Nhà toán học Ơclít, trong tác phẩm “Cơ bản” của mình đã đặt nền móng đầu tiên cho sự ra đời của việc xây dựng hình học theo phương pháp tiên đề vào khoảng năm 300 trước công nguyên. Trong tác phẩm nổi tiếng của mình, ông đã nêu ra tư tưởng sử dụng phép biến hình trong việc định nghĩa hai hình bằng nhau, đó là: “Hai hình được gọi là bằng nhau nếu chúng chồng khít lên nhau”. Đến thế kỉ XVIII, khái niệm các phép biến hình xuất hiện như một công cụ để chuyển các tính chất hình học (bất biến) từ hình này sang hình kia và được sử dụng để giải một số bài toán. Nó chưa được xem là đối tượng để nghiên cứu cho đến cuối thế kỉ XVIII. Nhà toán học Bellavitis (1803 1880) đã nghiên cứu một cách hệ thống về phép biến hình trong lý thuyết về các hình của ông. Với sự ra đời của phương pháp tọa độ Đềcác thì hình được coi là một tập hợp các điểm. Quan niệm này đã đóng vai trò quan trọng trong lịch sử hình thành và phát triển của lý thuyết về các phép biến hình.
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO QUANG DUY NGHIÊN CỨU CÁC PHÉP BIẾN HÌNH THEO QUAN ĐIỂM NHĨM LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THÁI NGUN, THÁNG NĂM 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐÀO QUANG DUY NGHIÊN CỨU CÁC PHÉP BIẾN HÌNH THEO QUAN ĐIỂM NHĨM Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Danh Nam THÁI NGUYÊN, THÁNG NĂM 2016 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU Chương NHĨM CÁC PHÉP BIẾN HÌNH 1.1 KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Tích phép biến hình 1.2 NHÓM AFIN 1.2.1 Phép biến hình afin 1.2.2 Nhóm afin 1.2.3 Bất biến nhóm afin 1.3 NHÓM XẠ ẢNH 11 1.3.1 Phép biến hình xạ ảnh 11 1.3.2 Nhóm xạ ảnh 12 1.3.3 Bất biến xạ ảnh 14 1.4 NHĨM DỜI HÌNH 15 1.4.1 Phép dời hình 15 1.4.2 Nhóm dời hình 16 1.4.3 Bất biến nhóm dời hình 17 1.5 NHÓM ĐỒNG DẠNG 19 1.5.1 Phép đồng dạng 19 1.5.2 Nhóm đồng dạng 19 1.5.3 Bất biến nhóm đồng dạng 20 1.6 NHĨM TRỊN TRONG MẶT PHẲNG 22 1.6.1 Định nghĩa phép nghịch đảo 22 1.6.2 Các tính chất phép nghịch đảo 22 1.6.3 Ảnh đường thẳng đường tròn qua phép nghịch đảo 23 1.6.4 Hình học bảo tồn đường tròn 24 1.6.5 Bất biến nhóm tròn mặt phẳng 25 1.7 MỐI QUAN HỆ GIỮA CÁC LOẠI HÌNH HỌC 25 1.7.1 Mối quan hệ hình học afin hình học xạ ảnh 25 1.7.2 Mối quan hệ hình học afin hình học Ơclít 31 1.7.3 Sáng tạo toán 37 Chương VẬN DỤNG BẤT BIẾN CỦA CÁC NHĨM BIẾN HÌNH TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP 46 2.1 CHỨNG MINH THẲNG HÀNG 46 2.2 CHỨNG MINH ĐỒNG QUY 58 2.3 CHỨNG MINH SONG SONG 63 2.4 CHỨNG MINH TÍNH TIẾP XÚC, TÍNH TRỰC GIAO 66 2.4.1 Bài toán bảo tồn tính tiếp xúc 66 2.4.2 Bài toán bảo tồn tính trực giao 72 2.5 BÀI TỐN QUỸ TÍCH VÀ DỰNG HÌNH 74 2.5.1 Bài tốn quỹ tích 74 2.5.2 Bài toán dựng hình 77 KẾT LUẬN 82 TÀI LIỆU THAM KHẢO 83 MỞ ĐẦU Nhà tốn học Ơclít, tác phẩm “Cơ bản” đặt móng cho đời việc xây dựng hình học theo phương pháp tiên đề vào khoảng năm 300 trước công nguyên Trong tác phẩm tiếng mình, ơng nêu tư tưởng sử dụng phép biến hình việc định nghĩa hai hình nhau, là: “Hai hình gọi chúng chồng khít lên nhau” Đến kỉ XVIII, khái niệm phép biến hình xuất cơng cụ để chuyển tính chất hình học (bất biến) từ hình sang hình sử dụng để giải số tốn Nó chưa xem đối tượng để nghiên cứu cuối kỉ XVIII Nhà toán học Bellavitis (1803 - 1880) nghiên cứu cách hệ thống phép biến hình lý thuyết hình ơng Với đời phương pháp tọa độ Đề-các hình coi tập hợp điểm Quan niệm đóng vai trò quan trọng lịch sử hình thành phát triển lý thuyết phép biến hình Đến cuối kỉ XIX, nhà toán học người Đức, Felix Klein (1849 - 1925) nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm phép biến hình Ơng phân loại tính chất hình học theo phép biến hình bảo tồn tính chất Từ đó, ơng phân loại hình học khác dựa việc nghiên cứu bất biến nhóm biến hình khác Ví dụ tập hợp phép dời hình lập thành nhóm với phép tốn tích phép dời hình hình học nhóm dời hình hình học Ơclít Như nhóm biến hình có hình học riêng nhóm Ngồi hình học Ơclít, chương trình hình học bậc đại học có thứ hình học khác hình học đồng dạng, hình học afin, hình học xạ ảnh Các tốn khơng đề cập đến độ lớn hình, độ dài đoạn thẳng quan tâm tới thẳng hàng ba điểm, cắt vng góc với hai đường thẳng tốn hình học đồng dạng ta nghiên cứu bất biến phép đồng dạng mà thơi Ngồi hình học đồng dạng, hình học afin, hình học xạ ảnh phận hình học Ơclít Để hiểu rõ mối quan hệ hình học Ơclít với hình học khác, cần hiểu rõ mối quan hệ hình học nhóm với hình học nhóm nhóm Dựa bất biến nhóm, Felix Klein xếp lại loại hình học khác theo quan điểm đại Các nhóm biến hình xếp cụ thể sau: Nhóm xạ ảnh Nhóm afin Nhóm đồng dạng Nhóm dời hình Hình học nhóm biến hình mơn học nghiên cứu bất biến nhóm vấn đề vận dụng bất biến nhóm giải tốn hình học Như vậy, ứng với nhóm biến hình trên, ta hệ thống hóa hình học khác theo quan hệ bao hàm sau: Hình học xạ ảnh Hình học afin Hình học đồng dạng Hình học Ơclít Phép biến hình với khái niệm hàm số ánh xạ đưa vào chương trình sách giáo khoa mơn Tốn trường phổ thơng Ngồi mục tiêu phát triển tư hàm cho học sinh phổ thơng, phép biến hình dùng để định nghĩa hai hình đồng dạng với công cụ hiệu để giải tốn hình học trường phổ thơng 5 Chương NHĨM CÁC PHÉP BIẾN HÌNH 1.1 KHÁI NIỆM PHÉP BIẾN HÌNH 1.1.1 Định nghĩa Trong mặt phẳng không gian cho quy tắc f Với điểm M thuộc mặt phẳng không gian ta xác định điểm M’ thuộc mặt phẳng không gian theo quy tắc cho hay nói cách khác f ánh xạ mặt phẳng khơng gian Khi ta nói M’ ảnh M qua phép biến hình f, M gọi tạo ảnh M’ kí hiệu f: M M’ Nếu quy tắc f xác định cho điểm mặt phẳng khơng gian f gọi phép biến hình trong mặt phẳng khơng gian Như ta thấy ảnh điểm M phép biến hình có nhiều tạo ảnh Do đó, ánh xạ f không thiết song ánh Nếu ảnh điểm M mặt phẳng ứng với tạo ảnh M, tức ánh xạ f song ánh ta nói f phép biến hình 1-1 Ví dụ phép biến hình 1-1: phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép tịnh tiến, phép quay, phép nghịch đảo Điểm M mặt phẳng không gian gọi điểm bất động (hay điểm kép) phép biến hình f f(O) = O Nếu điểm mặt phẳng không gian điểm bất động f f gọi phép đồng nhất, kí hiệu e(M) = M, với điểm M Trong mặt phẳng không gian cho phép biến hình f hình H Tập hợp ảnh điểm thuộc hình H qua phép biến hình tạo thành hình H’ gọi ảnh hình H kí hiệu f: H H’ viết ngôn ngữ tập hợp H’ = {M’| M’ = f(M), M H} Nếu f(H) = H hình H gọi bất động (hay bất biến) qua phép biến hình f Đặc biệt, H bất biến phép biến hình f mà điểm H bất động hình H gọi hình cố định hay hình bất động hồn tồn Chẳng hạn, phép đối xứng tâm ĐO tâm đối xứng O điểm bất động đường thẳng qua điểm O bất động Trong phép đối xứng trục Đd trục đối xứng d hình bất động hồn tồn đường thẳng (hoặc mặt phẳng) vng góc với d bất biến Trong chương trình sách giáo khoa phổ thơng, bậc THCS, “phép biến hình” xuất ngầm ẩn Lúc này, từ “phép”, “biến thành… ”, “ảnh” khơng sử dụng, học sinh chưa học khái niệm ánh xạ Cụ thể, sách giáo khoa đề cập đến đối xứng trục, đối xứng tâm mà không nói đến phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm Tuy nhiên, bậc THPT, phép biến hình hiểu ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng quát hơn, từ khơng gian, lên nó, mặt phẳng không gian nghiên cứu với tư cách tập hợp điểm “đặc trưng hàm” xuất 1.1.2 Tích phép biến hình Trong mặt phẳng khơng gian cho hai phép biến hình f g Với điểm M, f:M M’ g: M’ M” Phép biến hình biến M M” gọi tích hai phép biến hình cho kí hiệu g.f: M M” Nếu g.f phép đồng ta nói g phép biến hình đảo ngược f Nếu ff = f2 = e ta nói phép biến hình có tính chất đối hợp Các phép biến hình có tính chất đối hợp phép đối xứng tâm, phép đối xứng trục, phép đối xứng qua mặt phẳng phép nghịch đảo Cho n phép biến hình f1, f2,…,fn-1, fn Tích n phép biến hình cho phép biến hình thực cách liên thứ tự xác định kí hiệu f = fnfn-1f2f1 Tích phép biến hình có tính chất sau đây: 1) Tính chất kết hợp, nghĩa f(gh) = (fg)h = fgh Điều có tích ánh xạ có tính chất kết hợp Như vậy, thay hai nhiều phép biến hình liên tiếp tích chúng, ngược lại, thay phép biến hình tích tương đương 2) Nói chung, tích phép biến hình khơng có tính chất giao hốn Tích hai phép biến hình f g gọi giao hoán fg = gf 7 3) Trong tập hợp phép biến hình mặt phẳng không gian, phép đồng e phần tử đơn vị phép tốn tích: ef = fe = f, f 4) Nếu phép biến hình f song ánh, tồn phép biến hình đảo ngược f Khi đó, tích hai phép biến hình đảo ngược phép đồng e: f-1f = ff-1 = e, f Định lý 1.1 Tập hợp phép biến hình 1-1 mặt phẳng khơng gian với phép tốn tích phép biến hình lập thành nhóm gọi nhóm phép biến hình 1-1 hay nhóm biến hình 1-1 Chứng minh Dễ thấy tích hai phép biến hình 1-1 phép biến hình 1-1 (vì tích hai song ánh song ánh) Do vậy, phép tốn tích hai phép biến hình đóng kín 1) Tích phép biến hình có tính chất kết hợp (do tính chất kết hợp phép tốn tích song ánh) 2) Phần tử đơn vị nhóm phép đồng e (vì phép đồng song ánh) 3) Với phép biến hình f tồn phép biến hình đảo ngược f -1 (do f song ánh) thỏa mãn đẳng thức: ff -1 = f -1f = e (e phép đồng nhất) Vậy, tập hợp phép biến hình 1-1 mặt phẳng không gian với phép tốn tích lập thành nhóm Một tính chất hình H gọi bất biến nhóm G khơng thay đổi ta dùng phép biến đổi f thuộc G để biến hình H thành hình khác Như vậy, ta nói rằng, tính chất hình H gọi bất biến nhóm G hình H' tương đương với H nhóm G có tính chất Hình học nghiên cứu bất biến nhóm gọi hình học nhóm Ví dụ, hình học nghiên cứu bất biến nhóm xạ ảnh gọi hình học xạ ảnh, hình học nghiên cứu bất biến nhóm afin gọi hình học afin, hình học nghiên cứu bất biến nhóm dời hình gọi hình học Ơclít,… Nếu ta xét nhóm G’ nhóm G hình học nhóm G’ hình học nhóm G có mối quan hệ sau đây: (i) Mọi bất biến nhóm G bất biến nhóm G’ (vì G’ G) Do kết tìm thấy hình học nhóm G áp dụng vào cho hình học nhóm G’ (ii) Có bất biến nhóm G’ mà khơng phải bất biến nhóm G, nghĩa hình học nhóm G’ phong phú hình học nhóm G Như vậy, nhóm rộng tính chất hình học nhóm ít, phạm vi áp dụng rộng; nhóm hẹp tính chất hình học nhóm phong phú, phạm vi áp dụng hẹp Trong khuôn khổ luận văn này, nghiên cứu nhóm nhóm biến hình 1-1 không gian chiều không gian chiều 1.2 NHĨM AFIN 1.2.1 Phép biến hình afin Trong mặt phẳng khơng gian, phép biến hình 1-1 biến mặt phẳng khơng gian thành nó, biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng gọi phép afin hay phép biến hình afin Một phép biến hình afin mặt phẳng hoàn toàn xác định ta biết ba điểm không thẳng hàng, A, B, C A’, B’, C’ hai tam giác mặt phẳng tồn phép biến hình afin biến tam giác ABC thành tam giác A’B’C’ Tương tự vậy, phép biến hình afin khơng gian hồn tồn xác định ta biết bốn điểm không đồng phẳng, A, B, C, D A’, B’, C’, D’ hai tứ diện khơng gian tồn phép biến hình afin biến tứ diện ABCD thành tứ diện A’B’C’D’ Từ ta có kết quả, mặt phẳng, phép biến hình afin phép đồng có ba điểm bất động khơng thẳng hàng Nếu phép biến hình afin f có hai điểm bất động phân biệt A, B điểm nằm đường thẳng AB điểm bất động Tương tự, khơng gian, phép biến hình afin phép đồng có bốn điểm bất động khơng đồng phẳng Nếu phép biến hình afin f có ba điểm bất động phân biệt A, B, C điểm nằm mặt phẳng (ABC) điểm bất động