Đại học Quốc gia Tp HCM Trường Đại học Bách Khoa Khoa Cơ Khí ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ (12/6/13) MÔN: DAO ĐỘNG KỸ THUẬT Thời gian: 75 phút - Được phép sử dùng tài liệu Đề thi gồm trang Câu 1: điểm Cho hệ bậc tự (như hình 1) gồm vật nối với dây không dãn không khối lượng, dây uốn quanh đĩa tròn khơng khối lượng Chọn tọa độ suy rộng x Với m = kg khối lượng, k = 5000 N/m độ cứng lò xo Hình a/ Thiết lập phương trình vi phân mô tả hệ phương pháp lượng (phương (3 đ) pháp Lagrange) b/ Xác định tần số riêng hệ ωn(rad/s) (1 đ) c/ Xác định biên độ A(m) góc lệch pha φ (rad) dao động, biết thời điểm t = x(0) = 0.01 m x& (0) = (1 đ) Câu 2: điểm Cho hệ bậc tự (như hình 2) gồm chiều dài 3L/2, không khối lượng, quay quanh khớp trụ O Thanh mang vật (xem chất điểm) có khối lượng m đặt đầu bên phải Giữa phần bên phải có lắp lò xo có độ cứng 6k giảm chấn có số cản nhớt (hệ số giảm chấn) 6c Đầu bên trái lắp lò xo có độ cứng 2k, giảm chấn có số cản nhớt 2c vật có khối lượng m Chọn tọa độ suy rộng x θ Biết hệ có giảm chấn yếu với c = k m Hình a/ Thiết lập phương trình vi phân (dạng ma trận) mô tả hệ phương pháp lực (2.5 đ) (phương pháp Newton) b/ Xác định tần số riêng hệ số cản nhớt c=0 (1.75 đ) c/ Xác định véctơ dạng riêng hệ số cản nhớt c=0 (0.75 đ) GV đề: TS Phan Tấn Tùng CNBM: TS Bùi Trọng Hiếu ĐÁP ÁN ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ Môn Dao động kỹ thuật Khoa Cơ Khí Bm Thiết Kế Máy Thời gian 75 phút – Ngày 12/6/2013 Câu Nội dung 1a Do dây không dãn nên hai khối lượng có chuyển vị 1b 1c Điểm mi vi2 mx& 2mx& 3mx& Động K = ∑ = + = 2 2 2 2 kx 2kx 3kx kx Thế V = ∑ i i = + = 2 2 2 3mx& 3kx d ⎛ ∂L ⎞ Hàm Lagrange L = K − V = ⇒ Các đạo hàm − ⎜ ⎟ = 3m&x& dt ⎝ ∂x& ⎠ 2 ∂L = −3kx ∂x d ⎛ ∂L ⎞ ∂L PTVP mô tả hệ = ⇒ 3m&x& + 3kx = ⇒ m&x& + kx = ⎜ ⎟− dt ⎝ ∂x& ⎠ ∂x Với m=2kg k=5000N/m ⇒ &x& + 5000 x = hay &x& + 2500 x = k rad 2500 Tần số riêng hệ ω n = = = 50 m s ⎛ x& ⎞ ⎛ 0⎞ Biên độ dao động A = x + ⎜⎜ ⎟⎟ = 0.01 + ⎜ ⎟ = 0.01m 50 ω ⎝ ⎠ ⎝ n⎠ 0.5 đ 0.5 đ 1đ 1đ 0.5 đ φ ⎛ x&0 ⎞ ⎟⎟ = tan −1 (0 ) ⇒ φ = ⎝ ωn x0 ⎠ Nếu chọn x(t ) = A cos(ω n t + φ ) ⇒ φ = tan −1 ⎜ ⎜ π ⎛ x0 ⎞ ⎟⎟ = tan −1 (∞ ) ⇒ φ = ⎝ ωn x&0 ⎠ Nếu chọn x(t ) = A sin (ω n t + φ ) ⇒ φ = tan −1 ⎜ ⎜ 2a 0.5 đ 2 Góc lệch pha 0.5 đ rad 0.5 đ rad Xét cân lực vật bên trái L L − 2k ( x − θ ) − 2c( x& − θ&) = m&x& 2 PTVP thứ ⇒ m&x& + 2cx& − cLθ& + 2kx − kLθ = 0.5 đ 0.5 đ 0.5 đ Xét cân mômen quanh khớp lề 2 L ⎞L L &⎞ L ⎛ ⎛ L⎞ ⎛ L⎞ & ⎛ 2k ⎜ x − θ ⎟ + 2c⎜ x& − θ ⎟ − 6k ⎜ ⎟ θ − 6c⎜ ⎟ θ = m L2θ&& ⎠ 2 ⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝ ⎝ PTVP thứ ⇒ m L θ&& − c Lx& + +2cL θ& − kLx + 2kL θ = Vậy hệ PTVP mô tả hệ dạng ma trận 2 0.5 đ ⎤ ⎡ &x&⎤ ⎡ 2c − cL ⎤ ⎡ x& ⎤ ⎡ 2k − kL ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡m ⎢ mL2 ⎥.⎢θ&&⎥ + ⎢− cL 2cL2 ⎥.⎢θ&⎥ + ⎢− kL 2kL2 ⎥.⎢θ ⎥ = ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎣ 2b Do c=0 nên hệ PTVP trở thành ⎤ ⎡ &x&⎤ ⎡ 2k − kL ⎤ ⎡ x ⎤ ⎡m ⎢ mL2 ⎥.⎢θ&&⎥ + ⎢− kL 2kL2 ⎥.⎢θ ⎥ = ⇒ M&x& + Kx = ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎤ ⎡ 2k − kL ⎤ ⎡λ ⎤ ⎡2k m − λ − kL m ⎤ ⎡1 m M −1K − λI = ⎢ −⎢ ⎥=⎢ ⎥ 2⎥ ⎢ 2⎥ ⎣ mL ⎦ ⎣− kL 2kL ⎦ ⎣ λ ⎦ ⎣ − k mL 2k m − λ ⎦ Điều kiện để PT có nghiệm khơng tầm thường det (M −1K − λI ) = (2k m − λ ) − (k m) = 2 A + B) = Ta có A − B = ( A − B )( Vì λ1 = ω12 ⇒ Tần số riêng thứ ω1 = ( ) 0.25đ - k rad/s m 0.25đ λ2 = λ2 = ω 22 ⇒ Tần số riêng thứ ω = 1.732 Ta có K − ω M Q = k m 0.25đ k rad/s m 0.25đ − kL ⎡ 2k − ω m ⎤⎡ ⎤ 2k − ω m ⇒⎢ ⎥ = ⇒ Q2 = 2 2⎥ ⎢ kL ω − kL kL − mL ⎣ ⎦ ⎣Q2 ⎦ k 2k − m k m = ⇒ Véc tơ dạng riêng thứ 1: Q = ⎡ ⎤ 1/ với ω1 = ⇒ Q2 = ⎢1 L ⎥ m kL L ⎣ ⎦ 3k 2k − m 3k m = − ⇒Véctơ dg riêng thứ 2: Q = ⎡ ⎤ ⇒ Q2 = 2/Với ω = ⎢− L ⎥ m kL L ⎣ ⎦ Hết đáp án 0.25đ 0.25đ 2/ (2k m − λ ) + (k m ) = −λ + 3k m = ⇒ Vì 0.25đ k m 1/ (2k m − λ ) − (k m ) = −λ + k m = ⇒ λ1 = 2c 0.5 đ TS Phan Tấn Tùng 0.25 đ 0.25 đ 0.25đ