Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học

Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học Kỉ yếu mùa hè 2017 hình học

Những tốn Hình phẳng chọn lọc qua kì thi Tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Toán 2017-2018 Phúc Tăng - Việt Hưng Kỉ yếu cuối cấp - Mùa hè 2017 Lời nói đầu: ơm chúng tơi viết viết nhằm tổng hợp chọn lại hình học phẳng hay qua kì thi tuyển sinh vào lớp 10 Chun Tốn 2017-2018 Vẫn nhiều hình hay chúng tơi khơng đưa vào lí xuất nhiều đề thi từ năm trước Các toán toán số lạ lẫm với học sinh Chúng tơi hi vọng viết hữu ích cho bạn đọc Dù cố gắng cẩn thận sai sót điều khơng thể tránh khỏi, ý kiến đóng góp xin gửi email: hungviefpthl@gmail.com H Nhóm tác giả Các tốn Hình phẳng lời giải: Bài Đề vòng Chuyên Bà Rịa Vũng Tàu 2017-2018 Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC), nội tiếp đường tròn (O) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC IA ∩ (O) = J A; JO ∩ (O) = K J; JO ∩ BC = E a) Chứng minh: J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC JE.JKJI2 b) Tiếp tuyến B C đường tròn (O) cắt S Chứng minh rằng: SJ.EK = SK.EJ c) SA ∩ (O) = D A; DI ∩ (O) = M D Chứng minh rằng: JM qua trung điểm đoạn thẳng IE Những tốn Hình học phẳng qua kì thi tuyển sinh vào 10 Chun Tốn 2017-2018 Lời giải: Câu a, b dễ xin nhường lại cho bạn đọc tự giải c) Gọi T tâm đường tròn bàng tiếp góc A Dễ dàng thấy J trung điểm IT Ta có: ∠BAI = ∠IAC; ∠ACT = 90 + ∠ACI = ∠AIB (biến đổi góc ) ⇒ ATC ∼ BAJ(g − g) ⇒ AI.AT = AB.AC (1) Lại chứng minh được: AEC ∼ ABD Suy AB.AC = AE.AD (2) Từ (1) (2) suy AI.AT = AE.AD suy AID ∼ AET(c − g − c) ⇒ ∠ATE = ∠ADI = ∠AJM ⇒ JM//ET mà J trung điểm IT Nên JM qua trung điểm IE ❑ Nhận xét: Mấu chốt toán nằm điểm T Bài tốn thực hay đòi hỏi học sinh phải vận dụng thành thạo tam giác đồng dạng Với áp lực thời gian thi thực thử thách lớn học sinh làm Lê Việt Hưng - Nguyễn Phúc Tăng Những tốn Hình học phẳng qua kì thi tuyển sinh vào 10 Chun tốn 2017-2018 Bài Đề vòng Sư Phạm Hà Nội 2017-2018 Cho đường tròn (O) bán kính R điểm M nằm ngồi đường tròn (O) Kẻ tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn (A, B tiếp điểm) Trên AB lấy điểm C(C khác A, B) Gọi I, K trung điểm MA, MC KA ∩ (O) = D Chứng minh rằng: a) Chứng minh: KO2 − KM2 = R2 b) Chứng minh tứ giác BCDM tứ giác nội tiếp c) Gọi E = MD ∩ (O) N trung điểm KE.KE ∩ (O) = F Chứng minh rằng: Bốn điểm I, A, N, F thuộc đường tròn Lời giải: a) Bổ đề: Từ A nằm ngồi đường tròn (O; R) vẽ tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O) (B, C tiếp điểm) Gọi P, Q trung điểm AB, AC Từ điểm M thuộc cạnh PQ kẻ tiếp tuyến MD đường tròn Chứng minh rằng: MA = MD Chứng minh: Gọi H giao điểm OA BC Ta có: OD2 = OB2 = OH.OA ⇒ OD tiếp tuyến đường tròn (O) ⇒ M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADH ⇒ MA = MD Bổ đề chứng minh Nguyễn Phúc Tăng - Lê Việt Hưng Những tốn Hình học phẳng qua kì thi tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán 2017-2018 Quay trở lại tốn Từ bổ đề ta có được: KO2 − KM2 = R2 b) Từ Bổ đề ta có: KC2 = KD.KA ⇒ KCD ∼ KAC ⇒ ∠KCD = ∠KAC hay ∠MCD = ∠BAD = ∠DBM ⇒ MDCB tứ giác nội tiếp c) Gọi L trung điểm KD ∠AEM = ∠MAK = ∠EMK ⇒ AE KM KF.KE = KD.KA ⇒ KF.KN = KL.KA ⇒ ANKL nội tiếp ⇒ ∠LAF = ∠LNF = ∠MEK = ∠FMK hay ∠KAF = ∠KMF ⇒ MKFA nội tiếp ⇒ ∠AFN = ∠AMK = ∠AIN ⇒ I, A, N, F thuộc đường tròn ❑ Bài Vòng Chuyên Trần Hưng Đạo Bình Thuận Cho tam giác nhọn ABC(AB < AC) có AD đường cao, H trực tâm tam giác ABC Tia BH cắt đường tròn đường kính AC E, F cho BE < BF, tia CH cắt đường tròn đường kính AB G cho CG < CK, (EDG) ∩ BC = P a) Chứng minh : A tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác KEGF b) Chứng minh P, E, K thẳng hàng c) Chứng minh K, D, P, F thuộc đường tròn Lời giải: a) Theo hệ thức lượng: AE2 = AJ.AC = AI.AB = AG2 ⇒ AE = AG A thuộc đường trung trực EF ⇒ AE = AF Chứng minh tương tự ta thu được: AG = AK ⇒ AE = AG = AK = AF ⇒ A tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác KEGF Lê Việt Hưng - Nguyễn Phúc Tăng Những tốn Hình học phẳng qua kì thi tuyển sinh vào 10 Chuyên toán 2017-2018 b) ∠PEG = ∠PDG = ∠BAG = ∠KEG = ∠AEK + ∠AEG = 180◦ − ∠KAG ∠KAG = 180◦ − ∠PEG ⇒ ∠KEG + ∠PEG = 180◦ ⇒ P, E, K thẳng hàng c) ∠KEG + ∠BAK = ∠KEG + ∠KFG = 180◦ ⇒ ∠KFG = ∠BAK = ∠BDK ⇒ K, D, P, F thuộc đường tròn ❑ Bài tốn khơng q khó hay có giá trị mở rộng xuất Olympic Trại hè Vinh 2015 Bài Vòng Chuyên Lê Hồng Phong - TPHCM 2017-2018 Cho tam giác ABC có góc B tù Đường tròn (O) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh AB, AC, BC L, H, J a) Các tia BO, CO cắt LH M, N Chứng minh bốn điểm B, C, M, N thuộc đường tròn b) Gọi d đường thẳng qua O vng góc với AJ, d cắt AJ đường trung trực cạnh BC D F Chứng minh bốn điểm B, D, F, C thuộc đường tròn Lời giải: Nguyễn Phúc Tăng - Lê Việt Hưng Những tốn Hình học phẳng qua kì thi tuyển sinh vào 10 Chun Tốn 2017-2018 a) Câu kết quen thuộc bạn đọc tự chứng minh (Gợi ý: ∠BNC = ∠BMC = 90◦ ) b) Gọi FD ∩ CB = P Ta dễ dàng chứng minh : P, L, H, M thẳng hàng (Chứng minh hệ thức lượng đường tròn) Gọi Z trung điểm BC Ta có: ∠NJB = ∠NOB = ∠MHC Mà 180◦ − ∠NZM 180◦ − 2∠OCM ∠NMZ = = = 90◦ − ∠OCM = ∠MOC 2 ⇒ ∠NJB = ∠NMZ ⇒ Tứ giác NMZJ nội tiếp Áp dụng hệ thức lượng đường tròn cho tứ giác nội tiếp: BNMC, NMZJ: PM.PN = PJ.PZ = PB.PC Từ suy : DFCB tứ giác nội tiếp Bài Đề vòng chuyên Lê Qúy Đôn - Quảng Trị 2017-2018 Cho tam giác ABC nhọn Gọi M trung điểm BC Kẻ BH ⊥ AC(H ∈ AC) Đường thẳng vng góc với AM A cắt BH E Gọi F điểm đối xứng E qua A , K = CF ∩ AB Chứng minh rằng: M tâm (CHK) Lê Việt Hưng - Nguyễn Phúc Tăng Những toán Hình học phẳng qua kì thi tuyển sinh vào 10 Chuyên toán 2017-2018 Lời giải: Ta quy chứng minh Bài Toán sau: Cho tam giác ABC nhọn M trung điểm BC Đường cao BH, CK cắt đường thẳng vng góc với AM E, F Chứng minh rằng: AE = AF Gọi CK ∩ BH = I, CK ∩ AM = J, BH ∩ AM = G Ta có:∠JAC = ∠AEB (cùng phụ với ∠AGE) Lại có ∠ABE = ∠JCA ⇒ ABE ∼ JCA JC AJ = Áp dụng định lý Menelaus vào BCK với điểm A, J, M thẳng hàng ⇒ AE AB ta có: JC KJ AJ AK BM JC AK KJ =1⇒ = ⇒ = = AB MC KJ AB JC AB AK AF AJ JC AJ ⇒ = = ⇒ AE = AF AE AB AF BC ⇒ KM = HM = CM = ⇒ M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CHK Bài Đề vòng Chun Lê Qúy Đơn Đà Nẵng 2017-2018 Cho tam giác nhọn ABC cân A nội tiếp đường tròn (O) đường kính AD Gọi I = BC ∩ AD Gọi M điểm thuộc CI (M C, I) Đường thẳng qua M song song với BD cắt CD K Đường thẳng qau M song song với CD cắt BD Q Chứng minh rằng: AM vng góc với QK Nguyễn Phúc Tăng - Lê Việt Hưng Những tốn Hình học phẳng qua kì thi tuyển sinh vào 10 Chuyên Toán 2017-2018 Lời giải: Gọi H = DM∩QK Vì QMKD hình bình hành ⇒ HD = HM Mà OA = OD ⇒ OH đường trung bình tam giác MAD Ta có: OB = OD; ∠OBD = ∠ODC; BQ = QM = DK ⇒ OBQ = ODK(c − g − c) ⇒ OQ = OK mà HQ = HK ⇒ OH ⊥ QK Lại có: OH đường trung bình tam giác DAM ⇒ OH AM ⇒ AM ⊥ QK ❑ Bài Đề vòng Chuyên Khoa học tự nhiên 2017-2018 Cho tam giác ABC với AB < AC E, F trung điểm cạnh CA, CB Trung trực đoạn thẳng EF cắt BC D Gỉa sử có điểm P nằm ∠EAF nằm ngồi tam giác EAF cho ∠PEC = ∠DEF; ∠PFB = ∠DFE PA∩(PEF) = Q P a) Chứng minh rằng: ∠EQF = ∠BAC + ∠EDF b) Tiếp tuyến P (PEF) cắt CA, AB M, N Chứng minh bốn điểm C, M, B, N thuộc đường tròn Đường tròn gọi đường tròn (K) c) Chứng minh (K) tiếp xúc với (AEF) Lời giải: Lê Việt Hưng - Nguyễn Phúc Tăng Những tốn Hình học phẳng qua kì thi tuyển sinh vào 10 Chuyên toán 2017-2018 a) ∠EQF = ∠BAC + ∠AFQ + ∠AEQ = ∠BAC + ∠EDF b)Gọi R giao điểm PF BC ∠PEM = ∠DEF = ∠DFE = ∠RFB ∠EPM = ∠EFP = ∠FRB ⇒ PEM = RFB(g.g) ⇒ ∠FBR = ∠EMP hay ∠NBC = ∠NMC ⇒ NBMC nội tiếp c) Theo bạn Lê Hồng Bảo 11 Tốn Chun Tiền Giang: Gọi T giao điểm thứ hai AP với (AEF) Chứng minh tứ giác: FTPN TPME nội tiếp Ta có: ∠PFE = ∠DFB, ∠PEC = ∠DEF ⇒ ∠BAD = ∠PAC (Bổ đề đẳng giác) ⇒ ∠FAT = ∠DAC Mặt khác ∠ATF = ∠AEF = ∠ACD Nên tam giác FQT đồng dạng tam giác DEC, mà E trung điểm AC Do đó: Q Nguyễn Phúc Tăng - Lê Việt Hưng Những tốn Hình học phẳng qua kì thi tuyển sinh vào 10 Chun Tốn 2017-2018 10 trung điểm AT Suy ra: FQ//BT Nên: ∠TBC = ∠QFE = ∠TPE = ∠TME Suy ra: tứ giác BTMC nội tiếp Từ suy điều phải chứng minh.❑ Bài Đề vòng chun Thái Bình 2017-2018 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O).BA ∩ CD = E; AD ∩ BC = F.M, N trung điểm AC, BD Phân giác ∠BEC, ∠BFA cắt K Chứng minh rằng: K, M, N thẳng hàng Lời giải: Gọi EK ∩ MN = K Ta có: EBD ∼ ECA ⇒ EB EC EB EC = ⇒ = BD AC BN MC ⇒ EBN ∼ ECM(c − g − c) ⇒ ∠BEN = ∠MEC ⇒ ∠NEK = ∠MEK NE NK = EM K M Mà ta chứng minh được: Gọi EK ∩ MN = K ⇒ NE NF NF KN = ⇒ = ⇒K≡K EM MF MF K M 10 Lê Việt Hưng - Nguyễn Phúc Tăng 11 Những toán Hình học phẳng qua kì thi tuyển sinh vào 10 Chuyên toán 2017-2018 Vậy K, M, N thẳng hàng ❑ Nhận xét: Nếu gọi P trung điểm EF điểm P, N, K, M thẳng hàng đường thẳng qua điểm gọi đường thẳng Gauss Tài liệu tham khảo: World of Geometry blog Blog Hình học Nguyễn Quang Trung Blog hình học thầy Trần Quang Hùng Topic ơn thi hình học vào cấp thầy Trần Quang Hùng Tổng hợp đề thi vào lớp 10 năm 2017-2018 10 tốn hình học chọn lọc Nguyễn Phúc Tăng - Lê Việt Hưng 11