Lý Thuyết Điều Khiển Hiện Đại

Bài tập lý thuyết điều khiển hiện đại tham khảo. Phần đáp án không bảo đảm chính xác 100% nên không chịu trách nhiệm liên quan. Bài tập bao gồm 6 bài và có file matlab kèm theo. Yêu cầu đối với matlab: Tốt nhất có phiên bản từ 2014 trở lên vì bài tập này được làm trên matlab 2014, những phiên bản củ hơn có thể bị lỗi.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA CÔNG NGHỆ

BỘ MÔN TỰ ĐỘNG HÓA

BÀI TẬP

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN HIỆN ĐẠI

(CN580)

Năm 2017

BÀI 1:

LYAPUNOV THEORY

Homework assignment 3: Consider a mass and spring system Form a state equation and find a Lyapunov candidate for this system

We have,

x = x1

= 1 = x2

= 2 = (F – bx2 – kx1)

=> F = m + b + kx

<=> m 2 + b 1 + kx1 – F = 0

Applying the law of conservation of momentum:

V(x) = mx2 + kx1 (1)

Make the derivation 2 sides of (1):

= mx2 2 + kx1 1

= mx2 (F – bx2 – kx1) + kx1x2

= Fx2 – bx2 – kx1x2 + kx1x2

= Fx2 – bx2 < 0 if F < 0 (compressive force)

BÀI 2:

ADAPTIVE CONTROL

Homework assignment 1: Consider a system shown in the figure below

Hệ thống được mô tả như sau:

) ( )

( )

(t a x t k u t

xp  p p  p

Ta có mô hình

) ( ) ( ) ( ) ) ( ˆ ( ) ( ˆ

)

(

xp  m p  p  m p  p

Sai số mô hình exˆp(t)x p(t)e xˆp(t)xp(t)

) ( ) ) ( ˆ ( ) ( ) )

( ˆ ( )

(

x

a

e m p  p  m  p p  p  p

a (xˆ (t) x (t)) (aˆ (t) a )x (t) (kˆ (t) k )u(t)

p p

p p p

p p



a m e(t)(t)x p(t)(t)u(t)

2

2 



   là tham số sai số ( ( ) ˆ ( ) , ( ) ˆ ( ) )

p p

p

a



 ( ) ( ) ( )

2

1 )

,

,

) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,

,

V        



 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )

e m  p     



) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (

2

t t t

t t

u t e t t

x t e t t

e



Để V(e,,)là một hàm xác định âm

















) ( ) (

)

(

) ( ) (

)

(

t u t e

t

t x t

e































) ( ) ( )

( ˆ ) (

) ( ) ( )

( ˆ ) (

t u t e t

k t

t x t e t

a t

p

p p













0 ) ( )

, ,

V e   a m e t

Kết quả mô phỏng

BÀI 3:

ADAPTIVE CONTROL Homework assignment 2: Consider a system shown in the figure below

Find adaptive laws of p(t) and p(t)

Ta Có:

( )

( )

p



. p( ) p. p( ) p ( )

Ta Có:

x  t  u t  x t t

Mà :

^

^

e t x t x t

a ( ) ( ) a ( ) k ( ) (t) u(t)

^

Với:

^

^

t a





Chọn hàm Lyapunov:

1

( ) ( ) ( ) , 0, & (0) 0.

2

V    e t   t  v t   V    t R V 

  t )  ( ) t  v t v t ( ) ( )

Hệ thống ổn định nếu V 0 ,Do đó luật thích nghi được định nghĩa:

^

p

t e t u t k t

v t e t x t t





Kết quả mô trên Matlab

 Nhận xét: trong khoảng thời gian đầu từ 0 đến 7s quá trình cập nhật luật điều khiển chưa kịp nên vẫn còn sai số, sau 7s hệ thống thiết kế dần bám theo đối tượng

BÀI 4:

MODEL REFERENCE BASED ADAPTIVE CONTROL (MRAC)

Homework assignment: Consider the first-order system:

bu ay dt

dy  

c m m

dt

dy  

ym’ = -amy+bmuc

u(t) = t0uc + s0y

e = y - ym

Với a=1 ,b=0.5 ,am = bm= 2, γ =1

Bài làm :

Ta có : u(t) = t0uc + s0y

y’ = -ay(t) + b[t0u(t)-s0y(t)]

= - (a+bs0)y(t) + bt0uc(t)

= - amym(t) + bmuc(t)

0

0

m

m

a a

S

b

b

t

b



 





 



Với hàm điều khiển ta có thể viết :

0

0

c

bt

p a bs



 

Với e= y-ym, “sensitivity derivatives” là :

0

c

bt

e

u

t p a bs



2

2

0 ( 0) c 0

e

s p a bs p a bs



Mà : a+bs0 = am

p + a + bs0 =p + am

Do đó :

dt

dt   p a   p a

dt   p a   p a

m

b

a



 

Code mô phỏng trên Matlab:

Kết quả mô phỏng trên Matlab:

BÀI 5:

SLIDING MODE CONTROLLER

Homework assignment: Given a system as follows

kx x c x m t

bu ( )     

15

.

0

2

.

0

2

5

.

1









k

c

m

b

1.5 ( ) u t 2 x 0.2 x 0.15 x

 

1

.

.

2

1

.

2

1

[-0,2x 0,15 1, 5 ]

x x

x

x







2 0.1x 0.075x 0.75 ( )u t

 







Phương trình trạng thái :

.

1 1

.

2 2

( ) 0.075 0.1 0.75

x x

u t x

x

 

Định nghĩa hàm trượt :

. 1



 

Lấy đạo hàm của hàm trược theo thời gian

1 .

0

S e e



Trong đó :

d

e   x x

.

d

e   x x

d

e   x x

Định nghĩa hàm Lyapunov :

.

1

V( )

2

( ) S

s S

V s S



Để V s.( )0 thì

.

( )

S  ksign s nên :

1

( )

e x ksign s



.

1

1 0.1 0.075 0.75 ( ) ( ) ( )

d d

x x x x ksign s







Code trên matlab

Khối SMC

Khối Plant

Mô phỏng trên Matlab

BÀI 6:

GENERAL LINEAR MODEL AND LEAST SQUARE

ESTIMATOR

Homework assignment:

Given y = x1 + 2x2 – 3x3 + 2.5x4 + e

Assuming that e is a random noise, find (t) and its parameters by

referencing the given Matlab code

X(t) = [x1 x2 x3 x4]

(t) = [1 2 3 4]T = [1 2 -3 2.5]T

e is model error

We know that

(t) = X(t) (t)

We also have

(t) = [X(t)XT(t)]-1XT(t)y(t)

We can find out (t), (t) is found as well

BÀI 7:

RECURSIVE LEAST SQUARE METHOD

Derive the discrete-time recursive least squares algorithm with

exponential forgetting by minimizing the following criterion

Take the derivative of J

        0

1





d

i

T t

        0 1







d

i

T t

1



 t

i

T T

T t

i i

i y





         







i

T T

t

i

i i

i y i

1 1

.



        1

.





i

t

i

T T

i i

i y





Definition:

      i i

t

t

t

i











1

1

      i y i

T

t

f

t

i

T







1

         2

1

^

, min

i

k



With  i, k is weighting fuction

  i R     i f i

1 _



 (2)

  t       i k k k

i k













1

_

        



 i

k

k y k k i t

f

1

Suppose that the weighting sequence has the following property

    i , k   i  ( i  1 , k ), 1  k  i  1 ,    i , i  1

From (3) and (5) we have

             









 1

1

_

, ,

1

i

k

T T

k k

i i k

k k i i

        i R i  k T k

_

(6) (4) and (5) we have

 1    1,            ,

i

k

i y i i i k

y k k i i i

          i f i  1   i y i (7)

Replace (7) into (2) we have:

  i R           i   i f i  i y i 

1

_

^

(8) From (2) we have

      1     1 1

^ _

^

1

_















i i

R i

f i R

i

Replace (8) into (9) we have

                 



i y i i

i R i i

R

_ _

1

_

^

(10)

From (6)      i R_ i  1  R_      i   i T i (11)

Replace (11) into (10) we have

             



























i y i i

i i i

R t

R

^ _

1

_

^

             







1 )

1

(

^ 1

_

^

i i

y i i R

Put P i R  i

1 _ 



From (11) we have

     i i R i  t

R  1 T

_

_

(13) Using matrix lemma of (13), we have

ABCD 1  A 1 A 1BDA 1BC 11DA 1

Where    1

_



 i R i

A 

B i

D T  i

C1

i

i R i

i

i R i i

i i R i

i

R

i

















1

1 1

1 1

1 _ _

1 1

_ 1

_ 1

_

1













































 

 

 

 i

i i P i i

i

i P i i P

i

i

P

T T















1 1















       

 i

i i P i i

i P i i i P i

P

i

P

T T







































1 1

1

(14)

We have

         

 i

i i P i i

i i P i i i P i i P i

i

R

T T











































1

1 1

1

1

_

   

i i P i i

i i P

















1

1

(15) From (12), (14), and (15), the least square algorithm can be

summarized as follows

         1        1

^

^

^

i i i

y i L i



             

i i P i i

i i P

i









1

1









   

       

 i

i i P i i

i P i i i P i

P

i

P

T T







































1 1

1

Where  t is forgetting factor