ENCYCLOPEDIA OF PHYSICS HANDBUCH DER PHYSIK
EDITED BY HERAUSGEGEBEN VON
S.FLUGGE S FLUGGE
VOLUME VIII/1 BAND VIII/1
Trang 2
&
Inhaltsverzeichnis
Seite
Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Von Dr Kraus Oswatitscn, Pro- fessor an der Technischen Hochschule Aachen (Deutschland) (Mit 69 Figuren) 1
Einleitung 2 ki 1
1 Grundgleichungen i in Tntegralform : vi eee eee 4
If StoBwellen und Schallwellen : ¬— 9 III Differentialform der Grundgleichungen i in Bulerscher Darstellung wo ee 47 Alle Rechte, insbesondere das der Ubersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten, IV Kinematische Beziehungen und Deutungen - - - - 19
| V Grundgleichungen fiir reibungslose Strémungen .2.2 34
Ohne ausdriickliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet, dieses VI Wirbelsat
Buch oder Teile daraus auf photomechanischem Wege (Photokepie, Mikrokopie) zu vervielfältigen, + VỊI Innere Reibung Q Q Q HH HQ irbelsa: re ¬_ te nn en en ee 23222 4Ÿ BE
© by Springer-Verlag OHG Berlin - Gưttingen - Heidelberg 1959 VIII Strưmungstypen ¬_— ee ee ee ee 5G
Printed in G IX Potential- und Stromfunktionen ee ee ee 7
na an 5ermany X Strưmungskräfte Q Q Q2 82
XI Potentialstrémungen © 0 ống
XII Instabilitaten und Turbulenz 2 1 te ee AY Zusammenfassende Literatuf cv Q22 + 222 124 Mathematical Principles of Classical Fluid Mechanics By James Serrin, Professor
of Mathematics, University of Minnesota, Minneapolis (USA) (With 17 Figures) 125
A Preface and introductory remarks 2 5 we ee ee ee 425
B The equation of motion ee ee eee eee we 428
⁄ I Kinematics and dynamics of fluid motion a đ-©
II Energy and momentum transfer 138 Jit, Transformation of coordinates 2 ee ee ee 141 IV Variational principles - Ce 144 € Incompressible and barotropic perfect fi đuids ee 150
I General principles 2 ee 150 II Irrotational motion 2 ee ke ee te 157
1H Rotational motion ee ee 162 D Thermodynamies and the energy equation na
I Thermodynamics of simple media 3 2 1 ee ee ee 172
Il The energy equation 2 2 ee ee ee 176
E The perfect gas 2 6 6 we ee 179
I General principles ee ee ee ee ee AID
ey “AC II Energy, entropy, and vorticit ba
é A8 hủ, 3 > + 8 Til Special methods i in two- rity flow 2 6 ee eee ee ee ee 190 Die Wiedergabe von Gebrauch Handel Warenbezeich usw : IV Subsonic potential flow Ce ee ee ew we 198
in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht 2u der , V Supersonic flow and characteristics tr Ta:
Annahme, daB solche Namen im Sinn der Warenzeichen- und Markenschutz- VI Special topics 2 ek aaaaaa ˆ 215 Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt
werden diirften, F, Shock waves in perfect fluids 2 2 0 2 ee ee ee ew 248 G, Viscous fluids ¬ ee ee eee ewe 230 I The constitutive equations ofa a viscous fluid %ủaụàaaa :ˆ 1I Dynamical similarity Q Q Q HH HQ + v.v 243 Druck der Universitatsdruckerei H Stirtz AG., Wirzburg ITI Incompressible viscous fluids 2 2 6 ee ee ee ee 246
Bibliography 1 2 ee ee 262
Trang 3VI
Laminar Boundary Layers By Lustre Howarrn, Professor of A
Inhaltsverzeichnis
Bristol University, Bristol (Great Britain) (With 8 I, Two-dimensional incompressible boundary layers Ii Three-dimensional boundary layers
1H1 Limitations of the boundary layer approximation , Figures)
IV The laminar boundary layer in compressible flow V Heat transfer in incompressible boundary layers
VI Boundary layer control
General works of reference
Entstehung der Turbulenz Von Dr,
schen Hochschule Braunschweig und Direktor
Gottingen, Braunschweig (Deutschland)
I Einige experimentelle Ergebnisse tiber den Umsch II Grundlagen der Stabilitdtstheorie der Laminarstr6: III Ergebnisse der Stabilitdtstheorie
strưmten ebenen Platte und fiir d
IV Vergieich der Stabilitatstheorie mit Versuchsergebnissen pplied Mathematics, Soe ee ee es 264 Seite 265 + 307 328 + 334 - 343 : 347
HERMANN SCHLICHTING, Professor an der Techni-
V Einflu8 des Druckgradienten auf den Umschlag
VI Einflu8 der Absaugung auf den Umschlag laminar-turb
VII EinfluB eingepragter Krafte auf den Umschlag laminar- VIII Einflu8 des Warmeiiberg:
laminar-turbulent
TX Stabilitat gegen dreidimensionale Stưrungen
X EinfluB der Wandrauhigkeit auf den Umschla; Zusammenfassende Literatur oo Sachverzeichnis (Deutsch/Englisch) Subject Index (English/ German) ag laminar-turbulent mung fiir die Grenzschicht an der lãngsange- as Poiseuillesche Parabelprofil oe ulent turbulent der Aerodynamischen Versuchsanstalt « (Mit 92 Figuren) auf den Umschlag 350 - + 351 » 3541 + 366 374 383 396 409 - 415 419 „ 430 440 450 - 451 „ 4đỐ1 Physikalische Grundlagen der Strưmunøslehre Von OSWATITSCH Mit 69 Figuren - Einleitung
Seit dem Erscheinen đes Vorgangers dieses Handbuch-Bandes im Jahre 1927 kam Sie war eng verbunden mit der zunehmenden Bedeutung der tech- nischen Wissenschaften, insbesondere der Luftfahrt, und ist eng verkniipft mit
dem Nanien L PRANDTLs, der nicht nur aut manchen Gebieten durch neue Anschauungsweisen, wie beispielsweise die Grenzschichttheorie, aus einer Stagna-
tion herausfiihrte, sondern auch das Fachgebiet seiner Schaffensperiode zu
beherrschen vermochte Die Aufgaben waren zwar auch damals verwickelt, ihre
experimentelle Darstellung und auch der theoretische Aufwand bewegten sich jedoch meist in ertraglichen Grenzen,
Solche Schranken scheinen heute aber nach allen Richtungen durchbrochen
Die Entwicklung nach hohen Geschwindigkeiten, stationar und instationdr, mit und ohne Reibung und Warmeiibergang, hat besonders nach dem letzten Krieg zu einer Ausweitung des Fachgebietes und des Wissenschaftler-Stabes gefiihrt,
welche den Uberblick iiber die wissenschaftliche Produktion und die Auslese
wichtiger Arbeiten sehr erschwert: Das Vordringen zu extremen Geschwindig-
keitén fithrt zu thermischen Zustanden, die gegenwartig weder theoretisch und noch weniger experimentell beherrscht werden Gerade der ungeheure Versuchs-
aufwand rechtfertigt grưBere Bemihungen ín đer Theorie, die allerdings von
der Entwicklung der Rechenautomaten erleichtert werden Lésungen, welche
wegen des Umfanges der Arbeit frither aussichtslos schienen, etwa in der Meteoro-
logie, werden heute versucht Altere Probleme, wie die Strémung in hoch ver-
diinnten Gasen, gewinnen neues: Interesse Ganz neve Probleme, wie Plasma-
strémungen in magnetischen und elektrischen Feldern kommen hinzu Dabei
steht eine Modelltheorie fiir einfache turbulente Strémungen auch heute noch aus
Angesichts dieses Zustandes ist eine Beschrénkung insbesondere in einem allgemeinen Grundlagenartikel erforderlich Deshalb sind im folgenden gas-
kinetische Effekte, magnetische und elektrische Krafte, sowie Strémungen mit Diffusion nicht behandelt Im librigen habe ich mich aber um eine méglichst all-
gemeine und klare Darstellung der Grundlagen đer gegenwirtig interessierenden,
im allgemeinen kompressiblen Strémungen bemitht
Wie schon friiher begann ich mit den Grundgleichungen in Form von Integral- sdtzen Fiir die Beschreibung der Teilchenbewegungen und die Herleitung der Wirbelsấtze zog ich die Lagrange-Darstellung vor Im Hauptabschnitt tiber die Strémungstypen versuchte ich eine tibersichtliche Klassifizierung Die verstreuten Beispiele, sowie Hauptabschnitt XI sollten die Anschauung férdern und zu den Handbuch der Physik, Bd VIIT/1
Trang 4
2 K Oswatrtscu: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 1 Spezialartikeln tiberleiten In Ermangelung einer Turbulenztheorie ist den
Nachbarproblemen in Hauptabschnitt XII etwas mehr Raum gewidmet Die Variationsprinzipien dagegen wurden mit Riicksicht auf die umfassende Behand-
lung im Parallelartikel von B SERRIN nicht nochmals dargestellt1
1 Physikalisch-thermodynamische Voraussetzungen Allen folgenden Uber-
legungen soll stets ein Medium zugrundegelegt werden, dessen thermodynamischer
Zustand durch Angabe der absoluten Temperatur T, des Druckes und der Dichte @ beschrieben werden kann, und dessen Bewegung durch einen einzigen Geschwindigkeitsvektor mit den drei Komponenten 4, v, w in den Koordinaten- richtungen x, y, z darstellbar ist
Durch diese Annahme wird eine Reihe interessanter Probleme von den Be- trachtungen ausgeschlossen, wie etwa die Strémung von Phasengemischen bei starker Beschleunigung oder Verzégerung, wo beispielsweise die Tropfen eine andere Bahn beschreiben als das Gas der Umgebung und Krafte von der einen Phase auf die andere ausgeiibt werden Solche Vorgiinge erfordern jedoch wegen ihrer Kompliziertheit zu ihrer Beschreibung andere Vereinfachungen, wie eine Beschrankung auf eindimensionale Bewegung und ähnliches Sie erschweren unnotig die hier angestrebte allgemeine Darstellung des Strưmungsvorganges
Soweit die verschiedenen Bestandteile des Mediums jedoch einheitliche Ge-
schwindigkeit besitzen, sind sie bei den folgenden Uberlegungen mit eingeschlossen Es ist dann eine reine Frage der Thermodynamik, wie die einzelnen Bestandteile abhängig vom gemeinsamen Druck und von der gemeinsamen Temperatur und, bei Relaxationsphanomenen auch abhdngig von der Zeit 7, ineinander bergehen Stets kann einem solchen Gemisch dann auch eine innere Energie e, eine Enthal- pie 7 oder eine Entropie s, alle drei GréBen auf die Masseneinheit bezogen, zu- geordnet werden Die Darstellung von Strémungen reagierender Substanzen ist also im folgenden durchaus mit einbegriffen, solange die beteiligten Produkte nicht durch den Strémungsvorgang getrennt werden Voraussetzung ist zunächst 7 also nur, daB sich das Medium genau so verhilt, als ob es in eine groBe Anzahl masseloser und kraftefrei deformierbarer Hitllen verpackt ware
Das Medium muB also als physikalisch-homogen darstellbar sein, es muB sich im thermodynamischen Gleichgewicht befinden oder, in der Ausnahme, dieses thermodynamische Gleichgewicht mit einer angébbaren Verzưgerung annehmen Ferner heiBt das, daB die ,, Kérnigkeit der Struktur des Mediums klein sein muB gegentiber den Strémungsdimensionen So kénnen einerseits in kosmischen Raumen die Bewegungen von Sternansammlungen als Sirémungen von Gas- wolken beschrieben werden, wahrend andererseits die molekulare Struktur ge-
wéhnlicher Gase bei sehr abrupten Anderungen bereits in Betracht zu ziehen sein wird
Unter diesen Annahmen ist die Abhangigkeit der mittleren thermodynamischen
ZustandsgrưBen T, ~, 0, é, 4 und $ untereinander eine reine Frage der Thermo-
dynamik, welche véllig unabhangig vom Strémungsvorgang und parallel zu
diesem zu lésen ist Ftir den Strémungsvorgang selbst kann stets vorausgesetzt
werden, daB nur zwei der thermodynamischen ZustandsgréBen unabhangig von- einander sind, beispielsweise p, 9 oder s, J Die tibrigen ZustandsgréBen kénnen stets durch rein thermodynamische Beziehungen auf zwei unabhangige zuriick- gefiihrt werden Allerdings sind diese thermodynamischen Beziehungen haufig
1 Herrn C TRUESDELL danke ich bestens fiir seine zahlreichen historischen Hinweise Meinem Assistenten Herrn T.D Ruzs gebiihrt mein bester Dank fiir viele Hilfeleistungen, insbesondere fiir das Zusammenstellen der Figuren und das kritische Lesen der Korrekturen
Fir letzteres bin ich auch meinem Mitarbeiter, Herrn R SCHWARZENBERGER zu Dank ver-
bunđen
Ziff 2 Darstellung des Strémungsvorganges 3
so verwickelt, da auf ihre explizite Anwendung verzichtet und nur ihre grund-
satzliche Existenz angenommen wird Bei einigen wenigen besonders schnell
ablaufenden Zustandsainderungen kann infolge von Relaxationserscheinungen in diese Beziehungen auch noch die Zeit ¢ eingehen Uber den EinfluB der Re-
laxation geben einige Messungen Auskunft}
; Elektrische und magnetische Krafte zwischen den einzelnen Teilen des Me-
diums, wie sie etwa bei starker Ionisierung des Gases in einem Magnetfeld autf-
treten kénnen, sollen nicht mit eingeschlossen werden Diese Erscheinungen sind
Gegenstand der Magnetohydrodynamik und der Plasmadynamik, eines gegen-
wartig stark in der Entwicklung begriffenen Wissensgebietes
2 Darstellung des Strémungsvorganges Der Strémungsvorgang wird stets durch fiinf unabhangige Funktionen beschrieben, deren zwei den thermodynami- schen Zustand und deren drei die Bewegung des Mediums im Raume betreffen
Fiir eine solche Darstellung stehen zwei verschiedene Methoden zur Verfiigung, die sich beide schon bei EULER finden?
Die eine nach LacRancE (1736—1843) bezeichnete Darstellungsform schlieBt sich den Methoden der Punktmechanik an Als unabhangige Veranderliche
werden bei dieser neben der Zeit ¢ drei Variable gewdhlt, welche fiir das einzelne Teilchen des in drei Dimensionen erstreckten Mediums charakteristisch sind Als
solche Variable kommen in erster Linie die Koordinaten des Teilchens zur Zeit
¢=0 in Frage Die abhangigen Veranderlichen sind neben den beiden thermo- dynamischen ZustandsgrưBen die Lage x, y, z des Teilchens zu einem beliebigen
Zeitpunkt Fiir bestimmte Werte der Teilchenkoordinaten geben die kartesischen
Koordinaten x,y,z als Funktion der Zeit die Teilchenbahn Die Ableitungen der Koordinaten nach der Zeit geben die Geschwindigkeitskomponenten Wenn diese ,Lagrange-Methode“ auch weniger angewendet wird, so leuchtet doch ein
daB sie dort gute Dienste leisten wird, wo es sich um die Verfolgung der Eigen-
HT) eines einzelnen Teilchens handelt, wie etwa bei den Wirbelsätzen (siehe
zB
Im allgemeinen ist jedoch die nach Euler (1707—1783) benannte Dar-
stellungsform? vorzuziehen Bei ihr wird der Strémungszustand in einem geeignet
gelegenen Bezugssystem registriert Die unabhangigen Verdnderlichen sind hier
also die Zeit und die Ortskoordinaten Gesucht werden der thermodynamische Zustand und der Strémungszustand in Abhdngigkeit von Ort und Zeit
Die Eulersche Methode entspricht den gebrauchlichsten MeB- und Beobachtungs- methoden in der Strémungsmechanik Man registriert dabei etwa den Druck in bestimmten Punkten der Wand, das Strémungsbild von einem bestimmten ‘Beobachtungsstand oder auch die Kraft, welche auf den Kérper ausgetibt wird
Die Eigenschaften der Teilchen bleiben auSer Betracht und sind oft auch gar nicht so leicht zu ermitteln
Dabei gibt es noch einen wichtigen Spezialfall, némlich jenen, wo der Stré- mungszustand zeitlich unabhangig ist, die stationdre Strémung Die thermo- dynamischen Zustandsgré8en und der Strémungsvektor sind in diesem Fall nur mehr Ortsfunktionen
_ Man erhilt also fiir jeden Zeitpunkt ¢ ein Richtungsfeld der Geschwindigkeiten Diejenigen Kurven, welche in jedem Punkt des Stroémungsfeldes die Richtung des
Geschwindigkeitsvektors besitzen, bezeichnet man als Stromlinien Die rédhren- férmigen Gebilde, deren Wande aus Stromlinien erzeugt werden, nennt man Stromfaden oder Stromréhren Bei instationdrer Strémung sind die Strom-
1 H.G Nacamatsu, R.E Geicer and R.E SHEER jr.: , , REL E jr.: J Aeronaut Sci (1 i : 2 LL Eurer: Berl Akad 11, Jg 1755 j (1959)
Trang 54 K OswaritscH: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 3 linien keineswegs mit den Teilchenbahnen identisch Nur bei stationarer Stré-
mung bewegen sich die Teilchen nicht nur im Augenblick, sondern dauernd lings einer bestimmten Stromlinie
Unabhangig von der Form der Darstellung handelt es sich stets darum, ein
Gleichungssystem ftir die fiinf abhingigen Verdnderlichen, beispielsweise fiir
1, 0, 1, p und @ zu finden Dieses wird geliefert durch den Satz von der Er-
haltung der Masse (Kontinuitaitsbedingung), die Impulssdtze in den drei Koordi- natenrichtungen und den Energiesatz, Der Energiesatz gibt ja in der Thermo- dynamik des physikalisch-homogenen Mediums den thermodynamischen Zustand, demzufolge mu8 er also auch beim Strémungsvorgang herangezogen werden
Die drei Bewegungsgleichungen oder Impulssatze stellen den Bewegungsvorgang
in der Punktmechanik dar Die Kontinuitắtsbedingung schlieBlich ist eine fiir
die Strémungslehre typische Gleichung und hat weder in der Thermodynamik
noch in der Punktmechanik ein vollkommenes Gegensttick, da dort im allgemeinen genau abgegrenzte Materieteile betrachtet werden Dagegen muB8 in der Stré-
mungslehre stets besonders ausgedriickt werden, wie sich die Menge durch Zu-
strémen, Abstrémen oder durch Ausdehnung Andert
Aus einem spater ersichtlichen Grunde wird im folgenden mit der Darstellung in Form von Integralsatzen begonnen, wobei zundchst die Eulersche Darstellungs-
form angewendet wird
I Grundgleichungen in Integralform
3 Integralform der Kontinuitắtsbedingung Im Raume mit den Koordinaten *,y,2 sei ein Bereich B durch eine geschlossene Flache F abgetrennt (Fig 1) z Die Flachennormale fithre nach auBen und sei durch einen Einheitsvektor n gegeben
Er schlieBe mit den drei Koordinatenrich-
tungen die Winkel (n, x), (m,y) und (, z)
⁄2 ein:
tt==((CoS (ø, x); cos(%,); cos(0,2)) (3.4) — ữ Die Geschwindigkeitskomponente in Rich- | |
tung der Flachennormale ist dann das innere
Produkt oder Skalarprodukt von Geschwin-
digkeitsvektor und Fléchennormale:
ÍD ‹ Tỉ = “COS (nH, X v COS (%
Fig 1 Raumlicher Bereich B ( , ) + ( , ?) + | ba
Der Materiestrom durch ein Elãchenelement đÿ in der Zeiteinheit ist gegeben
durch den Zylinder der Grundfläche đƒ, đer Hưhe (m - n) multipliziert mit đer Dichte @: + wcos (#, 2) oĐm - n) 4ƒ (3.3) Dieser Materiestrom, iiber die Flache F integriert, gibt den MateriefluB aus dem betrachteten Raum Im Bereich B befindet sich die Masse: SSfodxdydz (3.4) B
Q, die Summe der Quellstarken aller innerhalb von F befindlichen Quellen, muB
nun gleich sein der zeitlichen Zunahme der in B befindlichen Masse (3.4) vermehrt
Ziff 4 Integralform des Impulssatzes 5
um den durch F flieBenden Materiestrom:
0=F[ffodrdyde + [fow- naj (3.5)
B F
Sofern die Begrenzung F als zeitlich gleichbleibend angenommen wird, kann die Ableitung nach der Zeit in (3.5) auch auf den Integranden ausgetibt werden Sind
im Innern von F keine Quellen vorhanden, oder ist die Summe ihrer Quellstarke Null (Q =0), dann verschwindet die linke Seite der Gleichung der Kontinuitats- bedingung in der Integralform (3.5)
Der Integrand des Flachenintegrales von (3.5) kann auch als Skalarprodukt
- eines neuen Vektors ø to mit dem Normalenvektor n aufgefaBt werden Dieser Stromdichte-Vektor:
gt = (ou; ev; ow) (3.6)
spielt in der Strémungslehre kompressibler Medien eine bedeutende Rolle Seine
Projektion auf die Normalenrichtung gibt den Ausflu8 durch eine Flache 4, Integralform des Impulssatzes Nach dem Impulssatz muB die Resultierende
aller auf den Bereich B ausgetibten Krafte eine Erhéhung der BewegungsgréBe
in der Kraftrichtung bewirken Dabei sollen drei verschiedene Formen von
Kraiten unterschieden werden Erstens eine Haltekraft gegeben durch einen
Kraftvektor:
f= (K,; K,; K,) (4.4)
Mit Hilfe dieser auf das Innere von B oder auf einen Teil seiner Oberfliche aus- getibten Kraft soll die Anordnung festgehalten werden Man kann sich unter
(4.1) etwa die fiir die Verankerung eines Triebwerkes, einer Rohrleitung oder
eines Windkanalmodells erforderliche Kraft vorstellen Als zweites kommen Massenkrafte in Betracht, welche, wie beispielsweise die Schwerkraft, am Materie- element angreifen
: g=(X,Y,Z) (4.2)
Ihre drei Komponenten X, Y, Zseien als Funktionen des Ortes und allenfalls der
Zeit gegeben SchlieBlich sind noch Flachenkrafte in Rechnung zu stellen, wie sie als statischer Druck oder als Reibungskrafte auftreten Auf ein Oberfliachenelement
kưnnen unabhangig voneinander zwei Schubspannungen in der Ebene des Flachen-
elementes und eine Normalspannung in Richtung senkrecht zum Flachenelement wirken Da es aber drei unabhingige Richtungen fiir das Flachenelement gibt
sind das zunachst neun GréBen, durch welche die Flichenkraft dargestellt wird Der statische Druck # soll dabei herausgeschalt werden, und zwar als — 4, weil
eine dem statischen Druck gleiche Flachenkraft entgegen der Normalrichtung
auf das Flachenelement ausgeiibt werden mu8 Der verbleibende Teil der Ober-
flachenkrafte ist in (4.3) durch die Bildung o;, gekennzeichnet Er ist auf innere
Reibung des Mediums zuriickzufiihren Die entsprechenden Beziehungen werden in Ziff 29 abgeleitet Der statische Druck wirkt unabhadngig von der Richtung des Flachenelementes mit der gleichen Starke Damit gewinnt man folgendes
Schema fiir den Tensor der Oberflachenkrifte:
T ? + Oxy Oxy Oz,
5 G= Oy, —P+y,, Oy: (4.3)
Oz Øyy — 2 + Øyy
Der erste Index bezieht sich dabei stets auf die Richtung des Flachenelementes In der ersten Zeile also stehen die Kraftkomponenten, welche auf das normal
Trang 6
6 K OswatitscH: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 4
zur x-Achse stehende Element ausgetibt werden (Fig 2) Der zweite Index hingegen bezieht sich auf die Kraftrichtung In der ersten Kolonne stehen also
alle x-Komponenten Ganz wie bei den Vektoren stehen die in den drei Ko-
ordinatenrichtungen wirkenden Komponenten nebeneinander Die auf der Dia- gonalen stehenden o-Ausdriicke mit den Doppelindices xx, yy, zz werden als
Normalspannungen, die iibrigen als Tangential- oder haufiger noch als Schub- spannungen bezeichnet
Im tibrigen sind die Komponenten nicht unabhangig voneinander Wie ein Druck stets einen Gegendruck und eine Kraft stets eine Gegenkraft bedingt, so sind auch die Schubspannungskomponenten gekoppelt Fig 3 zeigt einen Langs-
schnitt durch ein quaderférmiges Materieelement, an dessen Oberseite eine Schub-
spannung in x-Richtung, o,,, angreift Es soll keine Bewegung entstehen, also trụ Sy Y Oyx 5 x Oxy Fig 2 Oberflachenkrafte auf ein Flachenelement senkrecht Fig 3 Langsschnitt durch ein quaderfưrmiges Element zur #-Achse
volles Kraftegleichgewicht herrschen Dann muB8 an der Unterseite dieselbe Schubspannung o,, in entgegengesetzter Richtung wirken Das allein gentigt jedoch nicht, da nun ein Moment auf das Materieteilchen ausgetibt wird Im Gleichgewicht muB gleichzeitig eine Oberflichenkraft in y-Richtung an den auf die #-Richtung senkrechten Flachenelementen wirken, o,,, welche gleich groB
ist wie o,, Da dies nicht nur auf die Paarung xy zutrifft, sondern auch fiir alle
anderen Indicespaarungen gilt, haben die Tensorkomponenten von (4.3) folgende Bedingungen zu erfiillen:
O;,=0,, Mit 1,k= 4, y,2 (4.4) Die Oberflachenkrắfte werden demnach durch einen symmetrischen Tensor zweiter Stufe, d-h durch eine symmetrische Dyade, dargestellt
Wieder aus Griinden des Kraftegleichgewichts ist die Kraft, welche auf ein beliebig liegendes Flachenelement @/ wirkt, gleich groB wie die Summe der Krafte, die auf die drei Komponenten des Flichenelementes cos (n, x) df, cos (n, y) df, cos (w,2z) df wirken (Fig 4) Pro Flacheneinheit wirkt also auf eine Flache der Normalenrichtung n die Kraft in x-, y- und z-Richtung:
(— 2 + øz) cos (%, x) + oy, cos (m, y) + ơ,„ cos (%, 2); \
Oz, cos (n, x) + (— p + o,,) coS (ø, v) -+ ơ,y cos (%, 2); (4.5) a,, cos (n, x) +o,,cos (n, y) + (— p +4,,) cos (m, 2)
Das System (4.5) stellt also die drei’ Komponenten des an der Flacheneinheit angreifenden Flachenkraftvektors dar, nur sind diese Komponenten aus druck-
technischen Griinden untereinander geschrieben Mit Hilfe der Tensorsymbolik
Ziff 4 Integralform des Impulssatzes 7
kann der Vektor (4.5) als Produkt von n- G dargestellt werden, womit sich das Einfiihren eines neuen Vektorsymbols eritbrigt:
—P+O¢¢; Oxy; Ox 2
n- G = (cos (m, x); cos(n,y); cos(ø,2)} - Ơy; —# -Èyyg; Ơy, (4.6)
, Ơyz; Oxy; —pt+o,,
Der mit der Tensorrechnung nicht vertraute Leser braucht das Produkt n- ©
nur als Symbol fiir den Vektor (4.5) anzusehen Nach den Regeln des Tensor- kalkiils sind namlich in (4.6) alle Produktsummen von Zeile mal Spalte zu bilden Das gibt nebeneinander stehend gerade die drei Vektorkomponenten wie sie in
(4.5) untereinander geschrieben sind Die durch (4.1), (4.2) und (4.6) dar-
gesteliten Kraftvektoren erzeugen eine BewegungsgréBe in den drei Komponenten- richtungen Die BewegungsgréBe der Massen- y
einheit ist 1, jene der Raumeinheit 9 Somit 1st đíe in enthaltene BewegungsgrưBe:
JJ[oudxáydz (4.7) n
Aber nicht nur durch die zeitliche Zunahme
dieses Raumintegrals wird die BewegungsegréBe
vermehrt, sondern auch durch den Strom an BewegungsgréBe durch die Fliche F aus dem Be- reich B hinaus Dieser Strom an BewegungsgréBe 47
unterscheidet sich von dem Strom an Masse nur Fig 4 Kraftegleichgewicht am Tetraeder
durch die transportierte Eigenschaft Wahrend
friiher pro Raumeinheit g flo8, strémt nun gt Damit kann der Impulssatz in folgender Integralform geschrieben werden:
+f [feqdxdyde+ ff n-Saj=f ffomdzdydz+ [fom (w-n) df (4.8)
B z 8 ?
(4.8) entspricht drei unabhangigen Gleichungen fiir die Komponenten Unter
der Annahme einer zeitlich unverinderlichen Flache F im Raume kann die Zeitableitung unter das Integral gezogen werden Mit Hilfe von (4.6), (4.5) und (3.2) schreibt sich der Impulssatz (4.8) beispielsweise fiir die x-Komponente ann: K,+ ff [Xe dx dy dz +f f lors cos (, x) + oy, Cos (%, V) -Ƒ ø¿„ cos (m, z)]df B F = ie 20H andyda-+ &o + [flew +) cos (n, x) + 9uv cos (nm, y) + 0110 cos (n, 2) ] đƒ F
Eine Bemerkung zur Bezeichnung erscheint hier angebracht In der Stromungs-
lehre pilegt man GrưBen von der Form 9u?+4; ouv; ouw als ,,Impulse“ zu bezeichnen Sie kénnen durch weitere sechs GréSen erginzt werden, die alle
zusammen den symmetrischen Impulstensor bilden Vom statischen Druck
Trang 78 K Oswatirscu: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 5
ist der Transport an Bewegungsgrư8e % durch die Strémung Man lasse sich
also nicht durch die Dimension téuschen; die jener der Energie pro Raumeinheit gleich ist
Ganz entsprechend sind (4.8) und (4.9) in praziser Ausdrucksweise Sdtze vom Impulsflu8 oder auch Kraftsitze Dies sei hier nur mit Riicksicht auf die auf- tretenden Dimensionen erwähnt Von den eingefiihrten Bezeichnungen soll
jedoch nicht abgegangen werden
5 Integralform des Energiesatzes Wie in Ziff 4 ist auch hier die Bezeichnung nicht exakt, denn es handelt sich um ein Gleichsetzen der in der Zeiteinheit
umgesetzten Energie, also um Leistung Dabei sollen nur die mechanischen
und thermischen Energieformen in Betracht gezogen werden, und im letzteren Fall auch nur die Warmeleitung und nicht die Strahlung Alle tibrigen denkbaren Zufuhren pro Zeiteinheit sollen in einer einzigen GréBe L zusammengefaBt werden, ndmlich der Leistung, welche mit der Zufuhr mechanischer Arbeit oder
elektrischer Energie von auBen verbunden ist Dazu kommen noch mégliche Leistungen der Haltekrafte, wenn sich namlich ein Teil der Berandung, wie
etwa der Lãufer einer Strưmungsmaschine in Bewegung befindet Diese Leistung
vermehrt um die Leistung der Massen- und Oberflachenkrafte und um die Energie-
zufuhr von Warme durch Reibung ist gleichzusetzen der Anderung der kinetischen
Energie und der inneren Energie des Mediums Dabei sollen hier und im fol- genden alle Energieformen im gleichen MaBe gemessen werden, so daB sich die
Einfithrung eines Warmedquivalentes eriibrigt
Die Arbeit der Massenkrafte ist gegeben durch das Produkt der Kraft- komponente in Bewegungsrichtung mit dem Weg Die Leistung pro Massen-
einheit ist also gleich dem inneren Produkt vom Massenkraftvektor und Ge- schwindigkeitsvektor:
g-w=uX+0V+wZ (5.4)
Ganz Entsprechendes gilt fiir die Flachenkrafte, wo das innere Produkt des
Kraftvektors (4.5) oder (4.6) mit dem Geschwindigkeitsvektor zu bilden ist: (n- G)-w =[(—p +,,) cos (n, x) +.0,,c08 (n, y) +0,,C0s (m,z)]1% -
-F[Øx„cos (, #) (— 2 -E øyy) cos (w, y) -FØ;ycos (,z)]ø + - -† (5.2)
+ [o,,cos (m, x) + o,,cos (n, y) + (—p+0,,) cos (n,2)]w = (m-©)-n
Wegen der Symmetrie đes Tensors G kann in (5.2) auch der Vektor n mit dem Vektor t vertauscht werden, wie sich leicht verifizieren ]48t Die Klammer zeigt an, welcher Vorgang zuerst auszufiihren ist Auf das Transponieren von Vek- toren soll im Rahmen dieser Darstellung verzichtet werden
Zu den Arbeitsleistungen der Krafte kommt die Energiezufuhr durch Warme-
leitung Mit J als Warmeleitvermégen ist der stets in Richtung abfallender Tem- peratur gerichtete Warmestrom pro Flacheneinheit mit Riicksicht auf die Rich-
tung der Flachennormalen:
+Angrad T= +4| 5 cos (n, x) +, 008 (%, +) +3 cos (nm, 2) | (5.3)
Integriert iiber die Flache F ist dann die Warmezufuhr durch Leitung ausgedriickt
Alle Formen des Energieaufwandes mtissen sich in der Energieinderung des Gases widerspiegeln Die Summe von kinetischer Energie und innerer Energie
im Raume B ist:
Sff (G0? +e) odxdydz B (5.4)
Ziff 6 Unstetigkeiten
9
Wie beim MassefluB und ImpulsfluB ist die zeitliche Energiednderung nicht nur durch die zeitliche Ableitung von (5.4) gegeben, sondern auch durch den Energie-
flu8 durch die Flache F Dieser ist ganz analog zu bilden, indem anstelle der
Massendichte 9 oder der Stromdichte ew nun die Energiedichte:
Lipa
tritt (2+ ¢) @ (5.5)
Der Energiesatz lautet damit:
E+ Jf Jo-wededyde+ [f (n-€)-ma/+ ff in-grad Taj
F
=a ff (gett ledvayds + ff (4 w+ B FE 4) otw-map,
Besonders bei stationdrer Strémung erweist es sich als zweckmäBig, đen sta-
tischen Druck aus dem Spannungstensor abzuspalten und dem EnergiefluB
beizuftigen In diesem erhalt man folgende Kombination thermischer Zustands- groBen, die als Enthalpie oder Warmeinhalt i der Masseneinheit bezeichnet wird:
(5.6)
imetp/o (5.7)
Der Energiesatz nimmt dann die Gestalt an:
L+f{fo-wodxdyds + [0-4 pw)-ndf+ ff an-grad Taf B F +?
=zrJJƒE w+ e)odvdyde+ ff (Lw? +i) om-ndy, (5.8)
Bo F
Von (5.8) kann leicht zur Darstellung in Komponenten tbergegangen werden
unter Beriicksichtigung von (5.1), (5.3) und (3.2) Der aus dem Spannungstensor
entspringende Ausdruck ist in (5.9) auf eine kiirzeste Form gebracht:
(v-S+)-n= (0,24 + OyyU +6,,W) COs (n, x) +
+ (0,24 + oy,0 + oy ,@) cos (1, ¥) + (o,,4 + Ozy0 + 0,,1) Cos (, 2) 6-9)
Die potentielle Energie von Kraftfeldern, wie beispielsweise jene des Schwere-
feldes, ist bereits im Kraftintegral durch den Integranden g - 1p als Leistung äuBerer Kräfte beriicksichtigt, darf also nicht zusätzlich noch in Betracht gezogen werden
II StoBwellen und Schallwellen
6 Unstetigkeiten Eine Hauptursache dafir, daB in den vorausgehenden Ziffern mit der Darstellung der Strémungsvorgange in Integralform begonnen wurde, ist unter anderem das Auftreten von unstetigen Strưmungsvorgängen
Es wird sich gleich zeigen, daB eine stetige Anderung des Strémungszustandes nicht in allen Punkten vorausgesetzt werden darf Fine solche Anderung ware aber eine wesentliche Voraussetzung fiir das Bilden von Ableitungen
Zunachst soll nach der Méglichkeit des Auftretens stationärer Unstetigkeiten im
Strémungsraum gefragt werden, weil sich dafiir bereits alle erforderlichen Glei- chungen in der Kontinuitätsbedingung (3.5), der Gleichung fiir den ImpulsfluB
(4.8) und fitr den Energieflu8 (5.8) anbieten Neben zeitlicher Unveranderlich- keit der Strémung sei noch Verschwinden der Wärmeleiting (Ã->0) und der
Trang 8
40 K Oswatitscw: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 6
i i eine 4 durch zwei senkrecht auf der z-Achse
Der Bereich B sei eine äuBerst schmale, -
stehende Ebenen begrenzte Schicht: (Fig 5), so dab Se ee Mengen ve “Ache
Bereich B austretenden Mengen gegentiber }| :
taeigt werden kénnen, welche in oder gegen die x-Richtung hindurchgehen Dann gilt auf beiden scheibenformigen Flachen:
x<0: cos (w, x)= — 43 O<m seem een) (6.1)
x0: cos(,y)=0; cos(0,z)=0
i a i ưrmi Oberflache auf der
i an die Zustinde auf der scheibenférmigen uf der
Sate 0 ey mit einem Dach und auf der Seite x<0 ohne Dach, also beispiels weise die Geschwindigkeitskomponenten mit u,v, Ø
und &,6,#, so gilt mit Gl (3.2):
x<0: 0m0-n=—1; 0<#: wWen=—4 (6.2) Die Strưmungszustände sollen im betrachteten Gebiet peiderseits der Ebene x =0 jeweils als konstant angesehen werden kénnen, Mit Rticksicht darauf, da8 weder Quel- len, noch duBere Kréfte, noch Leistungen angenommen werden, d.h.:
Q=0; f=0; g=0; L=0, (6.3)
kOnnen die Integralsdtze (3.5), (4.8) und (5.8) auf folgende
me Ser Stodgleichungen Form gebracht werden Kontinuitatsbedingung : =—ou+ou, Impulssatze: p—p=—ev +0 đề : 0=T—09⁄+001% (6-4) 0 =— 011 + 0101; Energiesatz: 0=—[2+ 0® +) +7] 0 + [3 (@ +0? + 0%) +7101
Dieses System 148t sich durch Einftihren der Kontinuitatsbedingung in die letzten drei Gleichungen leicht in die Form bringen: Kontinuitatsbedingung : 8 =og1; Impulssatze: ov + p=our+p; 5 0 =0; (6.5) w=; Energiesatz: B+ = Ew tt
Da die Orientierung des Koordinatensystems lediglich mit Riicksicht auf fo
scheibenférmigen Bereich erfolgte, kann a en Tecan sihompen amen °
lich diimnen Schicht gesagt werden, daB die beiden lange onenten ?
i i i 1 fahren diirfen, daB sich jedoc und w in der Schicht keine unstetigen Anderungen erfah › The
ũr đi it ie bei bhangigen thermischen Varia
fiir die Normalkomponente # und die beiden una ae en he crete
; ist ja Funktion von # und g) drei Gleichungen ergeben, i ›
Tu He und fiinfte Gleichung in (6.5), welche sehr wohl eine Lésung 1= Zulasscn
Man erkennt sofort, đaB đas System auch die triviale Lésung “=u, p=P, 0 ~ 2 7 =i enthalt Das mu8 auch so sein, da ja im Bereich B weder Menge, noc
Ziff 6 Unstetigkeiten, 44
Impuls, noch Leistung hinzugefiihrt werden, so daB der unverdnderte Zustand auch eine mégliche Lésung bilden muB Aus dem System (6.5) 1ABt sich eine Be- ziehung ableiten, die nur ZustandsgréBen enthalt Aus Energiesatz und Impuls-
satz gewinnt man unter Hinzuziehung der Kontinuitatsbedingung leicht:
Sỉ 1 tê #2 1+ 1/1, 1
pop 2 08083 2 gu =3(5+ 4): (6.6)
eine als dynamische Adiabate oder nach ihren ersten Entdeckern als Rankine- Hugoniot-Kurve’ bezeichnete rein thermodynamische Beziehung:
i (6,8) — i(6, Ị=2|f+3)tê—?) (6.7)
Fig 6 zeigt die dynamische Adiabate fiir ein ideales Gas konstanter spezifischer
Warme Fiir ein solches kann mittels bekannter thermodynamischer Gleichungen die Enthalpie mit einer unwesentlichen additiven
Konstanten ausgedriickt werden als: £ — 1 h + const (6.8)
Hierbei bedeuten c, die spezifische Warme bei
konstantem Druck und %=C,/¢, das Verhaltnis der spezifischen Warmen
Auf Grund elementarer Beziehungen gelangt
man dann durch Einsetzen von Gl (6.7) in (6.6)
zu einer sehr einprigsamen Form der dynami- schen Adiabate fiir das ideale Gas konstanter spezifischer Warme: ? =ằœ T -† const = x ?—? ^ =#Z#Z————— pip 6 0 “=1 để 0 3 ——- a @é—e 6+e (6.9) “+1 @
Sie stammt von G EICHELBERG? und wurde von Fig 6 Rankine-Hugoniot-Kurve und
v KArmAN wieder entdeckt und wird haufig Tsentrope (—~ — —),
nach ihm benannt
Fig 6 zeigt, zundchst allerdings nur fiir das ideale Gas konstanter spezifischer
Warme, die Tatsache, da8 in einer Strémung sprunghafte Anderungen des thermischen Zustandes auftreten kénnen, die nach (6.5) dann auch mit sprung- haften Anderungen der Normalkomponente der Geschwindigkeit auf die Un- stetigkeitsflache verbunden sind Bei einer solchen Anderung darf die Entropie des Gases nicht abnehmen, weil sich sonst mit Hilfe einer solchen Strémung
ein Perpetuum mobile zweiter Art konstruieren lieBe Fig 6 zeigt, daB wenigstens beim idealen Gas konstanter spezifischer Warme nur Unstetigkeiten im Zu- sammenhang mit Verdichtungen und Druckerhưhungen auftreten kưnnen Man spricht daher von Verdichtungsstéfen Diesen ist ein besonderer Handbuchartikel von CABANNES in Bd IX gewidmet Mit Riicksicht auf die Bedeutung der Er-
scheinung im Rahmen der allgemeinen Strưmungsvorgänge seien địe weseni- lichen Eigenschaften des Vorganges noch näher erläutert Eine nahe verwandte Erscheinung gibt es bei Strémungen in offenen Gerinnen (vgl den Beitrag von WEHAUSEN und LAITONE iiber Oberflachenwellen)
1 W J Ranxine: Phil Trans Roy Soc Lond 160, 277-288 (1870) — H Hucontor: J Ecole polytech., Cahier 57, 197 (1887); Cahier 58, 1-125 (4889) ˆ
2 G, EIcHELBERG: Forsch Ing.-Wes 5, 127—129 (1934) — Tu v KArMAN: Volta-
Trang 912 K Oswarirscu: Physikalische Grundlagen der Stromungslehre Ziff 7
i ä đie Zustandsänderung Íũr
1lwellen Schon bei GI (6.9) fallt auf, da8 nd:
schwache “stérungen in die fiir isentrope Zustandsdnderung giiltige Beziehung tibergeht :
; yp Px? =4; =x£ =L (7.1)
PP 5g = ag ra = VGe
i + daher nahe, die Zustandsänderung bei i ä i der dynamischen Adiabate mit
fener fel der reversiblen Adiabate, also bei der Isentrope zu vergleichen Vorweg
sei dabei an folgende, aus ,
Tảs =đi— 4P (7.2)
ableitbare thermodynamische Beziehungen erinnert:
24
ai 1 Pi\y —— ae Ba =(4+ 7.3)
(3) —a” lấp), ~ (sp ais’ lốp) op? a `
i i der reversiblen Adiabate
a d der Index an der Klammer andeutet, bei ý : °
die Emtropie festgchatten wird, bleibt bei der dynamischen Adiabate die impus stromdichte konstant AuBerdem handelt es sich bei der Kurve von Fig 6 nic um eine zu durchlaufende Zustandsdnderung, wie bei der Isentrope, sondern
i dem vor dem StoB fiir eine
die Beziehung des Zustandes nach dem StoB zu "der
Reihe von StoBen verschiedener Starke Aus GL (6.6) folgt fiir die Ableitungen: 1 =‡(‡+z)++6-9-?): ap 2\e Q it 4,2 đề (1 2= szLã) + s Ê~?) gala): (7.4) #-+£0)+1#-»£t) Fiir den Ausgangspunkt =2, o=ơ, fihrt ein Vergleich mit (7.3) dann zu folgenden Beziehungen: joe Pails Basle a) Bl a 3 @& 1) 3(2 4) 3 (43) sen = 2 Tại L8)” 2 (6ø g].” 2 (8),
Dabei ist die Tatsache ausgentitzt, daB die Anderung von 1/9 mit p isenttop sein muB, wenn die Anderung von 7 mit isentrop ist Aus (7.5) ist zu er nen,
daB die Zustandsänderung in schwachen Unstetigkeiten nicht nur in xà er ‘he rung, sondern auch in zweiter Naherung isentrop ist Dies ist also nic nur a Eigenschaft idealer Gase konstanter spezifischer Warme, sondern eine gemeine Eigenschaft beliebiger physikalisch-homogener Medien a Furein
Der bisher behandelte Vorgang ist voraussetzungsgema8 stationar ae on Koordinatensystem, in welchem das strémende Medium Tuht, bewegt sc “ Unstetigkeit mit der Geschwindigkeit « in das Medium hinein u ann a 3 Relativgeschwindigkeit der Stérungsfront zum Medium aufgefaBt werden es)
Relativgeschwindigkeit laBt sich mittels der ersten beiden Gleichungen von (6 leicht auf die Anderung des ‘thermodynamischen Zustandes zurtickfiihren: (7.5) ơ 2=? _,„|j ?=? (7.6) „| SỈ 2= ề Ziff 8 'VerdichtungsstưBe 13
Fiir den Spezialfall kleiner Stérungen ist die Relativgeschwindigkeit der Stérungs- front nichts anderes als die Schallgeschwindigkeit e Da es sich gezeigt hat, daB
die Zustandsanderungen fiir kleine Stérungen isentrop sind, kommt man damit
auf die Schallgeschwindigkeitsformel fiir beliebige homogene Medien:
1/22) ; ¬ố ma
:=]/[E); ideales Gas: c=|/ s (7.7) Wahrend Gl (7.7) in der Akustik in der Regel unter der Annahme isentroper Zustandsainderung abgeleitet wird, wurde hier lediglich Freiheit von Warme-
leitung und innerer Reibung ange- nommen Isentropie ergab sich dann zwangslaufig aus der Annahme klei-
ner Stérungen
Stationdre Schallwellen kann es nur in Uberschallstrimungen geben,
da bei Unterschallstrémungen die
Stérung stets tiber das Medium in- stationér hinweglauft Damit ist zum erstenmal eine Typenunter- scheidung aufgezeigt, diespater noch genauer untersucht werden wird
Bei Uberschallstrsmungen kénnen
solche stationdre Schallwellen in Schlieren- oder Schattenaufnahmen gut beobachtet werden (Fig 7) Man bezeichnet diese stehenden Wellen nach dem Physiker und Naturphilosophen Ernst Macu? als Mach-Linien DoppLer? hat bereits vor E MA€m ähnliche Beobachtun- gen ausgefiihrt Der Winkel «, wel- -
chen der Strưmun svektor und die Schallwe llenfront onsch lieBen, Bt Fig 7 Schlierenaufnahme der Kopfwelle und Mach-Linien an
einem mit Uberschall Miegenden war (Originalaufnahme
sich leicht dadurch bestimmen, daB
die Normalkomponente der Geschwindigkeit auf die Front gleich  ist (Fig 8) ô wird als Mach-Winkel bezeichnet Die Mach-Zahl M dagegen ist das Ver- haltnis vom Betrag der Strémungsgeschwindigkeit || zur Schallgeschwindig- keit (vgl Ziff 33) Eine , Unterschallstrémung“ ist also durch M <4, eine ,,Uber-
schallstro6mung“ durch 1<M gekennzeichnet:
sine màn (7.8)
>
Fir M<1 wird sina >1, und es gibt keine reellen Mach-Linien Instationadre Schallwellen kénnen jedoch in allen strémenden Medien auftreten Sie spielen bei der Behandlung instationdrer Strémungsvorginge eine ausgezeichnete Rolle 8 VerdichtungsstéBe Gema&B Gl (7.6) ist die Relativgeschwindigkeit einer StoBfront zum anstrémenden Medium proportional zur Wurzel aus der Neigung
1 E.MACH u P SALCHER: Sitzgsber Akad Wiss Wien (IIa) 95, 764—780 (1887) — E Mac u L Macu: Sitzgsber Akad Wiss Wien (Ila) 98, 1310—1326 (1889) — L Maca: Sitzgsber Akad Wiss Wien (IIa) 105, 605—613 (1896)
Trang 10
14 K Oswatitscu: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 8
ch ischen Adiabate 1/ø, 2 zum
Geraden, welche vom Ausgangspunkt der dynamisc (
Punlte 4/6, gezogen werden kann (Fig 6) Daraus erkennt man leicht, da6 die
Relativgeschwindigkeit der StoBiront um so groBer ist, je krảftiger der nin ; je starker also die ZustandsgréBen beim StoBvorgang springen Ein Verdich- „4/2 StoBfront, Fig 9 StoBfrontneigung (
Fig 8 Mach-Winkel und Schallwelle ne
tungsstoB steht daher stets steiler in der Strưmung als eine Mach-Linie vor ocr Front (Fig 9) Ein sehr kraftiger StoB kann einen Winkel von y =90 mai Anstrưmung einschlieBen, indem seine Laufgeschwindigkeit gerade gleich der Fig 10 Kopfwelle vor einem stumpfen Kérper (U.S, Naval Ordnance Laboratory, White Oak, Md.)
6 indigkeit ist Dies entspricht der Lésung im System (6.5) mit _ TH nghe ‘Schwacher StoB entspricht einer Mach-Linie im Grenziall Y —-y Dazwischen gibt es alle Zwischenlagen Fig 10 zeigt die Kopiwe © ror €inem mit Uberschallgeschwindigkeit angestrưmten stunpfen Kưrper vor em Kérper, wo die Stérung am krAftigsten ist, ist der StoB senkrecht Da “ zeigt
es sich, da8 die Strémung selbst auf Unterschallgeschwindigkeit springt Mi
Ziff 8 VerdichtungsstoBe 15
zunehmendem Kérperabstand wird der StoB schwacher, der StoBwinkel y nimmt ab, bis er sich schlieBlich in groBem Kérperabstand dem Mach-Winkel mehr und mehr nahert In groBer Entfernung kann ja selbst ein stumpfer Kérper nur geringe Stérungen hervorrufen, also nur durch Mach-Linien in Erscheinung treten
Alle Uberlegungen iiber VerdichtungsstéBe gingen bisher von einer im exakten Sinn sprunghaften Anderung der ZustandsgréBen aus Ein Temperatursprung beispielsweise kann aber nicht auftreten; er wiirde durch eine, wenn auch noch so geringe Warmeleitung ,,verschmiert“’ werden Eine weitere Ursache fiir eine
solche ,,Verschmierung“ liegt in der inneren Reibung, die in Gebieten sprung-
hafter Geschwindigkeitsinderungen groB wird Im Sinne einer ersten Ab- schãtzung nach L PRANDTL1 seí địe Betrachtung hier zugunsten einer klaren Anschaulichkeit auf den Effekt der Warmeleitung beschrankt Beziiglich der genaueren Rechnungen sei auf die speziellen Darstellungen verwiesen Es ist
ja bekannt, da8 die Einfltisse von Warmeleitung und innerer Reibung bei idealen Gasen von gleicher GrdSenordnung sind, und nur auf eine grưBenordnungsmäBige Abschatzung kommt es im folgenden an
Wird ein senkrechter StoB aus einem in StoBfrontrichtung bewegten Bezugs- system betrachtet, so andert sich die Normalkomponente auf đie StoBfront
nicht Es treten nur zusätzliche Tangentialkomponenten auf, die aber beider- seits der StoSfront gleich sein miissen Daraus erklart sich ohne weiteres das Ergebnis (6.5), wo die Konstanz der Tangentialkomponenten aus dem Impuissatz
hergeleitet wurde Daraus ist zu ersehen, daB sich die Untersuchungen tiber die
Tiefe der StoBfront auf den Fall eines senkrechten StoBes beschrinken kưnnen, weil sie damit ohne weiteres auch fiir schiefe StưBe gelten
Unter Vernachlassigung der Warme, welche im StoB auf mechanischem
Wege durch Kompression oder Reibung erzeugt wird ,reduziert sich die Warme-
leitungsgleichung fiir stationdre Stromung auf das konvektive Glied der linken Gleichungsseite von (8.4) und ein Warmeleitungsglied :
aT a aT
e Mr = zÍ a)
Schon aus dieser Bezichung allein ist zu ersehen, da8 die StoBfronttiefe auBer- ordentlich gering sein muB, denn die Warmeabfuhr durch Konvektion ist bei hohen Geschwindigkeiten auBerordentlich groB, Dieser Abfuhr kann die Warme-
leitung nur dann das Gleichgewicht halten, wenn der Temperaturgradient eben-
falls sehr groB ist Die zusitzliche Produktion von Warme in der Front auf me- chanischem Wege kann daran kaum etwas Andern Auch diese Warme muB abgeftihrt werden, was einen starken Temperaturgradienten bedingt
Gl (8.1) kann unter Beriicksichtigung der Randbedingungen leicht integriert werden Das ist aber angesichts der Vereinfachungen des Problems kaum sinn- voll Es sei eine Abschatzung vorgezogen, wobei d die Tiefe der StoBfront dar-
stellt Fiir diese erhalt man naherungsweise:
4=)/ouc, (8.2)
Die kinetische Gastheorie gibt folgenden Zusammenhang zwischen Warmeleit- fahigkeit, mittlerer freier Weglange J und mittlerer Geschwindigkeit der Molekileẽ :
À2=šoc,E1 (8.3)
Wird ferner berũcksichtigt, daB đie mittlere Geschwindigkeit đer Molekile £
um einen zwischen 4 und 2 liegenden Eaktor grưBer ist als die Schallgeschwindig-
keit c [Gl (7.7)], so driickt sich d, das Ma8 fiir die StoBfronttiefe, nãherungsweise
1 L PRANDTL: Z ges Turbinenwesen 3, 241—245 (1906)
Trang 1116 K OswaritscH: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 8 durch mittlere freie Weglinge J und Mach-Zahl M wie folgt aus:
ỉ
“đ=m: (8.4)
ein Resultat, das durch genauere Rechnungen nur bestätigt wird Da stationäre
StéBe nur bei 1< M auftreten, ist also die StoBfronttiefe von der GréBenordnung der mittleren freien Weglinge oder kleiner Das bedeutet, daB Verdichtungs- stưBe im Rahmen der Behandlung der strémenden Materie als kontinuierliches
Medium als Unstetigkeiten des Strémungszustandes anzusehen sind
Es war also vollig berechtigt, wenn bei der Aufstellung đer StoBgleichungen in Ziff.6, das Verschwinden von Reibung und Warmeleitung an der Ober- flache F des betrachteten Bereiches angenommen wurde Uber das Auftreten von Reibung und Warmeleitung im Innern des Bereiches B war aber nichts ange-
nommen worden In den Raumintegralen von Ziff 5 tritt weder Reibung noch
'Wärmeleitung in Erscheinung
Es zeigt sich, da8 die Berechnung der Struktur des VerdichtungsstoBes mit Hilfe von Kontinuumsbetrachtungen zu bedeutend besserer Ubereinstimmung
mit Experimenten fiihrt als das Resultat von Gl (8.4) erwarten 1ABt, das ja auf eine Behandlung mit Hilfe der kinetischen Gastheorie hinweist Die Ursache, warum mit dieser in diesem Falle an der Grenze der Kontinuumsphysik noch so
gute Ergebnisse erzielt werden, bedarf einer besonderen Untersuchung Im all-
gemeinen ist es jedoch nicht gerechtfertigt, die Tiefe des VerdichtungsstoBes bei
der folgenden Kontinuumsdarstelhung zu beriicksichtigen
Dieses wichtige Resultat hat Folgen, die sich auf die Kriimmung stationdrer StéBe beziehen In Fig 5 wurde ein scheibenférmiges Stiick eines StoBes be- trachtet, wobei vorausgesetzt werden muSte, daB die Dicke der Scheibe klein gegentiber ihrem Durchmesser ist Wir wissen nun, daB die Dicke der Scheibe von der GréBenordnung der mittleren freien Weglinge, ihr Durchmesser also von der Gré8enordnung von etwa hundert mittleren freien Weglangen sein muB, um die aus den Scheibenkanten ausflieBenden Massen, Impulse und Energien
vernachlassigen zu kénnen Ist der Sto8 nun gekriimmt, wie das im allgemeinen
der Fall ist, dann muB der Kriimmungsradius so groB sein, daB sich die gekriimmte StoBfront in der Scheibe unterbringen ]4Bt Durch eine einfache geometrische
Betrachtung zeigt sich, daB bei einem Bezugszustand der Luft von 0,1 mm Druck der Kriimmungsradius der StoBfront mindestens tausend mittlere freie Weg-
langen erreichen mu8 Bei sehr kleinen Modellen in Kandlen mit sehr geringen
Dichten ware der Effekt der Kriimmung der StoBfront also einiger Aufmerksam-
keit wert
Die gewonnenen Ergebnisse erlauben sofort eine Erweiterung auf instationare
StưBe konstanter Geschwindigkeit, indem eine Galilei-Transformation angewendet wird, die Vorginge also aus einem bewegten Bezugssystem verschwindender Beschleunigung betrachtet werden Um beschleunigte oder verzdgerte StéBe als quasistationäre StưBe ansehen zu kénnen, kommt es darauf an, wie schnell sich
eine Anderung vor der StoBfront hinter dieser bemerkbar machen kann Die
dazu erforderliche Zeit ist von der GréBenordnung d/u, das ist unter Normal- verhältnissen etwa 10-® bis 107! sec Sind die zeitlichen Anderungen der Zustinde beiderseits des StoBes in diesen Zeitspannen gering, und das wird in der weit tiberwiegenden Zahl der Falle zutreffen, dann wird eine quasistatische Darstellung des StoBes zuldssig sein Immerhin mu8 man sich aber dartiber im klaren sein, daB eine Ubertragung der StoBtheorie aut beschleunigte Systeme nicht vdllig
kritiklos erfolgen darf
Ziff 9, 10 Bewegungsgleichungen in Euler-Variablen 47
Ill Differentialform der Grundgleichungen in Eulerscher Darstellung
9, Kontinuitatsbedingung in Euler-Variablen Nach dem GauBschen Integral- satz gilt fiir ein Funktionentripel L(x, y, 2), M(x, y, 2), N (+, y, z) folgende Be- ziehung zwischen einem Raumintegral iiber den Bereich B und einem Flachen-
integral tiber die umschlieBende Oberflache F:
JJIE++~Jxe
.4 =f [ [Lcos (, +) +-M cos (n, ¥) +N cos (n, 2)] df + 0-4) Dabei kénnen L, M und N als drei Komponenten eines Vektors aufgefaBt werden Der Integrand des Raumintegrals stellt dann die Divergenz des Vektors dar Der Integrand des Flachenintegrals ist die Projektion des Vektors auf die Norma-
lenrichtung n (Gl (3.1)} Die anschauliche Bedeutung des Int i
aus den folgenden Ausfiihrungen klar 8 5 negralsatzes wird
zu und sind daher allgemeiner giiltig als die Differentialgleichungen, welche nur
zwischen StưBen, aber keineswegs tiber sie hinweg angewendet werden diirfen Werden die Komponenten L, M, N durch jene des Stromdichtevektors, Gl (3.6) ersetzt, so 1ABt sich die Kontinuitatsbedingung in einem quellenfreien (Q =0) und stoBfreien Feld mit Hilfe des GauBschen Integralsatzes und Gl (3.2) auch schreiben:
If lee+ “32 +P + |dxđyđz =0 (9.2)
oy
Da nun aber tiber Form und GréBe des Bereicheg B nichts vorausgesetzt wurde kann er so klein gewahlt werden, daB der Integrand im Tntegrationsgebiet als
konstant angesehen werden kann Auch dabei kommt nochmals die Voraus- setzung hinein, daB StưBe ausgeschlossen sind Im stoB- und quellenfreien Feld
kann also Gl (9.2) nur dann gelten, wenn dort tiberall der Integrand verschwindet,
Mithin gilt:
oe 90% Gov Gow
ap tat ay ag =0, (9.3)
als Kontinuitatsbedingung fiir quellen- und stoBfreie Strémungsgebiete 10 Bewegungsgleichungen in Euler-Variablen Auch bei den Impulssatzen fithrt der GauBsche Satz zum Ziel Nur handelt es sich dabei um drei Glei- chungen, bei denen fiir Z, M und N jeweils andere Ausdriicke einzusetzen sind
Fir den Impulsflu8 in x-Richtung [Gl (4.9)] gilt beispielsweise:
L=ow+—~o,,: 1M =pwu — ơy,; N =9uw —o,, (10.1) Setzt man nun voraus, daB im betrachteten Bereich keine auBeren Krafte }
[GI (4.1)] wirken, so kann, wieder unter der weiteren Annahme von StoBfreiheit, Handbuch der Physik, Bd, VIII/1
Trang 12
48 1 OswATITscH: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 41 Gl (4.9) umgeschrieben werden in: Ogu a 0 0 =f ffl Ai +37 (ow + p — Oxx) Tay (90 — 0) + B +2 (euw—o,.)—X ol dxdydz (10.2)
Indem der Bereich wieder auf gentigend kleine Ausdehnung beschrankt wird, eine Ausdehnung, welche bei groBräumigen Bewegungen durchaus sehr groBen absoluten Dimensionen entsprechen darf, kann wieder geschlossen werden, da8
der Integrand ftir sich selbst verschwinden mu8 Man kommt damit fiir die x-Richtung zur Bewegungsgleichung: dour ay douw Ơ9Øyz dou a 2P 1 + ơz — ø ax + ot O0y x a 96zz oy ` ơz +20 » ơp12 3# + + @X (10.3)
Die Ableitungen auf der linken Gleichungsseite von (10.3) lassen sich nun nach der Produktregel der Differentiation in Ableitungen des Faktors w und eines zweiten Faktors aufspalten Diese zweiten Teile geben aber gerade die mit u multiplizierte Kontinuitatsbedingung (9.3), womit diese Glieder fiir ein quellen- freies Feld wegbleiben kénnen Beschreitet man den gleichen Weg fiir den Impulssatz in y- und z-Richtung, so erhalt man schlieBlich folgendes System von Bewegungsgleichungen:
au ou ou ou 9? Ơ0yz da a6», ,
OG + OM ay TOY ay 9t sr =— „Ty Tay tae Tex:
ơ ov ơu ơu op do, 0a do;
oa Feu ae Fees mác =— ấy Tay tay cay +0 Ÿ; | (104)
ow ow ow ow op 60 x2 Ơøyz Ờzz
Oop toma T093 91872 = — Get ae Tay Tay Te:
Bei reibungsfreier Strémung verschwinden alle Schubspannungen, und man
besitzt in (10.4) bereits drei Beziehungen fiir die Komponenten des Geschwindig- keitsvektors und die beiden thermischen Variablen ø,# Bei Strémungen mit
Reibung ist o noch durch den Geschwindigkeitsverlauf auszudriicken, was in
Gl (29.2) erfolgen wird
11 Energiegleichung in Eulerscher Darstellung Zur Uberfiihrung der Energie- gleichung in die Differentialgleichungsform ist zundchst vorausgesetzt, daB keine Zufuhr von Energie oder äuBerer Leistung stattfindet, 2-0 Man setzt nun
fiir die in Gl (9.1) aufgetretenen L, M, N:
L=— (o,,U+0,,0 +6,,0) —422-+m +3) 01;
M=—(0zw-+0,y0 +ơ,,6)— 2S +(S MP +7) g0: (11.4)
N = — (6,44 + 6,40 +- Ø,„1) 155 +(Ewt ti) ew
Mit der in den letzten Ziffern angewendeten SchiuBweise gelangt man dann zur
Differentialgleichung ftir den Energiestrom:
OL aM on
Flu +elo|—elwX+0Y+0Z]4+3 + Go +S =o (11.2)
Ziff 12 Bewegung eines Raumteilchens 49
Hier ist es wieder zweckmaBig, die Ableitungen nach der Produktregel aufzuglie-
dern Fiir die zeitlichen Ableitungen kann dies wie folgt geschehen:
_ (1 .\ Ø0 đi 9? ou ov 1.3)
=($ut+s yt Đập — Gr teh ay teraz tow “et ° ow
Fir die letzten drei Ableitungen in (11.2) sei die Aufspaltung nur an der Ablei- tung von L gezeigt:
9L —_ 1 2a „Ì 20% ot 9 oT ou ov ow
ge (ge) B+ ome — (AGE) ~ Cue ge — Ca na
ou dv 9 Ờyz —g Ờyy —_„ Ơ0y; 2— —— teu 2y +00 + Ox Ox „ ơz ` (11.4) w 9x
Man erkennt, da8 sich der erste Ausdruck der rechten Seite von (11.3) mit đem Ausdruck der Ableitung von L und den entsprechenden Gliedern der Ableitung von M und N zu der mit ($?+4) multiplizierten Kontinuitatsbedingung (9.3)
erganzt -
Die Glieder der zweiten Zeile von (14.3) und (11.4) sind dagegen Ausdriicke,
die man erhalt, wenn die Bewegungsgleichungen (10.4) ihrer Reihenfolge nach
mit 4, v,w multipliziert werden Es treten auf diese Weise auch noch die Bil- dungen guX, gv Y und ewZ von Gl (11.2) auf Ubrig bleiben nur die Ablei- tungen des statischen Druckes aus den Bewegungsgleichungen, so daB man ins- gesamt folgende Form der Energiegleichung erhalt:
oS tug tog tes) — (b+ ub tok + we) "
=ÈkE+ 2B) +á-p)+2
Darin ist ®, die sog Dissipation, ein später noch (S 51) genau zu đeutender,
durch folgende Beziehung gegebener Ausdruck:
ou dv ow dv ou
Đ=0usny 9u gy +øogr +9 Lấy Tay) + a 6)
Auch hier bedarf es einer Beziehung zwischen Spannungstensor o;, und Ge- schwindigkeitsverteilung, fiir die vollkommene Riickfithrung von ® auf uw, v und w GI (14.5) wird sich als der in Eulerscher Darstellung geschriebene zweite Hauptsatz der Warmelehre herausstellen, indem gem48 Gl (7.2) auf der linken Seite im wesentlichen die mit 9 und T muitiplizierte Entropiednderung eines
Teilchens steht, auf der rechten Seite aber die Warmeleitung und die Dissipation
als Ursache der Entropieanderung
IV Kinematische Beziehungen und Deutungen
12 Bewegung eines Raumiteilchens In den Differentialgleichungen der letzten Ziffern treten bestimmte Differentialausdriicke wiederholt auf, fiir deren anschau- liche Deutung sich die Darstellungsform von LAGRANGE besonders eignet Nach
dieser werden die Differentialgieichungen fiir die Bahnkurven der einzelnen
Teilchen aufgestellt Die einzelnen Gas- oder Flissigkeitselemente seien durch
Trang 1320 K Oswatitscu: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 12
die drei unabhangigen Veranderlichen a, b, c festgelegt Oft ist es zweckmaBig mit a,b, ¢ die Lage des Punktes zur Zeit ¢=0 zu bezeichnen Die Lage des Teil- chens x(x, y, 2) ist dann Funktion von a, ở, c und von der Zeit ý:
u(a,b,c,t): «(a,b,c,t); w(a,b,c,Ð; z(4b,c,9 (12.1)
Gl (12.1) kann als Parameterdarstellung der Bahnkurven der Teilchen angesehen
werden Wahrend aber in der Punktmechanik die Lage des Punktes x, y,z nur von der Zeit abhangt, hangt in der Mechanik der Kontinua die Bahnkurve noch auBerdem vom individuellen, durch a,b,c gekennzeichneten Teilchen ab Die Ableitungen von z, y,z bei festem a, b,c ~ im folgenden einfach durch einen
dartiber gesetzten Punkt gekennzeichnet — sind dann die Geschwindigkeits- komponenten: u=&(a,b,c,t); v=y(a,b,c,); w=z(a,d,¢,2), (12.2) oder in Vektorschreibweise: Q t0 (2, , €, 7) =f (4, 8, ¢, Ÿ) = (FI, (12.3)
Dabei ist noch einmal zum Ausdruck gebracht, was unter dem dariiber gesetzten
Punkt zu verstehen ist Der Index L bedeutet die zeitliche Ableitung bei Lagrange-
Unabhangigen, also bei festgehaltenem a, b, c Es wird sich gleich zeigen, da8 eine solche Unterscheidung gegeniiber der zeitlichen Ableitung bei festgehaltenem
x, y,% in verschiedenen Zweifelsfallen notwendig ist Die letztere Zeitableitung
soll mit dem Index # (Euler-Dnabhängige) gekennzeichnet werden Bei den Ableitungen nach a, ở, ¢ oder x, y, z ist eine entsprechende Kennzeichnung nicht erforderlich, weil es ohne weiteres klar ist, daB bei der Ableitung 8/2y +, z und í, hingegen bei der Ableitung 2/2ø b, c, ¢ festzuhalten sind
Fiir die Anderung irgendeiner Eigenschaft eines Teilchens, etwa der Tem- peratur ZT oder der Geschwindigkeitskomponente « mit der Zeit wird in den
deutschen Darstellungen in der Regel wie in der Punktmechanik das gewdhn-
liche Differentialzeichen d/di, in der englischen Literatur D/Dt verwendet Eine
solche Ableitung irgendeiner Funktion f ist identisch mit dem Lagrangeschen
Differentialquotienten nach der Zeit: ,
fa Pile be) _ (2) dt at Ơtjr`
Um die Beziehung zwischen der zeitlichen Ableitung bei festen Massenteilchen und den in der Eulerschen Darstellung auftretenden Ableitungen zu finden, muB f
als Funktion von x, y,z und ¢ aufgefaBt und nach der Kettenregel differenziert werden Dabei ist zu beachten, da8 die zeitliche Ableitung von x, y, z bei festen
a,b,c nach (12.2).die Geschwindigkeitskomponenten sind Man erhdlt fiir die
»massenfeste“ zeitliche Ableitung damit:
af af 8ƒ of 8ƒ at
(7) = r = lấn; ae ray lt Gee: (12.5) Die linken Seiten des Gleichungssystems (10.4) oder des Energiesatzes (11.5) stellen also ,,massenfeste“ zeitliche Ableitungen dar, wobei dort der Index E wegbleiben konnte, weil kein Zweifel bestehen kann, da8 bei festem x, y,z nach der Zeit
abzuleiten ist ` -
Gl (42.6) gibt einen Uberblick tiber die Entwicklung der Ortskoordinaten nach Lagrange-Variablen:
x (a,b, ¢,t) =Ag(t) +4, (a + Ag (tb +Ag(et-s
y (a,b, ¢,t) = By(t) + By()) a+ Balt) b+ Bylt)eees (42.6) z(a, b, e, 8) = Cạ (0) -E C¿(9 4 + Co) b+ C()e+e,
(12.4)
Ziff 13 Dehnung eines Teilchens
21
oder auch in Vektorschreibweise:
£ (4,6, ¢,t) =Up (4) + 9 (9 a +- 9W; 0) b - Ws (Eo te (12.7)
Dabei sind die Koeffizienten:
Zeitfunktionen Ohne Einschrankung der Allgemeinheit ist dabei die Entwicklung
im Punkte a=b=c=0 vollzogen worden, um die Darstellung nicht mit einer unnétig komplizierten Symbolik zu belasten Fiir den Zeitpunkt ¿=0 seien auBer- dem im folgenden gewählt:
t=O: x=a, yob, z—c, (12.9)
Das hat fiir die Koeffizienten der Entwicklung (12.6) oder (12.7) zur Folge: A, (0) = B, (0) =C, (0) =1;
Ag(0)=A5(0)= Ay (0)= (0) = By(0)~B,(0)=C0)=C,(0)=C0)=0 (12-40)
Fir den Zeitpunkt ¢=0 steht also in (12.6) die Einheitsmatrix,
Da die Ortskoordinaten %,y,2 mit den Lagrange-Variablen a, b,c zur Zeit i= 0 tibereinstimmen, gilt dieselbe Ubereinstimmung auch fiir die entsprechenden Ableitungen einer beliebigen Funktion fi
=n: — of of Of of 9ƒ a
(=0: 0: /(a,b,£) =ƒ(s,v,2); da Ox? Ob = =-==_——: =-.' By? Bo or: (12-14) — In der Wahl des Zeitpunktes #0, in welchem Gleichheit der MaBstabe (12.9) gefordert wird, und in der Wahl des Ursprunges der Entwicklung ist man villig
frei _Damit gelten aber die im folgenden abgeleiteten Deutungen ganz all- gemein fiir ein beliebiges Teilchen zu einem beliebigen Zeitpunkt
13 Dehnung eines Téilchens Ein ge- y
niigend kleines Massenteilchen, welches zur ‘
Zeit ¢=0 durch einen Quader der Seiten-
lãngen a, b,c dargestellt werden kann Pla, bc) (Fig 14), besitzt zur Zeit ¢ die Form eines (52)
Parallelepipeds Welche Zeitdauer zwischen
den beiden Zeitpunkten verstrichen ist, ist k dabei ohne Bedeutung Dies macht sich = nur in der GréBe der Verschiebung des , Punktes a=b=c=0 geltend Die verstri- chene Zeit sei zundchst ebenso wenig wie die Verformung des Teilchens als klein an- “4
genommen., Wohl ist aber die Ortliche Aus- Fig 11 Massenelement in zwei Zeitpunkten
dehnung des Teilchens, entsprechend den
Entwicklungen (42.6) oder (12.7), als klein genug vorausgesetzt, damit nach dem linearen Glied abgebrochen werden darf Fiir die Ableitungen des Orts-
Trang 1422 K Oswatitscu: Physikalische Grundlagen der Str6mungslehre Ziff 13 oder in Vektorsymbolik: 9 9 9 a=b=ce=0: =U); ý =9Q(); sẽ =9) (13.2)
Das Parallelepiped ist auf drei, in Eig 14 fettgedruckte, Grundvektoren auf- gebaut, welche durch folgende drei Kombinationen der Lagrange-Variablen gekennzeichnet sind: (z,0,0); (0,b,0); = (0,0, e) (13.3) Die drei Grundvektoren fiir beliebige Zeiten sind gegeben durch: ee 885 ðE Ga ™ 35 0: Be °° (13.4)
und das durch sie bestimmte Volumen des Parallelepipeds ist nach bekannten
Formeln der Vektorrechnung:
ax | Or) ar _ (ar ot) 3 =(2 $e): 3
(Sex se) ge eb o= (Fe x GE) Gade = (Ex FE) Eade, (1345)
“Dabei ist das Produkt abc der Rauminhalt des Massenteilchens zur Zeit i=0, Das Volumenverhdltnis fir die beiden Zeitpunkte t 0 und ý =0, letzteres mit *=a, y=), z=e, ist also durch einen Ausdruck gegeben, der sich nach den Regeln der Vektorrechnung durch die Determinante D ausdriicken 14Bt: be, Oy, bz Ga’ Oa? Ba Of Or) ey _ | Oe by oz | in 13.6 (SE x $3) = a? 6 BB tac (13.6) On | oy az
Oe? ơc' ơc
Im Zeitpunkt t=0 nimmt die Determinante nach Gl (12.9) voraussetzungs-
gemäB den Wert D =1 an Indem ø=ư==¿=1 gesetzt wird, kann D auch als : das Volumen eines Massenteilchens gedeutet werden, welches zur Zeit ¿=0 địe
GréBe der Raumeinheit besitzt Dabei muB allerdings vorausgesetzt werden,
daB die Raumeinheit ausreichend klein gewdhlt ist
Fur die zeitliche Ableitung von D erhalt man unter Beriicksichtigung von GI, (12.2) nach den Differentiationsregeln der Determinanten:
ou ay | Oz Ox du Oz ba 0y, ơm
@a’ da’ ba Ga’ Ga’ da da’ da’ Ba
OD\ | du, ay az ox, Ov Oz Ox, Oy , Ow 13.7
lấp)” |2i SE: 2u |4 Lấy Hs HIS Bs B (13.7)
ou, Oy , Oz Ox , Ov, Oz 9x, 0y, 0u @c’ 6c’ 8 'ơc' 6c?’ ơc dc’? Oc? Ge
Geht man hier von den Ableitungen nach a, b,c zu jenen nach x, y, 2 tiber, so geschieht dies fiir die Ableitung einer beliebigen Funktion f nach der bekannten Kettenregel: of _ Of Ox , af ay | af az, Đa 6x 8a ' Oy Ơa ' Bz Ba’ of a= OF Of ax Ee OF oF of ay 9} 0z 43 db ax ơb Ì dy Bb ' Bz Ob? (13.8) ot _ af ov, Oc Ox Oc OF oy | af Be oy ðc Oz ơc `
Ziff 14 Drehung und Winkelgeschwindigkeit 23 Dies kann als ein lineares System dreier Gleichungen fiir die Ableitungen von f nach x,y,z angesehen werden Nach der Cramerschen Regel fiir die Auflésung eines solchen Systems erhalt man dann:
er, by, be 0a’ @a’ Ba ox Of, Ox ax by | af 0a’ ba’ ba 0a’ Oa’ ba
oF _ lat , by , az} OF lee of bel of _ lax, oy af
oe lab) ấp! áp]: Dạy =[lgp? gi ap|: Dạy =láp: BS: SLL (13⁄9)
at ey be 8c’ Ge’ Be ax, OF, Be 8c’ Oc’ bec ox, Oy Of ‘Oc? ốc? Be
Indem abwechseind fiir f die drei Geschwindigkeitskomponenten u,v, w ein-
gesetzt werden, gelangt man von den Gln (43.7) und (12.5) sofort zur Beziehung:
1 (/2D\: 1 dD ou dv 9m :
ole) =p gen et 4% =a (13.10)
Die Divergenz des Geschwindigkeitsvektors iv ist also gleich der zeitlichen Volu- menanderung eines Teilchens geteilt durch das augenblickliche Volumen Daraus erklért sich auch die Bezeichnung ,,Divergenz‘
Besitzt ein Teilchen irgendeine Eigenschaft / der Volumeneinheit, etwa die Masse der Volumeneinheit, d.h die Dichte e, oder die innere Energie der Vo- lumeneinheit, d.h also ee, dann ist die Eigenschaft, auf das ganze Teilchen bezogen, gegeben durch:
f[Dabe (13.14)
Fir die zeitliche Anderung erhalt man dann, nachdem der Logarithmus gebildet
und bei festen 2, b, c nach der Zeit abgeleitet wurde, mit Hilfe von GI (12.5) und (13.10):
5 (4 SP) = đƒ + địv w= (3) + div (f tw) 8ƒ (13.12) In der Kontinuitatsbedingung (9.3) der Eulerschen Form erkennt man mit /=@
also die einfache Aussage, daB die Masse (eDabc) eines Teilchens der Ausdeh-
nung 2, 6, ¢ sich mit der Zeit nicht änđert
14 Drehung und Winkelgeschwindigkeit Als zweiter kinematischer Grund- vorgang sei die Drehung eines starren Kérpers aus der Anfangslage + =a, y =),
_ 2==¢ betrachtet Die a-Achse schlie8t nach einer} gewissen Zeit mit den drei Koordinatenachsen die Winkel «,, a , o ein Entsprechendes gelte fiir die b- und die c-Achse Damit ergibt sich folgendes Winkelschema fiir die Achsenrich- tungen: |# yo 8 ở | % Oy da 14.1 b |: ổy đa u40 € | 71 72 23
Die Komponenten der Einheitsvektoren in den drei Richtungen a, }, ¢ sind die
Cosinus-Funktionen der EinschlieBungswinkel Da es sich um Einheitsvektoren
handelt, gilt:
Cos? ay + COSẼ; -Ƒ cOS? gạ = 1; cos%a, + cos? B, + cos? =1, (14.2)
sowie weitere vier Bedingungen fiir alle Zeilen und Kolonnen von (14.4) Da die
Trang 1524 K Oswatitscy: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 14
Produkt aller Vektorpaarungen verschwinden So gilt:
Cos &, cos B, + cos a, cos 8 + cos x; cos Bs = 0: 143)
COS a COS & + Cos f, cos By + cosy, cosy, = 0, ,
und noch vier weitere Gleichungen fiir die tibrigen Zeilen- und Kolonnenpaarungen
Von diesen insgesamt zwélf Gleichungen fiir nur neun Winkel sind aber nur
sechs Gleichungen unabhängig voneinander, wie sich zeigen l4Bt Drei Winkel
sind also beliebig wahlbar, durch sie wird die Drehung im Raume bestimmt Darauf wird sp&ter noch in einem Sonderfall eingegangen
Die unabhangige Veranderliche a ist die Projektion des Ortsvektors t des
Punktes P auf die Richtung a, also das innere Produkt von ¢ und dem zu a ge-
hérigen Einheitsvektor (Fig 12) Entsprechendes gilt fiir 5 und ec:
a = % COS &y + Y COS &y + % COS ay;
b = x cos B, + ycosB,-+zcosBs; > (14.4)
€ = X COSY, + YCOS Vy + 2 C085 :
Aus der, gleichen Uberlegung heraus erhält man auch die Umkehrung:
% = 4 COS a 4- bcos B + ccs;
Y == ACOS &, + bcos By+ ecosye; ¢ (14.5)
= C08 a + bcos Bs + ¢ cos y,
Fiir kleine Drehungen im Raume gilt nun, wie aus Fig 12 allein schon zu erkennen ist: Fig 12 Drehung im Raum
04 Ba Vw<o; #ạ ~ “a4 73 XS ‹ (14.6)
Damit sind die Gleichungen vom Typus (14.2) erfiillt Aus den Gleichungen vom
Typus (14.3) folgt in guter Nãherung:
COS Ổ¡ -Ƒ COS dạ =0; cosy,-+cosf;=0; cosy, +cosas=0 (14.7)
Die Cosinus-Funktionen der Winkel (14.1) sind damit auf drei unabhangige Gré- Ben zurtickgefithrt, als welche cos fs, cos 3⁄4, cos &, gewahlt werden mégen Damit erhalt (14.5) fiir kleine Drehungen die Gestalt:
% = a—b COSd, +6 COS;
y = @ COS, +b —c cos fy; (14.8)
z= —acosy,+bcosf;+c
Setzt man hierin £,=y,=<2/2, so erkennt man; daB es sich um eine Drehung
um die z-Achse um den Winkel (z/2—ø¿) hảnđelt In analoger Weise ergeben sich die Spezialfalle einer Drehung um die x-Achse um den Winkel (x/2— Bs) und einer Drehung um die y-Achse um den Winkel (x/2—y,) Da die Drehungen nun aber voraussetzungsgema48 klein sind, ist es gleichgiiltig, ob die drei Dre- hungen hintereinander oder ob sie aus der Ausgangslage heraus ausgefiihrt
werden Der Unterschied macht sich erst in Gliedern hdherer Ordnung geltend
Durch Ableitung von x, y,z nach der Zeit bei festen a,b,c gelangt man zu
den Geschwindigkeitskomponenten Dabei ist zu beachten, da8 die Sinus-Funk-
tionen der Winkel f3, y,, œ; gleich Eins gesetzt werden diirfen: w= Dbg—cyy;
v= — airy + 0p; (14.9)
w= ay, — bps
Ziff 15 Dehnung nach drei orthogonalen Achsen 25
Das gilt nicht nur fiir kleine Drehungen, sondern exakt auch fiir die Drehgeschwin-
digkeiten zur Zeit t=0 Mit Riicksicht darauf, da8.der Drehwinkel durch den
Komplementärwinkel von £5, y, und «, gegeben war, sind die Winkelgeschwindig-
keiten um die x-, y-, z-Achse gegeben durch:
—Ổa, —1\, —ứa (14.10)
Die Geschwindigkeitsverteilung der Drehung eines starren Kérpers wird also dar-
gestellt durch einen antisymmetrischen Tensor, dessen Koeffizienten durch
Winkelgeschwindigkeiten gegeben sind
15 Dehnung nach drei orthogonalen Achsen Die Dehnung eines Flissigkeits-
elementes nach drei orthogonalen Achsen sei in drei Schritten durchgefiihrt :
Die Koordinaten des Elementes zur Zeit {=0: x=a, y=b, z=c, werden auf
»,Hauptachsen“ %,¥,% transformiert Dann folgt eine Dehnung in diesen drei Richtungen und schlieBlich eine Rticktransformation auf die ursprũnglichen Richtungen
Die Winkel, welche die Hauptachsenrichtungen mit den Ausgangsrichtungen einschlieBen, seien wieder durch das Schema (14.4) gegeben, nur daB entsprechend
za den Koordinaten %, 7, 7 auch die Winkel mit einem Querstrich gekennzeichnet
seien, um sie von den Drehwinkeln des letzten Paragraphen zu unterscheiden Die Hauptachsenrichtungen sind dann entsprechend zu (14.5) gegeben durch:
% =acos % + bcos B, + ccos},;
= 408%, + boos By + ecos7,: (45.4)
RIL
SI
= 4c08&3 + bcos Bs + £ COS 7a
Die Dehnung um den J-, m- und n-fachen Betrag in den drei Hauptachsenrich- tungen liefert dann die neuen durch zwei Querstriche bezeichneten Lagen der Punkte im Koordinatensystem der Hauptachsen:
B=(1+0)%; J=(1+”)ỹ; Z=(1L+-n)5 (15.2)
Zur Ermittlung der Koordinaten x, y, z, welche die Punkte nach der Dehnung im urspriinglichen System annehmen, muB schlieBlich mit dem zu (45.4) inversen Koeffizientensystem riicktransformiert werden, also beispielsweise:
% == # COS% -+ ¥ COS Xy-+ F cos&, (15.3)
Es ist das dem System (14.4) entsprechende Schema, nur mit dem Unterschied, daB an Stelle von x, y, z nun Ÿ, y,z und an Stelle von a, b,c nun x, y, z stehen, Werden schlieBlich die Koordinaten im Hauptachsensystem %, 9,7 durch x,y, % und diese mittels (45.4) durch a, 3, c ersetzt, so ist die Lage x, y, z der Punkte nach der Dehnung im Alusgangssystem ausgedrtickt Man erhdlt ein Schema der Form (12.6) und kann sich durch Ausfithrung der Rechnungen leicht
die Koeffizienten verschaffen Sie sind gegeben durch:
A,=0; A, = 1 +1 cos?&, + m cos*i&, -+ n cos? &;:
By=0; B,=1-+1 cos*p, + mcos®B, + n cos*B,; (15.4)
Cạ=0; Cy =1+1 cos? },+ m cos*j, -+ n cos? Vg;
B, = C,=1cos f, cos}; + m cos By cos 7, +n cos B, cos Fy;
Cy = Ag = 1 cos fi, cos & + m COs Py COS Hy + 1 COS Hq COS Ky; (15.5)
A,= B, =1 cos& cosf, +m COS i, cos By ’n cos a cos By
Trang 16
26 K Oswatitscy: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 16 Es handelt sich also um einen symmetrischen Tensor, dessen Koeffizienten
sechs unabhangige, fiir die Dehnung charakteristische GréBen enthalten Von den
neun Winkein sind wie bei der Drehung nur drei unabhangig Sie legen die Hauptachsenrichtungen fest Das Ausma der Dehnung ist durch J, m, gegeben
Sehr zum Unterschied von der Drehung, wo der Drehwinkel mit der Zeit
wachst, fiir kurze Zeiten also stets klein ist, liegen die Hauptachsenrichtungen von ‘vorne herein fest Nur die Dehnungsbetrige 7, # und » nehmen mit der Zeit zu
Zur Ermittlung von uw, v, w aus Gl (12.6) ist wieder nach der Zeit bei festem
a, 6, ¢ abzuleiten Dabei sind sowohl J, m, als auch die Hauptachsenrichtungen Funktionen der Zeit Da jedoch fir den Zeitpunkt t=0; l=m=n=0 ange-
nommen wurde, gilt:
(=0: A, = 1 cos®& + cos? &, + % cos? %;
B, = C,=1 cos B, cos}, + 7 cos By cos, + % cos y cos72,
und ganz entsprechende Gleichungen ftir die wbrigen Koeffizienten, die aus (15.4)
und (45.5) leicht herzuleiten sind
Da der Zeitpunkt ¿=0 und đer Koordinatenursprung wieder beliebig gewahlt
werden diirfen, gilt ganz allgemein fiir ein beliebiges Element, daB eine lineare Beziehung zwischen dem Geschwindigkeitsvektor und den Variablen a, }, c:
u=A,a+A,b+Aze;
v=B,a+B,b4+B,c; (15.7)
w=Cya+C,b+Cge
mit symmetrischem Koeffizientenschema als Dehnung eines Fliissigkeitselementes
nach drei Hauptachsenrichtungen gedeutet werden kann Die Hauptachsenrich- tungen (drei unabhangige Winkel) und die drei Dehnungsgeschwindigkeiten:
1, vit, %, (15.8)
also die sechs unabhangigen kinematischen GréBen sind durch die sechs unab- hadngigen Koeffizienten des symmetrischen Tensors nach Gl (15.6) festgelegt
Ein Beispiel wird im nachsten Abschnitt gebracht ,
16 Kinematische Deutungen der Geschwindigkeitsableitungen Nach der Vor-
bereitung durch die letzten Ziffern ist es médglich, bestimmten Kombinationen
der Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach dem Ortsvektor Deutungen
zu geben, die einen tieferen Einblick in die Strưmungsvorgänge ermưglichen
Zunachst seien die Ortskoordinaten in (42.6), nach der Zeit abgeleitet Dadurch gewinnt man ein Schema dhnlich jenem von (15.7), das jedoch auch noch die Ableitungen von Ay, By und C, enthalt Fiir diese gilt:
%(0,0,0)=4Ag; ¥(0,0,0) = By; w(0,0,0)=Cy (46.4)
Ferner gilt ftir die iibrigen Koeffizienten, wenn die Ableitung jeweils im Punkte a=b=c==0 genommen wird:
; au ; Ou „ ¬ Ow 4 Ow
4i= 3; A,= Ob? they Cạ=; C; = ơc ” (16.2)
Fir den Zeitpunkt ¿=0 ist die Ableitung nach a, ư, e nach GI (12.1) jener nach
x, ¥,z gleich zu setzen Folglich ist: to to é âm gat ay bt ape (16.3) (=0: (a,b,c) =0(0,0,0) + 2 (15.6)
Ziff 16 Kinematische Deutungen der Geschwindigkeitsableitungen 27 Nimmt man das (16.3) entsprechende Komponentenschema, so erweist sich dieses keineswegs als symmetrisch oder antisymmetrisch Es kann jedoch ohne Schwie-
rigkeit in ein symmetrisches, vermehrt um ein antisymmetrisches Schema auf-
gegliedert werden: , ,
(abe) =u (0,0,0)+ Sats (G+ geot (M4 Mees
HEB per sem
"(6,5,2 = s(0,0,0)+ 2 Ly Ty] a+ (Se 4 Oe,
Bate ay, | OM
w (a,b, ¢) =w(0,0,0) +3(52 +S “+2 + J0 + Tne+
+E Beste my,
Danach lãBt sich die Bewegung eines Flissigkeitsteilchens in jedem Augenblick
aus drei Teilvorgiingen zusammensetzen, namlich einer Translation gegeben durch (0, 0, 0), einer Dehnung in drei Hauptachsenrichtungen, gegeben durch den
symmetrischen Tensor:
Ou bi’ HUY 4 {du ơ0\, 1 (du , dw in _—f 1/82 , de), au 1 (ơu , dw
Đ=| zl +) ? zÍctm) (16.5)
1 (2 \ Ơ⁄\, 1 [Ơ0 , ơu\, ơm
z lá + an): ale tae) Oe
und einer Rotation, gegeben durch den antisymmetrischen Tensor: , > (3 ) 1 {du ow 0; ——|>———|; =| — 2 \Ø# oy}? (3 ie) 1 {du ơw\, 1 few dv ae a) 9; — sấy — 22) - — Hĩ@6
.1 1 2 lấy — Ge) ale — 22] 0
Diese Deutung wird oft HELMBROLrzt zugeschrieben, geht aber schon auf StoKEs? zurũck
Die Tensorkomponenten von (16.5) entsprechen den Koeffizienten von (15.7) Sie sind mit Hilfe der Gleichungen vom Typus (15.6) auf die Hauptdehnungs- geschwindigkeiten (15.8) und die Hauptachsenrichtungen zurtickzuftihren Ins-
besondere kann man sich davon liberzeugen, daB folgende Beziechungen zwischen
den Geschwindigkeitsableitungen und den Hauptdehnungsgeschwindigkeiten be-
stehen:
: am nh nha ` ou dv ow ‘ (16.7)
1H, v Hetmnortz: Crelles J 55, 25 (1858) (Ostwalds Klassiker Nr 79.)
Trang 1728 K, Oswatrtscu: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 17
Das ist im wesentlichen eine Wiederholung von Gl (13.10), die zum Ausdruck bringt, daB div w gleich ist der relativen Ausdehnungsgeschwindigkeit des Teil-
chens Weiter gilt: os vệ " du éw ow Ou ou dv 1 {dw av \2 tn tlt Lin = SE Oe Ta „— Ty =) - 468 1 (Ou aw 2 1 (oe 4 uy — +lz +) — xi + und: eu 1 (ou 2ø), 1/0 ow Ge | alete) alte)
je | 1 ([ơu , Ơw\, cơU sls %)
bin sleet) By? 2\or + ay}|> 69)
` aw
zÍ tan) 2ø Tazji ;
Durch das System der drei Gln (16.7) bis (16.9) sind die Hauptdehnungsgeschwin-
digkeiten auf die lokalen Strémungsverhiltnisse zuriickgefiihrt
Einfacher sind die Beziehungen zwischen dem antisymmetrischen Tensor
(16.6) und den Winkelgeschwindigkeiten der Drehung eines starren Kérpers (14.10) Ein Vergleich mit (16.6) ergibt:
(Õm avy 5, (Ou dw\ 44 (dv du),
rot jp: (Gs) = 2 Bas -=)= 27; lŠ-»)= 20 (16.10)
Die drei Komponenten des Vektors rot to geben nach Ziff 14 also đíe đoppelte Winkelgeschwindigkeit des Teilchens um die drei Achsen
17 Invarianz gegeniiber Drehungen Von einem Gleichungssystem, welches physikalische Vorgänge beschreibt, die unabhangig von der Koordinatenrichtung
gelten sollen, mu8 gefordert werden, daB es bei einer Drehung des Koordinaten- systems seine formale mathematische Form beibehdlt Eine solche Forderung haben alle bisher abgeleiteten, auf dem klassischen Boden der Mechanik stehenden
Gleichungen zu erfiillen Handelt es sich speziell um GréBen mit einer vom
Koordinatensystem unabhingigen physikalischen Bedeutung, wie etwa die
Volumenanderung eines Massenteilchens, die kinetische Energie eines Massen-
teilchens, die Dissipation an einer bestimmten Stelle und dhnliches, so muB der
entsprechende mathematische Ausdruck nach einer Drehung formal erhalten
bleiben
Als Drehungstensor sei dasselbe Winkelschema wie in Ziff 14 angenommen, nur mit dem Unterschied, daB es sich nun nicht um eine Drehung des K6rpers,
sondern um eine Drehung des Koordinatensystems in Richtung eines neuen Drei-
beins x’, y’, 2’ handelt In (14.4) und (14.5) sind also die Variablen a, b, ¢ durch
x’, y’, 2’ zu ersetzen Wieder gelten Gleichungen vom Typus (14.2) und (14.3),
wonach die Zeilen und die Kolonnen der Koeffizienten als Einheitsvektoren
aufzufassen sind, die aufeinander senkrecht stehen Fir die transformierten Komponenten gelten die gleichen Bezichungen wie fiir die Koordinaten, also:
14 = 1” COS ứy + v’ cos f, + w’ cos;
v = 4 COS %, + 0” COS ạ -Ƒ 1Ø” COS2a; (17.1)
w = u’ COS dy + v' cos By +.v’ cos yg
Ziff 17 Invarianz gegeniiber Drehungen 29
Fiir die Ableitung einer beliebigen Funktion / nach den Koordinaten gilt eben-
falls das gleiche Koeffizientenschema, wie man sich leicht durch Anwendung der Kettenregel der Differentiation tiberzeugen kann: of ơ â ơ a= Gyr cosa + £5 00s fy + $b cosy; of 9ƒ 2ƒ ơ y= Gyr 608 tty + 5 COS By + 5 cos yy; (17.2) af oF of of
a > Ga7 C8 Hs + Fiz C08 By + 37 COS ys
Bildet man nun die Divergenz des Geschwindigkeitsvektors unter Anwendung der Formeln (17.1) und (17.2), so erhalt man sofort:
„ Ơw ơu ow _ eu’ au’ Ow’
dvw= stata =a tate: (17.3)
Auch das innere Produkt des Geschwindigkeitsvektors und des Gradienten irgend- einer Funktion f hat eine von der Drehung unabhangige formale Gestalt, denn
es hat bei stationdrer Strémung die Bedeutung einer Anderung der Eigenschaft Ỷ des Teilchens mit der Zeit:
; 9ƒ , of of
auth a yt oF _ ;
t0 STad May tus + wa =u or te ay +? ar (17.4)
Ganz entsprechendes gilt auch fiir die Differentialausdriicke (16.8) und (16.9) Aus den Gln (17.3) und (17.4) folgt sofort, daB auch die Divergenz eines mit
einer Skalarfunktion multiplizierten Geschwindigkeitsvektors 0 gegeniber Drehungen erhalten bleibt:
‘ Of u ofu ofw Of u’ Of v’ Of w’ ; đíy (ƒ m) = ax + by “Oz Ox’ a t ee (17.5) Bedeutet / also eine Eigenschaft der Raumeinheit, etwa deren Masse oder Energie,
so bedeutet div (ft) die Anderung dieser Eigenschaft der Raumeinheit mit der
Zeit, ist also wieder eine vom Koordinatensystem unabhangige anschauliche GréBe
Da sich der Gradient einer skalaren GréBe nach (1 7.2) wie der Geschwindig- keitsvektor (17.1) transformiert, gilt fiir zwei beliebige Funktionen g und / mit den erforderlichen Differenzierbarkeitseigenschaften in Analogie zu (17.5):
div (f grad g) = 3 (38) + (4) + E48)
eg
_ 2 6g\ , 2 og\ a og
= ae oe) + ay Se) + ar a8):
Die Umrechnung der Komponenten (16.10) des Vektors rot tv auf ein gedrehtes
System fiihrt nach Ausftihrung aller Schritte zur selben Transformation wie flr den Geschwindigkeitsvektor:
(17.6)
aw be ơm au"
ay dz cOSa,; cosh; cosy, oy’ az 6u Br Ow | — 2y | C050; cosy; cosy, | - Gy 7 at ou’ ơm”
ae au COSớy; cosf;; cosy, au’ aul
a ~ 3y ‘ Ox’ ay”
Trang 18
30 K Oswatitscu: Physikalische Grundlagen der Strưmungslehre Ziff 47 Der Betrag des Wirbelvektors ist jedoch wieder ein invarianter Ausdruck, wie aus der kinematischen Bedeutung (16.10) allein schon folgt:
ơm dv\2 ou Ow \2 ơu Ou \2
2— {2% _ 2 kìm ee ae
(rot m) ¬ ( oy 5z) Š Ox ) (3 oy )
ow’ Ov’ \2 au’ Ow’ \2 bv’ Ou’ \2
=a ~ ae) + Gr tư] + (hơ — "ấy 1|
jrot rw] ist ja der doppelte Betrag der Winkelgeschwindigkeit des Teilchens Fiir die Transformation des Schubspannungstensors sei auf Fig 4 und Ziff 4 zurtickgegriffen Die drei Komponenten der regultierenden Oberflachenkrafte
auf das Flachenelement mit der Normalen n waren durch (4.5) gegeben Wenn
im folgenden nur von den Spannungen, nicht aber vom statischen Druck gespro- chen wird, so braucht nur # in (4.5) gestrichen zu werden Sei nun die Richtung n
mit der Richtung der neuen Koordinate x’ identisch, dann ist nach dem Winkel- schema (14.4):
(17.8)
(1, %) =ơ; — (H,Y) =ưạ; — (m3) =ứy, (17.9)
Zur Ermittlung der Tensorkomponenten in den neuen Koordinatenrichtungen x’, y', x’ ist nun das innere Produkt des Vektors (4.5) mit den Einheitsvektoren in den Richtungen +’, y’, z’ zu bilden Man erhalt auf diese Weise die drei Tensor- komponenten:
Ơyg; Oy ys Oy ye (4 7.10)
Es handelt sich um die drei Komponenten, welche auf das Flachenelement mit
der Normalen in x’-Richtung wirken Der erste Index in (17.10) gibt wie immer
die Flachenrichtung an In entsprechender Weise erhilt man auch die tibrigen
Tensorkomponenten Sie lassen sich alle zusammen als Tensorprodukt schreiben, wobei im folgenden in Analogie zu Gln (17.4) und (17.2) die ungestrichenen GréBen als Funktionen der gestrichenen angegeben sind:
Øyz; Ơyy; Ox,
Oy x; Øyy; Ơyz
Ore) Oxy; Oz,
(17.14)
COSớI; COS/I; COS7I\ /0yz; Øyy; Øyy\ /COSớy; COSda; COS ts
= | COSag; COS Bg; COSY }-Oyys Cyy} Gyy|-| cosh; cos Po; cos Bs }
COS ts; cos fig; COSys/ \Øyy; Oyy; Ory! \COS2; CO§2;; COS %
Man kann sich durch Anwenden von Gln (17.1) und (17.2) davon iberzeugen, daB der Tensor (16.5) durch genau dieselbe Transformation (17.44) in die neue Richtung zu transformieren ist Auch der Tensor (16.6) transformiert sich nach - diesem Schema, das in letzterem Fall aber auch in die Form (17.7) umgeschrieben
werden kann
Als Spur eines Tensors bezeichnet man die Summe der in der Hauptdiagonalen stehenden Komponenten So ist div tp die Spur des symmetrischen Verformungs- tensors (16.5) Es wurde bereits festgestellt, daB die Spur des Tensors bei der Drehung (17.11) erhalten bleibt Dies gilt also auch fiir die Summe der Haupt-
spannungen:
Ogg TP Oyy FOr, =H Oy ye HOyy toy y (17.12) Bildet man nun das Produkt des Tensors der Deformationsgeschwindigkeiten
(16.5) und des Spannungstensors, so erkennt man, da8 die Dissipation @,
Ziff 18 Hydrodynamische Gleichungen in Lagrange-Darstellung : 34
Gl (14.6), die Spur des neuen Tensors ist Damit ist aber gezeigt, daB ® gegen-
tiber Drehungen invariant ist, was seiner physikalischen Bedeutung gemaB bereits erwartet werden muBte:
Auch der Energiesatz (11.5) erweist sich als eine Differentialbeziehung, welche bei Drehungen erhalten bleibt Fir seine einzelnen Differentialoperatoren wurde die Invarianz bereits in Gln (17.4) und (17.6) gezeigt
Jede Bewegungsgleichung fiir sich ist jedoch nicht gegenitber Drehungen in-
variant, da sie eine Beziehung zwischen den Kraften und Beschleunigungen in einer Koordinatenrichtung darstellt: Nach den vorbereiteten Rechnungen kann
es jedoch dem Leser iiberlassen werden, das System der drei Gleichungen in ein
formal gleiches System in den gestrichenen GrưBen zu verwandeim V Grundgleichungen fiir reibungslose Strưmungen
18 Hydrodynamische Gieichungen in Lagrange-Darstellung Ein Teilchen, welches zur Zeit £=0 die quaderférmige Gestalt von Fig 11 und den Raum- inhalt abc besitzt, hat zu einem beliebigen Zeitpunkt das Volumen Da bc Dabei ist D, wie in Ziff 13 hergeleitet, die Jacobische Determinante von #,1,Z
nach ø, ở und e Ist nun øạ đie Dichte zur Zeit t=0, so folgt aus der Erhaltung
der Masse:
a4, ¥, 2)
9 202,5,a) “60: 8.1)
Damit ist die Kontinuitatsbedingung bereits gewonnen Dabei macht es formal
keinen Unterschied, ob die Strémung stationdr oder instationär ist, wie tiber- haupt der Begriff der stationaren Strémung wesentlich mit der Eulerschen Dar- stellungsform verkniipft ist
Die weiteren Gleichungen seien unter der Voraussetzung retbungs- und wirme- leitungsfreier Strưmung hergeleitet In đen Bewegungsgleichungen (10.4) fallen
dann die Flachenkrafte bis auf den statischen Druck weg Bei Verwendung von Lagrange-Variablen gilt:
23
“am 6.2)
Dies in die Bewegungsgleichung (10.4) eingefiihrt, gibt nach Anwendung der
Kettenregel der Differentiation Gleichungen vom Typus: Ox _ 1 (ơÐ Oa dp ab 9? ơc
ge X=- FS St ZS te te) (18.3)
Werden nun die drei Gleichungen fiir die Koordinaten x, y, z wechselweise mit 8x/8a, Oy/8a, 8z/@a multipliziert, so erhalt man mit Riicksicht auf die Beziehung:
oa — _ Oa ax 9a oy Ga Oz |
éa- ax Ba * By Ba! Br Ba? > (18.4)
6b 9 0b ơx | 6b ay , 8b ơz
ea” ơx 0a by Ba! Gr Ba’
Trang 1932 K Oswaritscu: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 19
Im Energiesatz (11.5) schlieBlich wird bei Vernachlassigung von Reibung und
Warmeleitung die rechte Gleichungsseite Null Man erhält mit Gl (12.5) und
der bekannten thermodynamischen Beziehung fiir die Entropie der Massenein-
heit s: ơi 1 op as
Die Entropie eines Massenteilchens in einer stetigen reibungs- und warmeleitungs- freien Strémung ist also konstant Keineswegs heiBt das, daB die einzelnen Massen- teilchen untereinander gleiche Entropie haben Sie behalten nur ihre individuelle Entropie Die Voraussetzung der Stetigkeit ist dabei nicht nur eine mathematisch
notwendige Forderung, die wegen der Differenzierbarkeit gestellt ist Die For-
derung hat auch durchaus praktische physikalische Bedeutung, da dadurch VerdichtungsstéBe von den SchluBfolgerungen ausgeschlossen sind In solchen StưBen andert sich ndmlich trotz Vernachlassigung von Reibung und Warme-
leitung die Entropie eines Massenteilchens Sie bleibt aber dann konstant bis
das Massenteilchen einen nachsten VerdichtungsstoB đurchzumachen hat 19 Webersche Transformation Angenommen, die Massenkraft habe ein
Potential Q: g =—gradQ, (19.4):
dann lassen sich die Bewegungsgleichungen (18.5) mit Rticksicht auf Beziehungen
der Art: ơ (0x dx Ox Ox ou
ar (ar ae) ~ am ae +" Ge (19.2) auf Gleichungen von der Form (49.3) bringen:
Glan gato Get bal ae TE ee ae 193) Unter der Voraussetzung konstanter Entropie aller Teilchen ist @ nur eine Funk-
tion von p und man kann mittels bekannter thermodynamischer Beziehungen
das Differential d/o als Differenz in den Enthalpien der Masseneinheit i schreiben:
s = const: 4 =đi (19.4)
ũr đie Spezialfalle konstanter Dichte und fiir ein ideales Gas konstanter spezifi- scher Warme ¢, gilt beispielsweise:
konstante Dichte: t—ig= + (2—22a);
“ (19.5)
ideales Gas konstanter spezifischer Warme: i—i,= ¢,(T—T)
Fithrt man nun folgendes Zeitintegral ein:
‡
q= f[Q— sw? +7] dt, (19.6)
0
das bei festem a, b, c zu bilden ist, dann stehen auf beiden Gleichungsseiten von
(19.3) Ableitungen nach der Zeit Werden die Bewegungsgleichungen schlieB-
lich tiber die Zeit integriert, so bleibt in jeder Gleichung noch eine additive Funk- tion von a, 6, c zu bestimmen: Ox Ox ov ay Oz Oz _ ex Bt ba | i a | OF Ga = MO Gq Ox Ox ov ðy Oz O02 _ ox Tơi 0b + Or Oot GE oe =~ Bz (19.7) Ox Ox oy ay 9z ơz _ ox Gi đc Trật dc + Or Be MO Fe
Ziff 20 Verschiedene Formen der Grundgieichungen in Eulerscher Darstellung 33
Da jedoch x zur Zeit ¢=0 iiberall verschwindet, erkennt man in diesen additiven
Funktionen die Geschwindigkeitskomponenten zur Zeit t=0:
t=0, a= 4, b=y, c==2z: 0 (2, b,c, t) = Wy (a, b,c) (19.8)
Die Form der Bewegungsgleichungen (19.7) geht auf H WEBER! zuriick
20 Verschiedene Formen der Grundgleichungen in Eulerscher Darstellung Es ist zweckmaBig, die Grundgleichungen fiir reibungs- und wärmeleitungsfreie
Strémung auch in Eulerscher Darstellung nochmals zusammenzufassen Wenn- gleich sich tiber das in Ziff.9 bis 11 Gesagte hinaus nichts wesentlich Neues
ergibt, so ist damit doch eine Darstellung gegeben, die spater ntitzlich sein wird Die Kontinuitatsbedingung (9.3) kann in Vektordarstellung auch geschrieben werden: ,
: dg đ (1 :
div =~ > đc =6 (), (20.1)
womit der Zusammenhang zu Gln (13.6), (13.10) und (48.4) hergestellt ist Durch
Fortlassen der Spannungskrafte in Gl (10.4) gewinnt man nach Einftihren des
Kraftepotentiales (19.1) die bekannten Eulerschen Bewegungsgleichungen: & du au ou ou ou 1 ap ơ@ ae GE Ge TY Gy TY Be be ae dv av ơu ov ơu —_ 1 op ư@ - sáp OE ae Fay ME m— TƠ tây Tay? dw (20.2) ơm ow ow ơm —_ 1 ap 29 a ae Tay Te a nh nan Diese lassen sich vektoriell mit Hilfe der bekannten thermodynamischen Be- ziehungen: 1 /op\ _ Aap) elak=—T G(s) (20.5)
in der Form schreiben:
= =— + grad p — grad Q = — grad ¢ +2) + T grads, (20.4)
Nun 148 sich aber folgende Vektorbezichung leicht verifizieren:
dio ew tv?
a = "ai +Brad— — T0 X rotf0, (20.5)
womit die Euler-Gleichungen eine neue Gestalt annehmen:
Get x rot = — + grad p ~ grad (04+ ™*) (20.6)
= — grad (i+Q+ )4+T grads
Trang 20
34 _ K Oswatirscu: Physikalische Grundlagen der Strémungsiehre Ziff 21
VI Wirbelsatze
21 Wirbellinie, Wirbelfaden, Zirkulation, Durch den Vektor rot to mit den Komponenten (16.10) ist ein Vektorfeld gegeben, das in jedem Punkt und zu
jeder Zeit die Rotation der Massenteilchen nach Richtung und Betrag angibt
Kurven, welche in jedem Raumpunkt die Richtung des Wirbelvektors annehmen, bezeichnet man in Analogie zu den Stromlinien als WirbeHinien Wie Stromfäden und Stromréhren lassen sich auch Wirbelfaden und Wirbelréhren aus Wirbellinien bilden Der Wirbelvektor rot w liegt itberall tangential an der seitlichen Be-
grenzung des Wirbéelfadens (Fig 13)
Unter der einzigen Voraussetzung einer ausreichenden Differenzierbarkeit
der Geschwindigkeitskomponenten besteht folgende bekannte mathematische
Beziehung: div (rot m) =0, (21 3)
Fig 13 Wirbelfaden Fig 14, Zirkulation und WirbelfluB
die sich fir beliebige Vektorfelder von w(x, y, 2), die weder der Kontinuitats- bedingung noch einer anderen hydrodynamischen Beziehung zu gentigen brau- chen, verifizieren 14Bt Es handelt sich um eine rein mathematische Identitat ‘ Wendet man nun auf Gl (21.1) den GauBschen Satz (9.1) an, und wahlt man als Integrationsbereich einen Wirbelfaden, so fallen alle Beitrage des, Flachen-
integrales an den Seitenwanden des Wirbelfadens weg und man erhalt die Aus-
sage: ff vot, t d7 = const (21.2)
T
Die Integration der Normalkomponente von rot tiber den Querschnitt des
Wirbelfadens gibt itberall konstante Werte Oder in Analogie zum Stromfaden
kann ausgesagt werden: Der Flu8 an Wirbelstắrke in einem Wirbelfaden ist konstant Dieser auf HELMHoLTz! zuriickgehende Satz folgt allein aus den zuvor eingeftihrten Begriffen und Definitionen ohne physikalische Uberlegungen
Nach dem Integralsatz von Stoxss, der wie Gl (21.4) fiir jedes beliebige Vek-
torfeld gilt, kann das Flachenintegral iiber die Normalkomponente von rot ip auf ein Kurvenintegral iiber die Berandung C zuriickgeftihrt werden, dessen Ínte- grand die Tangentialkomponente tv, des Vektors darstellt (Fig 14):
ff rot„to đƒ = (udx+vdy+wdz)=$wm,ds (21.3)
F é é
Dieses Linienintegral der Tangentialkomponente tiber den geschlossenen Kurven-
zug C wird als Zirkulation I bezeichnet:
T= 6(udx +vdy.+wdz) =$m, ds (21.4)
ễ c
1 H.v HELMRHOLTz: Crelles J 55, 25 (1858) (Ostwalds KKlassiker Nr 79.)
Ziff 22, 23 Wirbelgleichungen von Caucny 35
Damit kann der Wirbelsatz (21.2) auch so ausgesprochen werden: Die Zirkulation
um einen Wirbelfaden oder eine Wirbelrihre ist Ronstant
22 Zeitliche Erhaltung der Zirkulation Die Zirkulation zur Zeit ¿=0 lãngs
einer beliebigen Kurve (Fig 15):
đạ = § (mạ đã -} 0ạ đù +~0a đ©) (22.4)
é
laBt sich mittels der Weberschen Gleichungen (19.7) leicht auf die Zirkulation
zu einem beliebigen Zeitpunkt zuriickfithren Man driickt tvy durch Gl (19.7)
aus und gruppiert um, was zu Gl (22.2) fiihrt:
_ Ox ox Ơx „ ơy ay ; oy }
to = {el srdet os a+ ác đụ DI san sản iu 622) 22
Oz 9z | 3# 2
+ w|i da + Seb + de] + az}
Dabei ist zu beachten, daB die Integrationskurve C einen bestimmten funk-
tionellen Zusammenhang von a, b,c darstelit Das heift, es ist tiber eine be- stimmte massenfeste Kurve C Ụ
mit dem Parameter /:
C(t)
Clabes a=als| yy CC
b=b0); c=c(l), 3
zu integrieren Die Integration LL
von dy iiber eine geschlossene C(t=0) ,
Kurve gibt keinen Beitrag, und
das Ergebmis lautet:
Tạ = § (wả# + 0 ấy +
“tuảa =f | (22-4)
Gi (22.4) stellt den Thomsonschen Satz! dar: Die Zirkulation lings einer massen-
festen Kurve ist zeitlich konstant Mit den Weberschen Gleichungen ist dabei vor-
ausgesetzt worden, daB die duBeren Krafte ein Potential haben und daB die Massenteilchen konstante Entropie besitzen Diese Forderungen sind auf das
Integrationsgebiet beschrankt Es ist also zuldssig, den Satz fiir Teilchen einer
bestimmten Entropie s, auszusprechen, welche in ein Medium abweichender
Entropie s, eingebettet sind
Der Satz hat eine sehr groBe Bedeutung in der Tragfltigeltheorie Er ist einem älteren Helmholtzschen Satz nahe verwandt Mit Hilfe des Stokesschen Satzes
(24.3) 148t sich die Zirkulation auf den WirbelfluB (21.2) durch eine Flache zuriick-
{uhren In Analogie zum Satz von Ziff 21 kann also unter denselben Voraus- setzungen wie sie beim Thomsonschen Satz gelten auch gesagt werden: Der
Wirbelflup durch eine mit der Materie verbundene Fliche ist zeitlich konstant Ein Teilchen, welches also wirbelfrei ist, bleibt in einer reibungsfreien isen- tropen Strưmung wirbelfrei Ist das ganze Anstroémgebiet wirbelfrei, wie das
etwa bei Parallelanstrưmung mit konstantem Strémungszustand stets zutrifft, so ist die ganze Strémung wirbelfrei
Fig 15 Zur Erhaltung der Zirkulation
23, Wirbelgleichungen von Caucuy Leitet man die letzte der Weberschen
Gleichungen nach } und die zweite nach ¢ ab, so gewinnt man nach Subtraktion
1 W THomson: Trans roy Soc Edinburgh 25 (1869)
Trang 21
36 K Oswaritscn: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 23
die erste Gl (23.1), Bei der Zwischenrechnung treten auf-der linken Gleichungs-
seite die Ableitungen von 4 = 02/81, v= 0y/0t, und w =92/@t nach b und c auf Diese sind in Ableitungen nach +, y, z umzuschreiben mit dem Ergebnis:
az ax
ox oy
SE BED arya eae, Gb be ll By Be) G0)
9w, ow, (dw Ov \ (y, 2) ou dw \ d(z, x) ov 0w\ơ(z,y) |
ge a= (ay ơr 8s) T (ấy — 8z] au ow #Ga T(§r— s] 8e 4? | (24) , 2) âu 9(z,#)
: lễ,
ơu 9w, 9 ơ›o\ ơ(, z) ơ(z
: = (a) 5 b) + — 2x) ơ(@bÐ) "Vax ” 2) Sk Đà”
9a ab
Die beiden letzten Gleichungen folgen durch zyklisches Vertauschen Die
Gin (23.1) kénnen bereits als Erhaltungssitze gedeutet werden Die Entwick- lung (12.6) der Teilchenkoordinaten um den Mittelpunkt des Teilchens kann auch
in folgender Form geschrieben werden:
x(a, b,c, t) — %(0, 0, 0,4) =fat + He;
a ơ ơ
9 (a, , ¢, 1) — (0,0, 0, ) = Ta +12 + G; (23.2)
z(a, ð, e, 9 — z(0,0,0, 0) = S=4 + ác b +,
Auf der linken Seite stehen dann die Komponenten des Vektors, welcher vom Teilchenzentrum zum Punkt a, }, ¢ fithrt (Fig 41) Die Ableitungen von x, y, z nach a, 6, ¢ sind im Teilchenzentrum zu verstehen
Die Vektoren, durch welche das Parallelepiped aufgespannt wird, haben die Lagrange-Koordinaten:
a(2,0,0); 6(0,8,0); c(0, 0, ¢) (23.3) und gemaB (23.2) die kartesischen Koordinaten:
Ox 3y oz \, Ox oy Oz ox oy 9z
ty 2, Sa” aE 652 25° p ð); (Gre Đề $e): (23.4)
Der Vektor, welcher auf der b, c-Ebene senkrecht steht und dessen Lange gleich der Fliche des durch 8, ¢ bestimmten Parallelogramms ist, hat die Koordinaten:
bxe: ơ@,2) ;„ ez *) y a(x, y)
Bey) Bley OP} HG Oe (23.5)
Multipliziert man also die erste Gl (23.1) mit bc, so steht auf der linken Seite, die durch b und ¢ aufgespannte Flache mal der senkrechten Wirbelkomponente Auf der rechten Gleichungsseite steht das innere Produkt vom Wirbelvektor
und dem Vektor 6 x ¢, das ist abermals die von b und ¢ aufgespannte Flache mal
der Normalkomponente des Wirbelvektors (Fig 16) (Die Normalrichtung fallt fir ¢==0 im allgemeinen nicht mehr in Richtung des Vektors a.) Damit ist der zweite Helmholtzsche Satz (Ziff 22) noch einmal wiederholt, wonach der Wirbel- fluB durch ein massenfestes Flachenstiick erhalten bleibt
Entwickelt man die Jacobische Determinante (18.4) nach der ersten Zeile, so nimmt die Kontinuitắtsbedingung die Form (23.6) an:
p=+® — ox 0(y,z) be bx Oy, 2) , 2x Aly, 2)
@ 8a Ald, c) Ty ð(,3) | Oc ð(zb)' (23.6)
Ziff 23 Wirbelgleichungen von Caucuy 37
Multipliziert man nun die Gl (23.4) der Reihe nach mit ơx/ờ, 6x/0b und dx/@e,
so erhdlt man die «-Komponente von rot ty multipliziert mit den Koeffizienten
(23.6), wahrend die Koeffizienten der anderen Komponenten verschwinden Durch diese und entsprechende Operationen gelangt man zu den Wirbelgleichungen
von CaucHyl Die linken Seiten von (23.1), die Wirbelkomponenten zur Zeit
t=O sind dabei durch den Index 0 gekennzeichnet:
Go ea ~\=(= =| Ox (= a) 9x (2 >) On 9 \ dy 2zj Vay ~ Oz}]pda ' Ss ~ Gx), ob + ae 7 ay) be! Bo 3 -)-(4-Z)2 (4-2) by (4-$) oy
to (* ax} \By — ârjhồa TL (lơ — Oey 0b + Se 7 Bylp Be? (23.7)
Qo {Ov Ou) _ (ew ov + nh an TT ốc
® n2 )=Í Than dz Ox Jy 06 ax dy Jy Bc”
0
oe
Fig 16, Zum zweiten Helmboltzschen Satz
Die Ableitungen der Ortskoordinaten nach a, b,c sind fiir eine bestimmte Stré- mung Funktionen von a, ư,e und ý Ein Vergleich mit dem System (23.2) zeigt
sofort, daB sich der Vektor ,/g rot tp genau so andert wie der vom Teilchenzentrum zu einem bestimmten Punkt des Teilchens fiihrende Ortsvektor x(a, 8, c, t) —
£(0, 0, 0, #) Besitzt der Wirbelvektor zur Zeit t =0, also etwa die Koordinaten:
ow 20) a: (= ae
lố— zJ= 1 dz Ox Jy 1
und fithrt der Vektor rot to zur Zeit ¢=0 vom Teilchenzentrum zum Punkt PB,
(Fig 17), so endigt gema4B Gleichungssystem (23.2) und (23 7) der Vektor £ rot w
ọ
in jedem spateren Zeitpunkt auch im Punkte BP (a,, b,, c,) Seine Koordinaten sind zu allen Zeiten gegeben durch:
l#~- | t3
rot =t(#,Ưa, e, — g(0,0,0, 9 (23.9)
Das bedeutet, da8 der Vektor rot ro seiner Richtung nach fest im Teilchen ver- ankert ist, und daB sich seine Lange bei dichtebestandiger Strémung (0 = g,)
mit dem Teilchen ändert
Nach einem dritten, von HELMHOLTZ stammenden Wirbelsatz kann man das Ergebnis auch folgendermaBen formulieren: Die Wirbellinien werden stets
von denselben Tetlchen gebildet Bei inkompressibler Str6mung Andert sich die Lange der Wirbelvektoren wie der Abstand benachbarter Teilchen auf den Wirbel-
linien
1 A Caucuy: Mém Acad roy Sci 1827
Trang 22
38 K OswatitscH: Physikalische Grundlagen der Stroémungslehre Ziff 24
Auch an das Gleichungssystem (23.7) lassen sich ahnliche Uberlegungen tiber
den Wirbelflu8 ankniipfen wie an das Gleichungssystem (23.1), wobei aber nun nicht feste Flachen des Massenteilchens, sondern gleich gerichtete Flachen im Raume verglichen werden
Die Rotation eines Massenteilchens steht in naher Beziehung zu seinem Dreh-
impuls Beispielsweise ist die Zirkulation eines sich drehenden starren Kreisringes
mit der Winkelgeschwindigkeit @ und dem Radius +:
P=2nor (23.10)
gleich dem Drehimpuls der Masseneinheit dieses Ringes Ganz entsprechend waré der Wirbelflu8 durch eine Kreisscheibe gleich dem Drehimpuls der Masseneinheit
dieser Scheibe und entsprechendes gilt auch fiir einen Zylinder Sofern also nur y P a, ¢ Xe 7 & oy ? ⁄ Fig 17 Bindung des Wirbels an die Materie, Fig 18 Zur Zirkulation auf zwei geschlossenen Kurvenziigen
die Drehung eines Teilchens durch den Wirbelvektor in Betracht gezogen wird,
k6énnen die Wirbelsatze auch als Erhaltung des Drehimpulses der Massenteilchen gedeutet werden Die Massenteilchen werden jedoch auch durch Deformation
gedreht, wie das Beispiel des Potentialwirbels in Ziff 24 deutlich zeigt
Aus den Gleichungen von WEBER (19.7) und von CAUCHYV sei noch ein Er- haltungssatz von Erter-Rosspy! [Gl (23.12)] abgeleitet Multiplikation der Gln (19.7) mit da/Ox, ơb/ơx, Ac/Ox liefert die erste Gl (23.11) Die anderen folgen
durch entsprechende Multiplikationen mit Ableitungen nach y und 2: Oy ss Ga ob Oc UT Gy = Mo Gy + Đan y 8y Ox —_ 9a 0b ac 0+ By = M0 Gy 1% Gy + Lo Gys (23.14) Oc ox da eb O+ Zp Mog, 1% Gy tog: Dieses System fithrt zusammen mit dem System (23.7) sofort zum Erhaltungs- satz (23.12): 1 1 | Tot w - (w + grad y) = 5 Tot Wo: Wo (23.12) š t0
Der Ausdruck der linken Seite ist also fiir jedes Teilchen zeitlich konstant
24 Starrer Wirbel und Potentialwirbel Der einfachste Wirbel wurde im
wesentlichen bereits in Ziff 14 bei der Ableitung der Drehung behandelt Es ist
1H Ertex u.C G Rosssy: Sitzgsber Akad Wiss Berlin, Math.-nat Kl 1949, S.1—411
Ziff 24 Starrer Wirbel und Potentialwirbel 39
jener Fall, bei dem sich die Fliissigkeit wie ein starrer Kérper mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um eine Achse dreht Nicht nur die Winkelgeschwindig- keit um die Achse ist dann konstant, sondern es dreht sich auch jedes Teilchen
mit derselben Winkelgeschwindigkeit um die eigene Achse Denn wahrend sich
die Gesamtmasse einmal um 360° gedreht hat, hat das auch jedes einzeine Teil-
chen getan rot = 2w ist in diesem Fall konstant Die Teilchen werden nicht
deformiert; diese Strémung ist also sehr trivial GemaB GI (23.10) ist die Zir-
kulation I’ auf Kreisen um die Drehachse proportional zum Quadrat des Radius Weniger trivial ist der Fall des Wirbels konstanter Zirkulation J auf Kreisen um die Achse Er wird mit Rticksicht auf das spater noch einzufiihrende Ge-
schwindigkeitspotential als Potentialwirbel bezeichnet GemaB® der Definition der 8 Be a®/ 8 _ SS oA ¬ ` N EWG & 8 NX XS \ \À \À \
Fig 19 Deformation eines Teilchens im Potentialwirbel
Zirkulation J’ (21.4) ist die Zirkulation auf Kurvenziigen C +C’ (Fig 18) gleich
der Summe der Zirkulationen auf den einzelnen Kurventeilen Der Beitrag auf dem Verbindungsstiick beider Kurven C und C’ fallt weg Das heiBt aber, daB
die Zirkulation auf C’ und damit auch auf jeder geschlossenen, das Zentrum
des Wirbels nicht umschlieBenden Kurve verschwindet Der Wirbel konstanter
_ Zirkulation ist also itberall auBerhalb des Zentrums wirbelfrei- Die Winkel- geschwindigkeit der Teilchen beziiglich des Zentrums nimmt nach Gl, (23.10)
mit dem Quadrat des Zentralabstandes ab Die in Fig 19 am auBeren Kreis gelegenen Teilchenpunkte P, und P, bleiben daher gegeniiber den am inneren Kreis gelegenen Punkten P, und P, zuriick Dies fiihrt zu einer Deformation, welche bereits nach einer Drehung von 90° aus der quadratischen Form des Teil- chens eine Form mit deutlich gekriimmten Randern macht, die nur schlecht
durch ein Parallelogramm zu nahern ist Noch bemerkenswerter ist, daB die
Teilchen in dieser ,,wirbelfreien‘’ (oder wie man zu sagen pilegt, ,,drehungs- freien‘) Strưmung gedreht werden! Es ist ein Umkneten des Teilchens, welches allerdings der Masse des Teilchens auch einen Drehimpuls erteilt Zur naheren
Untersuchung dieses Umknetungsvorganges sei die Dehnung des Teilchens nach
den drei Hauptachsen untersucht
Trang 23
40 K Oswatitscu: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff, 24
in der x, y-Ebene liegt, folgt unmittelbar aus Fig 12:
_ — D 7 _ > _
ấy =^ —ấn; A=> +H3 8; =ă
(24.4)
Damit folgt fiir den Richtungscosinus:
cos%; cos&%,=sing,; cosf,=—sin&; cos By = cos% (24.2)
Man tiberzeugt sich leicht, daB die Bedingungen vom Typus (14.2) und (14.3) erfiillt sind
Die Gleichungen fiir die Koeffizienten (15.6) kénnen dann leicht auf folgende
Form gebracht werden:
Ay =4 (+m) + 4(l—m) cos 2%;
A, = B= —4(i—m) sin 24,; (24.3)
B, =4 (i +m) —4 (i —m) cos 24 ,
Damit la8t sich die Hauptdehnung und die Richtung der Hauptachsen, ganz
im Gegensatz zu den Komplikationen im dreidimensionalen F all, leicht aus- driicken:
1 soe lel - A+B
L+m=A,+ B,; lm = A, B,— A, B,; tan 2ã, = — 2-1, (24.4)
A,—B,
Die Koeffizienten A, bis B, des Dehnungstensors sind in (16.5) dargestellt Man
erhalt dann ftir die Dehnungen und Hauptachsenrichtungen bei ebener Strémung die folgende Formel:
ltma Sh 4B; êu „ơm
oY tan2a@,— ——* _®& (24.5) im = 2% 2 — 9x by 4 \ơz + cm: oy}? to bu bu Ox ay "
Die Ausdriicke fiir J und m stellen den ebenen Spezialfall fir die Drehungs- invarianten (16.7) und (16.8) dar Der Ausdruck fiir den Winkel %, ist dagegen
keine Drehungsinvariante, da sich der Winkel &, mit der Drehung des Koordinaten- systemes ändert
Fir einen ebenen Wirbel gilt nun ganz allgemein :
L=2rafe+v; vlu=— xy, (24.6)
oder:
_ roy _ Lf «
w= se, vasa SF (24.7)
Fir den Potentialwirbel speziell gilt, weil I’ konstant ist:
ơu 1” 2xy ae, ou bu To x — „2
ây am Hs Tây! lấy Ge ae (24.8)
Dies in (24.5) eingesetzt, ergibt:
; T1 — 2⁄y
b= i => =; Cot 204 = (24.9)
Die Dehnungsgeschwindigkeit ist gleich der Drehgeschwindigkeit Bei der Bestimmung der Hauptachsenrichtung kann man sich auf die x-Achse beschran-
ken, weil sich die Hauptachsen der Dehnung bei einer drehsymmetrischen Stré-
Ziff 25 Wirbelsatz von L Crocco und verwandte S&tze 41
mung mit den Teilchen mit drehen Man findet auf der x-Achse % = 45° und = 135°
Fig 20 zeigt die schrittweise Verformung des quadratférmigen Teilchens von Fig 19 in den jeweiligen Hauptachsenrichtungen bei Schritten von 9° Drehung
Die Dehnung in der einen und Schrumpfung in der anderen Richtung betragt bei jedem Schritt rund 15% Beim Drehwinkel von 36° fithrt die Verformung des nachsten Verformungsschrittes zur Gestalt und Lage des Teilchens bei 45°, die
hi
Fig 20 Schrittweise Verformung in den jeweiligen Hauptachsenrichtungen
in der Tat recht gut mit dem Bild des Teilchens in Fig 19 nach einer Drehung von 45° tibereinstimmt Fig 20 zeigt deutlich, daB das Teilchen schrittweise durch Verformung in eine andere Richtung gelangt
Man erkennt daraus, da8 der Drehimpuls eines Teilchens im allgemeinen nur
dann mit dem Wirbelflu8 gleichzusetzen ist, wenn das Teilchen nicht deformiert, sondern héchstens gleichmaBig gedehnt wird, wie das etwa bei einer Strémung durch einen Rohrkanal mit axialem Drall der Fall ist
25 Wirbelsatz von L Crocco und verwandte Satze Die Betrachtungen dieser
Ziifer selen stationaren, reibungsfreien, aber nicht isentropen Strémungen gewid-
met In erster Linie ist dabei an Uberschallstrémungen mit Verdichtungsstd8en
gedacht (Fig 21) Abgesehen von einer kérpernahen Schicht einschlieBlich deren Nachiauf, ist eine solche Strémung reibungsfrei In den stoBfreien Zonen ist die
Trang 24
42 K Oswatitscu: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 25 wurde Nur in den VerdichtungsstưBen springt die Entropie, behdlt aber dann langs jeder Stromlinie den hinter dem letzten StoB angenommenen Wert bei Die Bewegungsgleichungen und die Energiegleichung bekommen deshalb die spezielle stationdre Form von Gln (20.6) und (20.7):
tp x rot t0 = grad (i -+ $m? +0) — T grads, (25.1)
tp grad s =0 > (25.2)
Multipliziert man GÌ (25.1) skalar mit tw, so verschwindet die rechte Gleichungs- Ge : ty auf dem Vektor rot x senkrecht steht, und man erhalt mit
(25.2): i
to- grad (i + $ 03 + Ø) =0 (25.3)
Fig 21 VerdichtungsstoB an einem spitzen Kérper (H Scuarpin, Forschungsinstitut Weil a Rh.)
Wie § ist auch der Klammerausdruck (i -+-412+) auf Stromlinien konstant
Das ist nichts Neues, sondern nur der Energiesatz (5.8) auf den hier behandelten
speziellen Fall einer stationaren Stroémung angewendet Multipliziert mit der
Stromdichte @ {| stellt der Klammerausdruck den EnergiefluB im Strom-
faden dar Er mu8 bei stationarer reibungsfreier Strémung konstant sein Seien die Werte, welche auf dem Stromfaden im Zustand der Ruhe ty =0 erreicht werden, mit dem Index 0 bezeichnet, so gilt:
it+iw?+Q=14,4+Q,, _— (25.4)
wobei die Werte von zi) und Q, zunächst noch wie die Entropie von Stromlinie
zu Stromlinie variieren diirfen Damit ist bereits ein Wirbelsatz ausgesprochen:
to xrot to = grad (4, + Q,) — T grads (25.5)
Er stellt eine von A Vazsonyt! mitgeteilte Verallgemeinerung des Croccoschen
Wirbelsatzes [GI (25.6)] dar Danach bedingt im allgemeinen eine Anderung der Ruheenergie und der Entropie von Stromlinie zu Stromlinie das Entstehen von Wirbeln Da sich die Ruheenergie ¢)-+Q, in Sté8en nicht andert, wie aus den StoBgleichungen (6.5) und ihrer nahen Beziehung zu Gl (25.4) unmittelbar folgt, und die Ruheenergie auBerdem im Anstrémgebiet in der Regel konstant
1 A Vazsonvi: Quart Appl Math 3(1), 29-37 (1945)
Ziff 26 Wirbelsatz von Erter und verwandte Satze 43
ist, ist 4) -+Q, bei den stationdren reibungsfreien Uberschalistromungen im ganzen
Strémungsraum konstant Eine solche Strémung nennt man tsoenergetisch (Im
anglo-amerikanischen wird im allgemeinen auch noch zwischen isentrop und
homotrop unterschieden Dabei versteht man unter isenivop eine Strémung,
bei der jedes einzelne Teilchen konstante Entropie besitzt, unter homotrop eine
Strémung, wo alle Teilchen gleiche Entropie haben Der vorliegende Artikel beschäftigt sich jedoch mit den entsprechenden Fragen zu wenig, um eine der- artige Anhadufung von Definitionen zu rechtfertigen.)
Fiir solche isoenergetischen Stromungen gilt dann der Satz:
w x rot 0 = — T grads (25.6) Es ist der Croccosche Wirbelsatz! in der fiir beliebige physikalisch homogene Medien giiltigen Form?
Folgende Schliisse kénnen daraus fiir alle stationdren reibungsfreien iso-
energetischen Strưmungen gezogen werden: 1 Eine Strémung mit unterschied- licher Entropie auf den Stromlinien hat notwendigerweise Wirbel 2 Jede wirbel- freie Strémung hat im ganzen Raum konstante Entropie, d.h der Druck ist nur Funktion der Dichte allein
Hingegen kann eine Strémung konstanter Entropie Wirbel besitzen, deren Vektor in Strémungsrichtung weist Dieser Fall:
tp Xrot tp =0 (25.7)
wird als Beltrami-Strémung® bezeichnet Der einfachste Fall ist die Stromung
in einem Rohr mit axialem Wirbel
Ein gutes Beispiel fiir die Erlauterung der Wirbelsatze dieser Ziffer ist durch den Nachlauf eines K6érpers gegeben (Fig 21) In gentigendem Kérper- abstand ist die Strémung im wesentlichen parallel: =(y, z), 0 =1 =0, und der Druck konstant Beschranken wir uns auf den Fall isoenergetischer Stré- mung, dann wird der Reibungsnachlauf besser von der Betrachtung ausgeschlossen, weil die Teilchen in der Reibungsschicht gegenseitig Krifte aufeinander ausgetibt
haben, die Ruheenergie also nicht konstant zu sein braucht Bei gleichem Druck haben die Teilchen héherer Entropie auch héhere Enthalpie 7 Nach dem Energie-
satz fir Q =Q, (25.4) sind die Teilchen héherer Enthalpie aber langsamer Mit
zunehmender Entropie gegen die Kérperachse hin wird also die Geschwindigkeit «
im ,,Nachlauf geringer Weil aber v=w =0 ist, bedingt das Wirbel Aus dem Energiesatz kann unmittelbar geschlossen werden:
au ơi Ou ở?
ua =! Us = Zp: (25.8)
Za demselben Ergebnis aber fithrt Gl (25.6) fũr o===0 Dann gilt:
ou ou ou ou
rot ip: 0, Be? by? tw xrotw: 0, Way ws (25.9) und wegen der Konstanz des Druckes nach bekannten Beziehungen der Thermo-
d ik:
„am ?==const: 7grads =grad7 (25.10)
26 Wirbelsatz von ERTEL und verwandte Sdtze Fiihrt man an der Euler-
schen Gleichung die Operation rot aus, d.h leitet man die Eulerschen Glei-
chungen wechselweise genau in derselben Weise nach x, y,z ab, wie dies zur 1 L Crocco: Z angew Math Mech 17, 1—7 (1937)
? OswATITSCH: Luftfahrtforsch 20, 260 (1943)
Trang 2544 K Oswarirscu: Physikalische Grundlagen der Stromungslehre Ziff 26
Ableitung der Cauchy-Gleichung an den Weberschen Gleichungen (19.7) mit
a,b,c geschehen ist, so fallen alle Gradientenausdriicke weg, und man erhdlt zunichst unter Verwendung von (21.4) nach vektoranalytischer Dmformung1;
é rot io
37 — + W- grad (rot 1) — rot w- grad t+ rot tv div
1 (26.4)
= — grad (5) xgrad p = grad T xgrads,
Nun 148t sich die Kontinuitắtsbedingung (9.3) auch in der Form schreiben: ơ
é (+) -+p-grad h — „ủy tú =0 (26.2)
Multipliziert man schlieBlich (26.1) mit 1/9 und (26.2) mit rot to, so gewinnt man
die Gleichungen:
# rot = -grad p=— > grad E) xgrad 2 = grad Tx grad s (26.3) Fir Isentropie fallt die rechte Gleichungsseite weg, und man erhalt Wirbel-
gleichungen, die auf HELMHOLTz zuriickgehen Sie sind mit den Cauchy-Glei- chungen (23.7) ganz nahe verwandt Leitet man letztere nach ¢ ab, was der
massenfesten zeitlichen Ableitung in (26.3) gleich kommt, so erhdlt man rechts anstatt der Ableitungen von x, y, z nach a, b,c die Ableitungen von u, v, w nach
4, und c Geht man dann schlieBlich zum Zeitpunkt ¢=0, mit x=a, y <6,
z==c tiber, so ist die Uberfithrung auf die Helmholtz-Gleichung bereits durch-
geftihrt Daher ertibrigt sich hier auch eine physikalische Interpretation
Die Gleichung mit den Gradienten von 1/0 und # auf der rechten Seite wurde zuerst von SILBERSTEIN®, die Gleichung mit den Gradienten von T und s auf der
rechten Seite zuerst von VAZSONYI® veréffentlicht
Fiir wirbelfreie Strémungen laBt sich aus Gl (26.3) schlieBen, da8 Druck-
und Dichtegradient parallel sein mtissen, wenn nicht eine dieser GréBen ver-
schwindet Aus der bekannten Entropiedefinition ergibt sich fiir ein physikalisch
homogenes Medium dann weiter, daB Entropie- und Druckgradient parallel sein
miissen Diese Bedingung engt die Klasse der mưglichen wirbelfreien anisentropen
Strémungen auSerordentlich ein Es laBt sich eine stationäre Parallelstrưmung
im Schwerefeld und ein stationarer Potentialwirbel mit Entropiegradient kon- struieren Ferner gehért instationadre eindimensionale Strémung zu der Klasse, wobei die Bedingung rot w=0 trivial st AuBer diesen Fallen scheinen aber keine praktisch bedeutenden Beispiele bekannt geworden zu sein
Aus GL (20.7) fiir die Entropie eines Massenteilchens 48t sich leicht folgende Gleichung ableiten:
(grads) + gradw-grads =o (26.4)
Multipliziert man nun Gl (26.3) mit grads, so wird die rechte Seite zu Null Weil sich aber die Produktregel der Differentiation auch auf die massenfeste Ableitung anwenden J4Bt, so folgt mit Gl (26.4) ein neuer, von Erte.‘ aut-
gestellter Erhaltungssatz fiir instationare Str6mung mit unterschiedlicher Entro-
1 Zur Vereinfachung der Schreibweise wird hier formal der Gradient eines Vektors ge-
bildet, was einem Tensor entspricht
2 L, Sirpersruin: C R Acad Sci Cracovie, S 280—290 (1896) ® A Vazsonvi: Quartl: Appl Math 3(1), 29—37 (1945)
+ H, ERTEL: Meteor Z 59, 277—281 (1942)
Ziff 26 , Wirbelsatz von ERrEr und verwandte Satze 45
pie auf den einzelnen Stromlinien:
Tì
< ea - grad s| =0 (26.5)
Eine wesentliche Voraussetzung zur Ableitung dieser Gleichung war, daB s ein
dem Teilchen anhaftender Wert ist Damit ist GI (20.7) und, unter der Voraus- setzung einer zusdtzlichen Differenzierbarkeit, auch Gl (26.4) erfillt Ohne Riicksicht auf Gl (12.9) ist aber eine notwendige und hinreichende Bedingung
fiir jede Lagrange-Koordinate, d.h ftir jede dem Teilchen anhaftende feste GrưBe, daB die massenfeste Ableitung nach der Zeit verschwindet:
ad = Gr tw -grada=o, 8 (26.6)
und entsprechende Gleichungen fiir 6 und c Daraus folgt aber unmittelbar:
d
“gy (gtad a) + grad w-grada=0 (26.7)
Werden nun ahnlich wie frither die Eulersche
Gleichung (26.3) mit grad a und Gl (26.7)
mit rot tp/e multipliziert und danach ad- diert, so verschwindet die rechte Seite im allgemeinen nur bei Isentropie In diesem Fall gilt also in formaler Ubereinstimmung
mit dem Ertelschen Satz (26.5) folgende Gleichung: ở rot ip Fig 22 Rotierendes Flachenelement in zwei a [ - grad a| =0 (26.8) Zeitpunkten,
Der Unterschied zwischen Gl (26.8) und dem Ertelschen Satz (26.5) ist demnach der, da8 bei Gl (26.8) einerseits Isentropie vorausgesetzt wurde, daB diese Glei- chung aber andererseits fiir jede beliebige Lagrange-Koordinate erfiillt ist1,
Gl (26.8) ist nun aber nicht etwa ein neuer Wirbelsatz, sondern nur eine
neue Fassung der Cauchy-Gleichungen (23.1) oder auch der Helmholtzschen Siatze in Eulerschen Koordinaten Verwendet man die mathematischen Identitaten:
aa yn 0a 0y ơ(y,3)
ra D= ee = Biba (26.9)
und die durch zyklisches Vertauschen aus ihnen fiir die anderen Koordinaten entspringenden Formeln, so braucht Gl (23.1) nur noch massenfest nach der Zeit
abgeleitet zu werden, um Gl (26.8) zu gewinnen Damit ist aber auch die Deu- tung von Gln (26.8) und (26.5) gefunden
Nach Gl (21.2) andert sich die Normalkomponente des Wirbelvektors auf ein Flachenelement umgekehrt wie dessen Ausdehnung (Fig 22) Die Ausdehnung der Teilchenfliche hingegen kann leicht auf die riumliche Ausdehnung des Teil- chens und die Dichte zurtickgeftihrt werden Die Héhe des Teilchens dndert sich ja
umgekehrt wie der Gradient der Lagrange-Koordinate in Héhenrichtung Dadurch wird aber das innere Produkt von rot und grad a geteilt durch die Dichte Ø
zu einer festen Teilcheneigenschaft
Im Falle anisentroper Strémung hingegen ist nur der Flu8 von rot durch Flachen konstanter Entropie zeitlich konstant Daher tritt im Ertelschen Satz
nur die Komponente des Wirbelvektors auf, die senkrecht auf der Entropieflache
steht
Trang 26
46 K Oswatitscu: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 27 27 WirbelmaBe Die wirbelfreie Strémung:
+ œ ỹ
rot =0: ST” ; TỶ =0; „— =0; (27.1)
spielt in der Strémungslehre eine ausgezeichnete Rolle Damit ist aber auch die Frage nach einem WirbelmaB aufgeworfen, in welchem zum Ausdruck kommt,
ob es sich um eine hohe Wirbelstarke, um geringe Wirbelstirke oder tiberhaupt um verschwindende Wirbelstarke handelt Der Betrag des Wirbelvektors kommt
fiir solche Zwecke nicht in Frage, da ein WirbelmaB eine dimensionslose GréBe sein mu8, wahrend der Wirbelvektor als Winkelgeschwindigkeit die Dimension einer reziproken Zeit besitzt Die ersten brauchbaren WirbelmaBe sind von
TRUESDELL! eingefiihrt worden In diesem Zusammenhang seien die Werke [7] und [2] desselben Verfassers als enzyklopadische Zusammenfassungen aller Wirbel-
sätze empfohlen Als ein kinematisches WirbelmaB gibt TRUESDELL das Verhaltnis
von Winkelgeschwindigkeit zur Deformationsgeschwindigkeit an:
[rot mị
Vo + me + nt)
Wie Gl (27.2) zeigt, ist dabei ein bestimmter Normierungsfaktor gewahlt, der aber eine untergeordnete Rolle spielt Der die Deformationsgeschwindigkeit ent-
haltende Klammerausdruck kann mit Gln (16.7) und: (46.8) leicht auf die Ab-
leitungen der Geschwindigkeitskomponenten zurtickgeftihrt werden:
(27.2)
ip rie nit = (SEY + (P+ (Sf +s(Se+ SP + (273) alt Sl +ale+ sy:
In Zahler und Nenner des Ma8es stehen drehungsinvariante, positiv definite Aus-
drticke
Fur den Potentialwirbel ist das kinematische Wirbelma8 Null, da der Zahler, nicht aber der Nenner verschwindet Fiir den starren Wirbel dagegen ist das
Umgekehrte der Fall, damit wird ftir diesen das kinematische WirbelmaB unend-
lich als Ausdruck fiir den vollkommenen Wirbel Im allgemeinen ist das Wirbel- tnaB aber verschieden von Punkt zu Punkt
Fiir die Frage, in welchem Grade eine Strémung als drehungsfrei angesehen werden kann, ist das Verhdltnis von Rotationsgliedern zu den tibrigen Gliedern im Beschleunigungsvektor (20.5) maBgebend Dafiir hat TRUESDELL die Bezeich- nung dynamisches WirbelmaB gewahlt: | x rot ty] 9rp 1 |G + eraa(Z i) (27.4)
Dieses Verhaltnis muB8 klein gegen Eins sein, wenn eine Strémung als drehungsfrei angesehen werden soll Dies spielt beispielsweise in stationärer berschallstrư- mung hinter gekriimmten Verdichtungsst6Ben eine Rolle Mit Hilfe des Crocco-
schen Wirbelsatzes (25.6) kann der Zahler von (27.4) auf den Entropiegradienten
und der Nenner kann mit Hilfe der Energiegleichung auf den Enthalpiegradienten
zuriickgeftihrt werden
Das dynamische Wirbelma8 verschwindet nicht nur wie das kinematische WirbelmaB bei wirbelfreier Strémung, sondern auch bei Beltrami-Strémung
1 C TRUESDELL: J Rational Mech Analysis 2, No 2, 4171—217 (1953)
Ziff, 28, 29 Reibungskrafte und Reibungskoeffizienten 47
(25.7) Beim starren Wirbel erhalt man den Wert 2 Bei einem Wirbel konstanter
Geschwindigkeit hingegen ist das dynamische WirbelmaB unendlich Dennoch
liegt ein solcher Wirbel konstanter Geschwindigkeit seinem Strémungsbilde nach zwischen dem Potentialwirbel, dessen Geschwindigkeit nach innen zunimmt und dem starren Wirbel, bei welchem das Umgekehrte der Fall ist
28 Beziehtingen zur Meteorologie Die Wirbelsdtze spielen bei der Strưmung
in đer Erdatmosphäre eine besondere Rolle, da die ,,Luftkérper durch die
Rotation der Erde wirbelbehattet sind, was sich bei Verlagerung der Luft geltend
macht Beispielsweise strebt die Luft von einem Hochdruckgebiet divergent
auseinander Der Luftkérper dehnt sich dadurch aus, seine Zirkulation im Inertialsystem der Bewegung nimmt ab, wahrend die Erde unter dem Luft- korper mit konstanter Winkelgeschwindigkeit weiter rotiert Dadurch gerat der Luftkérper relativ zur Erde in eine zur Erddrehung entgegengesetzte Zirkulation Man nennt das eine Antizyklone im Gegensatz zur Zyklone, welche durch ein Tiefdruckgebiet bedingt witd Solche Hochdruck- und Tiefdruckgebiete kénnen sich tiber Tausende von Kilometern ausdehnen
Zur Bestimmung des dynamischen WirbelmaBes (27.4) kann eine stationdre
Strémung angenommen werden Da die Strémung im wesentlichen auch eben ist,
kann das Wirbelma8 mit w als Winkelgeschwindigkeit auf folgenden Ausdruck
vereinfacht werden:- 2
œ
grad ye +?
Die Winkelgeschwindigkeit der Erdoberfláche am Nordpol betragt bei Ver-
nachlassigung des Unterschiedes zwischen Sterntag und Sonnentag 22/24 ho Fiir eine beliebige geographische Breite f ist dieser Betrag noch mit sin B zu multiplizieren Fiir groBe Héhen ist 100 km/h eine haufig vorkommende Wind- geschwindigkeit Unter der Annahme, daB die Zyklone einen Radius von 1000km
besitzt, erhlt man einen Windgradienten in der GréBenordnung von 0,10 h7
und das dynamische WirbelmaB (27.4) erhalt ndherungsweise den Wert: (28.1) 20 grad Ye +?
Damit ist der entscheidende Einflu8 der Erdrotation und die Bedeutung der
Wirbelsatze fiir groBraumige Strémungen in der Erdatmosphire gezeigt Fig.28d
des Artikels tiber die dynamische Meteorologie [3], der fiir das ganze Gebiet
atmosphärischer Strưmungen empfohlen sei, zeigt in einer geographischen Breite von 45° und einer Lange von nahezu 100° mitten in Nordamerika eine Zyklone,
mit der fiir Wirbel typischen, im wesentlichen durch die Erddrehung bedingten Windrichtung
=$sinp (28.2)
VII Innere Reibung
29, Reibungskrafte und Reibungskoeffizienten Das einfachste Bild einer
scherenden Strémung gibt die ebene Couette-Strémung (Fig 23), die Parallel-
stro6mung zwischen zwei parallelen Platten, von denen mindestens eine bewegt
ist Durch die Bewegung wird eine Kraft auf beide Platten ausgetibt, welche durch die innere Reibung der Flissigkeit bedingt ist Dabei entsteht die Frage nach dem Zusammenhang zwischen Reibungskraften und Deformationsgeschwin- digkeiten Es liegt nahe in Analogie zum Hookeschen Satz der Elastizitatstheorie
einerseits und zur Beziehung zwischen WarmefluB und Temperaturgefille anderer-
seits eine lineare Beziehung in den Deformationsgeschwindigkeiten fiir die Flachen-
krắfte anzusetzen Damit ist dann die Forderung erfiillt, daB mit den Defor-
Trang 27
48 1 OswATrTscH: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 29
verschwinden Mit c; als zundchst unbekannten Koeffizienten ware beispielsweise
zu schreiben: âu âu do
Øyy = (Ta 9z — + & =— + “ay: oy oz
(29.1)
Ou ov
Oy, FH Oxy =C1 aT Tos ar
Fir o,, kommen nur solche Ableitungen der Geschwindigkeitskomponenten in
Frage, welche bei einer Spiegelung der Strémung an der x-Achse denselben Wert
von o,, liefern Damit entfallen aber die Ableitungen von w nach y oder z, die Ableitungen von v nach x und z und von w nach x und y Bei Oy, = Oy x
Z We, dagegen kommen wieder nur solche Ableitun-
gen in Frage, welche bei einer Spiegelung an
der x-Achse eine Vorzeichenumkehr liefern, denn mit Fig 23 leuchtet es ein, daB die
, L
# Z
Fig 23 Zur ebenen Couette-Strémung
wenn das Strémungsbild an der ruhenden Wand gespiegelt wird Da auch die Spiege- lung an der Ebene z=0 den gestellten For-
derungen gentigen mu8, kommen keine weiteren Differentialquotienten der
Geschwindigkeitskomponentén in den Ansatz ‘
Von (29.1) muB des weiteren gefordert werden, da8 diese Gleichung bei einer
Drehung des Koordinatensystems wieder auf die gleiche Form reduziert werden
kann Beispielsweise kommen bei einer Drehung gemA® Gl (17.14) in den Aus-:
driicken fiir die Schubspannungen o,, simtliche Komponenten des transformierten
Tensors ơ¿„, ø„„, ,ơ„„ hinein Die Ansätze (29.1) fiir die ủbrigen Kompo- nenten folgen durch zyklisches Vertauschen Nach einer Drehung jedoch kommen
die unterschiedlichsten Kombinationen der Koeffizienten c,; vor, und es kénnen nur drehungsinvariante Beziehungen (29.1) erreicht werden, wenn sich der Tensor der Deformationsgeschwindigkeiten genauso transformiert wie der Tensor der Oberflachenkrafte Es wurde am Ende von Ziff 17 bereits erwihnt, daB diese
Forderung gleicher Transformation gem4B Gl (17.11) vom Tensor (16.5) erfiillt wird, Auch der Wirbelvektor (16.6) erfiillt diese Forderung, sowie auch der reine Dehnungstensor mit den Komponenten div w auf der Hauptdiagonale und
mit allen anderen Komponenten gleich Null
Die starre Drehung eines Teilchens kann jedoch keine innere Reibung ver-
ursachen, da die Elemente bei einer solchen Bewegung keinerlei Relativbewegung
zueinander aufweisen Wiirde der Wirbeltensor mit einbezogen, so wiirde sich fiir den starren Wirbel unvermeidbar Reibung ergeben, da die Komponenten der
ersten beiden Tensoren in diesem Falle alle verschwinden
Damit kommt einzig und allein nur folgender, die trivialen Forderungen der Spiegelung und der Drehungsinvarianz erfiillender linearer Ansatz in Frage:
ou 1 (= +) (= a)
“Ox? 2 Vey ° Ox)? 2 Vez ox
Gens Øyy; Ox,
: =2 > (Fe + 3); av (2 +2) + Fy xs Øyy, 0y,|=2,| lar i “ey? 2 \ơz ay
Orsi Ory) Oss 208 T GzP Bay T az (22 4 Ou), 4 (aw 4 2), Bw ơz (29.2) ‘ div w; 0; 0 +y{ 0; divw; 0 0; 0; div ty Schubspannung eine Umkehr erfahren muB,
Ziff 29 ; Reibungskrafte und Reibungskoeffizienten 49 js ist der sog ,,Reibungskoeffizient“ Der Faktor 2 beim Deformationstensor ist
deshalb gewahlt, damit die Schubspannung der Couette-Strémung gegeben ist
durch:
Cu
Øyy =H ay (29.3)
Fiir den Koeffizienten der inneren Reibung oder Viskositdt wird in physikalischen Darstellungen gerne der Buchstabe verwendet, wahrend die Bezeichnung us in der Strémungsmechanik iiblich ist, Hist ein zweiter Reibungskoeffizient,
Fithrt man das Mittel der drei Normalspannungen ein, so erhalt man mit
Gl (29.2) und der Kontinuitatsbedingung (20.4):
1 2: —\ 4: =@
3 (đ;„-E Øy„ Ø,,) = (Fu +i) đỉv t0 = —? a , (29.4) Dabei ist ¥ in Analogie zu den GrưBen:
tị =1; fle =F (29.5)
gebildet Man nennt y die kinematische Zahigheit Dain den Rechnungen vielfach # nur im Zusammenhang y=,/o auftritt, etwies es sich als zweckmaBig, dafiir
eine eigene Bezeichnung einzufiihren Diese hat den Vorteil, der Dimension nach eine rein kinematische GréBe zu sein, namlich Lange?/Zeit, und sich fiir unterschied-
liche Medien auch nicht in dem MaB zu unterscheiden wie “ oder g (bei 0° C ist ftir Wasser » =0,018 cm8/sec, bei 0° C und 4 Atm ist fiir Luft g ==0,13 cm?/sec),
Die Reibungskoeffizienten von Gasen kénnen im allgemeinen nicht als kon- stant angesehen werden Bei idealen Gasen ist 2 ebenso wie der Warmeleitungs-
koeffizient 4 temperaturabhangig Das Konstantsetzen dieser Ausdriicke bei Gasen, wie es in frttheren Werken gemacht wurde, ist also nur in bestimmten Ausnahmefillen gerechtfertigt und entspricht mehr dem Wunsch mathematischer Vereinfachung als physikalischer Rechtfertigung, wobei die Fehler einer solchen
Vereinfachung nicht immer groB zu sein brauchen, jedoch im Auge behalten werden miissen Vielfach kann bei Grenzschichtproblemen von Gasen eine grư- Bere Vereinfachung dadurch erzielt werden, đaB # nicht konstant, sondern pro- portional zur absoluten Temperatur T angesetzt wird, was den praktischen Ver-
haltnissen in weiten Temperaturbereichen gut entspricht
In Gl (29.4) ist ein neuer Koeffizient ¥, die Kompressions-Vishositiit (,, bulk
viscosity‘), eingefiihrt Er steht mit den beiden Koeffizienten der kinematischen
Zahigkeit in folgendem Zusammenhang:
=Sy+y, (29.6)
Bis in die letzte Zeit wird in verschiedenen Werken 7 =0 gesetzt, womit die beiden Zahigkeitskoeffizienten auf einen einzigen » zuriickgefiihrt werden Dieser
Schritt wird dadurch begriindet, daB das Mittel der drei Normalspannungen gleich
dem statischen Druck gesetzt wird oder daB der Druck p als Mittel der drei Haupt-
spannungen definiert wird Letzteres ist im Rahmen unserer Darstellung nicht gerechtfertigt, da der statische Druck durch die Zustandsgleichung der Thermo- dynamik bereits festgelegt ist und nicht durch eine weitere Gleichung definiert
werden darf Mit Hilfe der kinetischen Gastheorie kann geschlossen werden, daB bei den einfachen Verhältnissen einatomiger Gase » verschwindet, nicht aber bei mehratomigen Gasent
el
1 Vgl den Beitrag von L WaLDMANN in Bd XII dieses Handbuchs, insbesondere Ziff 99
Trang 28
50 K OswatirscH: Physikalische Grundlagen der Strưmungslehre Ziff 29 Wenn es einerseits also auch feststeht, daB die Kompressionsviskositat mehr- atomiger Gase nicht verschwindet, so ist andererseits die Bestimmung dieses Koeffizienten noch nicht mit Sicherheit gelungen Der Grund liegt darin, daB Versuche zur Bestimmung von ¥ nicht leicht sind, da die mit diesem Koeffi-
zienten zusammenhängenden Effekte nicht groB sind und sich mit anderen
Effekten tiberlagern Sofern die Effekte gering sind (in Grenzschichtstromungen beispielsweise spielt nur y cine Rolle), hat das auch sein Gutes, namlich daB die
Kenntnis von 9 fiir die Praxis nicht wesentlich erscheint
Drei verschiedene Méglichkeiten zur Bestimmung von » seien kurz besprochen Die alteste ist die Bestimmung der Schallwellendampfung durch innere Reibung und Warmeleitung, die bereits auf STOKES zuriickgeht Eine eingehende Behand- lung mit Literaturangaben gibt TRUESDELL1 Die Schwierigkeit liegt dabei
darin, daB die Schallwellendampfung durch Relaxation, also zu langsame Ein-
stellung der Gleichverteilung, ziemlich groB ist und von derselben Potenz der
Frequenz abhangt wie die Reibungsdimpfung Damit ist eine Trennung der Effekte schwierig und unsicher Auch bei der Berechnung der Tiefe von Ver-
dichtungsstéBen infolge Reibung und Warmeleitung kommt Y in die Rechnung
Jedoch wurde bereits gezeigt, daB die StoBtiefe von der GréBenordnung der
mittleren freien Weglange der Molekiile ist und nur schwache StưBe Tiefen von
vielen freien Weglangen besitzen Damit wird es aber zweifelhaft, in welchem Grade mit Kontinuumsvorstellungen iiberhaupt eine Bestimmung von » aus StoBfronttiefen mit ausreichender Sicherheit méglich ist Ein dritter Effekt, der zur Bestimmung von 7 fiihren kénnte, ist der Reibungseinflu8 der Strémung vor sehr kleinen Staurohren und in sehr kleinen Diisen Mit diesen Vorgangen beschaftigt sich L J.E Broer? ausfithrlich und kommt zu dem SchluB, daB die Effekte als Relaxation zu deuten sind Man wird sich also zundchst damit begnti- gen miissen, ? oder @ als noch unbestimmte Koeffizienten einzufiihren und nur
bei einatomigen Gasen ¥ zu vernachlassigen
Der Ansatz (29.3) einer zur Schergeschwindigkeit proportionalen Schubspan- nung bei der Couette-Strémung geht auf Newton? zuriick Diese Beziehung pildet die Grundlage fiir den Tensoransatz (29.2) Man spricht deshalb fiir den
speziellen Fall eines konstanten Reibungskoeffizienten, der fiir die Fitissigkeiten in einem nicht zu weiten Temperaturbereich realisiert ist, vom Newtonschen Zihigheitsansaiz So groB seine Bedeutung heute ist, so birgt er doch auch eine
gewisse Problematik
Bei allen scherenden Strémungen einschlieBlich Potentialwirbeln (Fig 19), werden die Teilchen mit der Zeit in zunehmendem MaBe in die Lange gezogen Jedes elastische Medium wiirde auf eine solche Deformation mit einer unbe- grenzt anwachsenden Schubspannung reagieren Den Umstand, daB die Schub- spannung endlich bleibt, erklarte MAXWELL! durch Relaxation Damit ist die
Erscheinung gemeint, da8 die Spannung in einem festen Kérper nachlaBt, wenn
bestiramte Elastizitatsgrenzen itberschritten werden Wird die Anderung der
Spannung mit der Zeit proportional zur Spannung selbst angesetzt, so gelangt man im stationaren Falle zum Newtonschen Ansatz (29.3) Bei allen Zwischen- stadien zwischen jenem des festen Kérpers und jenem der Flissigkeit, eine Unter-
scheidung, die durch keine starren Grenzen, sondern nur durch graduelle Unter- schiede ausgezeichnet ist, kommen nun aber sehr verschiedene -Relaxations-
gesetze vor Im Newtonschen Ansatz (29.3) kann dieser Umstand so bertick-
C TRUESDELL: J Rational Mech Analysis 2, No 4, 643—741 (1953)
L J.E Brozr: III, Appl Sci Res A 5, 76—80 (1954) J Newton: Principia, Lib II, Sect IX
J.C Maxweti: Phil Trans Roy Soc Lond 157, 49 (1866) [Sci Pap 2, 30 (1890))
Ziff 30 Bewegungsgleichungen von NAVIER-STOKES, 541
sichtigt werden, daB der Reibungskoeffizient » selbst noch als Funktion der
Schubspannung angesetzt wird Damit kénnen Erscheinungen beschrieben werden, wie sie beim: Flie8en von Pasten, von Breien oder auch von Metall beob- achtet werden Das ganze Gebiet bildet heute einen eigenen Forschungszweig
die Rheologie}, die mit der Theorie der Struktur der Materie eng verkniipft ist
Bei anderen Medien, wie etwa bei Sand oder bei Getreide, wird die Strémung wesentlich dadurch beeinfluBt, daB der Reibungskoeffizient stark von der Dichte abhangig ist
30 Bewegungsgleichungen von Navier-Stokes Nach Einsetzen der Schub-
und Normalspannungen (29.2) in die Bewegungsgleichungen (10.4) gelangt man
unmittelbar zu den bekannten allgemeinen Bewegungsgleichungen von NAVIER-
STOKES ?:
pit a — Box + 2 [ou St + jidivn| +
+I“( + )|+ He (GE + SI:
of =e tơbepermmlxelltt+fi| o ov 4 S| + Slt
pt aH 4 oz +H |u(S + Z)\4+
+ ble + ae) + ae bese +a),
Wie schon betont, miissen die Reibungskoeffizienten wie auch die Koeffizienten
der Warmeleitung unter dem Differentialzeichen bleiben Das Gleichungssystem
(30.4) gibt zusammen mit der Kontinuitatsbedingung (9.3) und der Energie- gleichung (11.5) ein vollstắndiges Differentialgleichungssystem in Eulerscher Darstellungsweise fiir die drei Geschwindigkeitskomponenten und zwei unab-
hangige thermodynamische Variable Die Dissipation in (11.5) kann nun durch
die Geschwindigkeltskomponenten und die Reibungskoeffizienten ausgedriickt werden: map| (22) + (Sef (Cap ese STs — (0 ov Ow \2 + + y +2) + (30.2)
@ stellt sich dar als Summe zweier drehungsinvarianter Ausdriicke, namlich dem
mit 2 multiplizierten Ausdruck (27.3) und dem mit j multiplizierten Quadrat der Divergenz (16.7) Die Gleichungen enthalten mehr als nur zwei thermische GréBen Diese kénnen aber grundsdtzlich durch rein thermodynamische Be-
ziehungen eliminiert werden, wenngleich man sich diesen Schritt zugunsten einer
besseren Ubersichtlichkeit gern erspart
Ist die Dichte wie etwa bei einer inkompressiblen Fliissigkeit als konstant anzusehen und kann auch der Reibungskoeffizient ~ als konstant angesetzt wer-
: Vel den Beitrag von M Reiner in Bd VI dieses Handbuchs
2 C.L.M.H Navier: Mém Acad Sci 6, 389 (1822) - G.G Stoxes: Trans Cambridge Phil Soc 8, 287 (1845) (Papers I, S 75)
Trang 29
52 TY QsWATITSCH: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 31
den, so vereinfachen sich die Gln (30.1) zu den häufig verwendeten speziellen Navier-Stokesschen Gleichungen : ấu A Op Pu au z1 đi ạ Ơz TX+? âx? Ty a dv 1 ap au av 3u Gan petite Set Ge + Sl: (30.3) aw 1 Op ew ew ew ay atte ae + Ge + sợi:
In diesem Zusammenhang sei erwahnt, daB die Dichte der einzelnen Teilchen konstant sein kann, ohne daB die Strémung tiberall die gleiche Dichte aufweist Der reine Wirbel, der in Ziff 24 behandelte starre Wirbel oder der Potentialwirbel kompressibler Medien liefern Beispiele Ferner kénnen Medien praktisch inkom-
pressibel sein, ohne da8 der Reibungskoeffizient als konstant angesehen werden
darf Strémungen von Olen mit durch Warmeitibergang bedingten starken Tem- peraturunterschieden (Oliithler) sind fiir letzteres wichtige Beispiele
31, Reibung und Rotation!, Die Uberlegungen dieses Abschnittes beschriinken
sich auf dichtebestandige Strémungen, da das Wesentliche dabei besser zur Gel- tung kommt als bei kompressiblen Medien Bei letzteren sind die Méglichkeiten
und damit die Fallunterscheidungen groB, was die Ubersichtlichkeit stért Bei wirbelfreien, dichtebestandigen Stromungen gilt mit Gl (27.1) und der
Kontinuitatsbedingung div =0:
Au=0; Av=0; Aw=o (34.4)
Das heiBt aber, daB die Wirkung der Reibungskrifte in den Navier-Stokesschen Gleichungen (30.3) verschwindet Daraus darf allerdings keineswegs geschlossen werden, da8 es keine Reibung gibt, denn dann mii8te ja die Dissipation ® ver-
schwinden Diese la8t sich fiir dichtebestandige Medien wie folgt schreiben:
Diy = rot? w — 2 div (wx rot ty) + A w? (51.2)
Auch bei verschwindender Rotation ergibt sich also mit dem letzten Glied von
(31.2) Dissipation
Diese Dissipation von Energie mu8 durch Arbeitsleistung oder bei instationarer Strémung auch durch Verlust an kinetischer Energie gedeckt werden, was durch Aufstellung eines zum allgemeinen Satz (5.8) analogen Satzes gezeigt werden kann Zum selben Ziel kommt man, indem man die Bewegungsgleichungen
(10.4) der Reihe nach mit %, v, w multipliziert und addiert Unter Verwendung der Kontinuitatsbedingung erhalt man bei Vernachlassigung aller äuBeren Kräfte; ơ 2 2 : os 3 tediv(w 2) + Ø = di (tp - ©) (31.3) Bei Integration iiber den Raum gelangt man unter Verwendung des Gau8schen Satzes zu: [1] eles )+ o]aravae + ff (Gott 2) ov mai (34.4) = Jm:S+¿ tv) -ndf
1 Siehe auch H.Porncart: Théorie des Tourbillons Georges Carré, Editeur Paris 1893
Ziff 31 Reibung und Rotation 53
Auf der linken Seite erkennt man der Reihe nach die Anderung der im Raum
enthaltenen kinetischen Energie, die Dissipation ®, den FluB an kinetischer
Energie durch die den Raum B umschlieBende Flache F und die Arbeit der
Druckkrafte an dieser Flache in der Zeiteinheit Rechts steht die Arbeit der Reibungskrafte an der Oberflache Der Ausdruck ist bereits in Gl (5.9) durch die Komponenten dargestellt worden
Bei stationdrer Strémung wird die Arbeit der Druckkrafte und Schubspan-
nungen kompensiert durch den Flu8 an kinetischer Energie und durch die Dissi- pation Letztere kann mit Hilfe von Gl (31.2) und dem GauBschen Integralsatz auf ein Raumintegral tiber den Betrag des Wirbelvektors und auf Oberflachen-
integrale zurtickgefiihrt werden:
[J] Paxayas =”J|[teBnszesz= |[
dabei bedeutet der Index » die Komponente in Richtung đer Flãchennormale
und 4/an die Ableitung in dieser Richtung
Man erkennt also, daB die Dissipation auf den Wirbelvektor allein zuriick-
gefiihrt werden kann, wenn die Geschwindigkeit auf der Oberfliche F ver-
schwindet Dies ist der Fall, wenn die Strémung in einem geschlossenen Kessel
mit der Zeit zur Ruhe kommt Bei einer Umstrémung eines ruhenden Kérpers
mit in groBem Kérperabstand drehungsfreier Parallelstrémung beschrankt sich das Oberflachenintegral von (31.5) auf den Nachlauf des Kérpers
Bei drehungsfreier Strémung hingegen l4Bt sich die Dissipation auf ein Ober- flachenintegral, ndmlich den letzten Ausdruck in (31.5) reduzieren Dieses Oberflachenintegral ist eben gerade die Arbeit der Schubspannungskrafte an der Oberflache, also der Ausdruck auf der linken Gleichungsseite von Gl (31.4) In Ziff 47 wird sich zeigen, daB ein Kérper in einer stationaren, inkompressiblen,
drehungsfreien Strémung keinen Widerstand aufweist (d’Alembertsches Para-
doxon) Dennoch bedingt eine solche Strémung Dissipationsverluste, welche durch die Arbeit der Reibungskrifte an den Oberflachen gedeckt werden Dabei hat man sich vorzustellen, daB jedes Oberflachenelement gerade mit jener Ge-
schwindigkeit mitwandert, welche durch die Lésung der Aufgabe unter der Annahme von Wirbelfreiheit gegeben ist Die besprochenen Effekte sind aller-
dings sehr klein und eher von theoretischer als von praktischer Bedeutung
Fir Wirbel in einer Strémung wurdein den Ziff 21 bis 28 eine Reihe von Erhaltungssdtzen abgeleitet, wobei stets reibungsfreie Strémung vorausgesetzt
wurde Fiir die Anderung der Wirbelstirke ist danach die Reibung von wesent-
lichem Einflu8 Wendet man auf die Navier-Stokesschen Gleichungen (30.3) der dichtebesténdigen Strémung wie bei der Ableitung des Ertelschen Satzes in Ziff 26 die Vektoroperation rot an, so erhalt man nach bekannten vektor-
analytischen Umformungen:
2 (tv Xrot tv), — a dj}, (34.5)
+ (rot to) — rot tm - grad tp =# 4 (rot tw) (31.6)
Bei ebener Strémung ist das innere Produkt rot tp - grad w stets.Null und man erhalt eine reine Wirbelgleichung, bei welcher die Anderung des Wirbelvektors eines Teilchens mit der Zeit durch die wirbelbedingte Reibung dargestellt ist
Trang 30it i i 54 K Oswatitscn: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 32 Beziehung!: d
2ÿ (rot tu - grad 2) = » grad a- 4 (rot to), 61.7)
in der nicht mehr die Erhaltung einer WirbelgrưBe (rot tv - grad a) ein cht m : es Teilchens, i
sondern ihre Anderung mit der Zeit durch Reibung ausgedrtickt vững a
32 Beispiele Bei wirbelfreier und reibungsfreier Stré ies si Potentialwirbel als eine einfache Lésung Da nun alle witbelfcion inkeimpren
siblen Strémungen auch Lésungen der Navier-Stokesschen Gleichungen bei kon-
stantem Reibungskoeffizienten y sind, ist auch der Potentialwirbel eine Lésun von (30.3) Der Potentialwirbel sei nun durch zwei konzentrische Wande begrenat, Um die Bewegung des Potentialwirbels aufrecht zu erhalten, muB8 ihm durch Rotation der inneren Wand Energie zugefiihrt werden Diese Energie wird zum
Teil im Wirbel verbraucht und zum Teil als Arbeit an die AuBere Wand abgegeben
Der Unterschied zwischen beiden Arbeitsleistungen ist gleich der Dissipation im Wirbel, denn durch die Wande flieBt weder Energie noch wird dort gegen den statischen Druck Arbeit geleistet Die Arbeitsleistung an einer Wand ist durch die rechte Seite on 6 1) gegeben Ist [’ die konstante Zirkulation des Wirbels
et sich die Leistung der Sch i isri
Radius y und von der Héhe der Einheit ene suf einem Kreisring vom
anu (=) (32.4)
Zu demselben Wert gelangt man auch tiber das Dissipationsi ; S pationsintegral von Gl (34.5)
Wirde diese, wenn auch sehr geringe Arbeit, nicht geleistet werden, so mate a pasipation auch in wirbelfreier Strémung die kinetische Energie aufzehren Hà van) rauliches Beispiel wird auch hier wieder von einem Wirbel geliefert
Gl (31.6) auf eine ebene, aber instationdre reine Wi 6
; ene, irbelstrémung angewendet
fihrt nach Transformation des Laplace-Operators A auf Polarkoordinaten zu:
cơ, (rot ) =» lá (tot ») +42 (rot m)| ¬ > 1 @ (32.2)
Die konvektiven Glieder der linken Seite fallen weg Die Verwandtschatt mit dem achsensymmetrischen Warmeleitungsproblem ist offenb ar Mit i iebi
Konstanten gewinnt man die Lésung: Bf A als Detiebiger
_A ?
rot t0 = Ý-expÍ— mi): (32.3)
Da bei einer solchen rotationssymmetrischen Strému: i
vas ng zwischen dem W -
vektor und der Geschwindigkeit folgender Zusammenhang besteht: em Wirbel
rot 0 =i
# a SỈ a, (ere, (32.4)
kommt man nach Integration von (32.3) zur Geschwindigkeitsverteilung:
——— Yu +? = 8 2—. 9_ 14 — T} f exp (— ar): ⁄ ự 2 (32.5)
Ly ist dabei die Zirkulation zur Zeit £=0 oder auch fiir sehr groBe Werte von 7 1.C, TRUESDELL: Z angew Math Ph MÃ Phys 2, 111 (1951)
? GΠHAMEL: jber dtsch Math.-Ver 34 (1916) (NACA TM 1342) Ziff 32 Beispiele 55
Das Ergebnis ist sehr anschaulich (vgl Fig 24) Zur Zeit £ =0 herrscht đberall
die Verteilung des Potentialwirbels Die Strémung ist wirbelfrei, wie aus G1 (32.3)
folgt Dann breitet sich von innen ein nahezu starrer Wirbel aus Die Reibung
baut die Geschwindigkeit im Potentialwirbel und die Relativgeschwindigkeit der Teilchen zueinander ab, so da8 ein immer gréBerer Teil der Masse wie ein starrer
Kưrper rotiert Der Wirbelkern wird dabei mit der Zeit langsamer, weil die 4uBeren Teile des Wirbels bremsend wirken Unter der Wirkung der Reibung nimmt also
die Zirkulation der Teilchen ab Dies gilt allerdings nur ftir das vorliegende Bei-
spiel Im.allgemeinen kann es durchaus vorkommen, da8 die Zirkulation ein-
zelner Teilchen unter der Eimwirkung der Reibungskrafte der Umgebung in
begrenzten Zeitrdumen zu-
nimmt Vu2+u°
Der Potentialwirbel enthalt
eine grundsatzliche Schwierig- keit, indem seine kinetische
Energie unendlich groB ist
Das Integral tiber to? wachst
sowohl in Wirbelzentren als
auch fiir groBe Radien logarith-
misch tiber alle Grenzen Dieses
Resultat ftir groBe Radien ist allerdings nicht bedenklich, weil sich die wnendliche Energie
dort auf eine unendliche Masse
bezieht, ganz abgesehen davon, daB die Lésung des Potential- wirbels dort im allgemeinen gar
nicht mehr gilt, da sich in Fig 24 Geschwindigkeitsverteilung des instationdren Reibungswirbels
groBer Entfernung entgegen-
gesetzt drehende Wirbel geltend machen kénnen, die Bewegung vielleicht in Parallelstrémung iibergeht usw Fiir das Wirbelzentrum gibt aber der Reibungs- wirbel (32.5) die Lésung des Problems Ein reiner Potentialwirbel kann dort
praktisch nie existieren Der Reibungswirbel weist jedoch, wie man sich leicht
tiberzeugen kann, eine kinetische Energie auf, welche nur mit dem Radius seiner äuBeren Begrenzung iiber alle Grenzen wachst, fur eine endliche Masse aber ftir alle Zeiten f+ 0 beschrankt bleibt
- Eine interessante exakte Lésung der Navier-Stokesschen Gleichungen liefert đie stationäre Strưmung zwischen zwei konzentrischen, mit unterschiedlicher Winkelgeschwindigkeit bewegten Zylindern, die sog Couette-Strémung' Die routinemaBige Ableitung der exakten Lésung wiirde sich durch Transformation der Gln (30.3) auf Zylinderkoordinaten ergeben Ohne sich damit aufzuhalten,
kann man aber erkennen, daS eine Linearkombination von starrem Wirbel und
Potentialwirbel eine Lésung der Gleichung ist In Gl (32.2) fallt nắmlich links
das instationdre Glied weg, die beiden stationären Lưsungen kưnnen ohne Schwie- rigkeit superponiert werden Indem mit (32.4) auf die Geschwindigkeitsverteilung tibergegangen wird, erhalt man: 1⁄2 + yes dị? + tạ (32.6) ss ỹ 7 é 3
Die Konstanten c, und c, kénnen nun leicht durch die Winkelgeschwindigkeit w,
des auBeren Zylinders vom Radius 7, und , des inneren Zylinders vom Radius 7,
Trang 3156 K Oswatirscu: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 33 ausgedriickt werden, Damit erhdlt man:
ye v2 in
"Ta 1
Ve? + = rộ —zŸ [(o278 — My 7) 7 —~ ( — 6n)
Die Lésung kommt spater nochmals zur Sprache (Ziff 61)
Einen besonders einfachen Spezialfall gibt der Grenzfall, daB der Zylinder-
abstand klein gegen den Zylinderradius ist Man gelangt dann zur ebenen Couette- Sivémung mit der einfachen Lésung: “=m yld; v==0; p =const (32.8) Dabei ist u, die Geschwindigkeit der bewegten Wand im Abstand y=d Der Strémungszustand ist unabhangig von « Diese Strémung ist dadurch von beson- TA A, L „M4 3 » a“ } / "n3 / ⁄ ⁄ 77777 ⁄ / Ị k⁄ Ị ~{- ° ¬ VˆZ
Fig 25 Dehnung und Drehung eines Flissigxeitselementes in der ebenen Couette-Sirémung
derem Interesse, daB sich die Linearansdtze (12.6) fiir die Untersuchung der Deformationen eines Teilchens in diesem Fall nicht auf eine begrenzte Umgebung beschranken Sie gelten wegen der Linearitắt der Geschwindigkeitsverteilung fiir endliche Flissigkeitselemente beliebiger GrdBe Diese Strémung kann exakt
zusammengesetzt werden aus einer Translation, einer Dehnung in zwei Haupt-
achsenrichtungen, die nun nicht mehr Momentanachsen sind, und einer Drehung (Fig 25) Flir ein Teilchen des Zentrums fallt die Translation weg Durch die
Scherbewegung ist der Punkt £, nach einer bestimmten Zeit in die Lage B”
gelangt Diese Bewegung kann exakt aufgelést werden in eine ellipsenférmige
Deformation des urspriinglich kreisférmigen Teilchens nach đen beiden strich-
punktierten Hauptachsen (Lage 2’) mit einer nachfolgenden Drehung im Uhr- zeigersinn
VIII Strémungstypen
33 Modellgesetze Das System der Strémungs-Differentialgleichungen bietet fiir eine allgemeine Behandlung sehr groBe Schwierigkeiten Fiir die Berechnung von Beispielen sind daher starke Vereinfachungen erforderlich, Jedoch geben die
allgemeinen Gleichungen die Moglichkeit, jene Gesetze zu bestimmen, unter wel- chen eine Ubertragung von Modellversuchen auf andere oder auf GroBausfiih-
rungen méglich ist Fiir eine Ableitung dieser Modellgesetze erweist sich die
formale Darstellung der Gleichungssysteme durch Vektoren und Tensoren als
Ziff 33 Modellgesetze
57
auBerst praktisch Dabei soll so vorgegangen werden, daB die Gleichungen
zuerst in dimensionslose GréBen umgeschrieben werden, indem die Koordinaten durch eine bestimmte Lange L (etwa die Lange des Modells oder den Durch-
messer eines Kanals), die Zeit durch eine bestimmte Zeit + (etwa die Schwingungs-
zeit eines periodischen Vorganges oder die Halbwertszeit eines Anlauf- oder Dampfungsvorganges) reduziert wird Dasselbe gilt far alle ZustandsgréGBen, wie die Geschwindigkeitskomponenten und die thermischen GrdGen und schlieBlich auch ftir die StoBwerte Im allgemeinen ist es am zweckmäBigsten, alle Zustands- gréBen und StoSwerte durch die Werte in einem einzigen Punkt P mit der Ge- schwindigkeit vom Betrage U,, etwa dem unendlich fernen Punkt einer Parallel- strémung oder dem Punkt der maximalen Geschwindigkeit, dimensionslos zu machen Alle diese dimensionslosen oder veduzierten GréBen seien durch einen Apostroph gekennzeichnet:
a ae, an ty Fn gts Fy, wv _—_ +2
fav bays bar; bar, Bow: "
fag; Lap Sar; ad: Hays Zaz + =#-| 7 @ mm * 7, > bp, Pry iy Ay
Es ist zu beachten, daB die beiden dimensionsgleichen Reibungskoeffizienten Lb
und # durch denselben Wert yu, des ersten Koeffizienten im Punkte P, reduziert wurden In diesem Punkte ist also =1, jedoch 7 =1 ,
Wenn sich die Differentialoperatoren der Vektorsymbolik auf die dimen-
sionslosen GréBen beziehen, sollen sie ebenfalls durch einen angefigten Apostroph
gekennzeichnet werden Somit gilt:
grad = + grad’; div = + div’; rot = + rot’ (33.2) Die Kontinuitatsbedingung: 22 4+ -grad ot odiv wv =0 (33.3) laBt sich dann in der folgenden reduzierten, durch Apostrophe gekennzeichneten Form darstellen: L 60’ , toe 1“ 1z rạp tìm grad’ 9’ ++ ø' địv' t0 =0 (33.4) Das Ergebnis eines Modellversuches ist nur dann auf eine GroBausfithrung tiber- tragbar, wenn es vom selben Gleichungssystem dargestellt wird Die Differential- gleichungen und die Randbedingungen miissen sich also in dieselbe Form bringen lassen
Bei der Kontinuitatsbedingung ist das offenbar nur dann der Fall, wenn die
L/U,t (33.5)
in den Vergleichsfallen iibereinstimmt oder wenn die zeitliche Dichteanderung vernachlassigt werden kann Damit ist die erste Modell-Kennzahl gewonnen
Sie bezieht sich offenbar nur auf instationdre Vorgange Bei periodischen Vor- gangen, etwa beim Fligelflattern oder bei den Strémungen in Kolbenmotoren,
kann anstatt der reziproken Zeit 4/1 eine Frequenz eingeftihrt werden Die
Kennzahl (33.5) wird dann als reduzierte Frequenz bezeichnet
Die Navier-Stokessche Bewegungsgleichung (30.1) la8t sich in Vektorsymbolik
wie folgt schreiben: unterstrichene GrdBe:
Trang 32
58 K Oswatitscu: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 33 Das Produkt (u®) - grad ist mit dem Deformationstensor (#®) (46.5) und mit
dem Operator grad wie eine Tensormultiplikation auszufithren Fiir das Folgende
interessiert in erster Linie der Zusammenhang mit dem reduzierten Deformations-
tensor GemdB Gl (16.5) gilt: —~Ag =f 63.7) Damit gelangt man zu den reduzierten Navier-Stokesschen Gleichungen : Ls, éw’ ut! a +e to - grad 16 =— ohh, grad ? +e Tự T Pont + tu? rà , EL By toe + My TUTE địxv! mỉ
—'1_ 2(nu'®°)- grad'-L —*—~ grad’ (p’ div’ tv’)
+ cue 2(u'®) giad + cự Š (i )
Wir richten unser Augenmerk zundchst auf die fiinf unterstrichenen Faktoren, | deren Ubereinstimmung in Vergleichsfallen Voraussetzung fiir Modellahnlichkeit ist Der erste Faktor wurde bereits diskutiert Die letzten beiden Faktoren sind einander gleich Man bezeichnet ihren Kehrwert als Reynolds-Zahl:
_- Gla _ GL nã 635)
nach O REYyNOLDS1, đer als erster đie Modell-Gesetze fũr Strưmungen mit Rei-
bung aufstellte Danach kénnen zwei Strémungen mit Reibung nur dann ver-
glichen werden, wenn sie dieselbe Reynolds-Zahl R, aufweisen Soll ein fiir den
Flug in der Atmosphare vorgeschener Kérper im Windkanal untersucht werden,
so ist mit der Temperatur auch die Zahigkeit 4 im wesentlichen festgelegt Die
Geschwindigkeit im Windkanal ist im allgemeinen kleiner oder nur wenig grưBer als im freien Flug So hat man also in einer Erhhung der Dichte praktisch die einzige Méglichkeit, die verringerte Modell-Lange L gegentiber jener der GroB-
ausfihrung zu kompensieren Fiir Versuche, welche die Reibung genau berũck- sichtigen, sind also Windkanäle von nicht zu kleinem AusmaB erforderlich, die
méglichst noch mit Uberdichten betrieben werden Fiir die inkompressiblen Medien konstanter Viskositat sind damit die Forderungen fiir die Modell-Ahnlich-
-keit, welche sich aus der Reibung ergeben, aufgestellt
Bei verainderlicher Zahigkeit, vor allem infolge der Temperaturabhangigkeit der Viskositét, ist zu beachten, daB y’ eine Funktion des Ortes ist, die in Ver- gleichsfallen tibereinstimmen mu8 Dasselbe gilt von der Funktion #, die in Vergleichsfallen nicht nur im Punkte B,, sondern im ganzen Strémungsraum dieselben Werte anzunehmen hat Bei héheren Anspriichen ist es also nicht még- lich, Versuche mit temperaturabhangigen Werten von mu (heiBes Ol) mit Ver- suchen bei konstanten ys (Wasser) zu vergleichen
Bei Versuchen in Kraftfeldern (f-+:0) ist es ebenfalls erforderlich, daB sich diese bis auf einen konstanten Faktor in Vergleichsfallen aufeinander abbilden
lassen Dieser Faktor sei etwa durch den Betrag der Kraft im Punkte 1, also durch |{,! gegeben Aus Gl (33.8) entspringt dann die Forderung einer Uberein-
stimmung in der Kennzahl: [jz ,
“UR (33-10)
Meist handelt es sich um Versuche in einem konstanten Schwerefeld Dann ist
|t,| =g, die Schwerebeschleunigung, und die Kennzahl (33.10) wird als Froude- Zahi? bezeichnet Sie spielt in der Schiffstheorie eine besondere Rolle, da die
1 O, Reynotps: Phil Trans Roy Soc Lond 174, 935 (1883) (Sci Pap II, S 51)
2 W Froupe und R.E Froupe: Trans Inst Nav Arch, 22 (1881) 33.8) Ziff 33 Modellgesetze 59
Wasserwellen Schwerewellen sind Auch beim Flug im Schwerefeld der Erde ist
diese Zahl von Bedeutung Ist L etwa die Steighưhe eines Flugkérpers, so kann
die Froude-Zahl als das Verhaltnis seiner potentiellen Energie zu seiner doppelten
kinetischen Energie gedeutet werden
Eine Reduktion der Kennzahl:
Pilar Ẻ (33.11)
sei auf die Behandlung des Energiesatzes (33.16) verschoben
Da die Einbeziehung des Energiesatzes nur bei kompressiblen Medien wesent- lich ist, kommt man damit zu einer Gruppe von Strémungen, bei welcher auch eine Annahme tiber die Art des Gases erforderlich ist Eine genaue Untersuchung
zeigt sehr schnell, daB im allgemeinen nur bei idealen Gasen Ahnlichkeitsaussagen
méglich sind, wenn man sich nicht auf ganz spezielle Temperaturbereiche aus- gesuchter Medien beschrắnken soll Daher sei das Gebiet der Modelltheorie
kompressibler Medien auf ideale Gase beschrankt Dann gilt mit m als konstant angenommenem Molgewicht und R als absoluter Gaskonstante die bekannte
Zustandsgleichung: - c R
? =1 To = (— ©) Tạ 62.12)
Da diese auch im Punkte P, erfiillt sein muB, gelangt man durch eine Division leicht-zur reduzterten Zustandsgleichung :
?# =Tg (33.43)
ne enthalt keine Kennzahl und damit keine zusatzliche Forderung ftir die Modell- theorie
; Im Energiesatz (41.5) kann die Enthalpie 7 leicht durch die spezifische Warme bei konstantem Druck ¢, und die absolute Temperatur ersetzt werden Der Satz gewinnt dann folgende Gestalt:
oT ơ :
0 Cp |~gp + Wo - grad 7] — lý + m - grad 2| = div (Ägrad 7) +® (33.14
Bezeichnet man mit Ø“ đie reduzierte Dissipationsfunktion in derselben Form wie (30.2), nur da8 alle Symbole mit einem Apostroph versehen sind, so besteht fol- gende Beziehung zu der nicht reduzierten Dissipationsfunktion:
U? Os,
Damit 148t sich auch Gl (33.14) in folgende reduzierte Form bringen:
aft + or’ , ? là — + ơ?ˆ , tư
0% Ur or 7 - grad r|— a as +p -grad’p
33.16)
Ay se pas opr be Pe —1 (33 ,
= TL, ep, iv’ (A’ grad’ T’) + TUan i 4 i, isl 7d, x Q’” +
Man erkennt neue Kennzahlen, von denen die letzte sich allerdings auf die Rey- nolds-Zahl, die Kennzahl (33.11) und das Verhdltnis der spezifischen Wärme:
x= 6,[C, (33.17)
zuriickfithren 1aBt Diese ist also auch eine KenngréBe fiir Gasstrémungen Im
allgemeinen ist es daher nicht méglich, Strémungen von Luft (« =1,40) und von
Wasserdampf (%==4,33) exakt zu vergleichen Hingegen ist eine Uberein-
Trang 3360 K Oswaritscu: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 33
Falls die spezifische Warme c, und damit x nicht konstant sind, was bei
héheren Temperaturen durchaus der Fall sein kann, miissen x und œ in den
Vergleichsfallen dieselben Funktionen von T’ sein Diese Forderung ist im
lbrigen in der Regel gut erfiillt und von nicht so groBem Einflu8 wie die Tem-
peraturabhängigkeit von yw und Â
Anstatt jene Kennzahlen zu verwenden, die sich als Koeffizienten der redu-
zierten Gleichungen ergeben, kưnnen ebensogut Kombinationen solcher Kenn- zahlen verwendet werden Wenn also die GréBen (33.11) und (33.17) Kennzahlen sind, so ist mit der Schallgeschwindigkeitsformel (7.7) die GréBe:
VG oleh, = Ue, = M, (33.18)
eine Kennzahl Es ist das Verhaltnis von Strémungsgeschwindigkeit.zu Schall-
geschwindigkeit, die sog Mach-Zahl im Punkte B Sie ist nach E Macu? genannt
(vgl Ziff 7) und stellt die wichtigste KenngréBe und eine wichtige Zustands-
grưBe in der Theorie kompressibler Strémungen dar, wie sich immer wieder herausstellen wird
An Stelle der mit 4 gebildeten KenngréBe kann aus dieser Zahl und der
Reynolds-Zahl (33.9) auch die Kennzahl:
tHt; LẦy = Pr (3.19)
gebildet werden Es ist die sog Prandil-Zahl® Sie kann als das Verhältnis von ˆ kinematischer Zãhigkeit (29.5) und Temperaturleitfahigkeit:
Aley @ (33.20)
gedeutet werden Diese Kennzahl wurde bereits von NussELT® hergeleitet und findet sich der Sache nach schon bei MAXWELL4
Die kinetische Gastheorie zeigt, daB die Prandtl-Zahl idealer Gase nur vom Verhaltnis der spezifischen Warmen (33.17) abhangt Die Forderung nach der Gleichheit der Kennzahlen (33.17) und (33.19) falit also in diesem Falle zusammen
Bei idealen Gasen liegt der Wert der Prandtl-Zahl ziemlich nahe an Eins (fiir
Luft Pr =0,74) Bei retbenden Strémungen dichtebestandiger Fltissigkeiten mit Warmetibergang (Olkiihler) fallt die Forderung (33.17) weg, wahrend die Kenn-
zahl (33.19) ihre Bedeutung beibehalt Umgekehrt wird bei reibungsloser Stré-
mung von Gasen die Prandtl-Zahl unwichtig, wahrend die Bedeutung von x erhalten bleibt
Fiir die Ubertragbarkeit von Modellversuchen haben sich also sechs wichtige Kennzahlen ergeben, ndmlich (33.5) fiir instationdre Strưmung, (33.9), (33.10), (33.17) bis (33.19) Aus diesen kénnen neue Kennzahlen gebildet werden, die
aber keine neuen Forderungen mehr liefern Gebrauchlich ist beispielsweise die
Pécletsche Kennzahl: Das Produkt von Reynolds-Zahl und Prandtl-Zahl Damit:
sind nur die wichtigsten Kennzahlen aufgestellt Bei Problemen mit Diffusion,
z.B Diffusion von Wasserdampf in Luft, tritt die Diffusionskonstante auf Sie
hat dieselbe Dimension wie die kinematische Zahigkeit oder die Temperatur-
leitfähigkeit (33.20) Daraus leitet sich eine neue Kennzahl her, die ahnlich '
wie die Reynolds-Zahl oder die Pécletsche Zahl gebildet wird, nur daB die Dif
fusionskonstante an Stelle der kinematischen Zahigkeit oder der Temperatur- leitfahigkeit zu setzen ist
1 E.MAcH u P SALCHER: Sitzgsber Akad Wiss Wien (IIa) 95, 764—780 (1887) —
E Macu u L Macn: Sitzgsber, Akad Wiss Wien (11a) 98, 1310—1326 (1889) — L MAcn:
Sitzgsber Akad Wiss Wien (Ila) 105, 605—613 (1896) ||? T PRANDTL: Phys Z 11, 1072—1078 (1910)
3,W, NUsSsELT: Mitt Forach.-Arch Ing.-Wes, Nr 80, 1—38 (1910)
+ J.C., MAxwELL: Papers II, $ 26—7§
Ziff 34, 35 _ Physikalische Charakterisierung der Strémungen 61 34, Folgerungen fiir Rand- und Anfangsbedingungen Fiir eine Ubertragbar-
keit von Versuchen ist es erforderlich, daB auch die Randbedingungen und
Anfangsbedingungen in reduzierten GrưBen geschrieben in den Vergleichsfallen dieselbe Gestalt annehmen Bei der Umstrémung eines Kérpers machen die
Bedingungen im Anstrémgebiet im allgemeinen keinerlei Schwierigkeit Da in der Regel ohnehin mit dem Anstrémzustand dimensionslos gemacht wird, sind
diese Bedingungen im allgemeinen von selbst erfiillt Auch die Bedingungen fiir
die Geschwindigkeit an einem ruhenden Kérper sind dadurch erfiillt, daB die Vergleichskérper ahnliche Gestalt haben, sei es nun, daB man eine reibungslose
Strémung behandelt und angenommen wird, daB der Geschwindigkeitsvektor auf der Flachennormale senkrecht steht, oder sei es, daB die Reibung beriicksichtigt
wird und man Haften an der Wand, also Verschwinden des Geschwindigkeits- vektors an der Oberflache fordert
Eine genauere Beachtung verdienen Randbedingungen fiir thermische Zu- standsgréBen Es wurde schon darauf hingewiesen, daB VerdichtungsstéBe mathematisch die Rolle von Randbedingungen zwischen Bereichen kontinuier- licher Strémungs-Zustandsanderungen spielen Es zeigt sich aber, daB die Strémungsgleichungen bei gleichen Kennzablen in Vergleichspunkten dieselbe
Mach-Zahl liefern, und daB die thermischen ZustandsgréBen in Vergleichspunkten ' proportional zum Zustande im Punkte FA sind Daraus folgt weiter, daB die
StoBgleichungen mit Erfillung der Forderungen der vorigen Ziffer auch bereits erfiillt sind Dies tiberrascht nicht sonderlich Man kénnte ja die Ahnlichkeits-
theorie auch aus đen Integralsätzen von Ziff 5 ableiten und hatte damit gleich- zeitig die Differentialgleichungen und die StoBgleichungen erfaBt
Anders ist es mit den Randbedingungen fiir die thermischen GréBen an den Wanden Beispielsweise sind bei Warmetibergangsaufgaben an den Strưmungs-
berandungen Vorschriften ftir die Temperaturverteilung zu machen Diese Rand-
bedingungen miissen in den Vergleichsfallen in derselben Weise ahnlich sein wie die Temperaturen im Feldinnern Im Spezialfall des sog ,, Thermometerproblems“, wo der Warmetibergang an der Wand verschwindet, d.h wo der Temperatur- gradient an der Wand Null ist, muB in den Vergleichsfallen ebenfalls der Tem- peraturgradient an der Wand verschwinden Es lassen sich also nur ,,Thermo- meterprobleme“ untereinander und Warmeiibergangsprobleme bestimmter Wand-
temperaturverteilung untereinander vergleichen
In bestimmten Fallen sind die Randbedingungen nicht durch eine direkte Vorschrift ftir bestimmte Variable gegeben, sondern indirekt durch eine Koppe-
lung zwischen verschiedenen Gré8en Ein einfaches Beispiel liefert die innere
Ballistik mit der Bedingung am GeschoBboden Diese driickt die Beschleunigung durch den Gasdruck, durch die Bodenflache und die Projektil-Masse aus Aus
solchen Bedingungen kénnen dann neue Kennzahien abgeleitet werden Beim letzten Beispiel zeigt es sich, daB sich Versuche nur bei gleichen Verhaltnissen von Gescho8masse zur Masse der Pulverladung vergleichen lassen!
35 Physikalische Charakterisierung der Strémungen Durch eine geschickte Wahl der MaBstabe Z und + und des Punktes A kann man hautig erreichen, daB
alle reduzierten GréBen, die Unabhangigen ?’, x’, y’, 2’ sowie die abhängigen
Verdanderlichen tv’, 9’, #’ usw von der GréBenordnung der Einheit sind Ebenso
sind dann auch in guter Naherung die verschiedenen Ableitungen von der GréBen- ordnung der Einheit Unter diesen Voraussetzungen lassen sich die Kennzahlen
oder ihre Kombinationen fiir die Abschitzung der GréBenordnung der einzelnen
Trang 34
62 E OsWATITSCH: Physikalische Grundlagen đer Strưmungslehre Ziff, 35
Glieder in den Differentialgleichungen heranzichen, Einige Vorsicht ist aller- dings dabei geboten, wie sich noch herausstellen wird Sicherlich kann dieser Weg aber ftir eine Charakterisierung der verschiedenen Strémungstypen beschritten
werden,
a) Es sei mit der Kennzahl (33.5) begonnen L/U, ist jene Zeit, welche ein Teilchen der Geschwindigkeit U, zum Passieren der Strecke L braucht Ist diese Zeit klein im Verhaltnis zur GréBenordnung der Zeit t, in welcher sich dic in- stationären Vorgänge abspielen, so ist die Kennzahl (33.5) klein und die instatio- naren Terme des Gleichungssystems kénnen unter Hinnahme eines begrenzten
Fehlers vernachlassigt werden Man nennt solche Strưmung guasistationér Sind
alle Randbedingungen und die Anfangsbedingungen unabhangig von der Zeit,
dann kann die Strémung meist als stationär angenommen werden und das Weg-
fallen der instationaren Terme versteht sich von selbst,
Allerdings sind auch unter stationdren auBeren Bedingungen durchaus
instationắre Vorginge méglich Die Strémungsform kann instabil sein, es k6nnen ungedémpfte Schwingungen auftreten und die Strémung kann schlieBlich auch
turbulent sein (Ziff 57), d.h es treten verwickelte Wirbelbewegungen auf, die mit Reibung verbunden sind und von denen nur die Mittelwerte tiber gewisse Zeitspannen konstant sind
Wenn also zeitlich unabhängige Strưmungsbedingungen noch keine genii- genden Voraussetzungen fiir stationdre Strémungen darstellen, so kénnen um- gekehrt Strưmungen instationär sein, obwohl die instationären Terme in đen Gleichungen fortfallen Das ist nămlich immer dann der Fall, wenn die Rand-
bedingungen von der Zeit abhangen Das Schwingen von Fligeln in Parallel- strémung mit ausreichend niedriger Frequenz (kleine ,,reduzierte Frequenz‘‘) ist ein Beispiel ftir eine solche quasistationäre Strémungsform,
Die Einteilung in stationare, quasistationäre und instationdre Strémungen iiberlagert sich iiber alle folgenden Unterscheidungen und soll daher dort nicht nochmals wiederholt werden
6) Bei ausreichend kleinem Reibungskoeffizient, d.h bei ausreichend groBer Reynolds-Zahl, kénnen die Reibungsterme in den Bewegungsgleichungen mit einer gleich zu behandelnden Einschrénkung weggelassen werden Da die Prandtl- Zahl von Gasen (33.19) nahe an Eins liegt, bedeutet das, daB die rechte Seite
des Energiesatzes fiir Gase im allgemeinen weggelassen werden kann Fiir zahe Flissigkeiten gilt das um so mehr, da bei diesen die Prandtl-Zahl weit grưBer als Eins ist Fiir groBe Reynolds-Zahlen ergibt sich also eine reibungsfreie und wirme- leitungsfreie Strémung, wobei die Zustandsdnderungen der Teilchen gemaB (33.16) isentrop sind Nur durch StéBe kénnen Entropieinderungen auftreten
Gibt es keine St6Be oder nur schwache St6Be, dann sind die Strémungen nach dem Thomsonschen Satz itberall wirbelfrei, wenn sie es im Anstrémgebiet sind
Damit ist die groBe Klasse wirbelfreier und veibungsfreier Strémungen abgegrenzt Das auf solche Weise vereinfachte Gleichungssystem 1ABt seiner Ordnung ent- sprechend allerdings nur die Randbedingung zu, daB die N ormalkomponente der
Geschwindigkeit auf der Oberflache verschwindet Die Flissigkeit gleitet unter diesen Annahmen also an den Berandungen entlang
y) Wird bei héheren Reynolds-Zahlen entsprechend den physikalischen Er-
fahrungen angenommen, daB das Medium an der Wand haftet, so besitzt die
Strémung noch in unmittelbarer Nahe der Wand Geschwindigkeiten, wie sie sich aus den Gleichungen ohne Reibung und Warmeleitung ergeben In einer diinnen
»Grenzschicht oder Retbungsschicht fallt die Geschwindigkeit dann rapide auf den Wert Null, der durch die Haftbedingung gegeben ist, ab Die Vorgange sind
Ziff 35 Physikalische Charakterisierung der Strémungen 63 bei kompressibler und inkompressibler Strémung nur qualitativ verschieden, so daB man sich die Grundziige ohne weiteres an letzterer klar machen kann
Der Vorstellung sei ein dinner fligelfưrmiger Kưrper zugrundegelegt, ohne daB die Uberlegung etwa auf diinne Kérper beschrankt bliebe Die maligebenden Gleichungen sind dann durch (30.3) gegeben Die Strémung sei eben, womit ie
letzte Navier-Stokessche Gleichung und alle Ableitungen nach z wegfallen Da Cie
Anderungen in x- und y-Richtung sehr unterschiedlich sind, miissen die x- un y-Koordinate mit verschiedenen Langen dimensionslos gemacht werden, wenn
alle auftretenden GréBen und Ableitungen die GréBenordnung der Einheit an-
nehmen sollen Beschrankt man weiter die Uberlegungen auf stationäre Strõ- mungen ohne 4uBere Krafte, so erhalt man in den neuen reduzierten Koordinaten:
x= aL; y= y/d (35-1)
die erste Navier-Stokessche Gleichung:
, ou’ ,L du ?› op’ eee 33 mm) 2
“Sự tư by ~~ Gt oe te el weet Be} 652)
¥
und die Kontinuitatsbedingung
fiir ebene dichtebestindige Strư- mung:
Ow 2, (ah)
tai zJ=0 654)
Durch Einfihren einer in ihrer , |
GrưBe zunichst nicht festge- ma
legten Reibungsschichtdicke ơ Fig 26 Reibungsschicht und Geschwindigkeitsprofil
in Fig 26 im Geschwindigkeits- ¬ ;
in fil cingeneichnet) sind u’, x’, y’ und die dazugehưrigen Ableitungen zunachst
auf die GréBenordnung der Einheit gebracht Da die beiden Summanden der Kontinuitắtsbedingung (35.3) von gleicher GrưBenordnung sein miissen und v sowie ' an der Wand den Wert Null annehmen, ist zu erkennen, daB v’ L/é die GréBenordnung der Einheit besitzt ; ;
Die beiden Terme der linken Seite von (35.2) haben also gleiche GrưBenordnung
Unter Umgehung des Druckgliedes, welches spater in gréBerem Zusammenhang noch erlautert wird, seien die Reibungsglieder untersucht Da 6?/L? sehr klein ist, kann offenbar der Beitrag von @u/dx, der durch die Normalspannung bedingt
ist, gestrichen werden Voraussetzungsgema3 sind die nun verbleibenden un
manden der Navier-Stokesschen Gleichung von gleicher GrưBenordnung - (Das
Druckglied kénnte von kleinerer, aber als einziges Glied sicher nicht von héherer
GréBenordnung als die tibrigen Glieder sein.) Das heiBt, der Koeffizient des
letzten Klammerausdruckes und um so mehr die Wurzel daraus, ist von der GréBenordnung der Einheit:
6/R/L~1 (35.4)
it ist eine Abschatzung fiir die Gré8enordnung der Reibungsschichtdicke é Soưonnea und gleichzeitig die bekannte, auf L PRANDTL! murtielgehende Rei- bungsschicht- oder Grenzschichtgleichung aufgestellt Da normal a k Tế
oberfläche in der diinnen Reibungsschicht weder Reibungskräfte noch rag s s-
krafte wirksam werden kénnen, wird die Gleichung noch erganzt durch fe e-
dingung, daB der Druck nur von z allein abhängt, in der Grenzschicht in 7 ic -
tung jedoch als konstant angenommen werden darf Wendet man die gleichen 1 L Pranptu: Verh III Internat Math Kongr., Heidelberg 1904, S 484—491 Leipzig:
Teubner 1905
Trang 35
64 1 OSWATITSCH : Physikalische Grundlagen der Strưmungslehre Ziff 35
Vereinfachungen bei kompressiblen Medien an, so erhalt man zuztiglich dem
Energiesatz das folgende Gleichungssystem ftir die ebene Strémung, das noch durch die Kontinuitatsbedingung zu erganzen ware: du " 9? Ờyy , ` Ou Oa =— at DI laminar: Oxy = MGs b= d(x); (35.5) aT dp — ue ag ae 27
0 đi — lát Pn lay Ty? laminar: g = — 2:
Die Strémung bei groBen Reynolds-Zahlen gliedert sich also in der đberwiegenden
Anzahl von Fallen in eine reibungs- and wirbelfreie AuBenstrémung und in eine diinne Reibungs- oder Grenzschichtstrưmung in unmittelbarer Nahe der Berandungen Diesem letzteren Gebiet ist allein eine groBe Literatur gewid-
met [5], [6]
Es zeigt sich, daB die glatte, sog ,,laminare“ Strémung mit den einfachen
Schubspannungs- und Wärmeleitungsansätzen (35 5) und damit die Beziehung (35.4) nur bis zur Reynolds-Zahl von etwa 4-105 gilt Bei héheren Reynolds-_
Zahlen, und das sind oft gerade die praktisch wichtigen Bereiche, wird die Strémung turbulent, eine Strémungsform, welche in Ziff, 57 noch naher erldutert
wird Aus Gl (35.4) geht hervor, wie diinn die Grenzschichtdicken im Verhalt- '
nis zur Kérperldnge sein kénnen,
Durch die Formen der laminaren und turbulenten Strưmung erfährt das Gebiet der Strưmungen hoher Reynolds-Zahlen eine weitere Charakterisierung,
6) Dem in der Luftfahrt, bei Strémungsmaschinen, in der Meteorologie und
vielen anderen Gebieten stark interessierenden Bereiche hoher Reynolds-Zahlen, steht der entgegengesetzte Grenzfall sehr niedriger Reynolds-Zahlen oder, wie
er auch genannt wird, das Gebiet schleichendey Strémung, gegentiber Sofern man im Rahmen der Kontinuumsphysik bleibt, sind namlich kleine Reynolds- Zahlen notwendig an kleine Geschwindigkeiten gebunden Mit der in der StoB-
theorie bereits verwendeten Formel fiir die mittlere freie Weglinge J eines Gases
der mittleren Molekiilgeschwindigkeit = gewinnt man namlich leicht folgende
Formel, wenn man statt A, g und c, mit Gin (33.9), (33.18) und (33.19) Reynolds-
Zahl, Mach-Zahl und Prandtl-Zah] einfigt:
i 2c M
LS BR: Ồ 65.6)
Die mittlere Molekilgeschwindigkeit £ liegt stets um einen Zahlenfaktor von der GrưBenordnung der Einheit tiber der Schallgeschwindigkeit c, und die Prandtl-
Zahl idealer Gase ist nahe an Eins Auf der rechten Seite steht daher im wesent-
lichen das Verhdltnis M/R,, auf der linken das Verhaltnis von freier Weglinge
zur Kérperdimension Da das letztere aber fiir Kontinuumsbetrachtungen klein sein mu8, muB auch die Mach-Zahl stets klein im Verhdltnis zur Reynolds-Zahl sein, wobei sich die Aussage allerdings mit Riicksicht auf die Ansätze zunächst auf ideale Gase beschränkt,
Schleichende Bewegungen trifft man vorziiglich in der Theorie der Stra- mungen von Schmiermitteln SToKEs! hat mỉt einer Theorie der schleichenden Bewegung als erster den Widerstand langsam bewegter Kugeln abgeleitet Es wird gleich gezeigt werden, daB die Strémung bei sehr kleinen Mach-Zahlen als
dichtebestindig angesehen werden kann, Die thermischen ZustandsgrưBen andern sich dabei kaum und die Bewegungsgleichungen sind durch (30.3) gegeben
1 G.G StoxEs: Trans, Cambridge Phil Soc 9 [8] (4851)
Ziff 35 _ Physikalische Charakterisierung der Strémungen 65
Wahrend aber bei hohen Reynolds-Zahlen die mit dem Reibungskoeffizienten multiplizierten Terme auBerhalb der Grenzschicht vernachlassigt werden kénnen, bleiben sie bei der schleichenden Bewegung gerade als die wichtigsten Beiträge in den Gleichungen erhalten Eliminiert man durch Bildung der Rotation den Druck, so gelangt man zu einer (34.6) entsprechenden Gleichung, wobei allerdings nur die rechte Seite von Bedeutung ist Die schleichende Strémung wird damit
durch folgende Gleichung beschrieben:
A (rot ty) =0, (35.7)
wobei unter A der bekannte Laplace-Operator zu verstehen ist Im Gegensatz za den Laplace-Gleichungen fiir die Geschwindigkeitskomponenten (34.1) ist GÌ (35.7) von ausreichend hoher Ordnung, um die Bedingungen des Haftens
der Flissigkeit an den Wanden erfiillen zu kénnen
é) Eine weitere bedeutsame Klassifizierung ergibt sich aus der GréBe der
Mach-Zahl Das Druckglied in der Bewegungsgleichung (33.8) ist ein im all- gemeinen nicht zu vernachlassigender Ausdruck, da die Bewegung in der Regel durch die Unterschiede im statischen Druck wesentlich bestimmt wird Unter der Annahme, daB die Tragheitsglieder nicht zu vernachlassigen sind, also keine
schleichende Bewegung herrscht, und daB das instationäre Glied nicht gréBer als die stationären Trägheitsglieder ist, ergibt sich auf der linken Seite der Bewegungs-
gleichung die GréBenordnung der Einheit Daher muB auch das Druckglied die-
selbe GréBenordnung besitzen Das bedeutet aber, daB bei kleinen Mach-Zahlen und mittleren Verhdltnissen der spezifischen Warme x der Truckgradient 2#'/2x'
und damit auch die Druckschwankungen sehr klein sein miissen In der Tat -
miBt man bei normalem Luftdruck bei Windgeschwindigkeiten nur Druckunter- schiede von einigen Dezimetern gegeniiber einem Absolutdruck von 10 m Wasser- sdéule Die Druckschwankungen in Luft sind also bei Kleinen Mach-Zahlen gering, das bedeutet bei isentroper Strémung kleine Dichteschwankungen und kleine
Temperaturschwankungen Wenn aber das Druckglied in der Bewegungsgleichung wegen des groBen Faktors davor auch nicht vernachlassigt werden darf, so zeigt sich doch, daB eine Vernachlissigung des Dichtegliedes in der Kontinuitats- bedingung (33.4) erlaubt ist Diese beschrankt sich also bej genigend kleinen Mach-Zahlen auch bei Gasen auf die Gleichung:
đỉv tp =0 (35.8)
der dichtebeständigen Strémung Doch sei nochmals darauf hingewiesen, daB die Dichteschwankungen bei Gasen durchaus von der gleichen GrưBenordnung,
jedoch in den Gleichungen nicht von derselben Bedeutung sind wie die Druck-
schwankungen
Bei nicht isentroper Strémung, also etwa bei solcher mit 'Wärmeiibergang,
sind die Dichteunterschiede von đen Temperaturunterschieden abhangig Thr
Einflu8 mu8 dann besonders untersucht werden
In der Energiegleichung (33.16) kann das Dissipationsglied bei kleinen Mach-
Zahlen weggelassen werden, weil es mit dem Quadrat der Mach-Zahl multipliziert
ist, wahrend das davor stehende Glied diesen Faktor nicht besitzt
Wenn auBerdem die Strémung wesentlich instationar ist, der Faktor (33.5)
also groB ist, so da8 in der ersten Klammer nur das erste Glied mitzunehmen ist
und der zweite Klammerausdruck wegen der auBerordentlich geringen Druck- unterschiede ganz wegfallt, bleiben schlieBlich nur die ersten beiden Terme beider Seiten tibrig In nicht reduzierten GréBen also:
:
a= oe đív (Â grad 7) (35.9)
Handbuch der Physik, Bd VIH/1
Trang 36
66 K Oswatitscu: Physikalische Grundlagen der Strưmungslehre Ziff 36
Damit ist man von der Strémungslehre in die Theorie der Warmeleitung gelangt
Dennoch seien einige Worte an diese Gleichung gekniipft, weil immer wieder
in verschiedenen Verdffentlichungen anstatt der spezifischen Warme bei kon- stantem Druck ¢, jene bei konstantem Volumen c, anzutreffen ist Letzteres
ist falsch, es herrscht in einem solchen Gas wegen der auSerordentlich geringen Ausbreitungsgeschwindigkeit der Warmewellen gegentiber der Ausbreitungs-
geschwindigkeit der Druckwellen, welche mit Schallgeschwindigkeit erfolgt,
Druckausgleich, wahrend sich die Dichte mit der Temperatur andert DemgemaB
entspricht der W4&rmeleitungsvorgang einem Energieumsatz bei konstantem
Druck
Bei Mach-Zahlen von der GréBenordnung der Einheit und dariiber werden
auch die Unterschiede im thermischen Zustand groB Gleichzeitig wird bei rei- bender Strémung das Dissipationsglied in der Energiegleichung (33.16) von Ein- fluB Die verschiedenen Mach-Zahlbereiche werden in Ziff 36 bei Erlauterung der Potentialstroémung noch naher diskutiert werden
36 Mathematische Charakterisierung «) Die Behandlung der wesentlichen mathematischen Eigenschaften der unterschiedlichen Strémungstypen, die natur- gema8 mit dem physikalischen Verhalten auf đas engste verkniipft sind, sei mit dem einfachsten Fall begonnen Die ebene, wirbelfreie Stromung wird gemaB der Kontinuitatsbedingung (35.8) und GL (27.1) durch folgendes System be- schrieben1:
Kontinuitatsbedingung : oe » =0,
66.1)
Wirbelfreiheit: “— =0 oy Ox
Dieses System entspricht genau den Cauchy-Riemannschen Differentialglei-
chungen in der Theorie der analytischen Funktionen Durch Elimination von #
oder v kann die ebene Laplace-Gleichung (31.1) fiir eine der beiden Geschwindig- keitskomponenten gewonnen werden Mit einem solchen System, das wie die
Laplace-Gleichung als elliptisch bezeichnet wird, werden Stérungen dargestellt,
welche sich tiber das ganze Strémungsfeld nach allen Richtungen hin ausbreiten
Beispielsweise erzeugt ein Profil bis an die Strémungsberandungen stromaufwarts wie stromabwarts Stérungen, die zwar mit zunehmender Entfernung stark ab-
klingen kénnen, aber, wenn auch schwach, iiberall vorhanden sind
Die durch Gl (35.7) dargestellte ,,schleichende Bewegung” bietet ein wei- teres Beispiel ftir eine elliptische Differentialgleichung
f) Ganz anders ist das Verhalten bei Wellenausbreitung Als Beispiel sei die ebene isentrope Kompressionswelle betrachtet Durch Elimination des Druckes aus der Eulerschen Bewegungsgleichung (20:2) mit Hilfe der Schallgeschwindig- keitsformel (7.7) gewinnt man folgendes System: Kontinuitatsbedingung: Ging , ome | 24 og, ơi Ox On 6 6 2) dine au au ” _ 2 = Euler-Gleichung : 2— + ất +-# PP =0
Handelt es sich um äuBerst schwache Stưrungen, wie sie in đer Akustik auftreten,
so konnen die Glieder mit dem kleinen Faktor weggelassen werden und auBer-
dem kann die Schallgeschwindigkeit konstant gesetzt werden (c?=c§) Das 1 J.LeR.p’ALEMBERT: Essai d’une nouvelle théorié de Ja resistance des fluides, Paris 1752
Zilf 36 Mathematische Charakterisierung 67
System wird linearisiert, womit die Behandlung wesentlich vereinfacht ist: ơng Ou at Ox =0, (36.3) 2 Glng ou 0 Sx Trạp =0:
Der wesentliche Unterschied zwischen diesem System und dem System (36.1)
liegt in dem Umstand, da8 die Vorzeichen in beiden Gleichungen dieselben sind
Eliminiert man namlich nun beispielsweise %, so gewinnt man die sog Wellen- leichung:
OOS ae (ng) ,„ 22Ơng) 0 3x =0 (36.4)
Die beiden Ableitungen sind zum Unterschied von der Laplace-Gleichung durch - ein negatives Vorzeichen verbunden Der Typus von (36.3) und (36.4) wird als
Cpt ẹ Cyt
Z⁄ i
th ?
7 x
Fig 27 Ebene Schallwelle Fig 28 EinfluSgebiet einer Stérung im Punkte Q
hyperbolisch bezeichnet Eine einfache Lésung von (36.4) mit 7 als willktirlicher Funktion ist z.B.:
Ino=f(x— sai) 66.5)
Sie entspricht einer Welle, die sich mit unverdnderlicher Form mit der Geschwin- digkeit cy in positiver x-Richtung fortpflanzt (Fig 27)
Vor der Welle ist das Strémungsfeld véllig unbeeinfluBt, eine Eigenschaft,
die mit der Wellenausbreitung zusammenhingt und die mit der hier zur Verein-
fachung vorgenommenen Linearisierung nichts Wesentliches zu tun hat Die Fol- gen sind ziemlich weitreichend und betreffen auch réumliche Ausbreitungsvor-
gange
Fir jeden mathematisch durch eine hyperbolische Differentialgleichung
gekennzeichneten Ausbreitungsvorgang gibt es offenbar EinfluBgebiete Nur in diesen kann sich eine Stérung bemerkbar machen In Fig 28 ist dieses Einflus-
gebiet durch die beiden Wellen begrenzt, welche vom Stérzentrum Q entspringen und sich nach links und rechts ausbreiten Auf den Zustand im Punkte P von Fig 29 kénnen umgekehrt nur solche St6rungen auf der x-Achse einwirken, deren Wellen den Punkt erreichen kénnen Ist A der Punkt, dessen nach rechts laufende Welle, und B der Punkt, dessen nach links Jaufende Welle eben noch P beriihren, so kann der Zustand im Punkte P also nur von den Zustinden jener
zwischen A und B auf der «-Achse gelegenen Punkte abhangen Man nennt ein
solches Gebiet, von dessen Zustanden allein die Strémung im Punkte P abhängt, ein ,,A bhdngigheitsgebiet Im allgemeinen kann es ein beliebig geformtes Kurven- sttick oder bei drei unabhangigen Verdnderlichen ein beliebig geformtes Flachen- sttick sein
Trang 3768 K Oswaritscy: Physikalische Grundlagen der Strưmungslehre Ziff 36
Mit Hilfe der Werte im Abhangigkeitsgebiet lassen sich die Zustänđe in
allen Punkten berechnen, deren Abhangigkeitsgebiet innerhalb jenes des Punktes P liegt Man nennt dieses berechenbare Gebiet Forisetzungsgebiet, in Fig 29 die dreieckférmige Flache ABP Diese Begrenztheit von EinfluB und Abhangigkeit hat bei den elliptischen Systemen kein Gegenstiick
Fiir die mathematische Behandlung ist es ohne Bedeutung, ob die unab-
hangigen Verdnderlichen mit x, ¢ oder x, y bezeichnet werden, Mit Riicksicht auf
das Folgende sei daher in Fig 30 in einem Strémungsfeld eine in £-Richtung verlaufende Kurve angenommen, welche ein EinfluBgebiet begrenzt Der Sinn
einer partiellen Differentialgleichung ist nun der, daB sie Anderungen bestimmter
abhängiger Veränderlicher in einer Richtung mit Anderungen von abhangigen Veranderlichen in einer anderen Richtung koppelt Beispielsweise ist in (36.4) die Anderung von w in der #-Richtung mit der Anderung von v in der y-Richtung
in Zusammenhang gebracht Soll es aber tiber gewisse Kurven hinweg keinen t
A 8 «&
Fig 29 Abhangigkeits- und Fortsetzungsgebiet Fig 30 Verlauf der Charakteristiken & und n
EinfluB geben, so kénnen die Anderungen in €-Richtung nicht von den Ande- rungen in 7-Richtung (Fig 30) abhängen Die Anderungen in é-Richtung kénnen dann nicht aus den Anderungen in y-Richtung berechnet werden und als eine
weitere Folge kénnen dann in bestimmten Richtungen nur die Ableitungen nach
einer einzigen unabhangigen Variablen auftreten Fiir bestimmte Richtungen erniedrigt sich das System der partiellen Ditferentialgleichungen zu gewohnlichen Differentialgleichungen Die Kurven mit der geschilderten Eigenschaft werden als Charakteristiken bezeichnet Sie kommen nur in hyperbolischen Systemen
vor Zur Erlduterung diene die ebene, isentrope, stationäre, kompressible Strư-
mung
Eliminiert man aus den Eulerschen Gleichungen fiir stationdre Strưmung und fiir =0 (20.2) wie in (36.2) den Druck, so erhälb man Ableitungen đer
Dichte nach x und y Dies in die Kontinuitatsbedingung fiir stationdre Strưmung
eingesetzt, ergibt dann đie sog gasdynamische Gleichung fiir ebene, stationdre,
reibungsfreie Strémung:
ou Ov
(= wt) uo (+ 52) + (et vt) Ho, (36.6)
Diese Gleichung tritt fir 'kompressible Strưmung an Stelle đer Kontinuitäts- -
bedingung im System (36.1) Die Gleichung der Wirbelfreiheit dagegen bleibe
unverandert erhalten Die Schallgeschwindigkeit c kénnte in der gasdynamischen Gleichung noch eliminiert werden Der besseren Anschaulichkeit wegen soll das aber nicht geschehen Fiir Strémungsgeschwindigkeiten, welche klein gegeniiber
der Schallgeschwindigkeit.c sind, sind die dominierenden Glieder von (36.6) durch den Faktor c? gekennzeichnet Nach Division durch diesen Faktor erkennt man, da8 die gasdynamische Gleichung fiir Geschwindigkeiten, welche klein sind,
ohne weiteres in die Kontinuitatsbedingung (36.1) ‘fiir inkompressible Strémung
tibergeht, wie schon frither betont wurde
Ziff 36 Mathematische Charakterisierung, 69
In dem durch (36.6) und die Wirbelfreiheit gegebenen System kénnen nun neue Koordinaten &, 7 eingeftihrt werden Nach der Kettenregel der Differentiation gilt dann: ơ é Ơ „ 9 2x Ee GET Me By 9 ơ 2y Or GE Ty By (36.7) und das System von Kontinuitắtsbedingung und Wirbelfreiheit kann in der Form geschrieben werden: [(c? — *) £„— wvé,| ue + [(c2 ~ v2) §,—uvé, |v, = L(c? — u*) n, — wun, | u,—[(c — 8) 1, — 1.01), tạ, (36.8) , Bg — Ey Vg = — Ny My + Vy
Man kann (36.8) als ein lineares Differentialgleichungssystem fiir die unbekannten
Ableitungen u, und »; auffassen, die aus den Ableitungen u, und v, sowie aus den Koeffizienten zu berechnen sind Wenn nun aber die £-Kurven Charakteristi- ken sein sollen, so diirfen sich die Ableitungen wu, und v, aus den Ableitungen nach my nicht berechnen lassen, die rechten Gleichungsseiten miissen verschwinden
und nach der Theorie der linearen Gleichungssysteme muB die Koeffizienten-
determinante der linken Seite Null sein: ((®—%2)É,—wuEy; (c°— 03) &,—uvé, _ =0 6.9 &; —& 66.9) Fithrt man den Strémungswinkel # und wie schon in Gl, (7.8) den Mach-Winkel « ein: 2 — + =IgÐ; cotx=|m3/22°—1, - (36.40) so erhalt man nach elementarer Umrechnung zwei mégliche Richtungen fiir die Charakteristiken: 2 2 l8 — eR — tan 40) 66.1)
Die Richtungen (36.11) haben nur dann reelle Werte, wenn berschallstrưmung
im entsprechenden Punkte herrscht (M >1), denn anderenfalls ist der Mach- Winkel imaginar In Ziff 7 (Fig 8) wurde untersucht, unter welchen Umstdnden
es stehende Schallwellen in einer Strémung gibt Solche Wellen wurden als Mach-Linien bezeichnet und Gl (36.11) zeigt nun, daB die Charakteristiken mit
den Mach-Linien identisch sind
Fir Unterschallstrémungen ist das Gleichungssystem elliptisch, die Charak- teristiken sind komplex Die stationäre Uberschallstrémung ist mathematisch eng verwandt mit der instationdéren Wellenausbreitung Diese Verwandtschaft erstreckt sich nicht nur auf den hier erlauterten ebenen Fall, sondern auch auf rầumliche Strưmungen
Wird die Strémung in Verallgemeinerung der beim System (36.8) geltenden Annahme nicht mehr als isentrop im ganzen Raum, sondern nurmehr gemaB Gl (35.2) als isentrop auf Stromlinien angesehen, so ergeben sich die Stromlinien
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70 K Oswatitscu: Physikalische Grundlagen der Stromungslehre Ziff 36 unterschiedliche Geschwindigkeit Der Zustand auf der einen Seite der Strom- — kann also nicht aus dem Zustand auf đer anderen Seite allein berechnet
werden
y) Auf Grund der vorausgegangenen Uberlegungen ist nun eine Eintei
* = * t il d
reibungsfreien stationdren Strémung leicht méglich Fiir das Grundsatzliche gentigt in diesem Rahmen eine Betrachtung der ebenen Strémung um schlanke M?<1 Mo = 1 ————— yo W w Uso a Moo=2 \ b M31 w =—— eo Ugo Cc d
Fig.31a—d Geschwindigkeitsverteilungen am Profil im Berei 3H re eich: a der Unterschallstré
Strémung, c der Uberschallstrémung, d der Hyperschallstrémung tung, B der schalinahen
Profile Wenn die Geschwindigkeit, und damit die Komponen - lich kleiner ist als die Schallgeschwindigkeit, so bleiben in Tor Baodgnanniachen
Gleichung (36.6) nur die beiden mit c? versehenen Ausdriicke iibrig, und man
erhalt ohne weiteres die im System (36.1) angegebene Form der Kontinuitäts- bedingung Eine solche Strémung reagiert auf Verengungen des Stromfadens mit Geschwindigkeitserhohung, auf Erweiterung des Stromfadens mit Ge- schwindigkeitserniecrigus: ” der Gegend der beiden Profil-Enden zeigen sich ie kleinsten Geschwindigkeiten (Tig i a i i mums die Hichstgeschwindigkeiten, (Fig: 34), ip der Nahe des Dickemmess
Ist die mittlere Geschwindigkeit nicht mehr klein im Verhdltnis zu c, aber
immerhin iiberall noch kleiner als die Schallgeschwindigkeit, und ist auBerdem
der Ké6rper schlank, so ist sicher v2<u2 Da die Schwankungen von # und auch
jene von c klein sind, kénnen die Koeffizienten in (36.7) durch ihre Werte im
Ziff 36 Mathematische Charakterisierung 71
Anstrémgebiet: Ub = Ueo} C=Coo; v=0 (36.12)
ersetzt werden, und man gewinnt die linearisierte gasdynamische Gleichung:
ou ov
(1 — Ma) 3 Tay = 0, 66.13)
Bei einer Unterschallstrémung (Mao< 4) und schlanken Kưrpern tritt diese Glei-
chung naherungsweise an Stelle der Kontinuitatsbedingung (36.1) Man hat wieder ein elliptisches System, das sich verhaltnismaBig leicht behandeln 1a Bt Die gleiche Linearisierung 1ABt sich auch bei mittleren Uberschallgeschwindig- keiten und schlanken Profilen vornehmen Die Schwankungen von %, ? und ¢ sind dann wieder gering genug, um die Naherungen von (36.13) 20 rechtfertigen Weil nun aber M,.C>1 gilt, ist das Vorzeichen des ersten Summanden negativ Man erhalt ein der Gl (36.3) verwandtes System und erkennt nochmals, dab
berschallstrưmungen den hyperbolischen Typen zuzuordnen sind In der Tat
macht sich ein mit Uberschaligeschwindigkeit fliegender Kérper vor der Kopf-
welle iberhaupt nicht bemerkbar und hat damit klar begrenzte EinfluSgebiete
Es zeigt sich, daB eine Uberschallstrémung vor dem Dickenmaximum mit einer Kompression und einer Geschwindigkeitsabnahme reagiert (Fig 31¢), nach
dem Dickenmaximum jedoch Ubergeschwindigkeiten und Unterdrucke aufweist,
was im ganzen (vollig im Gegensatz Zur reibungsfreien Unterschallstrưmung) zu
Widerstanden fiihrt
Neben diesen beiden, durch die Linearisierung in guter Naherung beschrle-
benen Mach-Zahlen-Bereiche, gibt es noch zwei weitere, die eine ahnliche
Vereinfachung grundsätzlich nicht zulassen Ist die Strưmungsgeschwindigkeit
in der Nahe der Schallgeschwindigkeit, so kann die u-Komponente sowohl
kleiner als auch gréBer als c sein Das bedeutet aber, daB der Koeffizient des
ersten Summanden von (36.6) sein Vorzeichen andert Man hat dann das Gebiet
der schallnahen Strémung (transonic flow, écoulement transsonique) Der Typus
des Gleichungssystems ist gemischt elliptisch-hyperbolisch Wie aus der Her-
leitung der Charakteristiken hervorgeht, hangt aber der Typus gerade von dem Koeffizienten ab, und es ist nicht mehr méglich, diesen durch einen bestimmten konstanten Wert zu ersetzen Das wird aus dem Beispiel der Schallstrưmung (Fig 31) auch weitgehend klar, wo die Verhaltnisse fir Schallanstromung dargestellt sind Im Gebiete der Untergeschwindigkeit von Unterschall- (Fig 314)
und Uberschallstrémung (Fig 34) herrscht auch hier Untergeschwindigkeit,
d.h Unterschallgeschwindigkeit, und damit kénnen sich die Stérungen strom-
aufwärts fortpflanzen Hinter dem Dickenmaximum dagegen herrscht Uber-
schallgeschwindigkeit, die Strưmungsverhältnisse im Stangebiet sind damit unab-
hãngig von đer speziellen Form đes Kưrperhecks Đie Tatsache, da8 die mathe-
matischen Eigenschaften des zugrundeliegenden Systems aber erst durch die zu
suchende Geschwindigkeitsverteilung bestimmt werden, macht die Losung be-
sonders schwierig und bedingt, da8 das System mathematisch nicht mehr linear ist
Ein zweites Gebiet, wo die Linearisierung nicht mehr mdglich ist, ist jenes
sehr hoher Uberschallgeschwindigkeiten, obwohl das Differentialgleichungs-
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72 K Oswatitscu: Physikalische Grundlagen der Strưmungslehre Ziff 36 (Fig 31d) und die Kriimmung der Kopfwelle bedingt nach dem Croccoschen Satz Wirbel Dieses zweite nicht lineare Gebiet heiBt H yperschallstyémung.”
Die Grenzen zwischen den zwei Linearisierungsgebieten der Unterschall-
und der mittleren Uberschallstrémung und den beiden wesentlich nicht linearen Gebieten der schallnahen Strémung und der Hyperschallstrưmung sind nicht
scharf und hangen wesentlich von der Art der Fragestellung und der geforderten Genauigkeit ab
6) Ein Zwischenglied zwischen den elliptischen und hyperbolischen Differen-
tialgleichungen oder Differentialgleichungssystemen bildet die Warmeleitungs- gleichung (35.9) In der einfachsten Form fiir konstantes Wärmeleitvermưgen 4 und nur einer Ortskoordinate hat sie die Gestalt;
oT A @T
Wahrend also die Laplace-Gleichung (35.8) als Prototyp einer elliptischen Glei-
chung in der Ebene eine Summe zweier zweiter Ableitungen und die Wellenglei-
chung (36.4) als Prototyp einer hyperbolischen Gleichung in der Ebene eine Dif-
ferenz zweier zweiter Ableitungen aufweist, hat die Warmeleitungsgleichung lberhaupt nur eine zweite Ableitung Fiihrt man den Warmestrom 97 =—Â Ta (36.45) ein, so kann die Warmeleitungsgleichung auch durch das System ersetzt werden: nh at Sứ om dx ~~? (56.16) A2 =— ấy — TỨ-
Zum Unterschied von den Systemen (36.1) und (36.3) tritt in (36.16) in der zweiten Zeile tiberhaupt nur eine Ableitung auf
Fragt man nun wie bei der gasdynamischen Gleichung nach Richtungen, in welchen die Anderungen des Zustandes unbestimmt sind, und fiihrt man mit
den Gln (36.7) zundchst neue Koordinaten ein, so gelangt man zu einem zu (36.8) ahnlichen System: Das Verschwinden der Koeffizientendeterminante der Ab-
leitungen von T und g nach é:
1
a em =ze8=0 J (36.17)
gibt jene Richtungen, tiber die hinweg keine Aussagen getroffen werden kưnnen Man erkennt hier nur eine einzige ausgezeichnete Richtung, ndmlich é,=0 Es gibt also eine Charakteristikenschar Dieser Typus des Gleichungssystems stellt demnach ein Mittelding zwischen den bereits behandelten elliptischen und
hyperbolischen Systemen dar und wird als parabolisch bezeichnet
Physikalisch ist das Resultat durchaus einleuchtend Die Linien &,=0 sind die Geraden t=const Bei einem Warmeleitungsproblem sind nun die Ver-
teilungen zu einer bestimmten Zeit gegeben und man berechnet den Zustand zu einem spãteren Zeitpunkt Die Rechnung wird also schon aus physikalischen berlegungen heraus immer in Zeitrichtung und nie in 4-Richtung durchgefiihrt Der Zustand in einem Punkte + kann immer nur unter Heranziehung der fritheren Zustande in diesem Punkte berechnet werden und nicht allein aus den Zustanden
im tibrigen Feld im gleichen Zeitpunkt
Ziff 36 Mathematische Charakterisierung 73
8) Nach dieser Vorbereitung sei noch eine allgemeinere Strémung mit Warme- leitung und Reibung untersucht, und zwar seien alle Reibungs- und Wärmelei- tungsglieder der Grenzschichttheorie beriicksichtigt, wie sie in Gl (35.5) dar- gestellt sind Hingegen sei die volle zweite Eulersche Gleichung beniitzt, denn
f= (x) gilt nur in der diinnen Reibungsschicht bei hohen Reynolds-Zahlen Das
im folgenden benutzte System erfaBt dann die Strémung sowohl in der Reibungs- schicht an einem schlanken Kérper wie in der freien Umstrémung rund um den Korper Zur Vereinfachung des Systems sei die Dichte aus der Kontinuitats- bedingung durch Druck whd Temperatur unter Annahme der idealen Gaszustands- gleichung eliminiert Die Stromung wird dann durch folgendes System beschrie- ben: ` du | av 1 dp 147 Kon Sa: Ge tap tp a Fa m0 đu 1 ap Ờyy —_ 1 Bew.-GI.: tO be ae =O a a 2 Bew.-GL: = + a =0: a” ; (36.18) ; ou dp aT q_ , Energie-GL : ~ 89 By — Tp T002 T 2; =0; 9 lam Reibung: ø 3y =Ø,y; Warmestrom: —— =—ợ
Man hat ein lineares Differentialgleichungssystem erster Ordnung fiir die Un- bekannten , 0, 2, T, o,, und g Selbstverstandlich kann die Schubspannung o, y und der Warmestrom g in die erste und vierte Gleichung eingesetzt werden Man hatte dort jedoch-dann zweite Ableitungen Ein System mit ausschlieBlich ersten
Ableitungen, aber einer gréBeren Anzahl von Gleichungen ist fiir das Folgende
jedoch vorzuziehen
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74 K Oswatitscu: Physikalische Grundlagen der Strémungslehre Ziff 37
Zar Auffindung der Charakteristiken dieses Gleichungssystems ist die Koefti- zientendeterminante (36.19) gleich Null zu setzen mit dem Ergebnis:
ấp |(,-+ ờ, +Đ,)đ c8 =0 (36.21)
Man erkennt eine vierfache Charakteristik „=0 und zwei Charakteristiken, wel-
che dem Verschwinden des Klammerausdruckes entsprechen Man bezeichnet
ein solches System als parabolisch ausgeartet Der Vorgang, welcher sich aus dem Verschwinden des Klammerausdruckes herleitet, entspricht dem Druckausgleich, welcher durch Warmeleitung veranla8t witd Die Warmezufuhr an ein be- nachbartes Teilchen bedingt im ersten Augenblick einen Druckunterschied,
welcher sich jedoch 4uBerst schnell ausgleicht, und zwar bei diesem Warme- leitungsproblem nicht mit der gewdhnlichen Schallgeschwindigkeit sondern mit
yeié Far die Besprechung dieses Druckausgleichvorganges mége dieser Hin- weis geniigen
Wichtiger erscheint die parabolische Eigenschaft, gekennzeichnet durch £,= 0 Sie ist ftir alle Grenzschichtvorginge und verwandte Reibungsvorgange bezeich-
nend Bei Reibungsschichtberechnungen kann ein Geschwindigkeitsprofil vor-
gegeben werden (Fig 26) Seine Entwicklung stromabwarts errechnet sich dann, gemäB dem Differentialgleichungssystem, analog, jedoch mit betrachtlich gré-
Berem Aufwand, wie die zeitliche Anderung einer Temperaturverteilung Obwohl also die Gleichungen fiir reibungsfreie Unter- und Uberschallstrémung
im System (36.18) als Spezialfalle enthalten sind, ist die hyperbolische Eigenschaft
der Uberschallstrémung durch die Reibung und Warmeleitung véllig tiberdeckt In der Grenzschicht sind also die stehenden Schallwellen nicht mehr Grenzen des
EinfluBgebietes Eine Wirkung stromaufwirts ist allerdings, wenn in der Grenz- schicht keine Riickstrémungen auftreten, trotzdem unméglich, nicht wegen Uberschallgeschwindigkeiten, sondern wegen der allgemeinen Eigenschaften parabolischer Systeme Bei Grenzschichtgleichungen ist diese Wirkung strom-
aufwarts innerhalb der Grenzschicht auch bei Unterschallgeschwindigkeit aus-
geschlossen :
Ein besonderes Problem erwächst in der Grenzschicht in der Umgebung von
Ablésestellen Auch wenn dort die Grenzschichtvernachléssigungen noch zu-
lassig sein’sollten, was im Ejinzelfall zu pritfen ware, hat die Strémung an der
Wand hinter dem Ablésepunkt und damit die Wirkung der verschiedenen Stré- mungsgebiete aufeinander eine zur Hauptstrémung entgegengesetzte Richtung Sind die Anderungen in x-Richtung nicht mehr klein genug, so daB auch die
tibrigen Reibungs- und Warmeleitungsglieder in den Bewegungsgleichungen und in der Energiegleichung mitzufiihren sind, so wiirde sich das System auch bei
Uberschallstrémung als elliptisch erweisen In der Tat ergibt z.B die Berech-
nung der StoBtiefe unter Beriicksichtigung von Warmeleitung und innerer Rei- bung eine Wirkung stromaufwärts Es sei also festgehalten, daB die hyper- bolische Eigenschaft von Uberschallstrémungen ganz wesentlich an das Fehlen von Reibung und Wdarmeleitung gebunden ist, und daB8 die Grenzschichtglei- chungen unabhängig von der Geschwindigkeit parabolischen Charakter auf-
weisen und damit dem Problem der Warmeleitung mathematisch nahe ver- wandt sind
37 Typenwechsel durch Spezialisierung Aus den Ausfiihrungen von Ziff 36 darf nicht der Schlu8 gezogen werden, da8 jedes Uberschallstromungsproblem
oder jedes instationire Problem nur durch eine hyperbolische Differentialglei- chung beschrieben werden kann Die angedeuteten Verhdltnisse lassen sich
Ziff 37 Typenwechsel durch Spezialisierung 75 besonders gut an den hier besprochenen stationären Strưmungen erlautern, gelten aber entsprechend auch bei instationdren Strémungen
Eine stationare, reibungsfreie Uberschallstrémung um einen ebenen Keil oder um einen Kreiskegel stellt eine nur durch eine einzige Veranderliche darstell- bare Aufgabe dar Vergleicht man ndmlich beispielsweise den Strémungszustand
in đen Punkten P, und P, zweier verschieden groBer Kegel mit demselben abso-
luten Abstand von der Spitze (Fig.32), so mtissen diese Stromungszustande gleich sein Denn weder im Punkte B noch P, macht sich ein Einflu8 vom stromab- warts gelegenen Ende des Kegels geltend Die Verkiirzung oder Verlängerung des
Kegels kann sich stromaufwarts nicht bemerkbar machen, da die Einflu8gebiete
in Uberschallstrémung stromabwarts liegen Daraus schon geht hervor, daB die
vorliegenden Schliisse an Uberschallgeschwindigkeit gebunden sind
P Nach der Ahnlichkeitstheorie reibungs-
# loser Strémung muB der Zustand bei ahnlicher VergréBerung oder Verkleine- rung des Modelis unabhangig von der
Fig 32 Ahnliche Kreiskegel, Fig 33 Allgemeiner rhombusférmiger Kegel
Mach-Zahl der Anstrémung in entsprechenden Punkten derselbe sein Fiir Fig 32
bedeutet das Ubereinstimmung des Strémungszustandes in den Punkten PB,
und P, Das bedeutet aber weiter, daB der Strémungszustand in den Punkten P,
und P, derselbe ist Auf diese Weise laBt sich weiter schlieBen, daB Geschwindig- keitsbetrag und Richtung, Druck und Dichte nicht nur auf dem ganzen Kegel oder Keil, sondern auch auf allen Strahlen durch die Spitze konstant sein miissen
Bei einem mit Uberschallgeschwindigkeit angestrémten Kegel oder Keil hangt der Strémungszustand also nur vom Verhaltnis y/x ab
Damit lassen sich aber alle Zustinde bei diesem Problem als Funktion einer einzigen unabhängigen Veränderlichen, y/x, darstellen Das System partieller
Differentialgleichungen l48t sich auf eine gewdhnliche Differentialgleichung zurtickfiihren und die Unterscheidungsmerkmale von hyperbolischen und ellip- tischen Differentialgleichungen, die ganz wesentlich.an mehr als eine Dimension gekniipft sind, fallen weg
Man kann auch sagen, da8 die Abhangigkeit von Kegelkoordinaten bedeutet, daB ein stromaufwarts gelegener Punkt (P,) denselben Zustand aufweist wie ein weiter stromabwiarts gelegener Punkt (RB) Dadurch wird aber das ganze Konzept
der Uberlegungen mit Einflu8- und Abhängigkeitsgebiet zerstért, weil eine Bin- dung stromaufwarts durch Spezialisierung des Stromungsproblems hergestellt ist
Auch fiir allgemeinere Kegelkérper, also z.B einem Kegel mit rhombus-
férmigem Querschnitt (Fig.33), in Uberschallstromung kommt man zu ahnlichen
Schliissen Wieder sind die Zustande auf Strahlen durch die Spitze konstant
Nur hangt der Zustand nun wegen der allgemeineren Form des Kérpers von zwei unabhingigen Verdnderlichen ab, namlich von y/x und z/x, In beiden