Vấn đề LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶTPHẲNG Phương pháp: 1) Để lập phương trình (P ) ta cần tìm điểm mà (P ) qua VTPT (P ) Khi tìm VTPT (P ) cần lưu ý số tính chất sau : u r r �Nếu giá hai véc tơ khơng phương a, b có giá song song ur n ( P ) nằm u r r � a, b�là VTPT (P ) � � �Nếu hai mặtphẳng song song với VTPT mặtphẳng VTPT mặtphẳng uuur �Nếu (P ) chứa (hoặc song song) với AB giá véc tơ AB nằm (hoặc song song) với (P ) �Nếu (P ) (Q) VTPT mặtphẳng có giá nằm song song với mặtphẳng uuur �Nếu (P ) AB AB VTPT (P ) �Thơng thường để lập phương trình mặtphẳng ta thường tìm cặp véc tơ có giá song song nằm (P ) , từ tìm VTPT (P ) 2) Các trường hợp đặc biệt �Mặt phẳng ( ) qua ba điểm không trùng với gốc tọa độ x y z a b c �Các mặtphẳng tọa độ (Oyz) : x 0, (Ozx) : y 0, (Oxy) : z �Mặt phẳng ( ) qua gốc tọa độ Ax By Cz �Mặt phẳng ( ) song song (D �0) chứa (D 0) trục Ox có dạng By Cz D �Mặt phẳng ( ) song song (D �0) chứa (D 0) trục Oy có dạng Ax Cz D �Mặt phẳng ( ) song song (D �0) chứa (D 0) trục Oz có dạng Ax By D �Mặt phẳng ( ) song song (D �0) với mặtphẳng (Oxy) có phương trình A (a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) có phương trình Cz D �Mặt phẳng ( ) song song (D �0) với mặtphẳng (Oyz) có phương trình Ax D �Mặt phẳng ( ) song song (D �0) với mặtphẳng (Ozx) có phương trình 107 By D Ví dụ 1.2.6 Cho tam giác ABC vuông cân A Trọng tâm tam giác G(3; 6; 1) trung điểm BC M(4; 8; 1) Đường thẳng BC nằm mặtphẳng 2x y 2z 14 Tìm tọa độ đỉnh A,B,C Lời giải Gọi tọa độ A(xA ; yA ; zA ) uuur uuuur Ta có: GA(xA 3; yA 6; zA 1), MG(1; 2; 2) �xA 2 uuur uuuur � Vì GA 2MG nên �yA 4 � � zA � xA � � yA � A(1; 2; 5) � � zA � Do B thuộc mặtphẳng 2x y 2z 14 � B(a; 14 2a 2b; b) uuuu r uuuur Suy MB(a 4; 2a 2b; b 1), MA(3; 6; 6) Tam giác ABC vuông cân A nên phải cĩ: uuuur uuuu r � MA.MB � 3(a 4) 6(6 2a 2b) 6(b 1) MA MB � � r �� � �uuuuur uuuu � MA MB MA MB (a 4)2 (6 2a 2b)2 (b 1)2 81 � � � � a 2b a 2b � � �� � � (2 2b)2 (2 2b)2 (b 1)2 81 � (b 1)2 � a 2b � � � �� b1 � �� b 3 �� a 2b � b 2; a 2 � � �� b �� b 4; a 10 � �� b 4 �� Nếu a 2; b B(2; 14;2), C(10; 2; 4) Nếu a 10; b 4 B(10; 2; 4), C(2; 14;2) Ví dụ 2.2.6 Trong khơng gian tọa độ Oxyz , Cho điểm A (1;0;0), B(0; b;0) , C (0;0; c) , b, c dương mặtphẳng (P ) : y z Xác định b c , biết mặtphẳng ( ABC ) vng góc với mặtphẳng (P ) khoảng cách từ điểm O đến mặtphẳng ( ABC ) Cho điểm A(5; 3; 1), C(2;3; 4) đỉnh hình vng ABCD Tìm tọa độ điểm D biết điểm B nằm mặtphẳng có phương trình ( ): x y z Lời giải Phương trình ( ABC ) : 108 x y z 1 b c Vì ( ABC) (P ) � 1 � b c � ( ABC) : bx y z b b c Mà d(O, ( ABC )) � Vậy b c b b2 1 � b (do b ) giá trị _an tìm 5� �7 � � uuur uuur Gọi B(x; y; z) AB(x 5; y 3; z 1), CB(x 2; y 3; z 4) Tâm hình vng I � ; 3; � 2 � �x y z B �( ) � � x z 1 Ta có �AB CB � � �uuur uuur � (x 5)(x 2) (y 3)2 (z 1)(z 4) �AB.CB � Giải ta có B(2; 3; 1) B(3; 1; 2) Suy điểm cần tìm tương ứng D(5; 3; 4) D(4; 5; 3) Ví dụ 3.2.6 Trong khơng gian Oxyz Cho điểm A (2;0;1), B(0; 2;3) mặtphẳng (P ) : 2x y z Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA MB Đề thi ĐH Khối A – 2011 Cho mặt cầu (S) có phương trình x2 y2 z2 4x y 4z điểm A (4;4;0) Viết phương trình mặtphẳng (OAB) , biết B thuộc (S) tam giác OAB Đề thi ĐH Khối A – 2011 Lời giải uuur Gọi E trung điểm AB ta có: E (1; 1;2) , AB (2; 2;2) Phương trình mặtphẳng trung trực (Q) AB có phương trình: x y z Vì MA MB nên suy M �(Q) � M �(P ) �(Q) � c 3 � � 2a b c � � M ( a ; b ; c ) Gọi suy ra: � � �a b c � b 1 � �1 �2 � �3 � �2 a a 2 � Mặt khác: MA � (a 2)2 � a 1� � a 2� Giải ta a 0, a � 109 � 12 � � �7 7 � Vậy có hai điểm thỏa yêu cầu toán là: M 0;1;3 , M � ; ; Xét B (a; b; c) Vì tam giác AOB nên ta có hệ: � OA OB � OA AB � 2 � �a b �a b �a b c 32 � � �� �� �� 2 2 � (a 4)2 (b 4)2 c2 32 �c 32 a b �c 16 2b 8b � Mà B �(S) nên : a2 b2 c2 4a 4b 4c � (4 b)2 b2 16 2b2 8b 4(4 b) 4b 4c Hay c � b2 4b � b 0, b Do B (4;0;4) B 0;4;4 uuur uuur OA, OB � 16; 16;16 nên phương trình (OAB) : � B 0;4;4 ta có � � � x y z uuur uuur OA, OB � 16; 16; 16 nên phương trình (OAB) : � B(4;0;4) ta có � � � x y z Ví dụ 4.2.6 Trong khơng gian Oxyz Cho hai mặtphẳng (P ) : x y z (Q) : x y z Viết phương trình mặtphẳng (R ) vng góc với (P ) (Q) cho khoảng cách từ O đến (R ) 2 Cho ba điểm A (0;1;2), B (2; 2;1), C (2;0;1) a) Viết phương trình mặtphẳng qua ba điểm A, B, C tìm tọa độ trực tâm tam giác ABC b) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặtphẳng (P ) : 2x 2y z cho MA MB MC Lời giải uuu r uuu r Mặtphẳng (P ) có nP (1;1;1) VTPT, mp(Q) có nQ (1; 1;1) VTPT uuur uuu r uuu r � (R ) (P ) � mp(R ) có nR � nP , nQ � (1;0; 1) VTPT � (R ) (Q) 2� � Do � Suy (R ) : x z m Ta có d(O;(R)) � 110 m 1 0 � m �2 Vậy (R ) : x z �2 uuur uuuu r uuur uuuu r � � (2;4; 8) � AB , AC a) Ta có: AB (2; 3; 1), AC (2; 1; 1) � � VTPT mp( ABC ) Phương trình mp( ABC) : x y 4z Gọi H (a; b; c) trực tâm tam giác ABC � H �( ABC ) � a 2b 4c (1) uuuu r uuuu r Ta có: CH (a; b 1; c 2), BH (a 2; b 2; c 1) uuur uuuu r � � � CH AB 2a 3b c �AB.CH � �uuuu �� r uuuu r Vì � (2) 2a b c �BH AC � �BH AC Từ (1) (2) suy a 0; b 1; c Vậy H (0;1;2) b) Giả sử M (a; b; c) �(P ) � 2a 2b c (3) 2 � �MA MB � 2b 4c 4a 4b 2c �� � 2 4a 4b 2c 4a 2c � � MB MC � � 2a 3b c � 2a b � Do � (4) Từ (3) (4) ta tìm được: a 2; b 3; c 7 Vậy M (2;3; 7) điểm cần tìm Ví dụ 5.2.6 Trong khơng gian Oxyz cho điểm A 2;0;0 , M 0; 3;6 Chứng minh mặtphẳng P : x 2y tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO Tìm toạ độ tiếp điểm ? Viết phương trình mặtphẳng (Q) chứa A, M cắt trục Oy, Oz điểm tương ứng B, C cho VOABC Lời giải Ta có OM Do d M , (P ) 2.(3) 12 22 OM , suy (P ) tiếp xúc với mặt cầu tâm bán kính OM Gọi H (a; b; c) tọa độ tiếp điểm � H �(P ) � a 2b (1) 111 �a b uuuu r uuu r �a t; b 2t � t �� Mặt khác OH (P ) � OH / / nP � �1 �c �c � �3 � Vậy H � ; ;0� �5 � Giả sử B (0; b;0), C (0;0; c) Vì mp(Q) qua A, B, C nên phương trình x y z : (Q) : b c 3 6b 1� c Vì M �(Q) � (2) b c b 1 Khi đó: VOABC OA.OB.OC bc � bc (3) � b � 2b2 3b � � � Thay (2) vào (3) ta có: 2b b � � b � 2b2 3b � � x y z �b � c � (Q) : � 3x 2y 2z 3 �b � c 6 � (Q) : 3x y z Ví dụ 6.2.6 Viết phương trình mặtphẳng ( ) biết: ( ) qua A (1; 1;1), B(2;0;3) ( ) song song với Ox ; ( ) qua M (3;0;1), N (6; 2;1) ( ) tạo với (Oyz) góc thỏa Thay vào (1) ta được: t 4t � t Lời giải Vì ( ) song song với Ox nên phương trình ( ) có dạng: ay bz c cos � a b c �c 3b �� , chọn 3b c � �a 2b Do A, B �( ) nên ta có: � b 1 � a 2, c Vậy phương trình ( ) : 2y z Vì M �( ) nên phương trình ( ) có dạng: a(x 3) by c(x 1) � ax by cx 3a c (1) Do N �( ) � 3a 2b � b a 112 Mặt khác cos a r i (1;0;0) VTPT (Oyz) nên ta có: �2 � � 49a2 � a a c2 � 13a2 4c2 � c �3a � � a2 b2 c2 Ta chọn a � b 3, c �6 Từ ta có phương trình ( ) là: 2x 3y 6z 12 2x 3y 6z CC BI TỐN LUYỆN TẬP Bi Lập phương trình mặtphẳng (P ) biết: (P ) qua A (1;2;3), B(4; 2; 1), C (3; 1;2) ; (P ) mặtphẳng trung trực đoạn AC ( Với A, C câu 1); (P ) qua M (0;0;1), N (0;2;0) song song với AB ; (P ) qua hình chiếu A lên mặtphẳng tọa độ Bi Cho hai mặtphẳng có phương trình ( ) :x y z & () : 3x y z Lập phương trình mặtphẳng (P ) qua giao tuyến hai mặtphẳng ( ), ( ) mặtphẳng (P ) Qua điểm A(1;8;2) Vng góc với mặtphẳng (Q) :x 8y z Tạo với (R) : x 2y 2z góc với cos 33 Bi Lập phương trình mặtphẳng ( ) , biết: ( ) qua M (2;3;1) song song với mp (P ) : x 2y 3z ; ( ) qua A 2;1;1 , B 1; 2; 3 ( ) vng góc với ( ) : x y z ; ( ) chứa trục Ox vng góc với (Q) : 2x 3y z ( ) qua ba điểm A(2;8;5),B(18;14;0),C(12;8;3) ( ) mặtphẳng trung trực EF với E(5;2;7), F(1;8;1) ( ) qua D(2;3;5) song song với mặtphẳng (Oyz) ( ) qua G(1; 3;2) vng góc với hai mặtphẳng (): x 2y 5z 0, ( ) : 2x 3y z ( ) qua hình chiếu điểm H(2;1;5) trục tọa độ Bi Lập phương trình P trương hợp sau: P qua A 1;2;1 song song với Q : x y 3z ; P qua M 0;1;2 , N 0;1;1 , E 2;0;0 ; 113 P mặtphẳng trung trực đoạn M N ( M , N ý 2) ; P qua hình chiếu A (1;2;3) lên trục tọa độ ; P qua B 1;2;0 , C 0;2;0 vng góc với R : x y z ; P qua D 1;2;3 vng góc với hai mặtphẳng : : x ; : y z Bi Trong không gian Oxyz cho ba điểm A (3;0;0), B (1;2;1), C (2; 1;2) Lập phương trình mặtphẳng qua A, B cắt trục Oz điểm M (đvdt) 2 Lập phương trình mặtphẳng qua C, A cắt trục Oy điểm N cho thể tích khối tứ diện ABCN 12 (đvtt) Lập phương trình mặtphẳng ( ) qua ba điểm B, C tâm mặt cầu nội tiếp hình tứ diện OABC cho diện tích tam giác MAB Bi Trong khơng gian Oxyz cho bốn điểm A (1;2;3), B(2;3; 1) , C (0;1;1) D(4; 3;5) Lập phương trình mặtphẳng ( ) biết: ( ) qua A chứa Ox ( ) qua A, B cách hai điểm C, D Bi Lập phương trình mặtphẳng ( ) , biết: ( ) qua A 1;1;1 , B(3;0;2) khoảng cách từ C 1;0; 2 đến ( ) ; ( ) cách hai mặtphẳng (P ) : 2x y 2z 0, (Q) : x 2y 2z ( ) qua giao tuyến hai mặtphẳng (P ) (Q) , đồng thời ( ) vng góc với mặtphẳng ( ) : 3x 2y z Bi Lập phương trình (P ) biết (P ) : Song song với Q : 2x 3y 6z 14 khoảng cách từ O đến (P ) Đi qua giao tuyến hai mp ( ) : x 3z ; ( ) : y 2z , � 1� 2� khoảng cách từ M �0;0; �đến (P) � Bi 114 Lập phương trình mặtphẳng ( ) biết ( ) qua A(1;0;2), B(2; 3;3) tạo với mặtphẳng ( ) :4x y z góc 600 ( ) qua C (2; 3;5), vng góc với (P ) : x 5y z tạo với mặtphẳng (Q) :2x 2y z góc 450 Bi 10 Cho mặtphẳng (P ) :2x y 2z ba điểm A(1;2; 1), B(0;1;2),C(1; 1;0) Tìm điểm M �Ox cho d(M, (P )) Tìm điểm N �Oy cho điểm N cách mặtphẳng (P ) điểm A 3 Tìm điểm K �(P ) cho K B K C K A H � (P ) Tìm điểm cho HA HB HC CC BI TỐN DNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC Bi 11 Tìm m, n để mặtphẳng sau qua đường thẳng: P : x my nz , Q : x y 3z R : 2x 3y z Khi viết phương trình mặtphẳng ( ) 23 qua đường thẳng chung tạo với (P ) góc cho cos 679 Cho ba mặt phẳng: (1) : x y z 0; ( 2) : 2x 3y 4z ( 3) : x 2y 2z a) Chứng minh cặp mp (1) ( 2) ; (1) ( 3) cắt nhau; b) Viết phương trình (P ) qua A 1;0;1 giao tuyến (1) ( 2) ; c) Viết phương trình (Q) qua giao tuyến hai mp (1) ( 2) đồng thời vng góc với mp ( 3) (P ) :(4 a)x (a 5)y az a Cho ba mặtphẳng (Q) :2x 3y bz 0; (R) :3x cy a(c a)z c a) Biện luận vị trí tương đối hai mặtphẳng (P ) (Q) b) Tìm a, c để (P ) song song với (R) c) Tìm a, c để (P ) qua điểm A(1; 3; 2) (P ) vng góc với (R) Bi 12 Lập phương trình mặtphẳng ( ) biết ( ) qua hai điểm A (1;2; 1), B (0; 3;2) vng góc với (P ) : 2x y z ( ) cách hai mặtphẳng ( ) : x 2y 2z 0, ( ) : 2x 2y z 115 ( ) qua hai điểm C (1;0;2), D(1; 2;3) khoảng cách từ gốc tọa độ tới mặtphẳng ( ) 11 ( ) qua E (0; 1; 1) d( A, ( )) 2; d(B, ( )) , A (1;2; 1), B(0; 3;2) Qua hai điểm A(1;2;3), B(5; 2;3) ( ) tạo với mặtphẳng ( ) góc 450 , với ( ): 4x y z Qua C(1; 1; 1), ( ) tạo với mặtphẳng ( ) : x y góc 600 đồng thời d(O,( )) Bi 13 Lập phương trình mặtphẳng ( ) biết ( ) Cách hai mặtphẳng (1 ) : 5x 2y 7z 0,(2 ): 5x 2y 7z 60 Song song với (3 ) : 6x 3y 2z khoảng cách từ A(1; 2; 1) đến mặtphẳng ( ) Qua hai điểm B(5;0; 3), C(2; 5;0) đồng thời ( ) hai điểm M(1; 2; 6) N(1; 4;2) Qua D(1; 3; 1), vuông góc với mặtphẳng 3x 2y 2z d(E,( )) 3, với E(5; 2; 3) Qua F(4;2;1) d(I,( )) , d(J ,( )) I(1; 1;2) J (3; 4; 1) 116