Bµi 5: Cho tËp hîp B = {x, y, z} . Hái tËp hîp B cã tÊt c¶ bao nhiªu tËp hîp con? Híng dÉn TËp hîp con cña B kh«ng cã phÇn tõ nµo lµ . TËp hîp con cña B cã 1phÇn tõ lµ {x} { y} { z } C¸c tËp hîp con cña B cã hai phÇn tö lµ {x, y} { x, z} { y, z } TËp hîp con cña B cã 3 phÇn tö chÝnh lµ B = {x, y, z} VËy tËp hîp A cã tÊt c¶ 8 tËp hîp con.
CHUN ĐỀ BỒI DƯỠNG TỐN NĂM 2018 CHƯƠNG TRÌNH DẠY THÊM KHỐI (30 BUỔI) STT 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 TÊN CHUYÊN ĐỀ Điền số tự nhiên,ghi số tự nhiên ,tìm số Các phép tính số tự nhiên, Đếm số Lũy thừa với số mũ tự nhiên Các dấu hiệu chia hết Ôn tập phép tính tập hợp số tự nhiên Ơn tập lũy thừa phép tốn Tính chất chia hết tổng,một hiệu tích Điểm,đường thẳng,tia Ước chung Bội chung Số nguyên tố Hợp số ƯCLN,BCNN toán lien quan Ôn tập kiểm tra chủ đề Đọan thẳng,trung điểm đoạn thẳng Tập hợp Z số nguyên Phép cộng số nguyên Phép trừ số nguyên Quy tắc dấu ngoặc-Quy tắc chuyển vế Phép nhân số nguyên-Bội ước số nguyên Ôn tập kiểm tra chủ đề số nguyên Góc-Tia phân giác góc Phân số-Phân số Tính chất phân số-Rút gọn phân số Quy đồng mẫu số nhiều phấn số Cộng,trừ phân số Nhân ,chia phân số Ôn tập hỗn số,số thập phân,phần trăm Các toán phân số(buổi 1) Các toán phân số(buổi 2) Các toán tổng hợp phân số Ôn tập kiểm tra ch GHI CH Giáo viên: Lý Ngc Chung CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN NĂM 2018 Buổi ĐIỀN SỐ TỰ NHIÊN, GHI SỐ TỰ NHIÊN, TÌM SỐ A/ Mục tiêu: - Học sinh nắm vững kiến thức số tự nhiên cấu tạo số hệ thập phân, phép tính số tự nhiên, tính chất chia hết - Vận dụng thành thạo phép biến đổi vào tập sè häc - RÌn lun cho häc sinh thãi quen tự đọc sách, t lô gic óc phân tích tổng hợp B/ Chuẩn bị: Nội dung chuyên đề, kiến thức cần sử dụng tập tự luyện C/ Nội dung chuyên đề I/ Kiến thức 1, Đặc điểm ghi số tự nhiên hệ thập phân - Dùng 10 chữ số 0; 1; 2; 3; để ghi số tự nhiên - Cứ 10 đơn vị hàng đơn vị hàng trớc Ví dụ: ab = 10a+b abc = 100a + 10b+c 2, So s¸nh sè tù nhiªn + a > b a n»m ë bên trái số b tia số + a < b a nằm bên phải số b tia số 3, Tính chẵn lẻ: a, Số tự nhiên có chữ số tận 0; 2; 4; 6; số chẵn (2b;b N) Giáo viên: Lý Ngc Chung CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN NĂM 2018 b, Số tự nhiên có chữ số tận 1; 3; 5; 7; số lẻ (2b+1;b N) 4, Sè tù nhiªn liªn tiÕp a, Hai sè tù nhiên liên tiếp hai đơn vị a; a+1 (a N) b, Hai số tự nhiên chẵn liên tiếp hai đơn vị 2b; 2b + (b N) c, Hai sè tù nhiªn lẻ liên tiếp hai đơn vị 2b + ; 2b + (b N) II/ Bài tập Bài tập 1: Có chữ số có chữ số mà tổng chữ số 3? Gi¶I 3=0+0+3=0+1+1+1=1+2+0+0 3000 1011 2001 1110 2100 1200 1101 2010 1020 1002 + + = 10 số Bài tập 2: Các số tự nhiên từ 1000 đến 10000 có số có ba chữ sè gièng nhau? Gi¶I Cã nhÊt sè 10000 cã chữ số không thoả mãn đề số có dạng bbab bbba abbb babb (a b) Xét số abbb chữ số a có cách chọn (ab) Với a chọn ta có cách chọn (ba) => Cã 9.9 = 81 sè cã d¹ng abbb Tơng tự: => Có 81.4=324 số Bài tập 3: Viết số tự nhiên liên tiếp từ ->100 từ trái sang phải thành dãy Giáo viên: Lý Ngc Chung CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN NĂM 2018 a, Dãy có tất chữ số? b, Chữ số thứ 100 kể từ trái sang phải chữ số nào? GiảI a, Số có chữ số: sè => 9.1 = ch÷ sè Sè cã ch÷ sè: 99 – = 90 sè => 90.2 = 180 ch÷ sè Sè ch÷ sè: 100 => chữ số Vậy dãy có + 180 + = 192 ch÷ sè b, Ch÷ sè thứ 100 rơi vào khoảng số có chữ số Bắt đầu từ 1011 chữ số thứ 91 91 – 2.45 + Sè thø 45 kÓ tõ 10 là: (45 - 1) + 10 = 54 Vậy chữ số thứ 100 chữ số Bài tập 4: Viết liên tiếp 15 số tự nhiên lẻ tạo thành số tự nhiên xoá 15 chữ số để đợc.a, Số lớn (9 923 252 729) b, Sè nhá nhÊt (1 111 111 122) Bµi tËp 5: NÕu sè cã ch÷ sè biÕt r»ng viết thêm chữ số vào bên phải số tăng 1112 đơn vị ( abc =123) Bài tập 6: Tìm số có chữ số Biết xoá chữ số hàng chục hàng đơn vị số giảm 4455 đơn vị Gi¶i abcd - ab = 4455 => cd = 99.(45- ab ) cd < 100 => (45- ab ) < 100 => 45 - ab = => NÕu ab = 45 => cd = NÕu ab = 44 => cd = 99 Vậy số phải tìm 4500 44996 Bài tập 7: Tìm số có chữ số biết số gấp lần tổng chữ số Giáo viên: Lý Ngc Chung CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TỐN NĂM 2018 Gi¶i ab = 5(a+b) => 5a = 4b => b => b = NÕu b = => a = loại Nếu b = a = => ab = 45 Bài tập 8: Tìm số có chữ số biết lấy số chia cho tổng chữ số đợc thơng d 12 Gi¶i ab = 5(a+b) + 12 => 5a = 4(b+3) => b + : => b = NÕu b = => a = NÕu b = => a = => ab = 42 87 Bài tập 9: Không làm phÐp tÝnh h·y kiĨm tra kÕt qu¶ phÐp tÝnh a, 136 136 – 42 = 1960 b, ab ab - 8557 = (chữ số tận cùng) Bài tập 10: Tìm số có chữ số biết viết thêm chữ số vào bên trái số ta đợc số gấp 26 lần số (260) Bài tập 11: Tìm số có chữ số, biết lấy số chia cho hiệu chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị ta có thơng 26 d Giải ab = (a - b) 26 + => 27b = 16 a + ab 16a ch½n => 16a + lỴ => b lỴ => b = => a = ab = 53 Giáo viên: Lý Ngc Chung CHUN ĐỀ BỒI DƯỠNG TỐN NĂM 2018 Bµi tập 12: Tìm số có chữ số khác nhau, biết số tổng số có chữ số khác lập từ chữ số sè ph¶i Gi¶i abc = ab + ac + bc + ba + ca + cb => abc = 22(a + b + c) Bài tập 13: Điền chữ số thích hợp thay cho chữ a, ab + 36 = ab b, abc - cb = ca c, abc + acc + dbc = bcc Buổi 2: CÁC PHÉP TÍNH VỀ SỐ TỰ NHIÊN - ĐẾM S A/ Mục tiêu: - Học sinh nắm vững phép tính số tự nhiên, tính chất chia hết, kiến thức dãy số cách Giáo viªn: Lý Ngọc Chung CHUN ĐỀ BỒI DƯỠNG TỐN NM 2018 - Vận dụng thành thạo phép biến đổi vào tập số học - Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, t lô gic óc phân tích tổng hợp B/ Chuẩn bị: Nội dung chuyên đề, kiến thức cần sử dụng tập tự luyện C/ Nội dung chuyên đề I/ Kiến thức 1) Các tính chất: Giao hoán: Kết hợp: a + b = b + a; a.b = b.a a + (b + c) = (a + b) + c; a.(b.c) = (a.b).c Phân phối phép nhân phép cộng vµ phÐp trõ: a.(b+c) = a.b + a.c a.(b-c) = a.b - a.c Mét sè trõ ®i mét tỉng: a – (b+c) = a - b – c Mét sè trõ ®i mét hiƯu: a – (b-c) = a - b + c 2) Công thức dãy số cách đều: Số số hạng = (số cuối số đầu) : khoảng cách + Tổng = (số cuối + số đầu) Số số hạng : I/ Bài tập Bài tập 1: Tính cách nhanh chóng a, 29 + 132 + 237 + 868 + 763 = 29 + (132 + 868) + (237 + 763) = 29 + 1000 + 1000 = 2029 b, 652 + 327 + 148 + 15 + 73 = (652 + 148) + (327 + 73) + 15 Giáo viên: Lý Ngc Chung CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN NĂM 2018 = 700 + 400 + 15 = 1115 Bµi tËp 2: Thay chữ chữ số thích hợp a, ab + bc + ca = abc => ab + ca = a00 => ab ac aoo => a = => b = => c = => 19 + 98 + 81 = 198 b, abc + ab + a = 874 => aaa + bb + c = 874 Do bb + c < 110 => 874 aaa > 874 – 110 = 764 => a = => bb + c = 874 – 777 = 97 Ta cã: 97 bb > 97 – 10 = 87 => bb = 88 => c = Ta đợc: 789 + 78 + = 874 Bài tập 3: Điền số từ đến vào ma phơng x cho tổng hàng thứ tự ; 16; 23 tổng cột 14; 12;19 Bài tập 4: Cho sè 1; 3; 5; .; 17 cã thÓ chia số cho thành nhóm cho: a, Tổng số nhóm I gấp đôi tổng sè nhãm II a, Tỉng c¸c sè nhãm I b»ng tổng số nhóm II Giải a, Có thể: (chia hÕt cho 3) Nhãm I: + + + 13 + 15 + 17 = 54 Nhãm II: + + 11 = 27 b, Không tổng không chia hết cho Bài tập 5: T×m x biÕt: a, 135 – (x + 37 ) = 80 => x + 37 = 135 – 80 Giáo viên: Lý Ngc Chung CHUYấN BI DNG TOÁN NĂM 2018 => x + 37 = 55 => x = 55 – 37 = 18 b, (x - 17) + 52 = 158 => x – 17 = 158 - 52 => x – 17 = 106 => x = 106 + 17 = 123 Bµi tËp 6: Mét phÐp trõ cã tỉng cđa sè bÞ trõ, số trừ hiệu 490 hiệu lớn số trừ 129 Tìm số trừ số bị trừ Gi¶i SBT = a ; ST = b; a + b + c = 490 H = c=> a – b = c (2)c – b + c 129 (1) (3) (1) vµ (2) => a = 490 : = 245 (2) vµ (3) => a + 2c = 619 => c= 619 245 187 => b = 245 – 187 = 58 Bµi tËp Thay dấu * chữ số thích hợp **** - *** = ** Biết số không đổi đọc từ phải sang trái từ trái sang phải Giải *** => chữ số hàng nghìn tổng => chữ số hàng đơn vị + ** **** tổng Chữ số hàng trăm số hạng thứ => Chữ số hàng đơn vị số hạng thứ => Bài tập 8: Một trăm số tự nhiên từ -> 100 chia thành lớp chẵn lẻ a, Tổng số nhóm, nhóm lớn hơn? b, Tổng chữ số nhóm, nhóm lớn hơn? Giáo viên: Lý Ngc Chung CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN NĂM 2018 Gi¶i a) 99 10 100 11 13 10 12 b) 99 100 98 Bài tập 9: Đem số có ch÷ sè gièng chia cho sè cã chữ số giống đợc thơng 16 số d Nếu số bị chia số chia bớt chữ số thơng không đổi số d giảm 200 đơn vị, tìm số đó? GiảI aaaa = 16 bbb + r => aaa = 16 bb + (r - 200) Với 200 r < bbb Từ đẳng thức => 1000 a = 1600 b + 200 => 5a = 8b + => a = vµ b = Bài tập 10: Để đánh số sách cần dùng 1995 chữ số a, Cuốn sách có trang ? b, Chữ số thứ 1000 trang chữ số nào? Giải a) Để viết số có ; chữ sè cÇn + 90 = 189 chữ số Vậy số trang số có chữ số Số số có chữ số 1995 189 602 Sè thø nhÊt cã chữ số 100 Vậy số thứ 602 100 + 602 – = 701 Cuèn s¸ch cã 701 trang b) Ch÷ sè thø 1000 thuéc sè cã ch÷ sè (1000 – 189 = 811) 811 = 270 + Giáo viên: Lý Ngc Chung10 CHUN ĐỀ BỒI DƯỠNG TỐN NĂM 2018 Bài tập 3: Sắp xếp phân số 47 17 27 37 ; ; ; 223 98 148 183 theo thứ tự tăng dần Giải: Xét phân số nghòch đảo: đổi hoãn 223 98 148 183 ; ; ; , 47 17 27 37 số : 35 13 13 35 ;5 ;5 ; 47 17 27 37 13 13 35 35 17 27 37 47 a c b d (vì � ) Ta thaáy: 17 27 37 47 98 148 183 223 b d a c Bài A tập 4: So sánh phân soá : 3535.232323 3535 2323 ;B ;C ? 353535.2323 3534 2322 Hướng dẫn giải: Rút gọn A=1 , đổi B;C hỗn số AN Mở rộng : 123123123=123.1001001 ;… Bài tập 6: So sánh 17 1717 & ? 19 1919 Giáo viên: Lý Ngc Chung 127 CHUYấN BỒI DƯỠNG TỐN NĂM 2018 Gợi ý: a c ac ; ý : b d bd +Cách 1: Sử dụng 17 1700 19 1900 +Cách 2: Rút gọn phân số sau cho 101… Bài tập 7: Cho a,m,n �N* Hãy so sánh : A 10 10 11 n &B m n ? m a a a a �10 � �10 � A � m n � n & B � m n � m Giaûi: a �a a �a �a �a 1 Muốn so sánh A & B ,ta so sánh n & m cách a a xét trường hợp sau: a)Với a=1 am = an A=B b) Với a �0: Nếu m= n am = an A=B 1 n A an m n A >B a a Nếu m< n am < an Nếu m > n am Bài P tập 8: So sánh P Q, biết rằng: 31 32 33 60 & Q 1.3.5.7 59 ? 2 2 31 32 33 60 31.32.33 60 (31.32.33.60).(1.2.3 30) P 2 2 230 230.(1.2.3 30) (1.3.5 59).(2.4.6 60) 1.3.5 59 Q 2.4.6 60 Vậy P = Q Bài tập 9: So sánh M Giaûi: M 7.9 14.27 21.36 37 &N ? 21.27 42.81 63.108 333 Ruùt 7.9 14.27 21.36 7.9.(1 2.3 3.4) 37 : 37 &N 21.27 42.81 63.108 21.27.(1 2.3 3.4) 333 : 37 gọn Vậy M = N Bài tập 10: Sắp xếp phân số 21 62 93 ; & theo 49 97 140 thứ tự tăng dần ? Gợi ý: Quy đồng tử so sánh Bài tập 11: Tìm số nguyên x,y biết: x y ? 18 12 Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta 3x y < 3x 36 36 36 36 < 4y < Do x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2 Giáo viên: Lý Ngc Chung 128 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN NĂM 2018 Bài tập 12: So sánh �1 � �1 � �3 � �5 � a ) A � �& B � �; b)C � �& D � � �80 � �243 � �8 � �243 � n n �x � x n Giaûi: p dụng công thức: � � n & x m x m.n �y � y 7 6 1 �1 � �1 � �1 � � � �1 � a ) A � � � � � � 28 & B � � �5 � 30 ;Vì 28 30 � A B 3 �80 � �81 � �3 � �243 � �3 � 5 3 �3 � �3 � 243 � � �5 � 125 b)C � � � � 15 & D � � �5 � 15 �8 � �2 � �243 � �3 � 125 125 125 Chọn 15 làm phân số trung gian ,so saùnh 15 > 15 2 C > D 99 100 & N 100 101 Bài tập 13: Cho M a)Chứng minh: M < N b) Tìm tích M.N minh: M c) Chứng 10 Giải: Nhận xét M N có 45 thừa số 99 100 ; ; ; neân M < N 100 101 b) Tích M.N 101 c)Vì M.N mà M < N nên ta suy : M.M < 101 a)Vaø 1 < 101 100 1 M< 10 10 10 1 Bài tập 14: Cho tổng : S Chứng minh: 31 32 60 S 5 tức M.M < Giải: Tổng S có 30 số hạng , nhóm 10 số hạng làm thành nhóm Giữ nguyên tử , thay mẫu mẫu khác lớn giá trò phân số giảm Ngược lại , thay mẫu mẫu khác nhỏ giá trò phân số tăng lên 1 1 1 1 � �� �� � Ta coù : S � � � � � � 31 32 40 41 42 50 51 52 60 � �� �� � 1 � �1 1 � �1 1 � �1 S � � � � � � 30 � �40 40 40 � �50 50 50 � �30 30 Giáo viên: Lý Ngc Chung 129 CHUYấN BI DƯỠNG TOÁN NĂM 2018 10 10 10 47 48 từc là: S Vậy S (1) 30 40 50 60 60 1 � �1 1 � �1 1 � �1 Mặt khác: S � � � � � � 40 � �50 50 50 � �60 60 60 � �40 40 10 10 10 37 36 S tức : S Vaäy S (2) 40 50 60 60 60 hay S Từ (1) (2) suy :đpcm số phơng pháp tính tổng I > Phơng pháp dự đoán quy nạp : Trong số trờng hợp gặp toán tính tổng hữu hạn Sn = a1 + a2 + an (1) Bằng cách ta biết đợc kết (dự đoán , toán chứng minh cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phơng pháp hầu nh chứng minh đợc Ví dụ : TÝnh tæng Sn =1+3+5 + + (2n -1 ) Thö trùc tiÕp ta thÊy : S1 = S2 = + =22 S3 = 1+ 3+ = = 32 Ta dự đoán Sn = n Với n = 1;2;3 ta thấy kết giả sử với n= k ( k 1) ta cã Sk = k (2) ta cần phải chứng minh Sk + = ( k +1 ) ( 3) ThËt vËy céng vÕ cđa ( 2) víi 2k +1 ta cã 1+3+5 + + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1) v× k2 + ( 2k +1) = ( k +1) nªn ta cã (3) tøc lµ Sk+1 = ( k +1) theo nguyên lý quy nạp toán đợc chứng minh Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n2 Tơng tự ta chứng minh kết sau phơng pháp quy nạp toán học 1, + 2+3 + + n = n(n 1) Giáo viên: Lý Ngc Chung 130 CHUYấN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN NĂM 2018 n(n 1)(2n 1) n(n 1) 3, 13+23 + + n3 = 4, 15 + 25 + + n5 = n2 (n + 1) 12 2, 12 + 2 + + n = ( 2n2 + 2n ) II > Phơng pháp khử liên tiếp : Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta cã thĨ biĨu diƠn a i , i = 1,2,3 ,n , qua hiệu hai số hạng liên tiếp dãy số khác , xác , gi¶ sư : a1 = b1 - b2 a2 = b - b an = bn – bn+ ®ã ta cã : Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + ) = b1 – bn + VÝ dơ : tÝnh tỉng : 1 1 10.11 11 12 12.13 99.100 1 1 1 Ta cã : , 10.11 10 11 11 12 11 12 S= , Do ®ã : S= 1 99.100 99 100 1 1 1 1 10 11 11 12 99 100 10 100 100 Dạng tổng quát 1 Sn = 1.2 2.3 n(n 1) ( n > ) = 1- n n 1 n 1 VÝ dô : tÝnh tæng 1 1 Sn = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2) Ta cã Sn = Sn = Sn = 1 1 1 1 1 1 1.2 2.3 2.3 3.4 n(n 1) (n 1)( n 2) 1 1 1 1 1.2 2.3 2.3 3.4 n(n 1) (n 1)(n 2) 1 1 n(n 3) 1.2 ( n 1)( n 2) 4(n 1)(n 2) VÝ dơ : tÝnh tỉng Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! ( n! = 1.2.3 n ) Ta cã : 1! = 2! -1! 2.2! = ! -2! 3.3! = 4! -3! Giáo viên: Lý Ngc Chung 131 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN NĂM 2018 n.n! = (n + 1) –n! VËy Sn = 2! - 1! +3! – ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! - VÝ dơ : tÝnh tỉng 2n Sn = (1.2) (2.3) n(n 1) 2i 1 ; Ta cã : i (i 1) i (i 1) Do ®ã i = ; ; 3; ; n 1 1 ) 2 (n 1) 2 n n(n 2) = 1- (n 1) (n 1) Sn = ( 1- III > Phơng pháp giải phơng trình với ẩn tổng cần tính: Ví dụ : TÝnh tæng S = 1+2+22 + + 2100 ( 4) ta viÕt l¹i S nh sau : S = 1+2 (1+2+22 + + 299 ) S = 1+2 ( +2+22+ + 299 + 100 - 2100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5) 101 Tõ (5) suy S = 1+ 2S -2 S = 2101-1 VÝ dô : tÝnh tæng Sn = 1+ p + p + p3 + + pn ( p 1) Ta viÕt l¹i Sn díi d¹ng sau : Sn = 1+p ( 1+p+p2 + + pn-1 ) Sn = + p ( 1+p +p2 + + p n-1 + p n –p n ) Sn = 1+p ( Sn –pn ) Sn = +p.Sn –p n+1 Sn ( p -1 ) = pn+1 -1 P n 1 Sn = p VÝ dơ : TÝnh tỉng Sn = 1+ 2p +3p + + ( n+1 ) pn , ( p 1) Ta cã : p.Sn = p + 2p + 3p3 + + ( n+ 1) p n +1 = 2p –p +3p –p2 + 4p3–p3 + + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1 = ( 2p + 3p2 +4p3 + +(n+1) pn ) – ( p +p + p + pn ) + ( n+1) pn+1 Giáo viên: Lý Ngọc Chung 132 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN NĂM 2018 = ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ + ( n+1) p n ) – ( + p+ p + + p n) + ( n +1 ) pn+1 P n 1 (n 1) P n 1 ( theo VD ) P p n 1 L¹i cã (p-1)Sn = (n+1)pn+1 P n 1 n 1 (n 1) P p 1 Sn = p ( P 1) p.Sn=Sn- IV > Phơng pháp tính qua tổng biết Các kí hiệu : n a i a1 a a3 a n i 1 C¸c tÝnh chÊt : n n n i 1 i 1 1, (ai bi ) bi 2, i 1 n a.a n i i 1 a i 1 VÝ dơ : TÝnh tỉng : Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1) Ta cã : Sn = n n i 1 i 1 i(i 1) (i n n i 1 i 1 i ) i i V× : n i 1 n i 1 n n( n 1) (Theo I ) n(n 1)( 2n 1) i i 1 n(n 1) n( n 1)( 2n 1) n(n 1)(n 2) cho nªn : Sn = VÝ dô 10 : TÝnh tæng : Sn =1.2+2.5+3.8+ .+n(3n-1) ta cã : Sn = n n i 1 n i 1 i(3i 1) (3i = 3 i i 1 i) n i i Theo (I) ta cã : Sn = 3n(n 1)(2n 1) n( n 1) n (n 1) VÝ dô 11 TÝnh tæng Sn = 13+ +23 +53 + + (2n +1 )3 ta cã : Sn = [( 13 +2 +33 +43 + +(2n+1)3 ] –[23+43 +63 + +(2n)3] = [13+23 +33 +43 + + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 + + n3 ) Gi¸o viªn: Lý Ngọc Chung 133 CHUN ĐỀ BỒI DƯỠNG TỐN NĂM 2018 Sn = (2n 1) (2n 2) 8n (n 1) 4 ( theo (I) – ) =( n+1) 2(2n+1) – 2n2 (n+1)2 = (n +1 )2 (2n2 +4n +1) V/ VËn dơng trùc tiÕp c«ng thøc tÝnh tổng số hạng dãy số cách ( Häc sinh líp ) C¬ së lý thut : + để đếm số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp dãy cách số đơn vị , ta dùng công thức: Số số hạng = ( số cuối số đầu : ( khoảng cách ) + + Để tính tổng số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp cách số đơn vị , ta dùng công thức: Tổng = ( số đầu số cuối ) ( số số hạng ) :2 VÝ dơ 12 : TÝnh tỉng A = 19 +20 +21 + + 132 Sè sè h¹ng cđa A lµ : ( 132 – 19 ) : +1 = 114 ( sè h¹ng )m A = 114 ( 132 +19 ) : = 8607 VÝ dô 13 : TÝnh tæng B = +5 +9 + .+ 2005 +2009 số số hạng B ( 2009 – ) : + = 503 B = ( 2009 +1 ) 503 :2 = 505515 VI / Vân dụng số công thức chứng minh đợc vào làm toán Ví dụ 14 : Chứng minh r»ng : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) Tõ ®ã tÝnh tỉng S = 2+2.3 + 3.4 + + n (n + 1) Chøng minh : c¸ch : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1) = k( k+1) (k 2) (k 1) = k (k+1) = 3k(k+1) (k 2) ( k 1) k (k 1)(k 2) k (k 1)(k 1) = 3 C¸ch : Ta cã k ( k +1) = k(k+1) * 3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) 1.2.3 0.1.2 3 2.3.4 1.2.3 2.3 3 n( n 1)( n 2) ( n 1) n( n 1) n(n 1) 3 1.2.0 ( n 2) n( n 1) ( n 1) n( n 2) S= 3 => 1.2 = VÝ dụ 15 : Chứng minh : Giáo viên: Lý Ngọc Chung 134 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG TOÁN NĂM 2018 k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) tõ ®ã tÝnh tỉng S = 1.2 + 2.3 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2) Chøng minh : VT = k( k+1) (k+2) (k 3) (k 1) = k( k+1) ( k +2 ) k (k 1)(k 2)(k 3) (k 1)k (k 1)(k 2) 4 1.2.3.4 0.1.2.3 ¸p dơng : 1.2.3 = 4 2.3.4.5 1.2.3.4 2.3.4 = 4 Rót : k(k+1) (k+2) = n(n 1)(n 2)(n 3) (n 1)n(n 1)(n 2) 4 n (n 1)(n 2)(n 3) Céng vÕ víi vế ta đợc S = * Bài tập đề nghị : n(n+1) (n+2) = Tính tổng sau 1, B = 2+ +10 + 14 + + 202 2, a, A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + b, S = + 52 + 53 + + 99 + 5100 c, C = + 10 + 13 + + 76 3, D = 49 +64 + 81+ + 169 4, S = 1.4 + + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , 1,2,3 , n = 1 1 1.2 2.3 3.4 99.100 4 6, S = 5.7 7.9 59.61 5 5 7, A = 11 16 16.21 21.26 61.66 1 1 8, M = 2005 3 3 1 9, Sn = 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) 2 10, Sn = 1.2.3 2.3.4 98.99.100 1 11, Sn = 1.2.3.4 2.3.4.5 n(n 1)(n 2)(n 3) 5, S = 12, M = + 99 + 999 + + 99 .9 50 ch÷ sè 13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9 S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 Tính S100 =? Giáo viên: Lý Ngc Chung 135 CHUN ĐỀ BỒI DƯỠNG TỐN NĂM 2018 Trong qu¸ trình bồi dỡng học sinh giỏi , kết hợp dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho em , chẳng hạn dạng toán tìm x : 14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070 b, + + + + + x = 820 1 1989 c, + 10 x( x 1) 1991 Hay toán chứng minh sù chia hÕt liªn quan 15, Chøng minh : a, A = 4+ 2 +23 +24 + + 220 lµ l thõa cđa b, B =2 + 22 + + + 60 ; 7; 15 c, C = + 33 +35 + + 31991 13 ; 41 d, D = 119 + 118 +117 + + 11 +1 ôn tập Bài Tính giá trị biÓu thøc 7 21 31 15 : b) : 12 12 15 5 1� 11 �1 �� 2,5�� : � � 5� 31 �3 �� a) 19 : c) Giáo viên: Lý Ngc Chung 136 CHUYấN BỒI DƯỠNG TOÁN NĂM 2018 � �1 � 1� � � �: d) � e) �12 � �2 � 18 19 23 1 37 24 37 24 3 �� 1 � 0,25 : 1 � 2 � � �� �4 �� � 4 19 39 9 f) 23 �2 � g) � � (4,5 2) (4) �5 � 2 h) � 1� � 1� i) � �: 2� � � � � 2� 5� � �1� � � j) 125% � �: � 1,5� 20080 k) 2 + � �: 24 �3 �12 �2 � �16 � 12 27 41 47 53 + 16 36 41 47 53 1 �� 1� � 3 �� : 4 � m) � n) �� 4� � 4 4 F 2.4 4.6 6.8 2008.2010 1 1 p) F 18 54 108 990 l) Bài Tìm x biết: 1 2 b) : x 7 c) x (x 1) d) x 2 3 3 (2x 3)(6 2x) 1 3 2 e) x : f) h) 2x 5 g) x 4 3 3 2x �3 � �1 � 0,6x � (1) x 5� i) � j) 3x 1 � k) �4 � �2 � 1 : 2x 1 5 3 1 3� � � 1� l) � m) 3� 2x � 0 3x � n)60%x+ x = � 3 5� 25 � � 2� 1 p) 5(x ) (x ) x q) 3(x ) 5(x ) x 5 a) Giáo viên: Lý Ngc Chung 137 CHUYấN BI DNG TON NM 2018 Bài Tìm x nguyên để phân số sau số nguyên a) b) x 4 4x 3x c) d) 2x x 3 x Bµi Bạn Nam đọc sách dầy 200 trang ngày Ngày thứ bạn đọc đợc đợc số trang sách Ngày thứ hai bạn đọc số trang lại Hỏi: a) Mỗi ngày bạn Nam đọc đợc trang sách? b) Tính tỉ số số trang sách ngày ngày c) Ngày bạn đọc đợc số trang chiếm % số trang sách Bài Mét líp cã 45 häc sinh gåm lo¹i häc lực: giỏi, khá, trung bình Số học sinh trung bình chiÕm sè häc sinh c¶ líp, sè häc sinh 60% số học sinh lại a) Tính số học sinh loại b)Tính tỉ số số học sinh giỏi học sinh trung bình c) Số học sinh giỏi chiếm phần trăm học sinh lớp? Bài Bạn Nga đọc sách ngày Ngày bạn đọc đợc số trang sách Ngày bạn đọc đợc số trang sách lại Ngày 3 bạn đọc nốt 200 trang a) Cuốn sách dầy trang? b) Tính số trang sách bạn Nga đọc đợc ngày 1; ngày c) Tính tỉ số số trang sách mà bạn Nga đọc đợc ngày ngày d) Ngày bạn đọc đợc số trang sách chiếm % sách? Giáo viên: Lý Ngc Chung 138 CHUYấN BI DNG TON NM 2018 Bài Một cửa hàng bán gạo bán hết số gạo ngày Ngày thứ bán đợc số gạo cửa hàng Ngày thứ hai bán đợc 26 Ngày thứ ba bán đợc số gạo 25% số gạo bán đợc ngày a) Ban đầu cửa hàng có gạo? b) Tính số gạo mà cửa hàng bán đợc ngày 1; ngày c) Tính tỉ số số gạo cửa hàng bán đợc ngày ngày d) Số gạo cửa hàng bán đợc ngày chiếm % số gạo cửa hàng? Bài Một bà bán cam bán lần đầu hết Lần thứ hai bán lại Lần bán đợc 29 cam vừa hết số cam Hỏi ban đầu bà có cam? Bài Chứng minh phân số sau phân số tối giản: a)A 12n 30n b)B 14n 17 21n 25 Bài 10 Tìm x nguyên để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất: a) A x 1 2008 D b) B x 1996 c) C x x x d) Bài 11 Tìm x nguyên để biểu thức sau đạt giá trị lín nhÊt a) P 2010 x 1 D 2008 b) Q 1010 x c) C d) x 3 x Bµi 12 Chøng minh r»ng: 1 1 1 1 b) B 6 22 32 42 1002 63 9999 c) C 10000 100 1 22 23 22008 Bµi 13 TÝnh tỉng S 1 22009 a) A Giáo viên: Lý Ngc Chung 139 CHUN ĐỀ BỒI DƯỠNG TỐN NĂM 2018 Gi¸o viªn: Lý Ngọc Chung 140 ... (113 )66 0 = 133 166 0 371320 = (372 )66 0 = 1 369 660 V× 1 369 660 > 133 166 0 => 371320 > 111979 Bài tập 7: Tìm n N cho: a) 50 < 2n < 100 b) 50