Chun đề bất đẳng thức hình học Nhóm LỜINÓIĐẦU Bất đẳng thức lĩnh vực cổ điển ln chiếm vị trí quan trọng kho tàng tốn học, chúng có sức hút kì lạ vẻ đẹp hình thức lẫn điều bí ẩn nội dung.Tuy nhiên hầu hết quan tâm bạn dành cho bất đẳng thức đại số mà quên vẻ đẹp bất đẳng thức hình học Chúng tơi hi vọng chun đề mang đến cho bạn nhìn thống bất đẳng thức hình học Nếu cấp THCS, ta tìm hiểu nhiều hình học phẳng lên cấp THPT ta lại tìm hiểu sâu hình học khơng gian Bất đẳng thức hình học phần quan trọng hình học, xuất nhiều lĩnh vực hình học, từ hình học phẳng sơ cấp, hình học khơng gian, đến hình học tổ hợp,… Bất đẳng thức hình học có ứng dụng rộng lớn đời sống việc chứng minh tốn hình học hóc búa khác Nhìn cách khái quát việc chứng minh bất đẳng thức hình học khơng phải sớm chiều thành thạo được, cần có tổng hợp tất kiến thức hình học lẫn đại số, đầu óc liên tưởng nhạy bén, sáng tạo cách giải,… Ở chuyên đề gửi đến bạn đọc hiểu biết, phương pháp giải mà chúng tơi tích lũy q trình học toán từ trước tới Chuyên đề cung cấp cho bạn đọc từ kiến thức đến mở rộng, từ phương pháp biết cấp THCS, đến phương pháp phức tạp đòi hỏi tư trừu tượng cao Ngoài ra, toán chuyên đề sưu tầm từ đề thi cũ tới đề thi cập nhật Nó chắn hấp dẫn bạn đọc làm tăng thêm say mê bất đẳng thức lĩnh vực mà người tìm đến Các kết chủ yếu mà chuyên đề đạt được: 1) Tập hợp tương đối đầy đủ kiến thức sử dụng nhiều việc chứng minh bất đẳng thức hình học 2) Đưa phương pháp chứng minh chung cho phần I, II 3) Đưa toán từ đơn giản tới nâng cao 4) Bổ sung thêm kiến thức Polytope Khái quát toán đẳng chu, ước lượng từ phẳng sang không gian 5) Sáng tạo việc giải toán toán (phần III) Đưa số câu hỏi mở số kết luận Chuyên đề chia làm ba phần: PHẦN 1: Bất đẳng thức hình học mặt phẳng Trình bày phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học mặt phẳng số kiến thức cần sử dụng chứng minh Trong phần tập trung hầu hết định lí, tốn tiếng (như đường tròn chín điểm, đường thẳng Euler, định lí Pick,…) sử dụng nhiều việc giải tốn hình học PHẦN 2: Bất đẳng thức hình học khơng gian Trong phần đưa kiến thức hình (như tam diện, tứ diện, thiết diện) sau rút số phương pháp chung cho việc chứng minh bất đẳng thức hình học khơng gian PHẦN 3: Các vấn đề ngồi lề Trình bày phần mà chúng tơi tìm tòi (như phương pháp hình học hóa bất đẳng thức đại số phương pháp hay việc giải đại số, toán đẳng chu, Polutope chiều,…) Bên cạnh đó, có bất đẳng thức sưu tầm qua kì thi ngồi nước bất đẳng thức tự sáng tạo (Hình học hay đại số) Chuyên đề bất đẳng thức hình học Nhóm Ngồi chúng tơi đưa ví dụ cụ thể để bạn đọc dễ hình dung phương pháp khơng lí luận sng Sau phần ví dụ chúng tơi có toán chọn lọc nhằm giới thiệu với bạn tốn hay ngồi nước Phần cuối toán tự luyện cho bạn luyện tập kĩ giải toán với phương pháp mà chúng tơi hướng dẫn Để hồn thành chuyên đề nhận giúp đỡ lớn thầy cô tổ chun tốn trường THPT chun Lý Tự Trọng Chúng tơi chân thành cảm ơn giúp đỡ nhiệt tình cô Tạ Thanh Thuỷ Tiên, anh Võ Quốc Bá Cẩn, thầy tổ chun tốn, anh chị chun toán khoá trước, … Do thời gian biên soạn ngắn nên chưa đầy đủ khơng tránh khỏi thiếu sót ngồi ý muốn Chúng tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý báu thầy bạn Nhóm biên soạn Chun đề bất đẳng thức hình học Nhóm MỤC LỤC LỜINÓIĐẦU PHẦN I: BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP KÉO THEO BÀI 2: SỬ DỤNG HỆ THỨC LƯỢNG 16 BÀI 3: SỬ DỤNG TÍCH VƠ HƯỚNG 28 BÀI 4: PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ HÓA 32 BÀI 5: SỬ DỤNG CÁC ĐỊNH LÍ, ĐỊNH NGHĨA VỀ CÁC ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG TRÒN 36 PHẦN II: BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG KHÔNG GIAN 56 CHƯƠNG I: TỨ DIỆN 56 BÀI 1: ƯỚC LƯỢNG HÌNH HỌC 56 BÀI 2: CÁC ĐỊNH LÍ VÀ CÁC BÀI TỐN VỀ GĨC TAM DIỆN, BẤT ĐẲNG THỨC VỀ TỨ DIỆN 62 CHƯƠNG II: THIẾT DIỆN 80 CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH CHUNG TRONG CÁC BÀI BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG KHƠNG GIAN 84 BÀI 1: PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC 84 BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG VÀ MẶT 90 BÀI 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẠI SỐ 92 BÀI 4: CỰC TRỊ HÌNH HỌC 99 BÀI 5: PHƯƠNG PHÁP VECTO 108 PHẦN III: CÁC VẤN ĐỀ NGOÀI LỀ 110 HÌNH HỌC HĨA CÁC BÀI BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ 110 BÀI TOÁN ĐẲNG CHU 114 POLYTOPE CHIỀU 120 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SƯU TẦM 127 HÌNH HỌC HAY ĐẠI SỐ? 137 TÀI LIỆU THAM KHẢO 145