HÀM BĂM MẬT MÃ Nguyễn Minh Hòa

Nhằm mục đích đáp ứng các tính chất trên, hàm băm SHA-256 đã được xây dựng dựa trên sơ đồ Merkle-Damgard Ứng và hàm nén Davies-Meyer.Ứng dụng của nó là để kiểm tra tính toàn vẹn của thôn

HÀM BĂM MẬT MÃ

Nguyễn Minh Hòa

Khoa Toán-Tin, Đại học Thăng Long

Email: mr.nmh175@gmail.com

Tóm tắt: Khái niệm hàm băm đã xuất hiện từ lâu trong lĩnh vực máy tính Nó ánh xạ

m ột xâu nhị phân (văn bản, hình ảnh, âm thanh,…) có độ dài bất kỳ thành một xâu có độ dài

c ố định Bản chất của mã băm có thể coi như “dấu vân tay” của một văn bản Nhờ có nó ta

có th ể đảm bảo rằng một văn bản là chính xác và không bị sửa đổi Hiện nay trên thế giới có

r ất nhiều hàm băm phục vụ cho nhiều mục đích khác nhau như quân sự, truyền tin, xác thực…

V ới mong muốn làm chủ mã nguồn, làm chủ chương trình, chúng tôi đã cố gắng tìm hiểu và cài đặt hàm băm SHA-256 phục vụ cho đề tài Xây dựng hệ thống chữ ký số cho trường Đại

h ọc Thăng Long Trong bài báo sẽ mô tả chi tiết về hàm băm này

Từ khóa:Hàm băm, Mã băm, Chữ ký số, SHA-256

1 Giới thiệu

Hàm băm là hàm ánh xạ một xâu nhị phân có độ dài bất kỳ thành một xâu nhị phân có độ dài

cố định (thường được gọi là mã băm) Thông thường, độ dài của mã băm có thể là 128, 160,

256 hoặc 512 bit.Hàm băm có thể coi là hàm nén thông điệp một cách hợp lý

Để có thể dùng trong thực tế, hàm băm cần đảm bảo các tính chất như: thời gian tính toán nhanh, mã băm sinh ra phải ngẫu nhiên và thuật toán phải công khai Nhằm mục đích đáp ứng các tính chất trên, hàm băm SHA-256 đã được xây dựng dựa trên sơ đồ Merkle-Damgard Ứng

và hàm nén Davies-Meyer.Ứng dụng của nó là để kiểm tra tính toàn vẹn của thông điệp Bài báo này sẽ trình bày chi tiết các lý thuyết và cách thức hoạt động của hàm băm SHA-256 Nội dung các phần bao gồm: Phần 2 sẽ mô tả về hàm băm kháng xung đột - một mô hình hàm băm phù hợp với thực tế; Phần 3 mô tả về hàm băm SHA-256; Phần cuối cũng sẽ nói về thực

tế cài đặt hàm băm SHA-256 của dự án

2 Hàm băm kháng xung đột

2.1 Các định nghĩa

Định nghĩa 1.Hàm băm là hàm tính được một cách “hiệu quả”

Nó ánh xạ một xâu nhị phân độ dài bất kỳ trong không gian thông điệp thành một xâu

nhị phân độ dài cố định, gọi là mã băm

Thông thường độ dài của mã băm là d= 128, 160, 256 hoặc 512 bit

Ví dụ 1 Một số hàm băm trong thực tế

Hàm băm d

SHA-3 (Keccak) 224, 256, 384, 512 Giả sử hàm băm được thiết kế một cách lý tưởng (như ngẫu nhiên), khi đó cho trước

mã bămx, xác suất tìm được một dữ liệum thỏa mãn H(m) = x chỉ là Con số này rất gần 0

khi d đủ lớn Như vậy hàm băm cho ta một biểu diễn nén hợp lý của dữ liệu

Bên cạnh đó, để có thể dùng trong thực tế, hàm băm cần có một số tính chất sau:

• Tính hiệu quả: có thuật toán “nhanh” (trong thời gian đa thức ) để tính h

• Tính ngẫu nhiên: giá trị H(m) là khó dự đoán

• Tính công khai

Rõ ràng, vì kích thước đầu vào của hàm băm lớn hơn so với kích thước đầu ra, nên theo nguyên lý “chuồng bồ câu”, luôn tồn tại xung đột Tuy vậy, để hàm băm là an toàn thì việc tìm thấy xung đột phải rất “khó” Có nghĩa rằng, xác suất tìm thấy xung đột phải “nhỏ”

Định nghĩa 3.Hàm H gọi là kháng xung độtnếu với mọi thuật toán (tường minh1)

“hiệu quả” A, ta có

là nhỏ “không đáng kể”

dài tối đa sang các xâu độ dài 256, được thừa nhận một cách rộng rãi là kháng xung

đột

Mục đích của hàm băm không phải là giữ bí mật không điệp mà là đảm bảo tính toàn vẹn thông điệp

1 Vì xung đột luôn tồn tại, nên ta có ngay thuật toán in ra xung đột đó Tường minh ở đây hiểu rẳng thuật

2.2 Tấn công dùng nghịch lý ngày sinh

đột cho các hàm băm trong thời gian

Thu ật toán:

phân biệt là cao)

3 Tìm xung đột Nếu không tìm thấy thì quay lại bước 1

Thuật toán được đánh giá dựa trên định lý sau đây:

Định lý 1 (Nghịch lý ngày sinh nhật) Xét là các bi ến ngẫu nhiên độc lập Nếu thì

Từ định lý trên, ta thấy rằng kỳ vọng tìm được xung đột của thuật toán trên là 2 Thời

gian cần cho thuật toán là và không gian cần là

2.3 Sơ đồ Merkle-Damgard

Để xây dựng hàm băm kháng xung đột, kích thước mã băm tối thiểu nên là 160 bit

Tuy nhiên đầu vào có thể là một xâu với kích thước tùy ý Trên thực tế, việc thiết kế hàm băm trên miền vô hạn là khó Bởi vậy người ta thường thiết kế một hàm nén ánh xạ các xâu

bit độ dài cố định s thành các xâu bít độ dài cố định d, sau đó thực hiện tính toán lặp với hàm

nén để được hàm băm với đầu vào tùy ý

Phép biến đổi Merkle-Damgard là một cách phổ biến để mở rộng một hàm nén kháng xung đột với kích thước đầu vào cố định thành hàm băm kháng xung đột kích thước đầu vào tùy ý Trong sơ đồ Merkle-Damgard, ta sử dụng hàm nén kích thước đầu vào cố định

Hình 1 Sơ đồ Merkle-Damgard Mục đích của ta là xây dựng hàm băm kích thước đầu vào tùy ý

Sơ đồ Merkle-Damgard được mô tả như trong Hình 1

Thuật toán Merkle-Damgard được mô tả như sau:

1 Dữ liệu cần bămm với độ dài |m| = L sẽ được ghép với dãy bit

với l là số nguyên không âm nhỏ nhất để độ dài củam||PB chia hết cho k

2 Thông điệp m||PB sẽ được chia thành các khốik bit:

3 Gán là một dãy d bit cố định

4 Với i = 0, 1, …, t ta tính

5 Output

Tính an toàn của sơ đồ Merkle-Damgard được chỉ ra bởi định lý sau

Định lý 2 Nếu hàm nén h là kháng xung đột, vậy hàm H xây dựng theo sơ đồ

Merkle-Damgard cũng là kháng xung đột

2.4 Xây dựng hàm nén

Sơ đồ trước cho phép ta đưa bài toán thiết kế hàm băm kháng xung đột với đầu vào bất

kỳ về bài toán thiết kế hàm nén với đầu vào cố định Bây giờ ta xem xét một cách thiết kế hàm nén dựa trên mã khối an toàn

Xét hệ mã khối E trên không gian khóa K và không gian thông điệp :

Hàm nén Davies-Meyer định nghĩa bởi:

Giả sử (E,D) là một hệ mã khối “lý tưởng” (tập gồm |K| hoán vị ngẫu nhiên) Tìm một xung độth(x,y)= h(x',y')cho hàm nén Davies-Meyer định nghĩa ở trên mất lần tính (E, D)

Để phù hợp với tiêu chuẩn quốc gia Việt Nam về chữ ký số (TCVN 7635:2007), chúng tôi sử dụng SHA-256 là hàm băm phục vụ dự án chữ ký số của trường Đại học Thăng Long Hàm băm chuẩn SHA-256 được xây dựng dựa trên sơ đồ Merkle-Damgard,hàm nén

Davies-Meyer và hệ mã khối SHACAL-2 với kích thước khối là 256.Phần tiếp theo, chúng ta

sẽ mô tả chi tiết SHA-256 và SHACAL-2

3 Hàm băm SHA-256

Hàm băm SHA256 nhận đầu vào là một xâu bit (ký tự, tập tin…) bất kỳ có độ dài tối

đa bit và tạo ra một mã băm có độ dài 256 bit và thường được biểu diễn dưới dạng 64 chữ số trong hệ cơ số 16

3.1 Sơ đồ chung

Hàm băm này được xây dựng dựa trên sơ đồ Merkle-Damgard với

• Vector khởi tạo là dãy 256 bit được chia thành 8 khối liên tiếp

• Dữ liệu đầu vào được chia thành các khối m[i] kích thước 512 bit, và

• Hàm nén Davies-Meyer

định nghĩa bởi

trong đó E là hệ mã khối an toàn

3.2 Hệ mã khối SHACAL-2

Ta sử dụng một số ký hiệu sau để mô tả hệ mã khối SHACAL-2:

⋀ Phép toán AND

Phép quay phải n bit

Phép dịch phải n bit

Dựa vào các ký hiệu trên, ta xây dựng các hàm sau

Ta cũng sử dụng các hằng số độ dài 32 bit

Đây chính là 32 bit đầu tiên của giá trị căn bậc ba của 64 số nguyên tố đầu tiên Các

hằng số này được mô tả dưới đây (ở dạng hexa)

Quá trình tính toán diễn ra như sau:

4 Cài đặt và thử nghiệm

Hiện nay có khá nhiều thư viện hỗ trợ sẵn hàm băm SHA-256 Tuy nhiên, với mong muốn làm chủ mã nguồn cũng như giúp chương trình sau này linh hoạt hơn trong việc xử lý, thay thế, nâng cấp các modul, chúng tôi quyết định tự cài đặt lại thuật toán SHA-256 theo các

mô tả trong tài liệu FIPS PUB 180-4 và đã cài đặt thành công bằng ngôn ngữ lập trình C++ trên hệ điều hành Windows 8 - 64bits.Chương trình đã được kiểm tra bằng các vector test của NIST cũng như so sánh với các chương trình sinh mã SHA256 khác

Đầu vào của chương trình là đường dẫn một tập tin bất kỳ (văn bản, hình ảnh, âm

thanh,…) Đầu ra của chương trình là một xâu dài 64 ký tự (mỗi ký tự là một số ở hệ cơ số

16), chính là mã băm SHA-256 của tập tin đầu vào ở dạng hexa

Chúng tôi đã chạy thử nghiệm chương trình trên máy laptop có bộ xử lý Core i5 1.8Ghz, với 4GB Ram, hệ điều hành Windows 8, 64 bit Thời gian sinh mã băm của chương trình phụ thuộc vào kích thước của tập tin đầu vào Với những tập tin có kích thước dưới

200MB, thời gian sinh mã băm trung bình là xấp xỉ 1 giây Trong quá trình kiểm thử, chúng

tôi đã băm một tập tin hình video kích thước 1,05GB, thời gian sinh mã băm là xấp xỉ 13 giây

5 Tài liệu tham khảo

[1] Khóa học Cryptography I : https://www.coursera.org/course/crypto

[2] Jonathan Katz và Yehuda Lindell, Introduction to Modern Cryptography,

Chapman & Hall/CRC, 2007

[3] NIST, Federal Information Processing Standards Publication 180-4, SecureHash Standards (SHS), March 2012

Abstract: The concept “hash function” has appeared long ago in Computer Science

It maps a binary string (text, images, audio, ) with any length into a fixed-length string The nature of the hash code can be viewed as a "fingerprint" of a document.And we can use it to guarantee that a document is correct and not be modified.Today, there are many hash functions which are usedformany different purposes, such as military, communications, authentic With a desire to control the source code and program, we have tried to learn and install SHA-256 in digital signature system for Thang Long University project In the paper,

we will describe the details of this hash function.

Keyword:Hash function, Hash digest, Digital signature, SHA-256