Ipho 2017 bg ly thuyet 1 olimpic quốc tế

T1 Solutions/ Marking Scheme     Dark Matter  A Cluster of Galaxies  Question A.1  Answer  Marks  Potential energy for a system  of a spherical object with mass  M (r )   r   and a test particle with mass dm at a distance r is given by  dU  G 0.2 pts  M (r ) dm   r Thus for a sphere of radius R  R U   G  R R M (r ) 4 r  16 dm    G 4 r  dr   G   r dr 0 r 3r   0.6 pts  16 G  R5 15 Then using the total mass of the system  M   R3    0.2 pts  we have  U  GM   R Total    Page 1 of 14  1.0 pts  T1 Solutions/ Marking Scheme     Question A.2  Answer  Marks  Using the  Doppler Effect,   fi  f0  f (1   ) ,  1  where    v c  and  v  c  . Thus the i‐th galaxy moving away (radial) speed  is  Vri   fi  f0 c  f0 0.2 pts  Alternative without approximation:  fi  f0   1  f  Vri  c  1    fi  All the galaxies in the galaxy cluster will be moving away together due to the  cosmological  expansion.  Thus  the  average  moving  away  speed  of  the  N galaxies in the cluster is  Vcr   c N  fi  f0    c  Nf i 1 N N  fi i 1    f   1    0.3 pts  Alternative without approximation:  Vcr  cf N  1  c     N i 1  f i f  N  f0   1   i 1  f i  N   Total    Page 2 of 14  0.5 pts  T1 Solutions/ Marking Scheme     Question A.3  Answer  Marks  The galaxy moving away speed  Vi , in part A.2, is only one component of the  three component of the galaxy velocity.  Thus the average square speed of each  galaxy with respect to the center of the cluster is  N N  (V i  V c )  i 1 N N  (V i 1 xi  Vxc )  (Vyi  Vyc )  (Vzi  Vzc )   0.5 pts  Due to isotropic assumption  N N  (V i  V c )2  i 1 N N  (V i 1 ri  Vcr )   And thus the root mean square of the galaxy speed with respect to the cluster  center is  vrms  vrms  N (Vri  Vrc )   N i 1 N 2 (Vri  2VcrVri  Vcr )   N i 1  N 2  Vri   3Vcr   N  i 1  2 1 N  f  1 N  f    i i  c     1       1   N i 1  f   N f    i 1       N 2 c 1 N f N    fi  fi f0  f0      fi    fi  f0     f  N i 1 N i 1    N i 1    c  N 2  N    N  fi     fi  f N  i 1   i 1   Alternative without approximation:  Page 3 of 14  0.7 pts  T1 Solutions/ Marking Scheme     vrms 2 1 N f    N  f      1      1  c   N i 1  f i    N i 1  f i   1     N  1 N 1  c  N              2    f  N i 1  f i f i f f     N i 1 f i  N f i 1 f i f    2 cf  N     N   N         N f  f  i 1  i    i 1 i      The mean kinetic energy of the galaxies with respect to the center of the cluster  is  K ave  m N N  (V i 1 i  V c )2  m vrms   0.3 pts    Total  1.5 pts    Page 4 of 14  T1 Solutions/ Marking Scheme     Question A.4  Answer  Marks  The time average of  d  / dt  vanishes  d dt  0  t Now  0.6 pts    dpi  d d    dri   pi  ri    ri   pi  dt dt i dt dt    i i         Fi  ri   mi vi  vi   Fi  ri  K i i i Where K is the total kinetic energy of the system. Since the gravitational force on  i‐th  particle comes from its interaction with other particles then               Fi  ri   Fji  ri   Fji  ri   Fij  ri   Fji  ri   Fji  rj i i , j i i j i j i j i j         mi m j (ri  rj )   mi m j   Fji  (ri  rj )   G      (ri  rj )   G    U tot | ri  rj | | ri  rj | | ri  rj | i j i j i j Alternative proof:  , ⋯ 0.9 pts    Collecting terms and noting that  ⋯  we have  Page 5 of 14    ⋯ ⋯ …     T1 Solutions/ Marking Scheme     ⋯ ⋯ ⋯   Thus we have  d  U  2K   dt d And  by  taking  its  time  average  we  obtain  U  2K dt K t     and  thus 0.2 pts  t 1 U t  Therefore     2 Total  1.7 pts    Page 6 of 14  T1 Solutions/ Marking Scheme     Question A.5  Answer  Marks  Using Virial theorem, and since the dark matter has the same root mean square  speed as the galaxy, then we have  K t  U t  0.3 pts  M GM   vrms  25 R From which we have  M  0.1 pts  Rv rms   3G And the dark matter mass is then M dm  0.1 pts  Rv rms  Nm g   3G Total  0.5 pts    Page 7 of 14  T1 Solutions/ Marking Scheme     B Dark Matter in a Galaxy  Question B.1  Answer  Marks  Answer B.1: The gravitational attraction for a particle at a distance r from  the  center  of  the  sphere  comes  only  from  particles  inside  a  spherical  volume of radius r. For particle inside the sphere with mass ms , assuming  the particle is orbiting the center of mass in a circular orbit, we have   G 0.3 pts  m' (r )m s m s v02    r r2    with  m' ( r ) is the total mass inside a sphere of radius  r   m' ( r )  r m s n   0.2 pts  Thus we have  1/  4Gnms  v (r )    r      While for particle outside the sphere, we have  0.2 pts  1/  4Gnms R   v (r )   3r                   Page 8 of 14  T1 Solutions/ Marking Scheme     The sketch is given below  0.1 pts    Sketch of the rotation velocity vs distance from the center of galaxy  Total  0.8 pts  Question B.2  Answer  Marks  The total mass can be inferred from  G m' ( R g ) m s Rg  ms v02   Rg 0.5 pts  Thus  m R  m' ( R g )  v02 R g G     Total  0.5 pts    Page 9 of 14  T1 Solutions/ Marking Scheme     Question B.3  Answer  Marks  Base on the previous answer in B.1, if the mass of the galaxy comes only  from  the  visible  stars,  then  the  galaxy  rotation  curve  should  fall  proportional to r  on the outside at a distance r >  Rg  But in the figure  of problem b) the curve remain constant after r >  Rg , we can infer from  G m' (r )m s m s v02    r r2 0.3 pts   to make  v (r ) constant, then m'(r) should be proportional to r for r  R g ,  i.e. for r > Rg ,  m' (r )  Ar with  A  is a constant.       While  for r  R g ,  to  obtain  a  linear  plot  proportional  to r ,  then  m ' ( r ) should be proportional to r , i.e.  m' (r )  Br   0.3 pts    Thus for  r  R g we have  r m' (r )    t (r )4r ' dr '  Br   0.2 pts  dm' ( r )   t ( r ) 4r dr  3Br dr   Thus total mass density  t (r )  3B   4   v02 mR 3B B    r ' dr '  BR or g   0 4 Rg GRg Rg mR  Thus the dark matter mass density  (r )    Page 10 of 14  3v 02 4GR g  nm s   0.2 pts  T1 Solutions/ Marking Scheme     While for  r  R g  we have  Rg r Rg m' (r )    (r ' )4r ' dr '    (r ' )4r ' dr '  Ar   r m' (r )  m R    (r ' )4r ' dr '  Ar   Rg 0.2 pts    r   (r ' )4r ' R dr '  Ar  M    (r )4r  A , or  (r )  A  .  4r   Now to find the constant A.   r R A 4r ' dr '  A(r  R g )  Ar  m R 4r ' Thus  AR g  m R and  A    v02   G We can also find A from the following  G 0.3 pts  m' ( r ) m s Arm s m s v02 v02 A , thus     G  r G r2 r2 Thus the dark matter mass density (which is also the total mass density  since  n   for  r  R g    (r )  v02 for r  R g   4Gr   Total  1.5 pts  Page 11 of 14  T1 Solutions/ Marking Scheme     C Interstellar Gas and Dark Matter     Question C.1  Answer  Marks  Consider a very small volume of a disk with area A and thickness r, see Fig.1  0.3 pts    Figure 1. Hydrostatic equilibrium  In hydrostatic equilibrium we have  ( P(r )  P(r  r )) A   g (r ) Ar    P Gm' (r )     r r2 dP Gm' ( r ) Gm' ( r )     n( r ) m p   dr r r2 0.2 pts    Total  0.5 pts      Page 12 of 14  T1 Solutions/ Marking Scheme     Question C.2  Answer  Marks  Using the ideal gas law P = n kT where n = N/V where n is the number  density, we have  dP dn( r ) dT GM ' (r ) Gm’(r)  kT  kn( r )   n(r )m p   dr dr dr r 0.5 pts  Thus we have  m' ( r )   kT Gm p  r dn(r ) r dT (r )       T (r ) dr   n(r ) dr Total  0.5 pts    Question C.3  Answer  Marks  If we have isothermal distribution, we have dT/dr = 0 and  m' ( r )   kT0 Gm p  r dn(r )       n(r ) dr  0.2 pts    From information about interstellar gas number density, we have  dn(r ) 3r      n(r ) dr r (r   ) Thus we have  m' (r )  0.2 pts  kT0 r 3r     Gm p ( r   )   Page 13 of 14  T1 Solutions/ Marking Scheme     Mass density of the interstellar gas is   g (r )  m p   r (  r )2 Thus   m' (r )    g (r ' )   dm (r ' ) 4r ' dr '  r kT0 r 3r     Gm p (r   ) 0.3 pts    m p kT r 3r     dm (r ' ) 4r ' dr '  m' (r )      Gm p (r   )   r ' (  r ' ) r    m p  kT0 3r  6r    4r    ( ) r   dm Gm p (r   )  r (  r )   dm (r )  m p kT0 3r  6r      2 4Gm p (r   ) r r (  r )2 0.3 pts    Total  1.0 pts    Page 14 of 14  ... Page 3 of? ?14   0.7 pts  T1 Solutions/ Marking Scheme     vrms 2 ? ?1 N f    N  f      1? ??      1? ??  c   N i ? ?1  f i    N i ? ?1  f i   1     N  1 N 1  c ...  N i ? ?1 N 2 (Vri  2VcrVri  Vcr )   N i ? ?1  N 2  Vri   3Vcr   N  i ? ?1  2 ? ?1 N  f  ? ?1 N  f    i i  c     1? ??       1? ??   N i ? ?1  f   N f    i ? ?1   ... i ? ?1 N N  fi i ? ?1    f   1? ??    0.3 pts  Alternative without approximation:  Vcr  cf N  1  c     N i ? ?1  f i f  N  f0   1? ??   i ? ?1  f i  N   Total    Page 2 of? ?14