phân tích các tổ chức toán học bài hàm số liên tục

MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU CHƯƠNG PHÂN TÍCH VÀ LÀM RÕ MỘT SỐ ĐIỂM CỦA R(I,O) 1) Trong chương trình bậc trung học khái niệm hàm số liên tục xuất mô tả nào? 2) Hàm số liên tục sử dụng chương trình trung học nào? .4 3) Hàm số liên tục có mối quan hệ với đối tượng khác tồn thể chế dạy học bậc trung học? 4) Phân tích tổ chức tốn học xung quanh hàm số liên tục : Xét tính liên tục hàm số điểm thuộc tập xác định hàm số cho Để thực kiểu nhiệm vụ thứ (): Xét tính liên tục hàm số điểm : Xác định khoảng hàm số liên tục, hàm số hàm số cho công thức loại hàm số định lí 1, trang 137 sách giáo khoa đại số giải tích 11 hành : Xét tính liên tục hàm số cho nhiều cơng thức tập xác định hàm số : Tìm điều kiện tham số để hàm số cho nhiều công thức liên tục điểm .9 : Chứng minh phương trình có m nghiệm hàm số loại hàm số định lí 1, trang 137 sách giáo khoa đại số giải tích 11 hành 10 5) Dự đoán kiến thức học sinh đối tượng tri thức “Hàm số liên tục” .13 CHƯƠNG KẾT LUẬN 13 PHẦN MỞ ĐẦU Hàm số liên tục tri thức toán học xuất từ lâu, gắn liền với nhiều toán khác nhà toán học tên tuổi lịch sử tốn học Chính chúng tơi tìm hiểu đơi nét lịch sử hình thành phát triển tri thức Khi tìm hiểu chúng tơi vào nghiên cứu Trần Anh Dũng – Chuyển hóa sư phạm khái niệm hàm số liên tục chương trình tốn bậc trung học phổ thơng Hoa Kì Việt Nam – Tạp chí khoa học Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh số 21 năm 2010 “Theo nghiên cứu Habiba El Bouazzaoui (1988), lịch sử hình thành phát triển khái niệm HSLT phân thành giai đoạn sau đây.[9]  Giai đoạn 1: Từ Hy Lạp cổ đại đến đầu kỷ XVII Cho đến đầu kỷ XVII, khái niệm hàm số ngầm ẩn Nó thể qua biểu diễn hình vẽ nhiều lúc qua phát biểu lời Khái niệm HSLT xuất ngầm ẩn qua khái niệm liên tục – khái niệm diện dựa trực giác định lượng biến thiên cách liên tục theo thời gian đường đi, quĩ đạo Cụ thể hơn, giai đoạn có quan niệm nguyên thủy (QNNT) liên tục: Khái niệm liên tục có chế tiền tốn học, có tính tổng thể ngầm ẩn Nó chưa có tên, chưa định nghĩa xuất công cụ ngầm ẩn cho phép giải vấn đề tính diện tích, thể tích phạm vi hình học Trong phạm vi vật lí, tác động ngầm ẩn qua việc biểu diễn tương quan vận tốc, thời gian qng đường Nó ln gắn liền với đối tượng vật lí đường đi, quĩ đạo  Giai đoạn 2: Thế kỷ XVII, XVIII Giai đoạn bắt đầu với quan niệm hình học Descartes (QHD), trội hết quan niệm hàm số liên tục Euler (QHE) kỉ XVIII Trong QHD, khái niệm HSLT có chế cận tốn học, tiếp cận tổng thể dựa trực giác, sử dụng công cụ ngầm ẩn Trong đó, theo QHE hàm số liên tục có tính tổng thể, có đặc tính hình học đặc tính số học Quan niệm cho thấy tiến triển rõ ràng so với quan niệm hình học Descartes nhà toán học thời với Newton Tuy nhiên, thời kì trước khái niệm liên tục diện với chế cận toán học  Giai đoạn 3: Từ kỷ XIX đến Trong nửa đầu kỷ XIX, Bolzano Cauchy số hóa khái niệm HSLT: tính liên tục hàm số xem tính chất địa phương, khác quan niệm Euler (tính liên tục gắn với đặc trưng tổng thể) Trong quan niệm số hóa Cauchy (QSC), khái niệm hàm số liên tục lấy chế toán học, trong quan niệm Euler có chế cận tốn học Đó bước tiến quan trọng khái niệm hàm số liên tục lịch sử tiến hóa Trong nửa cuối kỷ XIX, với Weierstrass Darboux, định nghĩa tính liên tục hàm số khỏi trực giác chuyển động ngầm ẩn định nghĩa Cauchy Weierstrass Darboux loại bỏ việc sử dụng khái niệm vô bé định nghĩa tính liên tục Bước tiến hóa chuyển định nghĩa tính liên tục thành định nghĩa hình thức Trong quan niệm số hóa Weirstrass (QSW), khái niệm HSLT có đặc trưng địa phương, số học, có chế tốn học áp dụng hàm Trong giai đoạn này, xuất quan niệm HSLT Baire (QSB) dựa phân loại hàm số với biến số thực Từ đầu kỷ XX, tôpô học xuất với tư cách lĩnh vực tốn học chun tìm hiểu nghiên cứu quan hệ liên tục phạm vi toán học Khái niệm liên tục thể tính chất khơng gian thời gian Do đó, có ý nghĩa nòng cốt cho việc nhận thức Tơpơ học có mặt lĩnh vực tốn học Quan niệm tơpơ (QT) HSLT quan niệm tiến hóa cao nay.” Như vậy, hàm số liên tục hình thành phát triển thời gian dài chúng tơi nhận thấy chương trình trung học phổ thơng hàm số liên tục dường quan tâm, chúng tơi đưa câu hỏi là: Câu hỏi 1: Lý để đưa vào khái niệm hàm số liên tục gì? Câu hỏi 2: Những tổ chức toán học xoay quanh hàm số liên tục? Để làm sáng tỏ giả thuyết để trả lời cho hai câu hỏi trên, thực nghiên cứu tri thức hàm số liên tục nghiên cứu mối quan hệ thể chế với tri thức hàm số liên tục CHƯƠNG PHÂN TÍCH VÀ LÀM RÕ MỘT SỐ ĐIỂM CỦA R(I,O) Trong đó: O: hàm số liên tục I: thể chế dạy học bậc trung học phổ thông 1) Trong chương trình bậc trung học khái niệm hàm số liên tục xuất mô tả nào? Tốn 9, tính liên tục đồ thị hàm số khoảng xác định hợp thức hóa thơng qua việc vẽ đồ thị hàm số (bằng cách lấy hai điểm thuộc đồ thị hàm số nối liền hai điểm thành đường thẳng), (bằng cách lấy ba, năm điểm nhiều thuộc đồ thị hàm số nối điểm lại thành đường cong gọi parabol) (SGK tập/tr50) Cách vẽ đồ thị trình bày SGK (SGK tập/tr51) (SGK tập 2/tr34) Toán 10, tính liên tục tiếp tục cơng nhận đặc trưng hiển nhiên đồ thị hàm số khoảng mà xác định Ví dụ hàm số có đồ thị đường liền nét (SGK Đãi Số 10 CB/tr34) (SGK Đại Số 10 CB/tr40) Đồ thị hàm số (SGK Đại Số 10 CB/tr41) (SGK Đại Số 10 CB/tr44) Cách vẽ trình bày SGK (SGK Đại Số 10 CB/tr44) Tốn 11, học kì I khái niệm hàm số liên tục xuất ngầm ẩn Cụ thể, HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC, SGK đưa đồ thị hàm số đoạn (SGK Đại Số 11 CB/tr8) Sau SGK hướng dẫn học sinh vẽ đồ thị hàm số khơng giải thích làm (SGK Đại Số 11 CB/tr8) (SGK Đại Số 11 CB/tr9) Tương tự hàm số (SGK Đại Số 11 CB/tr9) Tính gián đoạn hàm số lần xuất hiện, ngầm ẩn việc vẽ đồ thị hàm số , (SGK Đại Số 11 CB/tr12) (SGK Đại Số 11 CB/tr14) Tóm lại, giai đoạn trước học kì II lớp 11, khái niệm hàm số liên tục diện ngầm ẩn qua hình ảnh đồ thị đường liền nét Học kì II, khái niệm hàm số liên tục xuất tường minh (sách giáo khoa trang 136), cụ thể là: Khái niệm hàm số liên tục điểm; khái niệm hàm số liên tục khoảng, đoạn định nghĩa rõ ràng (SGK Đại Số & Giải Tích 11 CB/tr136) 2) Hàm số liên tục sử dụng chương trình trung học phổ thơng nào? * Giai đoạn ngầm ẩn (giai đoạn trước học kì II lớp 11): hàm số liên tục cơng cụ ngầm ẩn để học sinh vẽ đồ thị hàm số cách nối điểm thành đường liền nét * Giai đoạn tường minh (bắt đầu từ học kì II lớp 11, 3, chương 4) Hàm số liên tục công cụ tường minh để giải tốn chương trình lớp 12: xét tính đơn điệu hàm số, tính nguyên hàm (sự tồn nguyên hàm sách giáo khoa trang 95), tích phân Bổ sung vd 3) Hàm số liên tục có mối quan hệ với đối tượng khác tồn thể chế dạy học bậc trung học phổ thơng? * Tính liên tục giải tích thể hiện: Khái niệm hàm số liên tục sử dụng công cụ tường minh để giải tốn đạo hàm (lớp 11), ngun hàm, tích phân (lớp 12) tốn tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số miền, tốn tồn nghiệm phương trình khoảng đoạn * Tính liên tục hình học thể hiện: Trong sách giáo khoa hình học 11 phép biến hình đưa vào phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép vị tự Dạng tập thường gặp ứng dụng phép biến hình để tìm quỹ tích Các lời giải dạng tập khơng theo quy tắc truyền thống, có hai phần thuận đảo tốn quỹ tích Lý giải thích dựa sở lý luận ánh xạ song liên tục không gian mêtric Các phép biến hình xét có tính chất: song ánh, liên tục, lý khơng cần thiết phải chứng minh phần thuận, đảo 4) Phân tích tổ chức tốn học xung quanh hàm số liên tục Kiểu nhiệm vụ thứ (): Xét tính liên tục hàm số điểm Kiểu nhiệm vụ thứ hai (): Xác định khoảng hàm số liên tục Kiểu nhiệm vụ thứ ba : Xét tính liên tục hàm số cho nhiều công thức tập xác định hàm số Kiểu nhiệm vụ thứ tư : Tìm điều kiện tham số m để hàm số cho nhiều công thức liên tục điểm Kiểu nhiệm vụ thứ năm (): Chứng minh phương trình có m nghiệm, , hàm số loại hàm số định lí 1, trang 137 sách giáo khoa đại số giải tích 11 hành Kiểu nhiệm vụ thứ sáu (): Sử dụng đồ thị dự đốn khoảng hàm số liên tục : Xét tính liên tục hàm số điểm thuộc tập xác định hàm số cho Ví dụ 1/tr136 Bài 1/tr140 Bài 2/tr141 Để thực kiểu nhiệm vụ thứ (): Xét tính liên tục hàm số điểm thuộc tập xác định hàm số cho Ta áp dụng kỹ thuật : Bước 1: Tìm tập xác định hàm số Bước 2: Kiểm tra xem có thuộc tập xác định hay khơng Nếu có tiếp tục thực bước 3, ngược lại kết luận hàm số không liên tục Bước 3: Tính Nếu giới hạn tồn hữu hạn thực bước 4, ngược lại kết luận hàm số ekhông liên tục Bước 4: Tính Bước 5: So sánh hai giá trị vừa tìm + Nếu = hàm số liên tục + Nếu hàm số khơng liên tục Kỹ thuật phải có cơng nghệ nó, cơng nghệ : Định nghĩa hàm số liên tục điểm Những cơng nghệ cần có lý thuyết tương ứng lý thuyết công nghệ : Lý thuyết hàm số liên tục, : Lý thuyết giới hạn, : Lý thuyết phép biến đổi đại số Chúng nhận thấy kiểu nhiệm vụ “Xét tính liên tục hàm số điểm không thuộc tập xác định hàm số cho” khơng xuất hiện, việc có gây ảnh hưởng đến nhận thức học sinh hàm số liên tục không? : Xác định khoảng hàm số liên tục, hàm số hàm số cho công thức loại hàm số định lí 1, trang 137 sách giáo khoa đại số giải tích 11 hành Bài 4/tr141 sách giáo viên ghi đáp số mà khơng trình bày lời giải chi tiết Kỹ thuật : Bước Tìm tập xác định hàm số Bước Kết luận: Hàm số liên tục khoảng mà xác định Công nghệ : Định lý 1, trang 137 sách giáo khoa đại số giải tích 11 hành (SGK Đại Số & Giải Tích 11 CB/tr137) Lý thuyết: : Lý thuyết hàm số liên tục : Lý thuyết giới hạn Lý thuyết phép biến đổi đại số : Xét tính liên tục hàm số cho nhiều công thức tập xác định hàm số Ví dụ 2/tr137 Bài 7/tr143 Kỹ thuật : Bước Tìm tập xác định D hàm số Bước Căn vào công thức xác định hàm số để chia tập xác định thành khoảng Bước Xét tính liên tục hàm số khoảng chia Bước Xét tính liên tục hàm số điểm “chuyển tiếp” hàm số cho nhiều công thức? (Áp dụng kỹ thuật ) Với điểm chuyển tiếp điểm “biên giới” biểu thức xác định hàm số, nghĩa điểm hàm số thay đổi “luật” xác định (chúng gọi chúng điểm chuyển tiếp) kiểu nhiệm vụ độc lập Nhưng lại xuất thành phần kĩ thuật kiểu nhiệm vụ Vậy ta thấy kiểu nhiệm vụ kiểu nhiệm vụ Công nghệ: : Định nghĩa hàm số liên tục điểm : Định lý 1, trang 137 sách giáo khoa đại số giải tích 11 hành Lý thuyết: : Lý thuyết hàm số liên tục : Lý thuyết giới hạn Lý thuyết phép biến đổi đại số : Tìm điều kiện tham số để hàm số cho nhiều công thức liên tục điểm Bài tốn tìm điều kiện tham số để hàm số liên tục điểm có đưa vào SGK dạng trắc nghiệm SBT có đưa vào khơng trình bày lời giải mà ghi đáp số Vì chúng tơi nghiên cứu thêm kiểu nhiệm vụ chương trình 11 nâng cao Cụ thể… (SBT Đại Số & Giải Tích 11/tr164) Kỹ thuật : Bước Tìm tập xác định hàm số cho Nếu thuộc tập xác định tiếp tục thực bước 2, ngược lại chuyển qua bước 5.2 Bước Tìm giới hạn tồn hữu hạn tiếp tục thực bước 3, ngược lại chuyển qua bước 5.2 Bước Tìm Bước Tìm m để Bước 5.1 Kết luận giá trị m vừa tìm thoả đề Bước 5.2 Kết luận khơng có giá trị m thoả đề Cơng nghệ: : Định nghĩa hàm số liên tục điểm : Định lý 1, trang 137 sách giáo khoa đại số giải tích 11 hành Lý thuyết: : Lý thuyết hàm số liên tục : Lý thuyết giới hạn Lý thuyết phép biến đổi đại số : Chứng minh phương trình có m nghiệm hàm số loại hàm số định lí 1, trang 137 sách giáo khoa đại số giải tích 11 hành Ví dụ 3/tr139 Bài 6/tr141 Bài 14,15/tr181 Kỹ thuật : Bước 1: Tìm m khoảng (, khoảng đơi giao rỗng) cho liên tục đoạn (Áp dụng kỹ thuật kiểu nhiệm vụ để kiểm tra tính liên tục đoạn ) Bước 2: Kết luận phương trình có m nghiệm nghiệm Công nghệ: : Định nghĩa hàm số liên tục đoạn : Định lý 1, trang 137 sách giáo khoa đại số giải tích 11 hành : Định lí tồn nghiệm phương trình Lý thuyết: : Lý thuyết hàm số liên tục : Lý thuyết giới hạn Lý thuyết phép biến đổi đại số : Sử dụng đồ thị dự đốn khoảng hàm số liên tục Bài 3.1/tr168 Kỹ thuật : Bước Vẽ đồ thị Bước Nhìn đồ thị kết luận Công nghệ: : Nhận xét đồ thị hàm số liên tục (SGK/tr136) : Cách vẽ đồ thị hàm số Lý thuyết: : Lý thuyết hàm số liên tục Lý thuyết hàm số : Lý thuyết phép biến đổi đại số *tổng kết số lượng tập Kiểu nhiệm vụ Số lượng tập (21,74%) (4,35%) (21,74%) (13,04%) (30,43%) ( 8,7%) TỔNG 23 (100%) Kết luận: thơng qua bảng phân tích cho thấy thể chế trọng phương diện số học hàm số liên tục, phương diện hình học mờ nhạt, liên hệ Điều cho thấy thể chế mong muốn điều gì? Chúng tơi đưa giả thuyết thể chế muốn đại số hóa giải tích qua bảng ta thấy kiểu nhiệm vụ chiếm ưu thế, Công nghệ Định nghĩa hàm số liên tục điểm Định lý 1, trang 137 sách giáo khoa đại số giải tích 11 Kiểu nhiệm vụ hành Định nghĩa hàm số liên tục đoạn Định lý tồn nghiệm Nhận xét đồ thị hàm số liên tục Cách vẽ đồ thị hàm số Kết luận  , , tạo nên tổ chức tốn học điểm: , , Cơng nghệ chung cho kĩ thuật: Định nghĩa hàm số liên tục điểm  , , thuộc tổ chức toán học địa phương  , , tạo nên tổ chức tốn học điểm: , , Cơng nghệ chung cho kĩ thuật: Định lý 1, trang 137 sách giáo khoa đại số giải tích 11 hành  , , thuộc tổ chức toán học địa phương tổ chức toán học điểm thuộc tổ chức toán học vùng mà lý thuyết chung là:  Lý thuyết hàm số liên tục  Lý thuyết giới hạn  Lý thuyết phép biến đổi đại số 5) Dự đoán kiến thức học sinh đối tượng tri thức “Hàm số liên tục” Thể chế mong muốn học sinh giải kiểu nhiệm vụ, sử dụng thành thạo kỹ thuật để giải nhiệm vụ, từ hiểu nắm vững công nghệ Học sinh phải biết:  Xét tính liên tục hàm số điểm, khoảng, đoạn  Xác định tham số m để hàm số liên tục tập xác định  Chứng minh phương trình có nghiệm (a; b)  Xác định khoảng hàm số liên tục  Xét tồn đạo hàm hàm số Trong nhiệm vụ chiếm ưu nhiệm vụ khác, sách giáo khoa sách tập chương trình tốn 11 Việt Nam Điều thể thể chế mong muốn học sinh hiểu vận dụng cách xét tính liên tục hàm số, cách dự đốn số nghiệm phương trình khoảng, đoạn CHƯƠNG KẾT LUẬN Hiểu hàm số liên tục ta phải hiểu theo hai phương diện, phương diện số, hai phương diện hình học thể chế trung học phổ thơng, phương diện số liên hệ nhiều tổ chức tốn học điểm liên hệ phương diện hình học (chỉ có hai tập) Hàm số liên tục tri thức tốn học có ảnh hưởng tác động đến nhiều tri thức khác tốn học phương trình, đạo hàm, tích phân,… Xét tính liên tục điểm đến khoảng cuối áp dụng để chứng minh phương trình có nghiệm học kiến thức tìm nghiệm, ước lượng nghiệm  ... đến nhận thức học sinh hàm số liên tục khơng? : Xác định khoảng hàm số liên tục, hàm số hàm số cho công thức loại hàm số định lí 1, trang 137 sách giáo khoa đại số giải tích 11 hành Bài 4/tr141... đồ thị hàm số liên tục (SGK/tr136) : Cách vẽ đồ thị hàm số Lý thuyết: : Lý thuyết hàm số liên tục Lý thuyết hàm số : Lý thuyết phép biến đổi đại số *tổng kết số lượng tập Kiểu nhiệm vụ Số lượng... hàm số liên tục đoạn Định lý tồn nghiệm Nhận xét đồ thị hàm số liên tục Cách vẽ đồ thị hàm số Kết luận  , , tạo nên tổ chức toán học điểm: , , Công nghệ chung cho kĩ thuật: Định nghĩa hàm số liên