Tài liệu ôn thi toán rời rạc

TOÁN RỜI RẠC Bài tập chương 2: PHÉP ĐẾM Bài 1: CÁC NUYÊN LÝ Chia 10 viên kẹo cho bé cho: 10 a) Tuỳ ý có: 𝐾310 = 𝐶12 = 66 (𝑐á𝑐ℎ) b) Bé có viên:𝐾37 = 𝐶97 = 36 (𝑐á𝑐ℎ) 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 21 (*) 21 a) Số nghiệm nguyên dương:𝐾521 = 𝐶25 = 12650 (𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚) b) Số nghiệm nguyên dương thoả 𝑥1 > 2, 𝑥5 < 4(1): Ta có: x1 > x1 ≥ , x5 < => x5≥ Ta xét điều kiện: 𝑥1 ≥ 3, 𝑥5 ≥ (2) 𝑥1 ≥ 3, 𝑥5 ≥ (3) Số nghiệm thoả (1) = (2) - (3) - Tìm số nghiệm thoả (2): Đặt a = x1- ≥ => x1 = a + (4) Thay (4) vào (*) ta đươc: a + x2 +x3 + x4 + x5 =18 18 =>Số nghiệm thoả (2) =𝐾518 = 𝐶22 = 7315 (𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚) - Tìm nghiệm thoả (3): Đặt b = x5 – ≥ => x5=b+5 (5) Thay (4), (5) vào (*) ta được: a + x2 + x3 + x4 + b = 13 13 =>Số nghiệm thoả (3) =𝐾513 = 𝐶17 = 2380 (𝑛𝑔ℎ𝑖ệ𝑚) +=> Số nghiệm thoả (1) = 7315 – 2380 = 4935 (nghiệm) SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 BT Chương 2: PHÉP ĐẾM TOÁN RỜI RẠC Bài 2: HỆ THỨC ĐỆ QUY 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 − 4𝑎𝑛−2 + 𝑎0 = 1 Giaỉ HTĐQ : { 𝑎1 = (∗) Ta có (*)  𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 + 4𝑎𝑛−2 = Bước 1: Đặt (K): 𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 + 4𝑎𝑛−2 = Ta thấy (*) có dạng 𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 = 𝐶 Nên NTQ (*) an = ak+ C =>Nghiệm (*) = ak +4 - Tìm nghiệm (K): Bước 2: Giaỉ PTĐT (K): Ta có PTĐT là: 𝛿 − 4𝛿 + = PTĐT có nghiệm kép: 𝛿 = =>𝑎𝑘 = (𝐶1 + 𝑛𝐶2 ) 2𝑛 Bước 3: Công thức NTQ: 𝑎𝑛 = (𝐶1 + 𝑛𝐶2 ) 2𝑛 + (5) Bước 4: Tìm C1,C2 KL nghiệm Thay a0=1, a1=2 vào (5) ta được: 𝐶1 + = 𝐶 = −3 { { 𝐶2 = (𝐶1 + 𝐶2 ).2 + = CTN cần tìm :𝑎𝑛 = (−3 + 2𝑛) 2𝑛 + 10 Dân số VN năm 2018 96 triệu dân, giả sử tỷ lệ gia tăng dân số qua năm 0,2%/năm không đổi Gọi Dn số dân sau n năm a) Xây dựng cơng thức cho Dn b) Tính số dân VN vào năm 2030 Giaỉ: a) Gọi SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 BT Chương 2: PHÉP ĐẾM TOÁN RỜI RẠC -D0 số dân năm 2018 -D1 số dân năm 2019, D1 = D0 ( + 0,2%) -D2 số dân năm 2020, D2 = D1( + 0,2%)=D0 ( + 0,2%)2 … Với n>2, số dân sau n năm là: Dn = D0 ( + 02%)n b) Số dân năm 2030: D12 = D0 (1+0,2%)12 = 96.(1,002)12 = 98,33 triệu dân SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 BT Chương 2: PHÉP ĐẾM TOÁN RỜI RẠC CHƯƠNG QUAN HỆ BÀI 1: Quan hệ - Tính chất quan hệ - Quan hệ tương đương 1, Xác định quan hệ, xác định miền vùng kiểm tra tính chất, tìm ma trận a) -Xác định quan hệ: R={(1,2);(2,2);(2,4);(3,2);(3,4);(4,1);(4,3)} -kiểm tra tính chất: ta thấy: +(1,1)∈R=>R khơng phản xạ +(1,2)∈R, (2,1)∈R=>R không đối xứng +(1,2),(2,4) ∈R, (1,4)∈R=> không bắc cầu -Xác định miền vùng: DomR={1,2,3,4} RangeR={1,2,3,4} -Ma trận: b) 0 1 0 1 -Xác định quan hệ: R={(1,1);(1,4);(1,2);(2,2);(2,6);(2,4);(3,3);(3,6);(4,4)} -Kiểm tra tính chất: + ∀𝑎 ∈ 𝐴, 𝑡ℎì (𝑎, 𝑎) ∈ 𝑅 => R có tính phản xạ SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 BT Chương 3: QUAN HỆ TOÁN RỜI RẠC + (1,2)∈R, (2,1)∈R => R khơng có tính đối xứng +(1,2)∈R, (2,6)∈R, (1,6)∈R => R không bắc cầu -Xác định vùng miền: +DomR={1,2,3,4,6} +RangeR={1,2,3,4,6} -Xây dựng ma trận: 1 0 1 0 1 1 0 0 0 0 2, Cho A={-2,-1,0,1,2,3,4,5,7,9} , xRy  x-y chia hết cho a) Chứng minh R QHTĐ b) Tìm lớp tương đương [3] c) Trong lớp [-2];[-1];[2] có lớp đơi phân biệt? Giải -2 -1 -2 0 0 1 -1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 BT Chương 3: QUAN HỆ TOÁN RỜI RẠC R={(-2,-2); (-2,1); (-2,4); (-2,7); (-1,-1); (-1,2); (-1,5); (0,0); (0,3); (0,9); (1,-2); (1,1); (1,4); (1,7); (2,-1); (2,2); (2,5); (3,0); (3,3); (3,9); (4,-2); (4,1); (4,4); (4,7); (5,-1); (5,2); (5,5); (7,-2); (7,1); (7,4); (7,7); (9,0); (9,3); (9,9)} Nhận xét: + R phản xạ, ∀𝑖 ∈ 𝐴 → (𝑖, 𝑖) ∈ 𝑅 + R đối xứng, ∀𝑖, 𝑗 ∈ 𝐴, (𝑖, 𝑗) ∈ 𝑅 => (𝑗, 𝑖) ∈ 𝑅 + R bắc cầu, ∀𝑖, 𝑗, 𝑙 ∈ 𝐴, (𝑖, 𝑗) ∈ 𝑅 𝑣à (𝑗, 𝑙) ∈ 𝑅 => (𝑖, 𝑙) ∈ 𝑅  R QHTĐ Lớp tương đương [3]={0,3,9} Lớp tương đương: [-2]={2,1,4,7} [-1]={-1,2,5} [2]={-1,2,5} Các lớp đôi phân biệt: [-2] [-1]; [-2] [2] SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 BT Chương 3: QUAN HỆ TOÁN RỜI RẠC Bài 2: QUAN HỆ THỨ TỰ 1) Vẽ biểu đồ Hasse, tìm tập tối thiểu tối đại a) U={n∈N|n ước số 40} Ta có 40 = 23.5=2k.5l Các ước : l=0 l=1 k=0 k=1 10 k=2 20 K=3 40 Biểu đồ hasse: -Tập tối thiểu: m={1} -Tập tối đại: M={40} SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 BT Chương 3: QUAN HỆ TOÁN RỜI RẠC 2) Cho hasse: tìm tối thiểu Inf tối đại Sup a) b) c) d) e) f) g) Inf(b,c) = a Inf(b,t) = a Inf(e,x) = c Sup(c,b) = e Sup(d,v) = z Sup(c,e) = z Sup(a,v) = y SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 BT Chương 3: QUAN HỆ TOÁN RỜI RẠC CHƯƠNG 4: ĐẠI SỐ BOOL BÀI 1: ĐỊNH NGHĨA – PHƯƠNG PHÁP BIỂU ĐỒ KARNAUGH 1) Vẽ Karnaugh a) f=𝑧̅𝑡̅ 𝑣 𝑥𝑦𝑡̅ 𝑣 𝑥̅ 𝑦𝑧̅ 𝑣 𝑥̅ 𝑦̅𝑧𝑡̅ 𝑣 𝑥𝑦̅𝑧̅𝑡 𝑣 ̅𝑦𝑧𝑡 x z x x̅ x̅ t̅ t z z̅ z̅ 10 y̅ y y y̅ x x x̅ x̅ t̅ t z z z̅ z̅ 6 y̅ y y t t̅ t 10 t̅ y̅ 2) Vẽ Karnaugh a) f=𝑥̅ 𝑧 𝑉 𝑦̅𝑧̅𝑡 𝑉 𝑥𝑦𝑡̅ 𝑉 𝑦̅𝑧̅𝑡̅ 𝑉 𝑥̅ 𝑦𝑧 𝑉 𝑥̅ 𝑦̅ x z x x̅ x̅ t̅ t t 10 t̅ z z̅ z̅ y̅ y y y̅ SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 BT Chương 4: ĐẠI SỐ BOLL TOÁN RỜI RẠC e) f= 𝑥𝑦𝑧𝑡 𝑉 𝑥̅ 𝑦̅ 𝑉 𝑥𝑧̅𝑡 𝑉 𝑦𝑧̅𝑡 x x x̅ x̅ z z z̅ z̅ t̅ t t t̅ y̅ y y y̅ SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 BT Chương 4: ĐẠI SỐ BOLL TOÁN RỜI RẠC Bài 2: PHƯƠNG PHÁP BIỄU ĐỐ KARNOUGH Xác định công thức đa thức tồi thiểu, tối đại: 1, Bước 1: Tím tế bào lớn f -Tế bào ô: 7,8,9,10 → 𝑧̅𝑡̅ - Tế bào ô: 1,8 → 𝑥𝑦𝑡̅ 2,4 →𝑥̅ 𝑦̅𝑧 2,10 → 𝑥̅ 𝑦̅𝑡̅ 3,4 → 𝑦̅𝑧𝑡 3,5 → 𝑥𝑦̅𝑡 5,7 →𝑥𝑦̅𝑧̅ 6,9 →𝑥̅ 𝑦𝑧̅ Bước 2: Biều diễn cây: -L={7,8,9,10} 1,8 2,4 3,4 3,5 5.7 6.9 6,9 2,10 3,5 SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 6,9 3,4 3,5 3,5 5,7 2,4 3,4 6,9 6,9 6,9 6,9 BT Chương 4: ĐẠI SỐ BOLL TOÁN RỜI RẠC Bước 3: Xác định công thức đa thức f1 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅ 𝑦̅𝑧 v 𝑦̅𝑧𝑡 v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑧̅ f2 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅ 𝑦̅𝑧 v 𝑦̅𝑧𝑡 v 𝑥𝑦̅𝑧̅ v 𝑥̅ 𝑦𝑧̅ f3 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅ 𝑦̅𝑧 v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑧̅ f4 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅ 𝑦̅𝑡̅ v 𝑦̅𝑧𝑡 v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑧̅ f5 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅ 𝑦̅𝑡̅ v 𝑦̅𝑧𝑡 v 𝑥𝑦̅𝑧̅v 𝑥̅ 𝑦𝑧̅ f6 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅ 𝑦̅𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦̅𝑧 v 𝑥̅ 𝑦𝑧̅ f7 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅ 𝑦̅𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑦̅𝑧𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑧̅ Bước 4: Xác định công thức đa thức tối tiểu f3 = 𝑧̅𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥̅ 𝑦̅𝑧 v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑧̅ SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 BT Chương 4: ĐẠI SỐ BOLL TOÁN RỜI RẠC Bước Tím tế bào lớn f -Tế bào ô: 5,6,7,8→ 𝑧̅𝑡 - Tế bào ô: 1,2 → 𝑦𝑧𝑡̅ 1,9 → 𝑥𝑦𝑡̅ 2,4 → 𝑥̅ 𝑦𝑧 3,5 → 𝑥𝑦̅𝑡 4,7 → 𝑥̅ 𝑦𝑡 6,9 → 𝑥𝑦𝑧̅ 8,10 →𝑥𝑦𝑡̅ Bước 2: Biều diễn cây: L={5,6,7,8} 1,2 1,9 3,5 2,4 1,2 4,7 2,4 3.5 3,5 1,9 6,9 1,9 6,9 2.4 4,7 8,10 8,10 8,10 8,10 8,10 8,10 8.10 Bước 3: Xác định công thức đa thức f1 = 𝑧̅𝑡 v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑧 v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 BT Chương 4: ĐẠI SỐ BOLL TOÁN RỜI RẠC f2 = 𝑧̅𝑡 v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑧 v 𝑥𝑦𝑧̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ f3 = 𝑧̅𝑡 v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑡 v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ f4 = 𝑧̅𝑡 v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑡 v 𝑥𝑦𝑧̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ f5 = 𝑧̅𝑡 v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑧 v 𝑥𝑦𝑡̅ f6 = 𝑧̅𝑡 v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑡 v 𝑥𝑦𝑡̅ f7 = 𝑧̅𝑡 v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑧 v 𝑥𝑦𝑡̅ Bước 4: Xác định công thức đa thức tối tiểu f7 = 𝑧̅𝑡 v 𝑥𝑦𝑡̅ v 𝑥𝑦̅𝑡 v 𝑥̅ 𝑦𝑧 v 𝑥𝑦𝑡̅ SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 BT Chương 4: ĐẠI SỐ BOLL TOÁN RỜI RẠC 2, Bước Tím tế bào lớn f -Tế bào ô: 2,3,4,5 → 𝑥̅ 𝑧 3,5,7,10 → 𝑥̅ 𝑦̅ 6,7,8,10 → 𝑦̅𝑧̅ - Tế bào ô: 1,2 → 𝑦𝑧𝑡̅ 1,9 → 𝑥𝑦𝑡̅ 8,9 → 𝑥𝑧̅𝑡̅ Bước 2: Biều diễn cây: L={2,3,4,5 ; 3,5,7,10 ; 6,7,8,10} 1,2 1,9 1,9 8,9 Bước 3: Xác định công thức đa thức f1 = 𝑥̅ 𝑧 v 𝑥̅ 𝑦̅ v 𝑦̅𝑧̅ v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ f2 = 𝑥̅ 𝑧 v 𝑥̅ 𝑦̅ v 𝑦̅𝑧̅ v 𝑦𝑧𝑡̅ v 𝑥𝑧̅𝑡̅ f3 = 𝑥̅ 𝑧 v 𝑥̅ 𝑦̅ v 𝑦̅𝑧̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ Bước 4: Xác định công thức đa thức tối tiểu f3 = 𝑥̅ 𝑧 v 𝑥̅ 𝑦̅ v 𝑦̅𝑧̅ v 𝑥𝑦𝑡̅ SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 BT Chương 4: ĐẠI SỐ BOLL TỐN RỜI RẠC Bước Tím tế bào lớn f -Tế bào ô: 1,3,7,8 →𝑥̅ 𝑦̅ 4,5,6,7 → 𝑧̅𝑡 - Tế bào ô: 2,5 → 𝑥𝑦𝑡 Bước 2: Biều diễn cây: L={1,3,7,8 ; 4,5,6,7,8} 2,5 Bước 3: Xác định công thức đa thức f = 𝑥̅ 𝑦̅ v 𝑧̅𝑡 v 𝑥𝑦𝑡 Bước 4: Xác định công thức đa thức tối tiểu f = 𝑥̅ 𝑦̅ v 𝑧̅𝑡 v 𝑥𝑦𝑡 SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 BT Chương 4: ĐẠI SỐ BOLL TOÁN RỜI RẠC CHƯƠNG 5: ĐỒ THỊ BÀI 1: ĐỒ THỊ - MA TRẬN KỀ Tìm bậc đỉnh, xác định ma trận kề, ma trận trọng số đồ thị sau -Tìm bậc đỉnh: +deg+(x1) = ; deg-(x1) = → deg(x1) = +deg+(x2) = ; deg-(x2) = → deg(x2) = +deg+(x3) = ; deg-(x3) = → deg(x3) = +deg+(x4) = ; deg-(x4) = → deg(x4) = +deg+(x5) = ; deg-(x5) = → deg(x5) = +deg+(x6) = ; deg-(x6) = → deg(x6) = -Ma trận kề: x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 0 0 0 x2 0 0 x3 0 0 x4 1 0 x5 0 0 0 x6 0 0 0 c) SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 BT Chương 5: ĐỒ THỊ TỐN RỜI RẠC - Tìm bậc đỉnh: +deg(1) = +deg(2) = +deg(3) = +deg(4) = +deg(5) = +deg(6) = +deg(7) = - Ma trận kề: 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 1 f) Bậc đỉnh: SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 BT Chương 5: ĐỒ THỊ TOÁN RỜI RẠC +deg(a)=3 +deg(b)=3 +deg(c)=3 +deg(d)=3 +deg(e)=4 +deg(f)=4 +deg(g)=4 +deg(h)=3 +deg(k)=3 +deg(l)=3 +deg(m)=3 Ma trận trọng số a b c d e f g h k l m a ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ b ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ c ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ d ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 10 ∞ ∞ ∞ e 4 ∞ ∞ ∞ 10 ∞ ∞ ∞ ∞ f ∞ ∞ ∞ 10 ∞ ∞ ∞ ∞ g ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ h ∞ ∞ ∞ 10 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 11 k ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ l ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ m ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 11 ∞ ∞ SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 BT Chương 5: ĐỒ THỊ TOÁN RỜI RẠC Bài 2: BÀI TỐN TÌM ĐNG ĐI NGẮN NHẤT Tìm đường ngắn từ a đến điểm lại: a b c d e f g h k l m 0* ∞ − ∞− ∞− ∞− ∞− ∞− ∞− ∞− ∞− ∞− 5,a 6,a ∞− ∞ − (4,a)* ∞ − ∞− ∞− ∞− ∞− - (5,a)* ∞ − 14,e 6,a ∞− ∞− ∞− ∞− ∞− 10,b 14,e ∞− ∞− ∞ − (6,a)* ∞ − ∞− (10,b)* ∞ − 14,e 13,k ∞− ∞− ∞− (11,c)* 12,c 13,k ∞− ∞− ∞− (12,c)* 14,d 21,d 13,k ∞− 14,d 21,d (13,k)* ∞ − (14,d)* 21,d 18,l 20,g (18,l)* 10 (20,g)* 11 - SVTH: Nguyễn Thanh Sang, MSSV:1710254 BT Chương 5: ĐỒ THỊ ... MSSV:1710254 BT Chương 4: ĐẠI SỐ BOLL TOÁN RỜI RẠC e) f=