Đề thi thử ĐH 2009 (Hòa Luân)

đề thi thử đại học lần thứ HAI khối B_NM 2009 Môn: Toán Thời gian: 180 phút I. Phần chung cho tất cả thí sinh (7 điểm) Câu I (2 điểm). Cho hm s y = x 3 + 3x 2 - 1 cú th l ( C ) 1. Kho sỏt hm s. 2. Dựng th ( C ) bin lun theo m s nghim ca phng trỡnh: x 3 + 3x 2 - 9x - m - 1 = 0. Câu II (2 điểm) 1. Gii bt phng trỡnh: log 2 x + log 2x 8 3. 2. Gii h phng trỡnh: 2 2 2 2 x 2 x y 3 y 5 x 2 x y 3 y 2 ỡ ù + + + + + = ù ù ớ ù + - + + - = ù ù ợ Câu III (1 điểm). Tớnh tớch phõn: I = 4 0 ln(1 tan x)dx + . Câu IV (1 điểm). Cho hỡnh lp phng ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 cú C(0; 0; 0), B (4; 0; 0), D (0; 4; 0 ), C 1 ( 0; 0; 4 ). Gi M, N tng ng l trung im ca B 1 C 1 v AB; P, Q l cỏc im thuc cỏc ng thng BD v CD 1 sao cho PQ song song vi MN. Lp phng trỡnh mt phng (R) cha hai ng thng MN v PQ. Câu V (1 điểm). Cho bn s thc x, y, z, t 1 . Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: 4 4 4 4 1 1 1 1 P (xyzt 1) x 1 y 1 z 1 t 1 ổ ử ữ ỗ = + + + + ữ ỗ ữ ỗ ố ứ + + + + . II. Phần riêng (3 điểm) 1.Theo chơng trình chuẩn Câu VIa (2 điểm). 1. Gii phng trỡnh: ( ) ( ) 2 3 3 log 5 log x 2x 6 2 2 x 2x 6 4 x 2x 6 - + - + + = - + . 2. Cho hỡnh thoi ABCD. Cnh AB v ng chộo BD, theo th t ú nm trờn cỏc ng thng cú phng trỡnh (d 1 ): x +7y - 7 = 0 v (d 2 ): x + 2y - 7 = 0; mt nh cú to l (0;1). Vit phng trỡnh cỏc cnh cũn li. Câu VIIa (1 điểm). T cỏc ch s 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 cú th lp c bao nhiờu s t nhiờn gm 6 ch s khỏc nhau v trong ú nht thit phi cú ch s 7. 2. Theo chơng trình nâng cao (3 điểm) Câu VIb (2 điểm) 1. Cho khi lng tr tam giỏc ABC.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a v nh A cỏch u cỏc nh A, B, C. Cnh bờn AA to vi ỏy gúc 60 0 . Tớnh th tớch ca khi lng tr theo a. 2. Cho elip ( E ): 2 2 x y 1 16 9 + = v ng thng (d 3 ): 3x + 4y = 0 a) Chng minh rng ng thng d 3 ct elip (E) ti hai im phõn bit A v B. Tỡm to hai im ú (vi hnh ca im A nh hn honh ca ca im B ). b) Tỡm im M (x ; y) thuc (E) sao cho tam giỏc MAB cú din tớch bng 12. Câu VIIb (1 điểm) Gii phng trỡnh: x 2009 2008x 1= + ----------------------Hết---------------------- Thớ sinh khụng c dung ti liu. Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. H v tờn thớ sinh: S bỏo danh: ĐÁP ÁN ®Ò thi thö ®¹i häc lÇn thø HAI khèi B_NĂM 2009 Câu Nội dung I 1 ) 2) II 1) *Tập xác định : R * Sự biến thiên: y ’ = 3x 2 + 6x , y ’ = 0 ⇔ x = -2 ; x = 0 Hàm số đồng biến trên từng khoảng: ( - ∞ ; - 2 ); ( 0 ; + ∞ ) Hàm số nghịch biến trên khoảng: ( - 2; 0 ) xCĐ = - 2, yCĐ = y ( - 2 ) = 3; xCT = 0 , yCT = y ( 0 ) = -1 y ' ' = 6x + 6 , y ' ' = 0 ⇔ x = - 1 ĐT hàm số lồi trên khoảng (- ∞ ;-1), lõm trên khoảng (-1;+ ∞ ) và có điểm uốn (-1;1) lim ±∞→x y = ± ∞ Bảng biến thiên: x - ∞ - 2 - 1 0 + ∞ y ’ + 0 - - 0 + 3 + ∞ y 1 - ∞ -1 * Đồ thị: y 3 1 -2 -1 0 x ………………………………………………………………………………………………………………… Tập xác định : R x 3 + 3x 2 - 9x - m - 1 = 0 ⇔ x 3 + 3x 2 - 1 = 9x + m Số nghiệm của PT bằng số giao điểm của (C) và đường thẳng y = 9x + m có HSG bằng 9 và tung độ gốc m. Hoành độ TĐ của tiếp tuyến có HSG bằng 9 là nghiệm: y ' = 3x 2 + 6x = 9 ⇒ x = - 3 ; x = 1 Tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ x = - 3 là: y = 9x + 26 Tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ x = 1 là: y = 9x - 6 Từ đó: * m < - 6 hoặc m > 26 PT có 1 nghiệm * m = - 6 hoặc m = 26 PT có 2 nghiệm * - 6 < m < 26 PT có 3 nghiệm. ………………………………………………………………………………………………………………… ĐK: 0 < x ≠ 1/ 2 . BPT viết lại: log 2 x + 3 / ( 1 + log 2 x ) ≤ 3 ⇔ ( log 2 2 x - 2log 2 x ) / ( 1 + log 2 x ) ≤ 0 Từ log 2 x - ∞ - 1 0 2 + ∞ log 2 2 x - 2log 2 x + + - + 1 + log 2 x - 0 + + + VT - P + 0 - 0 + 2) III IV Suy ra: 1 0 2 0 2 2 log x 1 x log x 2 1 x 4  < − < <   ⇒   ≤ ≤  ≤ ≤  …………………………………………………………………………………………………… .………… 2 2 2 2 2 2 x 2 x y 3 y 5 2 x 2 2 y 3 7 2x 2y 3 x 2 x y 3 y 2 ì ì ï ï + + + + + = + + + = ï ï ï ï Û í í ï ï + = + - + + - = ï ï ï î ï î 2 2 4x 12x 21 7 2 x 2 (*) 3 2x y 2 ì ï - + = - + ï ï ï Û í - ï = ï ï ï î . Bình phương 2 vế (*), ta được: ( ) 2 2 2 2 1 17 4x 12x 21 7 2 x 2 7 x 2 3x 9 x x 2 20 - + = - + + = + = =Þ Þ Ú (thỏa (*)). Vậy 17 1 x x 20 2 13 y 1 y 20 ì ï ì ï ï = ï ï = ï ï Ú í í ï ï ï ï = = ï ï î ï î . ………………………………………………………………………………………………………………… Đặt x = ( π /4) - t ⇒ dx = - dt ; x = 0 thì t = π /4 ; x = π /4 thì t = 0 ⇒ I = 4 0 ln(1 tg( t))dt 4 π π + − ∫ = 4 0 1 tgt ln(1 )dt 1 tg π − + + ∫ = 4 0 2 ln dt 1 tg π + ∫ = = 4 4 0 0 ln 2dt ln(1 tgt)dt π π − + ∫ ∫ = 4 0 t.ln 2 π - I ⇒ 2I = π ln2 / 4 ⇒ I = π ln2 / 8. ………………………………………………………………………………………………………………… Chọn (Oxyz) như hình bên Do C(0;0;0) , B(4;0;0) , D(0;4;0), C 1 (0;0;4) => B 1 (4;0;4) , A(4;4;0) , D 1 (0;4;4) M là trung điểm B 1 C 1 => M(2;0;4) N là trung điểm AB => N(4;2;0) Ta có: MN uuuur (2;2;-4) ⇒ VTCP của (MN ) là u r (1;1;-2) BD ( 4;4;0)= − uuur , ⇒ VTCP của (BD) là 1 u (1; 1;0)= − r ⇒ (BD ): 1 1 x 4 t y t z 0 = +   = −   =  1 CD (0;4;4)= uuuur ⇒ VTCP của (CD 1 ) là 2 u (0;1;1)= r ⇒ ( CD 1 ): 2 2 x 0 y t z t =   =   =  P ∈ (BD) ⇒ P(4 + t 1 ; -t 1 ;0) , Q ∈ (CD 1 ) ⇒ Q(0;t 2 ;t 2 ) ⇒ 1 2 1 2 PQ( 4 t ;t t ;t )− − + uuur PQ // MN ⇒ 1 2 1 2 4 t t t t 1 1 2 − − + = = − ⇒ t 1 = - 3 , t 2 = 2 ⇒ P( 1; 3; 0) , Q( 0; 2; 2) MN uuuur =(2 ; 2; - 4 ) , MP uuur =( -1; 3; -4 ) ⇒ VTPT ( R ) là n r =( 4; 12; 8 ) ⇒ (R): 1(x - 1) + 3(y - 3) + 2(Z - 0) = 0 hay (R): x+ 3y + 2z - 10 = 0. z x y C 1 B D D 1 B 1 M C P A 1 Q N A V VIa 1) 2) VIIa VIb Ta có: 4 4 4 4 2 2 4 4 4 4 2 2 1 1 2 x y 2 2 x 1 y 1 x y 1 x y x y 1 x y 1 + + + ³Û³ + + + + + + + ( ) ( ) ( ) 6 2 4 4 2 6 4 4 4 4 2 2 x y x y x y x y x y 2x y 0- + - - + -Û ³ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 x y x y x x x y 0 x y x y 1 0- - - + - -Û ³ Û ³ (đúng). Chứng minh tương tự, ta có: 4 4 4 4 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 4 2 P 4 xyzt 1 x 1 y 1 z 1 t 1 x y 1 z t 1 æ ö ÷ ç ÷ + + + +³ ³Þ³ ç ÷ ç ÷ ç + è ø + + + + + + . Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = t = 1. ( ) ( ) ( ) 2 3 3 3 log 3 log 5 log x 2x 6 2 2 pt x 2x 6 4 x 2x 6 - + - + + = - +Û ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 2 2 2 3 3 3 log x 2x 6 log x 2x 6 log x 2x 6 log x 2x 6 log x 2x 6 3 4 3 4 5 1 0 5 5 - + - + - + - + - + æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ + = + - =Û Û ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ è ø è ø ( ) t t 2 3 3 4 1 0, t log x 2x 6 t 2 5 5 æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ + - = = - + =Û Û ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ è ø è ø (do t t 3 4 f(t) 1 5 5 æ ö æ ö ÷ ÷ ç ç ÷ ÷= + - ç ç ÷ ÷ ç ç ÷ ÷ è ø è ø nghịch biến) 2 x 2x 6 9 x 1 x 3- + = = - =Û Û Ú . ………………………………………………………………………………………………………………… Toạ độ B là nghiệm của hệ: x + 7y - 7 = 0 x = 7 x + 2y -7 = 0 ⇒ y = 0 ⇒ B( 7 ; 0) Ta thấy: Đỉnh có toạ độ (0 ; 1) ∈ d 1 : x + 7y -7 = 0 ⇒ A(0 ; 1) Do ABCD là hình thoi ⇒ AC ⊥ BD ⇒ n r BD = ( 1 ; 2 ) ⇒ n r AC =(2; -1) ⇒ phương trình đường thẳng AC là: 2x - y + 1 = 0 Toạ độ trung điểm I của AC, BD là nghiệm: 2x -y + 1 = 0 x +2y -7= 0 => I (1;3 ) Do I là trung điểm của AC, BD => C(2;5) , D(-5,6) * Do BC uuur (-5;5) ⇒ phương trình BC là: x + y - 7 = 0 * Do AD uuur (-5;5) ⇒ phương trình AD là: x + y - 1 = 0 * Do CD uuur (-7;1) ⇒ phương trình CD là: x + 7y - 37 = 0. ………………………………………………………………………………………………………………… Số cần tìm có dạng: abcdef TH1: Nếu a= 7 ( số 7 đứng vị trí đầu tiên ) ⇒ Số các số dạng này là A 5 7 TH2: Nếu a ≠ 7 ( số 7 không đứng vị trí đầu tiên ) Có 6 cách chọn số thứ nhất ( Trừ só 0 và số 7 ) Có 5 cách xếp số 7 vào các ô từ vị trí thứ 2 đến vị trí thứ 6 Còn 4 vị trí còn lại là A 4 6 Số các số dạng này là 6 x 5 x A 4 6 Vậy các số cần tìm là : A 5 7 + 6 x 5 x A 4 6 = 2 520 + 10 800 = 13 320 …………………………………………………………………………………………………………………. Gọi O là hình chiếu của A’ trên (ABC). Ta có: A ' A A ' B A ' C OA OB OC= = = =Þ 1) 2 ) VIIb 2 a 3 a 3 OA . 3 2 3 = =Þ OA ' OA.t g60 a= =Þ o 2 3 ABC 1 1 a 3 a 3 V OA ' .S a 3 3 4 12 D = = =Þ . ………………………………………………………………………………………………………………………………………… Toạ độ A, B là nghiệm của hệ: 2 2 x y 1 16 9 03x 4y  + =    + =  Vậy d 3 cắt (E) tại 2 điểm phân biệt 3 2 A 2 2; 2   −  ÷   , 3 2 B 2 2; 2   −  ÷   Ta có M(x;y ) ∈ (E) ⇔ x = 4cost và y = 3sint với t ∈ [ 0 ; 2 π ] Chú ý: AB = 5 2 , có 12 = S ∆ MAB = 1 2 5 2 d(M, (AB)) = = 1 2 5 2 12cost 12sin t 5 + = 12 cos(t ) 4 π − ⇒ cos(t ) 4 π − = 1 ⇒ t = π / 4 ; t = 5 π /4 Vậy có 2 điểm M thoả mãn là: 1 3 2 M 2 2; 2    ÷   và 2 3 2 M 2 2; 2   − −  ÷   ………………………………………………………………………………………………………………… Ta có x = 0 , x = 1 là nghiệm của phương trình. PT viết lại : f ( x ) = 2009 x - 2008x - 1 = 0 với x ∈ ( - ∞ ; + ∞ ) f ' ( x ) = 2009 x ln 2009 - 2008; f '' ( x ) = 2009 x ln 2 2009 > 0 ; ∀ x ⇒ f ' ( x ) luôn luôn đồng biến Cùng f (x) liên tục và x lim →−∞ f ' ( x ) = - 2008 , x lim →+∞ f ' ( x ) = + ∞ ⇒ ∃ x 0 để f ' ( x 0 ) = 0 x - ∞ x 0 + ∞ f ' ( x ) - 0 + f ( x ) Từ bảng biến thiên ⇒ f ( x ) không có quá 2 nghiệm. Vậy phương trình có 2 nghiệm là x = 0 ; x = 1. . lại : f ( x ) = 2009 x - 2008x - 1 = 0 với x ∈ ( - ∞ ; + ∞ ) f ' ( x ) = 2009 x ln 2009 - 2008; f '' ( x ) = 2009 x ln 2 2009 > 0 ; ∀. đề thi thử đại học lần thứ HAI khối B_NM 2009 Môn: Toán Thời gian: 180 phút I. Phần chung cho tất