Một số tập dãy số tuần hoàn LêTrang Tơr Trường THPT Chuyên Nguyễn Du, ĐắkLắk Dãy số lĩnh vực khó rộng, đề thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế thường xuất toán dãy số Để giải tốn dãy số đòi hỏi người làm tốn phải có kiến thức tổng hợp số học, đại số, giải tích Các vấn đề liên quan đến dãy số đa dạng có nhiều tài liệu viết vấn đề này, tài liệu thường viết rộng vấn đề dãy số Trong viết đề cập đến phần nhỏ dãy số, tính tuần hồn Một số kiến thức liên quan 1.1 Định nghĩa dãy số tuần hoàn Dãy số (un ) gọi dãy tuần hoàn tồn số nguyên dương p cho un+p = un , ∀n ∈ N (1) Số nguyên dương p nhỏ để dãy (un ) thỏa mãn (1) gọi chu kì sở dãy Ví dụ {1; 2; 1; 2; 1; 2; 1; · · · } dãy tuần hoàn với chu kì 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp Định nghĩa Phương trình sai phân tuyến tính cấp hai ẩn (un ) phương trình sai phân dạng: aun+2 + bun+1 + cun = f (n) (2) Phương trình sai phân tuyến tính tương ứng với phương trình (2) có dạng: aun+2 + bun+1 + cun = (3) Nghiệm tổng quát (2) có dạng un = xn + yn , xn nghiệm tổng qt (3), yn nghiệm riêng (2) Để tìm nghiệm (3) ta lập phương trình đặc trưng (3) là: ax2 + bx + c = TH1 Nếu phương trình đặc trưng (4) có hai nghiệm thực phân biệt λ1 , λ2 thì: xn = Aλn1 + Bλn2 TH2 Nếu phương trình đặc trưng (4) có nghiệm kép λ1 = λ2 = λ0 thì: xn = (A + Bn)λn0 TH3 Nếu phương trình đặc trưng (4) có nghiệm phức λ = α + iβ = r(cos ϕ + i sin ϕ) với y i2 = −1; r = x2 + y ; ϕ = arctan x Khi đó: xn = rn (A cos nϕ + iB sin nϕ) Ở A, B số thực xác định dựa vào điều kiện ban đầu 153 (4) Bài tập √ 3xn√ −1 , xn + Cho {xn }n dãy thỏa mãn xn+1 = n≥1 Chứng minh {xn }n dãy tuần hoàn Hướng dẫn: tan a−tan b tan(a − b) = 1−t mà tan π6 = √13 ana.tanb Ta viết lại xn+1 sau: xn+1 = xn − 1+ √1 √1 xn Thay x1 tan t với t ∈ R, ta được: x2 = tan(t − π6 ) Theo quy nạp : xn = tan [t − (n − 1) π6 ], n ≥ Thật xn+1 xn − √1 tan [t − (n − 1) π6 ] − tan π6 π π π = − = tan t − n = π π = tan t − (n − 1) √ 1+ tan tan [t − (n − 1) ] 6 + xn Hàm tan tuần hồn với chu kì π nên π π π π xn+6 = tan t − (n + 5) = tan t − n + − π = tan t − (n − 1) = xn 6 6 Suy dãy tuần hồn với chu kì Dãy số {xn } định nghĩa sau: x1 = 2, xn+1 = + xn , n = 1, 2, − 2xn Chứng minh: a) xn = ∀n = 1, 2, b) Chứng minh xn không tuần hoàn Hướng dẫn: Ta chứng minh xn = tan nα với α = arctan 2: Với n = : x1 = tan(arctan 2) = Giả sử xn = tan nα Khi xn+1 = + xn tan α + tan nα = = tan(α + nα) = tan(n + 1)α − 2xn − tan nα Với m x2m = tan 2mα = tan mα 2xm = − tan mα − x2m Giử sử xn = n = 2m chẵn Khi đó, x2m Suy xm = Nếu n = 2k (2s + 1)(k, s ∈ Z+ ) xn = x2k (2s+1) =x2.2k-1 (2s+1) =0 ⇒ x2k-1 (2s+1) =0 Sau k bước ta x2s+1 = Do + x2s x2s = ⇒ x2s = −2 ⇒ = −2 − 2x2s − x2s Cả hai nghiệm phương trình số vơ tỉ, xs phải số hữu tỉ ( x1 = ∈ Q) ( mâu thuẫn) 154 b) Giả sử dãy số tuần hoàn, nghĩa xn+m − xn = , ∀n,m ≥ Vì xn = tan nα nên ta có: tan(n + m)α − tan nα = sin mα =0 cos(n + m)αcosnα Do đó: xm = tan mα = 0( mâu thuẫn với câu a) ( 28th VMO 1990) Dãy số {xn } định nghĩa sau: x1 = a, xn+1 = − 3x2n − xn , n = 1, 2, , −1 < a < a) Chứng minh dãy tuần hồn b) Tìm a để số hạng dãy dương a) Đặt x1 = sin k Khi x2 = √ π π π − 3sin2 k − sin k = cos k − sin k = sin cos k − cos = sin( − k) 2 3 Do x3 = sin( π3 − π3 + k) = x1 Suy dãy số tuần hồn chu kì b) Theo câu a, để số hạng dãy dương sin k > x2 = sin ( π3 − k > √ π ⇒0 |un | − |un−1 | Nếu|un | < |un−1 | với n ∈ N ∗ ta có điều phải chứng minh Nếu xảy |un | ≥ |un−1 | > |un+1 | > |un |−|un−1 | = |un |−|un−1 |+|un | mà |un |−|un−1 | ≥ suy |un | < |un+1 | < dãy un khơng phải dãy số tuần hoàn Xét |k| ≤ với k = pq , (p, q) = 1, ≤ q ∈ Z∗ , p ∈ Z Bằng quy nạp theo n ta thu uj = pj q j−1 , pj ∈ Z, (pj , q) = 1, ∀j ∈ {1, · · · n} Từ suy p p pn pn−1 p.pn − q pn−1 pn+1 un+1 = un − un−1 = − = = n , n−1 n−2 n q qq q q q với pn+1 = ppn − q pn−1 ∈ Z (pn+1 , q) = Do q ≥ nên un = um n = m dãy {un } khơng dãy số tuần hồn Xác định giá trị k ∈ Q để dãy số {un } xác định theo công thức u0 = 1, u1 = −1, un+1 = kun − un−1, n ∈ N ∗ dãy số tuần hoàn Khi |k| > dãy {un } khơng dãy số tuần hồn (theo 4) Khi |k| ≤ với k = pq , (p, q) = 1, ≤ q ∈ Z∗ , p ∈ Z dãy {un } khơng dãy số tuần hoàn (theo 4) Xét |k| ≤ k ∈ Z Với k = u0 = 1, u1 = −1, un+1 + un−1 = 2un , n ∈ N ∗ nên {un } cấp số cộng với công sai -2 nên hiển nhiên dãy {un } không dãy số tuần hồn Với k = thì: u0 = 1, u1 = −1, u2 = −2, u3 = −1, u4 = 1, u5 = 2, u6 = 1, u7 = −1, Suy {un } dãy tuần hoàn với chu kì Với k = u0 = 1, u1 = −1, u2 = −1, u3 = 1, u4 = 1, u5 = −1, Suy {un } dãy tuần hồn với chu kì Với k = −1 u0 = 1, u1 = −1, u2 = 0, u3 = 1, u4 = −1, Suy {un } dãy tuần hoàn với chu kì 3: Với k = −2 u0 = 1, u1 = −1, u2 = 1, u3 = −1, Suy {un } dãy tuần hoàn với chu kì 2: 156 Dãy {un }được định nghĩa sau: u4n+1 = 1, u4n+3 = với n ≥ 0vàu2n = un với n ≥ Chứng minh dãy khơng tuần hồn Giả sử dãy cho tuần hoàn, đặt T = 2r q (q lẻ) chu kì dãy Nếu q = 4m + k ≥ r + = u2k = u2k +T = u2k +2r (4m+3) = u2k−r +4m+3 = u4p+3 = (mâu thuẫn) Nếu q = 4m + = u2k = u2k +3T = u2k +3.2r (4m+1) = u2k−r +3(4m+1) = u4p+3 = (mâu thuẫn) Vậy dãy khơng tuần hồn Dãy số xn xác định x0 = 2, x1 = xn+1 = xn − xn−1 a) Chứng minh dãy số tuần hồn; b) Tìm cơng thức tổng qt cho xn a) Ta tính số hạng dãy số dãy 2, 1, −1, −2, −1, 1, 2, 1, Ta có x0 = x6 Giả sử xn+6 = xn với n, ta có : xn+7 = xn+6 − xn+5 = xn − xn+4 + xn+3 = xn − xn+3 + xn+2 + xn+3 = xn + xn+1 − xn = xn+1 Từ ta nhận thấy xn+6 = xn với n Hay dãy số tuần hồn với chu kì b) Tính chất tuần hồn dãy số gợi cho đến dãy số cos(nφ) sin(nφ) Nếu (= 2π/k dãy tuần hồn với chu kỳ k Để ý phương trình xn+1 = xn − xn−1 viết lại dạng xn+1 + xn−1 = cos(π/3)xn (5) Áp dụng công thức cos x + cos y = cos x−y x+y x−y x+y cos , sin x + sin y = cos sin 2 2 ta thấy dãy số cos(nπ/3), sin(nπ/3) thoả mãn phương trình (5) từ dãy số xn = c1 cos(nπ/3) + c2 sin(nπ/3) với c1 , c2 số thoả mãn (5) Bây giờ, ta cần chọn c1 , c2 thích hợp để x0 = 2, x1 = xong Giải hệ c1 cos(0) + c2 sin(0) = c1 cos(π/3) + c2 sin(π/3) = ta c1 = 2, c2 = Vậy công thức tổng quát dãy số cho xn = cos(nπ/3) 10 Giả sử α2005 + β 2005 biểu diễn đa thức α + β αβ Tìm tổng hệ số đa thức Trong khai triển αk + β k , đặt α + β = 1và αβ = Ta có, tổng hệ số là: Sk = α k + β k = (α + β) αk-1 + β k−1 = (αk + β k ) + αβ αk-2 + β k−2 Suy ra, Sk = Sk−1 +Sk−2 Vì Sk = Sk+6 nên (Sk ) dãy tuần hồn với chu kì S2005 = S1 = 157 Phương pháp sử dụng tính tuần hồn dãy số dư Định lí Cho dãy số nguyên (an ) thoả mãnan = c1 an+1 +c2 an+2 + +ck an+k c1 , c2 , , ck số nguyên m số nguyên dương lớn Gọi rn số dư phép chia an cho m Khi dãy (rn ) tuần hồn Bài tốn Chứng minh tồn vô hạn số hạng dãy Fibonacci chia hết cho 2012 Lời giải Ta chứng minh toán tổng quát: với số tự nhiên n, tồn vô hạn số hạng dãy Fibonacci chia hết cho N Gọi ri số dư phép chia Fi cho n ≤ rn ≤ N − Xét cặp số dư chia hai số hạng liên tiếp dãy Fibonacci theo modulo N (r0 , r1 ); (r1 , r2 ); (r2 , r3 ) Vì dãy Fibonacci vơ hạn mà có n2 khả cho cặp số dư theo modulo N nên tồn (ri , ri+1 ) thoả mãn ri ≡ ri+m ri+1 ≡ ri+m+1 (mod N) với m ∈ Z + Xét i > 1, ta có: ri−1 = ri+1 − ri ≡ ri+m+1 − ri+m = ri+m−1 (modN ) Quá trình tiếp tục dẫn đến rj ≡ rj+m (modN ) ∀j ≥ Suy ≡ r0 ≡ rm ≡ r2m ≡ (modN ) , tức có vơ hạn số rkm thoả mãn yêu cầu toán Vậy toán chứng minh Bài toán Cho dãy số (an ) xác định bởi: a0 = 29; a1 = 105; a2 = 381 an+3 = 3an+2 + an+1 + an (1) ∀n ≥ Chứng minh với số nguyên dương m tồn số tự nhiên n cho số an , an+1 − 1, an+2 − chia hết cho m Lời giải Ta bổ sung thêm bốn số hạng dãy a−1 = 8, a−2 = 2, a−3 = 1, a−4 = Giả sử an ≡ rn (modm); ≤ rn ≤ m − Xét ba (rn , rn+1 , rn+2 ) Khi tồn hai số nguyên p < q cho: r = r p q ap ≡ aq (modm) rp+1 = rq+1 ⇒ ap+1 ≡ aq+1 (modm) rp+2 = rq+2 ap+2 ≡ aq+2 (modm) Kết hợp với (1) ta được: aq+k ≡ ap+k (modm) ∀k Do ak ≡ aq−p+k (modm) ∀k Đặt t = q − p ∈ N ∗ ak ≡ ak+t (modm) ∀k 158 Suy ak ≡ ak+ht (modm) ∀k ∈ N ; ∀h ∈ N ∗ Nói riêng ta aht−4 ≡ a−4 ≡ (modm) aht−3 ≡ a−3 ≡ −1 (modm) aht−2 ≡ a−2 ≡ (modm) Với h đủ lớn ht − ∈ N Khi đặt n = ht − ta được: an ≡ 0(modm), an+1 ≡ 1(modm), an+2 ≡ 2(modm) Do số an , an+1 − 1, an+2 − chia hết cho m( đpcm) Bài toán Cho dãy số an xác định a1 = 33; a2 = 49, a3 = 177 an+3 = 8an+2 − 8an+1 + an Chứng minh với giá trị của n, an không chia hết cho 2013 Chú ý 2013=61.33 Điều gợi ý ta nghĩ tới xét theo modulo 61 (61 nguyên tố) Gọi rn số dư phép chia an cho 61 a1 ≡ 33(mod61); a2 ≡ 49(mod61); a3 ≡ 55(mod61); Sau số tính tốn ta thấy (rn ) dãy tuần hồn chu kì 15 kể từ r1 Bằng tính tốn 15 số hạng đầu dãy ta thấy khơng có số hạng an chia hết cho 61 Do an khơng chia hết cho 61 với n, từ ta có đpcm Bài tốn Cho dãy số (an ) xác định a1 = 111; a2 = 23 an+2 = 4a2n+1 − an , ∀n ≥ Chứng minh tồn vô số số hạng dãy chia hết cho 2015 Ta có a3 = 2005chia hết cho 2005 Gọi rn số dư phép chia an cho 2005 Từ công thức 2 − rn+2 (mod2005) truy hồi dãy (an ) ta có rn+2 = 4rn+1 − rn (mod2005) Suy rn ≡ 4rn+1 Đồng thời dãy rn tuần hồn kể từ lúc đó, nghĩa tồn n0 , T ≥ 1sao cho rn+T = rn , ∀n ≥ n0 Chọn n = n0 − + T ta rn0 −1+T ≡ rn0 −1 Tương tự ta có rn0 −2+T ≡ rn0 −2 , , r1+T = r1 , rT = r0 Do r3+nT = r3 = 0, ∀n ∈ N hay a3+nT chia hết cho 2005 Tài Liệu tham khảo Dãy số toán dãy số - Trần Nam Dũng Mathematical olympiad challenges - Titu Andreescu and Razvan Gelca Problema-Solving strategies - Athur Engel 159 ... (modN ) ∀j ≥ Suy ≡ r0 ≡ rm ≡ r2m ≡ (modN ) , tức có vơ hạn số rkm thoả mãn yêu cầu to n Vậy to n chứng minh Bài to n Cho dãy số (an ) xác định bởi: a0 = 29; a1 = 105; a2 = 381 an+3 = 3an+2 + an+1... a3+nT chia hết cho 2005 Tài Liệu tham khảo Dãy số to n dãy số - Trần Nam Dũng Mathematical olympiad challenges - Titu Andreescu and Razvan Gelca Problema-Solving strategies - Athur Engel 159 ... u2m < 2a Nếu um lẻ um+1 = um + a chẵn Do um+2 = um2+a < 3a < 2a( mâu thuẫn) Theo nguyên lý Dirichlet suy dãy số tuần hoàn √ Chứng minh dãy số (un ) thỏa mãn: un+1 + un−1 = 2un n ∈ N∗ tuần hoàn