The art of mathemtics vol4 tiengviet

The art of mathemtics vol4 tiengviet The art of mathemtics vol4 tiengviet The art of mathemtics vol4 tiengviet The art of mathemtics vol4 tiengviet The art of mathemtics vol4 tiengviet The art of mathemtics vol4 tiengviet The art of mathemtics vol4 tiengviet The art of mathemtics vol4 tiengviet The art of mathemtics vol4 tiengviet The art of mathemtics vol4 tiengviet The art of mathemtics vol4 tiengviet The art of mathemtics vol4 tiengviet The art of mathemtics vol4 tiengviet The art of mathemtics vol4 tiengviet The art of mathemtics vol4 tiengviet The art of mathemtics vol4 tiengviet

Ho Chi Minh, 16th February 2018 Vol The art of Mathematics BTV Phạm Quốc Sang1 , Lê Minh Cường2 * Giới thiệu The art of Mathematics (TAoM) thành lập dựa tinh thần ham học hỏi sáng tạo vấn đề học sinh, giáo viên người yêu toán học Việt Nam giới Trên tinh thần đó, chúng tơi mong muốn nhận tốn bạn sáng tạo viết ngắn bạn toán *Corresponding author: phamquocsang1995@gmail.com - cuong11102@gmail.com Contents Biên tập viên, cộng tác viên, tác giả thành viên tham gia vol.4 Tính giá trị biểu thức Điểm rơi bất đẳng thức AM-GM 14 Bài toán thử thách vol.4 38 Giải thách thức vol.3 39 Giải đáp câu đố thú vị: Khung số × 50 vol.3 48 Lời cảm ơn Chúng xin chân thành cảm ơn tất bạn độc giả gửi lời động viên, lời khuyên chân thành để chúng tơi hồn thành The art of Mathematics (TAoM) Đặc biệt, xin cảm ơn đến ngài Dan Sitaru - Quản trị viên trang " Romania mathematical magazine - RMM" chia sẻ toán đến thành viên đội " RMM team" Ngồi ra, chúng tơi gửi lời cảm ơn đến người bạn Hy Lạp, Romania, Ấn độ, Thái Lan, đến từ nhóm tốn Việt Nam quốc tế như: • ROMANIAN MATHEMATICAL MAGAZINE - RMM • MATHEMATICAL PROBLEMS • mathematical inequalities • PURE INEQUALITIES • Ham học Toán • https://www.facebook.com/groups/119060981470596/ (Greek) The art of Mathematics — 2/48 • Học tốn thầy Hồng Trí Quang The art of Mathematics — 3/48 Biên tập viên, cộng tác viên, tác giả thành viên tham gia vol.4 Biên tập viên • Lê Minh Cường Học viên cao học, trường ĐH Khoa học tự nhiên TPHCM, Việt Nam • Phạm Quốc Sang Học viên cao học, trường ĐH Sư Phạm TPHCM, Việt Nam Cộng tác viên • Nguyễn Việt Hùng Giáo viên trường THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội, Việt Nam • Đặng Tiến Dũng Học sinh trường THCS Hai Bà Trưng, Vĩnh Phúc, Việt Nam • Nguyễn Đức Việt Học sinh trường THPT Ngơ Gia Tự, Vĩnh Phúc, Việt Nam • Đỗ Hữu Đức Thịnh Học sinh trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, TPHCM, Việt Nam Các tác giả đề xuất tốn • Nguyễn Việt Hùng Giáo viên trường THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội, Việt Nam • Nguyễn Ngọc Tú Giáo viên trường THPT chuyên Hà Giang, Hà Giang, Việt Nam • Phan Đình Đan Trường Học sinh trường THPT Mai Thúc Loan, Hà Tĩnh, Việt Nam • Nguyễn Đức Việt Học sinh trường THPT Ngô Gia Tự, Vĩnh Phúc, Việt Nam • Sladjan Stankovic Giáo viên tốn trường THPT Nace Budjoni, Kumanovo, Macedonia • Phan Ngọc Châu Học sinh trường THPT số Phù Cát , Bình Định, Việt Nam • Tiến Sĩ Tạ Hồng Quảng Vũng Tàu, Việt Nam - Huy chương đồng IMO năm 1974 • Ngơ Văn Nam Học sinh trường THCS Sông Lô, Vĩnh Phúc, Việt Nam • Đặng Tiến Dũng Học sinh trường THCS Hai Bà Trưng, Vĩnh Phúc, Việt Nam The art of Mathematics — 4/48 • Trần Hồng Nam Học sinh trường THPT Nguyễn Du, Vũng Tàu, Việt Nam Các thành viên tham gia vol.4 • Diego Alvariz Kolkata, West Bengal, Ấn Độ - Thành viên tạp chí tốn học Romania, RMM • Nguyễn Việt Hùng Giáo viên trường THPT chuyên KHTN - ĐHQG Hà Nội, Việt Nam • Nguyễn Ngọc Tú Giáo viên trường THPT chuyên Hà Giang, Hà Giang, Việt Nam • Hồng Lê Nhật Tùng Sinh viên trường ĐH Sư Phạm Hà Nội, Việt Nam • Tiến Sĩ Tạ Hồng Quảng Vũng Tàu, Việt Nam - Huy chương đồng IMO năm 1974 • Sanong Huayrerai Nakon Pathom, Thái Lan - Thành viên tạp chí tốn học Romania, RMM • Sarah El Thành viên tạp chí tốn học Romania, RMM • Christos Eythymioy Athens, Hy Lạp - Thành viên tạp chí tốn học Romania, RMM • Nguyễn Đức Việt Học sinh trường THPT Ngô Gia Tự, Vĩnh Phúc, Việt Nam • Triệu Tấn Hưng Học sinh trường THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm, Quảng Nam, Việt Nam • Trần Hồng Nam Học sinh trường THPT Nguyễn Du, Vng Tu, Vit Nam Marion Cucones Focsáani, Romania - Thành viên tạp chí tốn học Romania, RMM • Đỗ Hữu Đức Thịnh Học sinh trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, TPHCM, Việt Nam • Đỗ Quốc Chính Học sinh trường THPT Ngô Gia Tự, Vĩnh Phúc, Việt Nam • Đặng Quốc Thành Học sinh trường THPT chuyên Hà Tĩnh, Hà Tĩnh, Việt Nam • Trần Nguyễn Quy Học sinh trường THPT chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi, Việt Nam The art of Mathematics — 5/48 • Prompt Kerdphoksup Học sinh trường THCS Suankularb Wittayalai, Băng Cốc, Thái Lan • Phan Ngọc Châu Học sinh trường THPT số Phù Cát , Bình Định, Việt Nam • Đặng Tiến Dũng Học sinh trường THCS Hai Bà Trưng, Vĩnh Phúc, Việt Nam • Nguyễn Bá Linh Học sinh trường THPT Quỳnh Lưu, Nghệ An, Việt Nam • Rich Choi Học sinh trường THCS Cầu Giấy, Hà Nội, Việt Nam • Fozi M Dannan Thành viên tạp chí tốn học Romania, RMM • Nguyễn Thanh Hiếu Sinh viên trường ĐH Bách Khoa Hà Nội, Hà Nội, Việt Nam The art of Mathematics — 6/48 Tính giá trị biểu thức Bài toán Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn P= a b c = = Tính giá trị biểu thức: b c a 4a + 6b + 2017c 4a − 6b + 2017c Đề thi vào 10, Chuyên Bắc Ninh, 2017 Ta có a b c a+b+c = = = =1⇒a=b=c b c a b+c+a Suy P= 4a + 6a + 2017a 2027 = 4a − 6a + 2017a 2015 1 1 + + = Tính giá trị biểu a b c Bài toán Cho a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = thức: P = ( a − 3)2017 (b − 3)2017 (c − 3)2017 Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định vòng 2, 2017 Ta có ( a − 3)(b − 3)(c − 3) = abc + 9( a + b + c) − 3( ab + bc + ca) − 27 = abc − 3( ab + bc + ca) Mặt khác, ta có 1 1 + + = a b c ⇔ abc = 3( ab + bc + ca) Vậy P = Bài toán Cho a số thực dương, a > x = biểu thức: a+ √ a2 − + a− √ a2 − Tính giá trị P = x3 − 2x2 − ( a + 1) x + 4a + 2021 Đề thi vào 10, Sở giáo dục Quãng Ngãi, 2017 Từ a > ta suy a2 > ⇒ x = Ta có a+ √ a2 − + a− √ a2 − xác định x > x2 = =a+ a+ a2 − + a2 − + a− a+ a2 − a2 − a− a2 − + a − a2 − The art of Mathematics — 7/48 = 2a + Thay vào P ta có P = x2 x − 2x2 − ( a + 1) x + 4a + 2021 = 2( a + 1) x − 2(2a + 2) − 2( a + 1) x + 4a + 2021 = −4a − + 4a + 2021 = 2017 √ √ Vậy P = 2017 x = a + a2 − + a − a2 − Bài toán Cho a, b, c số thực đôi khác thỏa mãn a2 + b = b2 + c = c2 + a Tính giá trị biểu thức: T = ( a + b − 1)(b + c − 1)(c + a − 1) Đề thi vào 10, Chuyên Hùng Vương, Phú Thọ, Vòng 1, 2017 Ta có a2 + b = b2 + c ⇒ ( a − b)( a + b) = c − b c−b ⇒a+b= a−b c−a ⇒a+b−1= a−b b−c a−b c + a − = Tương tự, ta có b + c − = b−c c−a Suy T = Bài toán Cho a, b, c số thực dương thỏa mãnab + a + b = Chứng minh + ab b a + = 1+a + b2 2(1 + a2 )(1 + b2 ) Đề thi vào 10, Chuyên KHTN Hà Nội vòng 2, 2017 a b + = 1+a + b2 + ab 2(1 + a2 )(1 + b2 ) ⇔ ( a + b + ab2 + ab2 + 1) 2(1 + a2 )(1 + b2 ) = (1 + ab)(1 + a2 )(1 + b2 ) ⇔ ( a + b)(1 + ab) 2(1 + a2 )(1 + b2 ) = (1 + ab)(1 + a2 )(1 + b2 ) ⇔ 2( a + b)2 = (1 + a2 )(1 + b2 ) ⇔ a2 + b2 + 4ab = + a2 b2 ⇔ ( a + b)2 = (1 − ab)2 Do a, b > ab + a + b = nên < a, b < ab + a + b = ⇔ a + b = − ab ⇔ ( a + b)2 = (1 − ab)2 The art of Mathematics — 8/48 1 + = Bài toán Cho x, y số thực thỏa mãn x = y Tính giá trị biểu xy + x + y2 + thức: S= x2 1 + + + y + xy + Đề thi vào 10, Trường THPT chuyên ĐHSP - Vòng 1, 2017 Ta có x2 + = + y + xy + ⇒ (y2 + 1)( xy + 1) + ( x2 + 1)( xy + 1) = 2( x2 + 1)(y2 + 1) ⇔ xy3 + x3 y − 2x2 y2 = x2 − 2xy + y2 ⇔ xy( x − y)2 = ( x − y)2 ⇔ ( x − y)2 ( xy − 1) = ⇔ xy = ( x = y) Suy ra, 1 + + + y + xy + 1 x2 + +1 = x + x2 + 2x + = = x +1 S = x2 Vậy S = Bài toán Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c + a(2 − b)(2 − c) + b(2 − c)(2 − a) + √ 2abc = Chứng minh c(2 − a)(2 − b) = √ √ 8+ abc Đề thi vào lớp 10 chuyên, Sở giáo dục Lâm Đồng, 2017 Ta có a(2 − b)(2 − c) = a(4 − 2(b + c) + bc) √ = a(2a + 2abc + bc) √ √ =a 2a + bc Vậy √ √ √ √ √ √ bc + b 2b + ca + c 2c + ab √ √ = 2( a + b + c) + abc VT = √ a √ √ 2a + The art of Mathematics — 9/48 √ √ 2 − 2abc + abc √ √ = 2 + abc = VP = √ Bài toán Cho x, y, z số thực đôi khác x + y + z = Tính giá trị biểu thức: P= 2018( x − y)(y − z)(z − x ) 2xy2 + 2yz2 + 2zx2 + 3xyz Đề thi vào 10, Chuyên Nguyễn Trãi, Hải Dương, 2017 Ta có 2xy2 + 2yz2 + 2zx2 + 3xyz = 2xy2 + xyz + 2yz2 + 2zx2 + 2xyz = xy (2y + z) + 2yz2 + 2xz ( x + y) = xy (2y + z) + 2yz2 − 2xz2 = xy(y − x ) + 2z2 (y − x ) = (y − x )( xy + 2z2 ) = (y − x )( xy + z2 + z2 ) = (y − x )[ xy + z2 − z ( x + y)] = (y − x ) ( x − z) (y − z) Từ suy ra, P= 2018( x − y)(y − z)(z − x ) = 2018 ( x − y)(y − z)(z − x ) Bài toán Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = 2, ab + bc + ca = Chứng minh √ √ √ √ √ √ b2 + c2 + c2 + a2 + a2 + b2 + √ √ √ + + =4 a2 + b2 + c2 + Đề xuất Phạm Quốc Sang Ta có √ √ b2 + c2 + √ = a2 + (b + a) (b + c) (c + a) (c + b) =b+c ( a + b) ( a + c) Tương tự, ta có √ √ √ √ √ √ b2 + c2 + c2 + a2 + a2 + b2 + √ √ √ + + = ( a + b + c) = a2 + b2 + c2 + Chú ý Từ đẳng thức trên, ta chứng minh bất đẳng thức đây: Nếu a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = √ √ √ √ √ √ √ b2 + c2 + c2 + a2 + a2 + b2 + √ √ √ + + ≥2 a2 + b2 + c2 + The art of Mathematics — 10/48 Bài toán 10 Cho x + √ 2011 + x2 y+ 2011 + y2 = 2011 Tính giá trị biểu thức: P = x2011 + y2011 Học sinh giỏi toán 9, Phú Thọ, 2011-2012 Ta có √ 2011 + x2 y + 2011 + y2 = 2011 √ √ √ ⇔ x + 2011 + x2 2011 + x2 − x y + 2011 + y2 = 2011 2011 + x2 − x √ ⇔ 2011 y + 2011 + y2 = 2011 2011 + x2 − x √ (1) ⇔ y + 2011 + y2 = 2011 + x2 − x x+ Tương tự, ta có x+ 2011 + x2 = 2011 + y2 − y (2) Lấy (1) + (2), ta có x + y = ⇔ x = −y Vậy P = x2011 + y2011 = Chú ý Ta tổng qt tốn sau: √ If x + a + x2 y + a + y2 = a ( a > 0) P = x2n+1 + y2n+1 = (n ∈ N ) Bài toán 11 Cho a, b, c số thực đôi khác thỏa a3 + b3 + c3 = 3abc abc = Tính giá trị biểu thức: P= ab2 bc2 ca2 + + a2 + b2 − c2 b2 + c2 − a2 c2 + a2 − b2 Đề thi vào lớp 10, TP Hà Nội, 2016 Ta có a3 + b3 + c3 − 3abc = ⇔ ( a + b + c) a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = ⇔a+b+c=0 Do a, b, c số thực đôi khác nên a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca = ( a − b )2 + ( b − c )2 + ( c − a )2 > Mặt khác : ab2 ab2 ab2 b2 b2 −b = = = = = 2 2 a−b+c −b − b a +b −c a + (b + c) (b − c) a − a (b − c) The art of Mathematics — 33/48 Đặt ( x + y + z )2 t= , (t xy + yz + zx 3) Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có RHS = t + t =2 t t t + + + 3 t 2.4 t t t 3 t Vì a+b b+c c+a + + a+b−c b+c−a c+a−b 6+ ( a + b + c) ( a − b )2 + ( b − c )2 + ( c − a )2 Lời giải Trần Hồng Nam Ta có a+b ∑a+b−c =∑ cyc 1+ cyc c a+b−c c2 cyc ac + bc − c =3+∑ ≥3+ ( a + b + c )2 2( ab + bc + ca) − ( a2 + b2 + c2 ) Ta cần chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca ( a + b + c )2 ≥ + 2( ab + bc + ca) − ( a2 + b2 + c2 ) ( a + b + c )2 Bắt đẳng thức tương đương với ( a + b + c)2 − 2( ab + bc + ca) − ( a2 + b2 + c2 ) 4( a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) ≥ 2( ab + bc + ca) − ( a2 + b2 + c2 ) ( a + b + c )2 Hay 4( a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) 4( a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) ≥ 2( ab + bc + ca) − ( a2 + b2 + c2 ) 2( ab + bc + ca) + ( a2 + b2 + c2 ) Hiển nhiên Lời giải Prompt Kerdphoksup The art of Mathematics — 34/48 Bất đẳng thức tương đương với ∑ cyc a+b −2 a+b−c 2( a − b )2 ∑ ( a + b + c )2 cyc (c − a) + (c − b) ⇔∑ a+b−c cyc 2( a − b )2 ∑ ( a + b + c )2 cyc 1 − a+b−c b+c−a ⇔ ∑ (c − a) cyc 2( c − a )2 cyc ( a + b − c ) ( b + c − a ) ⇔∑ ⇔ ∑ 2( c − a )2 cyc 2( a − b )2 ∑ ( a + b + c )2 cyc 2( a − b )2 ∑ ( a + b + c )2 cyc 1 − ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( a + b + c )2 Đặt a = x + y, b = y + z, c = z + x ∑ 2( c − a )2 cyc 1 − ( a + b − c ) ( b + c − a ) ( a + b + c )2 ⇔ ∑ 2( c − a )2 1 − 4yz 4( x + y + z)2 ⇔ ∑ 2( c − a )2 x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx − yz cyc cyc 0 4yz( x + y + z)2 Bất đẳng thức cuối Lời giải Nguyễn Bá Linh - Phạm Quốc Sang Đặt a = y + z − x, b = z + x − y, c = x + y − z Ta có a+b b+c c+a + + a+b−c b+c−a c+a−b 2z + x + y 2x + y + z 2y + z + x = + + 2z 2x 2y x y z x y z = + + + + + +3 y z x z x y Ta có Bổ đề sau Nếu a, b, c số thực dương a b c + + b c a a b c + + + b+c c+a a+b The art of Mathematics — 35/48 Ta có x y z + + y z x + x y z + + z x y y z x + + +3+ y+z z+x x+y +3 Mặt khác ta có ( a + b + c) ( a − b )2 + ( b − c )2 + ( c − a )2 = ( x + y + z) ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x )2 Vì ta cần chứng minh x y z + + +3+ y+z z+x x+y 6+ ( x + y + z) ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x )2 Hay x y z + + − y+z z+x x+y 2 ( x + y + z) ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x )2 Mặt khác ta có ∑ x − y+z 2 ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x )2 ( x + y + z) x−y+x−z ⇔∑ ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x )2 2 y + z ( ) ( x + y + z) cyc − ⇔ ∑ ( x − y) ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x )2 2 (y + z) ( x + z) ( x + y + z) cyc x−y ⇔ ∑ ( x − y) ( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x )2 2 (y + z) ( x + z) ( x + y + z) cyc cyc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz AM-GM, ta có ( x − y )2 ∑ (y + z) ( x + z) cyc ( x − y )2 ∑ x + y + 2z cyc 2 ( x − y )2 ∑ 2x + 2y + 2z cyc 2 Lời giải Rich Choi Đặt a = x + y, b = y + z, c = z + x Bất đẳng thức trở thành 2y + x + z 2y cyc ∑ 6+ 2( x + y + z ) ∑ ( x − y )2 cyc Hay x+z cyc y ∑ ∑ ( x − y) 6+ cyc ( x + y + z )2 2( x − y )2 ∑ ( x + y + z )2 cyc The art of Mathematics — 36/48 ⇔ ∑ ( x − y )2 cyc 1 − xy ( x + y + z)2 Bất đẳng thức cuối Chú ý Ta có bất đẳng thức thú vị đề xuất Trần Hồng Nam Bài tốn 19 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a+b b+c c+a + + c a b 6+ 16 a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca ( a + b + c )2 Đề xuất Trần Hồng Nam Bài tốn 20 Nếu a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = a b c + + +3 a+b b+c c+a 2abc Đề xuất Đặng Tiến Dũng Lời giải người đề xuất Từ a + b + c = abc ≤ Bất đẳng thức ban đầu tương đương với b c a + + + 2abc a + b b + c c + a Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có c a b + + a+b b+c c+a 3 c a b a+b b+c c+a Do đó, ta cần chứng minh + abc ≥ (1) abc Mặt khác, ta có Vì vậy, bất đẳng thức (1) + + abc ≥ + = abc abc 9abc 3abc = ( a + b + c) The art of Mathematics — 37/48 Bài toán thử thách vol.4 Ở phần này, bạn đọc tham gia giải thử thách đọc kỹ hướng dẫn sau đây: • Nội dung: Bạn đọc giải chụp thành ảnh (khuyến khích nên đánh máy rõ ràng, gõ ngơn ngữ latex gửi kèm theo code) • Hình thức: Gửi inbox Page hoăc qua admin Phạm Quốc Sang & Lê Minh Cường, gửi trực tiếp email: TAoMathematics@gmail.com Dành cho THCS Thử thách Chứng minh bất đẳng thức sau với số thực dương a, b, c a + (2a + b) (2a + c) b + (2b + c) (2b + a) c (2c + a) (2c + b) Đề xuất Nguyễn Việt Hùng Thử thách Nếu a, b, c số thực dương a ( a + c) b (b + a) c (c + b) + + b+c c+a a+b a+b+c Đề xuất Phạm Quốc Sang Thử thách Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = Chứng minh √ a b c +√ +√ c+a b+c a+b √ Đề xuất Lê Minh Cường Dành cho THPT Thử thách Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn 4abc − ab − bc − ca = Chứng minh a ( b + 1)2 + b ( c + 1)2 + c ( a + 1)2 4abc Đề xuất Nguyễn Đức Việt Thử thách Nếu a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = ( a + b) + (b + c) + (c + a) + 2abc a b c + + +3 a+b b+c c+a Đề xuất Đặng Tiến Dũng The art of Mathematics — 38/48 Thử thách Nếu a, b, c số thực không âm thỏa mãn a + b + c = (không có số đồng thời 0) a2 b2 c2 + + a+b b+c c+a a2 + b2 + c2 Đề xuất Đỗ Hữu Đức Thịnh Giải thách thức vol.3 Dành cho THCS Thử thách Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a2 a b c + + ≤1 +b+c b +c+a c +a+b Đề xuất Đỗ Hữu Đức Thịnh Lời giải Diego Alvariz - Nguyễn Đức Việt Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarzt, ta có a b c + + = +b+c b +c+a c +a+b a (1 + b + c ) b (1 + c + a ) c (1 + a + b ) = + + ( a + b + c ) (1 + b + c ) ( b + c + a ) (1 + c + a ) ( c + a + b ) (1 + a + b ) a + b + c + ( ab + bc + ca) a2 ( a + b + c )2 a + b + c + ( a + b + c )2 =1 ( a + b + c )2 Lời giải Fozi M Dannan - Nguyễn Đức Việt Ta có a2 a −a+3 + a 9 Bất đẳng thức tương dương với (2a + 3) ( a − 1)2 Tương tự, ta có điều phải chứng minh The art of Mathematics — 39/48 Thử thách Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a + b + c = Chứng minh a 4( a3 + bc) + b 4(b3 + ca) c + 4(c3 + ab) ≤ 2abc Đề xuất Lê Minh Cường Lời giải Nguyễn Đức Việt Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có a 3 ( a3 + bc) a √ = a3 bc a3 bc 12 +a+a+a+1+1 bc Tương tự, ta có a 4( a3 + bc) + b 4(b3 + ca) + c 1 + + + 15 ab bc ca 12 4(c3 + ab) Ta cần chứng minh 12 1 + + + 15 ab bc ca 2abc 1 1 1 ⇔ + + + 15 + + 12 ab bc ca 2ab 2bc 2ca 1 + + ⇔ ab bc ca Bất đẳng thức theo bất đẳng thức AM-GM CBS: 1 + + ab bc ca ab + bc + ca 27 ( a + b + c )2 =3 Vậy ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c = Lời giải Đặng Tiến Dũng Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có a 4( a3 + bc) + Mặt khác ta có abc b 4(b3 + ca) + c 4(c3 + ab) ( a + b + c )3 = ⇒ abc 27 √ √ abc ⇒ a a3 bc 2abc +√ b b3 ca √ abc +√ c c3 ab The art of Mathematics — 40/48 Ta cần chứng minh √ a a3 bc +√ b +√ b3 ca c √ c3 ab abc ⇒ √ a2 + √ b2 + √ c2 Theo bất đẳng thức AM-GM ta có √ a2 + √ √ b2 + a+a+1 b+b+1 c+c+1 + + =3 3 c2 Thử thách Cho a, b, c số thực dương Chứng minh a2 ( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 ) + b2 (b2 + bc + c2 ) (b2 + ba + a2 ) + c2 (c2 + ca + a2 ) (c2 + cb + b2 ) Đề xuất Nguyễn Ngọc Tú Lời giải Nguyễn Đức Việt Bất đẳng thức tương đương với ∑ a2 b2 + bc + c2 ⇔ ∑ a2 b2 a2 + ab + b2 b2 + bc + c2 ( a2 + ac + c2 ) (b2 + bc + c2 ) c2 + ca + a2 ∑ a3 b3 + 2abc ∑ a2 b + ∑ ab2 + 3a2 b2 c2 Mặt khác theo bất đẳng thức CBS, ta có ( a2 + ac + c2 ) (b2 + bc + c2 ) a+ c 2 + 3c2 b+ c 2 + 3c2 a+ c b+ c 3c2 + Tương tự, ta có LHS ∑ a2 b2 a+ c b+ c 3c2 + Đặt x = ab, y = bc, z = ca, ta quy toán ∑ a2 b2 a+ c b+ ⇔ x3 + y3 + z3 + 3xyz c 3c2 + ∑ a3 b3 + 2abc ∑ a2 b + ∑ ab2 x2 y + xy2 + y2 z + yz2 + x2 z + xz2 Đúng theo bất đẳng thức Schur bậc Lời giải Nguyễn Ngọc Tú + 3a2 b2 c2 The art of Mathematics — 41/48 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có ∑ a2 ∑ ( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 ) ( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 ) a2 + b2 a2 + =∑ ∑ ( a + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 ) ( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 ) (b2 + bc + c2 ) a = ∑ +∑ ( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 ) − b (b2 + ba + a2 ) (b2 + bc + c2 ) a2 + ab + b2 ( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 ) (b2 + bc + c2 ) a2 + ab + b2 ∑ (a2 + ab + b2 ) (a2 + ac + c2 ) (b2 + bc + c2 ) =∑ 2 ( a + ab + b ) ( a + ac + c2 ) (b2 + bc + c2 ) Vậy a2 ( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 ) + b2 (b2 + bc + c2 ) (b2 + ba + a2 ) + c2 (c2 + ca + a2 ) (c2 + cb + b2 ) Lời giải Đỗ Quốc Chính Ta có a2 ( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 ) = a2 ( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 ) ( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 ) 3c2 c 3c2 b+ + 4 = ( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 ) c c 3c2 a2 a + b+ + 2 2 ( a + ab + b ) ( a + ac + c2 ) a2 a2 + ab + ca + 2bc = 2 ( a + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 ) a2 a+ c 2 + Vậy ∑ a2 ( a2 + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 ) Dành cho THPT a2 a2 + ab + ca + 2bc ∑ =1 ( a + ab + b2 ) ( a2 + ac + c2 ) The art of Mathematics — 42/48 Thử thách Chứng minh bất đẳng thức sau với số thực dương a, b, c a3 + b3 + c3 abc b2 + c2 + b a c2 + a2 + c a2 + b2 Đề xuất Nguyễn Việt Hùng Lời giải Diego Alvariz Ta có a = b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 + + b c b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 + + a 2a b 2b c 2c b2 + c2 c2 + a2 a2 + b2 + + 2a 2b 2c 1 + + a b c = abc ( ab + bc + ca) ( ab3 + a3 b + ac3 + a3 c + bc3 + b3 c) Mặt khác ta có a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 2 ab3 + ac3 + bc3 a3 b + b3 c + ac3 Vì 1 ( ab + bc + ca) ( ab3 + a3 b + ac3 + a3 c + bc3 + b3 c) abc a2 + b2 + c2 √ √ ab + bc + ca 3abc Nhưng theo bất đẳng thức Chebyshev, ta có a2 + b2 + c2 √ √ ab + bc + ca 3abc a2 + b2 + c2 ( a + b + c ) 3abc a3 + b3 + c3 abc Vậy a3 + b3 + c3 abc a b2 + c2 + b c2 + a2 + c Lời giải Triệu Tấn Hưng a2 + b2 The art of Mathematics — 43/48 Ta có a3 + b3 + c3 ≥ abc a b2 + c2 + b c2 + a2 + c a2 + b2 a3 + b3 + c3 ≥ bc b2 + c2 + ca c2 + a2 + ab a2 + b2 Hay Mặt khác theo bất đẳng thức Holder inequality, ta có a3 + b3 a3 + b3 (1 + 1) ≥ a2 + b2 Nhưng a2 + b2 = a2 + b2 a2 + b2 ≥ 4a2 b2 a2 + b2 Vậy a3 + b3 Hay a3 + b3 ≥ ≥ 4a2 b2 a2 + b2 √ Tương tự, ta có 2ab √ b3 + c3 √ c3 + a3 a2 + b2 2bc b2 + c2 2ca c2 + a2 Vậy a3 + b3 + c3 abc a b2 + c2 + b c2 + a2 + c a2 + b2 Lời giải Nguyễn Thanh Hiếu Ta có a3 + b3 + c3 ≥ abc a b2 + c2 + b c2 + a2 + c a2 + b2 a3 + b3 + c3 ≥ bc b2 + c2 + ca c2 + a2 + ab a2 + b2 Hay Ta cần chứng minh a3 + b3 ≥ ab a2 + b2 Bất đẳng thức tương dương với a3 + b3 ≥ √ ab.2 ab a2 + b2 The art of Mathematics — 44/48 Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có Mặt khác, ta có ab a2 + b2 a2 + b2 ( a + b )2 ≤ ab + = 2 √ √ ( a + b ) ab ( a + b ) ab( a + b)2 a3 + b3 ≥ ≥ = 4 Ta chứng minh a3 + b3 ≥ ab a2 + b2 Tương tự ta có a3 + b3 + c3 abc b2 + c2 + b a c2 + a2 + c a2 + b2 Lời giải Đặng Tiến Dũng Ta có a3 + b3 ( a + b)3 = ( a + b) a2 + 2ab + b2 √ ab.2 ( a2 + b2 ) 2ab = 4ab ( a2 + b2 ) Vậy a3 + b3 2abc c a2 + b2 Tương tự ta thu b3 + c3 2abc a b2 + c2 c3 + a3 , 2abc a3 + b3 + c3 abc a b2 + c2 + b b c2 + a2 Vậy c2 + a2 + c a2 + b2 Thử thách Nếu x, y, z số thực dương thỏa mãn x + y + z = 27 + 6xyz + x y z + + − 4yz − 4zx − 4xy 12 ( xy + yz + zx ) Đề xuất Đỗ Quốc Chính Lời giải Nguyễn Thanh Hiếu The art of Mathematics — 45/48 Áp dụng bất đẳng thức Schur ta có x3 + y3 + z3 + 3xyz ≥ ∑ xy( x + y) ⇔ ( x + y + z)( x2 + y2 + x2 ) + 3xyz ≥ ∑ xy( x + y) ⇔ 3( x2 + y2 + x2 ) + 9xyz ≥ 2( x + y + z)( xy + yz + zx ) ⇔ 3( x + y + z)2 + 9xyz ≥ 12( xy + yz + xz) ⇔ 27 + 9xyz ≥ 12( xy + yz + xz) 12( xy + yz + xz) − 27 ⇔ xyz ≥ Chú ý 4xy ≤ ( x + y)2 < ( x + y + z)2 = ⇔ − 4xy > Ta có y z ( x + y + z )2 x + + ≥ = − 4yz − 4zx − 4xy 9( x + y + z) − 12xyz 27 − 12xyz Đặt a = xy + yz + xz, với a ≤ ( x + y + z )2 = Ta cần chứng minh 27 + 12a − 27 + 9 ≥ 12a 12a − 27 27 − 12 Bất đẳng thức tương đương với 4( a − 3)(16a − 51) ≥0 63 − 16a Luôn a ≤ Lời giải Đặng Tiến Dũng Đặt p = a + b + c = 3, q = ab + bc + ca, r = abc LHS = p3 + 6r + ∑ x ; RHS = 4pq − 4yz Theo bất đẳng thức Schur bậc ta có P = 5∑ x − 4yz 3r Theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarzt, ta có P = 5∑ x − 4yz p2 45 = 9p − 12r 27 − 12r The art of Mathematics — 46/48 Ta cần chứng minh 45 27 − 12r 3r ⇔ 45 + 36r2 81r Bất đẳng thức theo AM-GM 36r2 + 36 9r 72r Thử thách Cho a1 , a2 , , an số thực dương, n số nguyên dương lớn Chứng minh n n 1 ∑ n − i,j=1,i = j + a j ∑ i =1 (1 + a i ) Đề xuất Phạm Hữu Hiệp Lời giải Nguyễn Đứcc Việt, Đỗ Quốc Chính Đầu tiên, ta chứng minh Bổ đề sau: Nếu a, b số thực dương (1 + a ) + (1 + b ) 1 + ab Bất đẳng thức đề xuất Vasile Cirtoaje, 1994 Chứng minh Theo bất đẳng thức CBS, ta có b ( a + b) b + a ( a + 1)2 ( a + b) a + ( b + 1)2 Vậy (1 + a ) + 1 (1 + b ) Nên ( a + b) a + (1 + a i ) + b ( a + b) b + 1 + aj + 1 + a j Hoàn tồn tương tự, ta có n ∑ i =1 (1 + a i ) n 1 ∑ n − i,j=1,i = j + a j a = 1 + ab The art of Mathematics — 47/48 Giải đáp câu đố thú vị: Khung số × 50 vol.3 Các bạn chia khung số (xem ảnh phía dưới) thành phần hình dạng kích thước cho tổng số phần 50 .. .The art of Mathematics — 2/48 • Học tốn thầy Hồng Trí Quang The art of Mathematics — 3/48 Biên tập viên, cộng tác viên, tác giả thành... + 5 27 27abc 27abc 27abc 27abc ( a + b + c )6 = 27k + The art of Mathematics — 19/48 Bài toán Nếu a, b, c số thực dương k ∈ [0; 9] then ab + bc + ca a3 + b3 + c3 + k abc a + b2 + c2 3+k Đề... abc a + b2 + c2 a+b+c k ⇔ − abc a + b2 + c2 ⇔ ( a + b + c ) a2 + b2 + c2 kabc The art of Mathematics — 20/48 Nhưng theo bất đẳng thức AM-GM, ta có ( a + b + c ) a2 + b2 + c2 9abc kabc Bất đẳng