đại lượng ảnh hưởng tới α (3.2) nêu phương trình tổng quát toả nhiệt là: α = f (l, ρ, ν, a , λ, gβ∆t , ω) (1) Phương pháp PTTN chuyển phương trình (1) dạng tiêu chuẩn gồm bước sau: 1) Phân tích thức nguyên đại lượng vật lý phương trình (1) gồm: [l] = [m], [ρ] = [kg / m ], [ν] = [m s −1 ] = [a ], [λ ] = [ Wm −1 K −1 ] = [kgms −3 K −1 ] , W= Js-1 = Nms-1=kgm2s-3 , [gβ∆t]=[ms-2], [ω]=[ms-1] [α] = [Wm-2K-1]=[kgs-3K-1] Suy đơn vị phương trình (1) hệ gồm đơn vị sau [kg, m, s, K] 2) Dùng hệ đơn vị mới, [Gkg, Mm, Ss, DK] với G, M, S, D số tỷ lệ khác khơng tùy ý, phương trình (1) có dạng (1’) sau: GS-3D-1α = f(M l , GM-3ρ, M2S-1ν, M2S-1a, GMS-3D-1λ, MS-2gβ∆t, MS-1ω) Để khử đại lượng phụ thuộc, cần chọn số G, M, S, D theo điều kiện sau: Ml = GM −3 ρ = ⎧M = l −1 ⎫ ⎪ ⎪ −3 −1 ⎪G = l ρ ⎪ suy → ⎨ ⎬ −2 M S −1ν = ⎪S = νl ⎪ ⎪⎩D = λl ρ −1ν −3 GMS −3 D −1λ = 1⎪⎭ Thay giá trị M, G, S, D vào (1’) có: α l /λ = f(1; 1’;1;a/ν;1; gβ∆t l 3/ν2, ω l /ν), (1”) Đây phương trình tiêu chuẩn tổng qt, có dạng Nu = (Pr, Gr, Re) Theo ngun lý nói trên, phương trình (1’), (1”) (1) tương đương 3.5.3 Ý nghĩa tiêu chuẩn đồng dạng Các tiêu chuẩn đồng dạng biến số độc lập không thứ nguyên(KTN), đặc trưng cho tượng toả nhiệt 37 1) Nu = αl tiêu chuẩn Nusselt hay hệ số toả nhiệt KTN, đặc trưng cho cường λ độ toả nhiệt, tiêu chuẩn chưa xác định 2) Pr = ν/a tiêu chuẩn Prandtl hay độ nhớt KTN đặc trưng cho tính chất vật lý chất lưu, tiêu chuẩn xác định, thường coi thông số vật lý tổng hợp 3) Gr= gβ (tw - tf ) l 3/ν2 tiêu chuẩn Grashoff hay lực đẩy Archimede KTN, đặc trưng cho cường độ đối lưu tự nhiên, tiêu chuẩn xác định 4) Re = ω l /ν tiêu chuẩn Reynolds hay vận tốc không thứ nguyên, đăc trưng cho cường độ đối lưu cưỡng chế độ chuyển động chất lưu, tiêu chuẩn xác định đối lưu cưỡng , tiêu chuẩn chưa xác định phụ thuộc Gr đối lưu tự nhiên 3.5.4 Các dạng đăc biệt phương trình tiêu chuẩn Phương trình tiêu chuẩn tổng quát Nu = f(Re, Gr, Pr) có dạng đặc biệt trường hợp sau 1) đối lưu tự nhiên hồn tồn, Re ẩn số phụ thuộc Gr, nên phương trình tiêu chuẩn sau khử Re = f(Gr) có dạng Nu = f(Gr, Pr) Khi đối lưu tự nhiên chất lưu pha khí, coi Pr = const, nên có Nu=f(Gr) 2) Khi đối lưu cưỡng mạnh, lúc Re>104 chảy rối, coi Gr = const, nên phương trình tiêu chuẩn dạng Nu = f(Re, Pr) Khi chất khí đối lưu cưõng mạnh, Nu = f(Re) 3.6 CÁCH XÁC LẬP CÔNG THỨC THỰC NGHIỆM 3.6.1 bước thực nghiệm Dể xác lập quan hệ cụ thể phương trình tiêu chuẩn cho tượng toả nhiệt cần xét, gnười ta tiến hành bước thực nghiệm sau: 1)Lập mơ hình thí nghiệm đồng dạng với tượng cần xét 2) Đo giá trị tất đại lượng vật lý miền giá trị cần khảo sát 38 3) Lập bảng tính giá trị tương ứng tiêu chuẩn đông dạng Re, Gr, Pr, Nu theo số liệu đo k điểm đo khác nhau, có dạng bảng (3.6.1.): Điểm đo Re = ωl ν Gr = gβ∆tl ν2 pr = ν a Nu = αl λ Re1 Gr1 Pr1 Nu1 Re2 Gr2 Pr2 Nu2 i Rei Gri Pri Nui k Rek Grk Prk Nuk Đây quan hệ cụ thể Nu=f(Re, Gr, Pr), trình bày dạng bảng số, dùng để xác định Nu α 4) Lập công thức thực nghiệm Nu = f(Re, Gr, Pr) tương ứng với bảng giá trị (Re, Gr, Pr, Nu) nói phương pháp đồ thị 3.6.2 phương pháp đồ thị tìm cơng thức thực nghiệm Từ bảng số liệu (Re, Gr, Pr, Nu), ta tìm cơng thức thực nghiệm tương ứng dạng Nu = CRemGrnPrp, cách biểu lgNu diễn điểm đo đồ thị logarit xác định số n, m, p, C sau 1) Cố định Pr, Gr, trị số Pri, Grj , biểu diễn k điểm đo tọa độ (lgNu, lgRe) k họ, họ k đường thẳng dạng lgNu = nlgRe + lg(CGrim.Prjp) với góc nghiêng γij , tìm số mũ n trung bình theo công thức n = Grk Grf Gri Prk Pri Grk Grf Gri Pr1 Grk Grf Gri θif Re1 Rei lgRe Rek Hình 3.5 Để tìm n ⎞ k ⎛1 k ⎜ ∑ tgγ ij ⎟ ∑ ⎟ k i =1 ⎜⎝ k j=1 ⎠ 39 2) Cố định Pr Pri khác nhau, biểu diễn k điểm đo toạ độ (lg lgGr) họ k đường thẳng dạng lg Nu , Re n Nu = m lg Gr + lg(C Prip ) với góc n Re nghiêng βi , tìm trị trung bình số mũ m theo cơng thức m = 3) Biểu diễn k điểm đo toạ độ k ∑ tgβ i k i =1 lgNu Re n Nu ⎛ ⎞ ⎜ lg n m , lg Pr ⎟ , xấp xỉ theo phương pháp bình ⎝ Re Gr ⎠ Prk βi phương nhỏ đường thẳng dạng Pri Pr1 lg Nu = p lg Pr + lg C có góc nghiêng ϕ, giao Re n Gr m lgGr Gr1 Gri Grk Hình 3.6 Để tìm với trục tung lgC, theo tìm p=tgϕ C = m= 10lgC k ∑ tgβ i k i =1 Khi miền biến thiên Re Gr rộng, để tăng độ xác phép xấp xỉ, người ta chia miền khoảng nhỏ, tìm số n m ứng với khoảng 3.7 CÁC CÔNG THỨC THỰC NGHIỆM TÍNH α 3.7.1 Bài tốn tỏa nhiệt bước tính α n m lgReNu Gr Bài tốn toả nhiệt thường phát biểu sau: Tìm hệ số tảo nhiệt α từ bề mặt có vị trí hình Pri βi dạng cho trước, đặt trưng kích thước định tính lgC lgPr l , có nhiệt độ tw, đến mơi trường chất lưu cho trước có Pr1 nhiệt độ tf vận tốc ω, có tác nhân cưỡng Hình 3.6 Để tìm Lời giải toán α = λNu/ l , với Nu = Pri Prk p=tgϕ f(Re, Gr, Pr) tính theo cơng thức thực nghiệm ứng với mơ hình toả nhiệt cho, giá trị (λ, ν, β, Pr ) tra từ bảng thông số vật lý chất lưu cho, nhiệt độ định tính qui định cơng thức 40 Với chất lưu pha khí , tính β theo công thức β = ,(1/K) [ t ] + 273 3.7.2 Công thức thực nghiệm tỏa nhiêt tự nhiên 3.7.2.1 Toả nhiệt tự nhiên không gian vô hạn Không gian vô hạn không gian chứa chất lưu có chiều dày đủ lớn để coi chất lưu trao đổi nhiệt với riêng mặt xét Cơng thức thực nghiệm tính α cho bề mặt phẳng trụ mặt hữu hạn có dạng Num = C(GrPr)mn , nhiệt độ định tính [t] = (tw + tf)/2 = tm, kích thước định tính ⎧ ⎪chiãưu cao h ca màût phàóng hồûc trủ thàóng âỉïng ⎪⎪ f l = ⎨âỉåìng kênh d = 4f / u ca äúng trủ nàòm ngang, cọ diãûn têch/ chu vi tiãút diãûn l u ⎪ ⎪âỉåìng kênh d = 6V/F ca váût hỉỵu hản báút k, cọ thãø têch/ diãûn têch xung quanh l v ⎪⎩ f Các số C n cho theo bảng sau: (GrPr)m C N 10-3 ÷ 5.102 1,18 1/8 5.102 ÷ 2.107 0,54 1/4 2.107 ÷ 1013 0,135 1/3 Với phẳng nằm ngang lấy [ l ] = 4f/u, toả nhiệt lên lấy α n ↑ = 1,3α l , khitoả nhiệt xuống lấy α n ↓ = 0,7α l 3.7.2.2 Toả nhiệt tự nhiên không gian hữu hạn Không gian hữu hạn hiểu khe hẹp phẳng trụ chứa chất lưu có chiều dày δ nhỏ, mặt có nhiệt độ khác tw1 > tw2, khiến cho chất lưu nhận nhiệt từ mặt nóng nhả nhiệt cho mặt lạnh Lượng nhiệt truyền từ mặt nóng đến mặt lạnh qua chất lưu tính theo cơng thức dẫn nhiệt qua vách chất lưu có biên loại hệ số dẫn nhiệt tương đương λtđ cho theo công thức thực nghiệm: 41 λtđ = λmC(GrPr)mn với [t] = tm = (tw1+ tw2)/2 , ⎧chiãöu dy δ ca khe phàóng [l] = ⎨ ⎩chiãưu dy δ = (d - d )/2 cuía khe truû C, n cho theo bảng sau: tw1 (Gr.Pr)m C n