Tính toán hệ thanh

Tích toán hệ thanh theo phương pháp PTHH với mô hình tương thích giống như các bước trong chương trước. Vấn đề còn lại là tuỳ thuộc vào đặc tính của từng loại bài toán mà áp dụng.

Chương 4

TÍNH TOÁN HỆ THANH

Tích toán hệ thanh theo phương pháp PTHH với mô hình tương thích giống như các bước trong chương trước Vấn đề còn lại là tuỳ thuộc vào đặc tính của từng loại bài toán mà áp dụng

4.1 Hệ thanh giàn

Như đã biết giàn là một hệ gồm các thanh chỉ chịu lực kéo nén dọc trục (đúng tâm) hay nói cách khác là chỉ chịu biến dạng dọc trục Để đưa ra cách tính của giàn trước hết ta xét thanh chỉ chịu biến dạng dọc trục

4.1.1 Phần tử thanh chịu biến dạng dọc trục

u(x)l, EFy

Hàm chuyển vị xấp xỉ tại một vị trí bất kỳ của thanh u(x) có dạng:

Suy ra:

[ ()]{ }α)

u ; u2 =α1 +l.α2

{ }

Hay:

{ }ue =[ ]A{ }αTrong đó:

Tính véc tơ { }α =[ ]A−1{ }ue với [ ]

Thay vào hàm chuyển vị được:

⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −=⋅

⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∂=

Suy ra:

[ ]=⎢⎣⎡− ⎥⎦⎤

Trong đó:

F - là diện tích mặt cắt ngang; E - là môđun đàn hồi

Véc tơ tải trọng tại nút được xác định theo công thức:

⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −=

Trường hợp p(x) = p0 = const, ta có:

{ }

⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −

= ∫ 1 20 110

Trong đó:

T - Độ biến thiên nhiệt độ

Sau khi xác định được chuyển vị của hệ ta xác định được chuyển vị nút của phần tử trong hệ toạ độ cục bộ, nội lực trên phần tử được xác định như sau:

Ne = Np + Ncv Trong đó:

Ne - Nội lực của phần tử; Np- Nội lực do lực trên phần tử; Ncv- Nội lực do chuyển vị nút

Đối với thanh chịu kéo nén nội lực do chuyển vị được xác định là: [ ]{ }e

N = σ = ε =

Nội lực Np xác định theo công thức của sức bền vật liệu

4.1.2 Giàn phẳng:

Hình 4-2 Phần tử giàn phẳng

Ma trận độ cứng của giàn phẳng được lập dựa trên ma trận độ cứng của thanh kéo nén dọc trục Với phần tử giàn phẳng, tại một nút ta có 2 chuyển vị Khi đó phần tử sẽ có 4 bậc tự do:

{ }

Chính vì vậy ma trận độ cứng của giàn là ma trận kích thước 4 x 4, các thành phần của nó được lấy từ ma trận độ cứng của phần tử chịu biến dạng dọc trục

Ma trận của giàn phẳng như sau:

[ ]

lEF

Mỗi phần tử giàn phẳng có một hệ toạ độ cục bộ riêng do đó cần có ma trận chuyển hệ trục toạ độ từ cục bộ về tổng thể

Hình 4-3 Phần tử giàn phẳng trong hệ toạ độ tổng thể

Đặt giả thiết có một phần tử giàn nằm trong mặt phẳng nghiêng với trục x của hệ toạ độ tổng thể một góc α

Theo hình học giải tích thì toạ độ cục bộ được chuyển về tổng thể theo công thức sau:

[ ]⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅′=⎭⎬⎫⎩⎨⎧

Trong đó:

Các đại lượng lx, ly, mx, my được xác định như sau:

lx = cos(x,X) ; ly = cos(y,X); mx = cos(x,Y); my = cos(y,Y)

Nếu cho trước toạ độ nút đầu và nút cuối của phần tử giàn là (X1, Y1) và (X2, Y2) ta sẽ tính được các giá trị lx, ly

Ta có:

cos(x,X) =

lXX2 − 1

; cos(x,Y) =

lYY2 − 1

; 2

0

4.1.3 Giàn không gian

Phần tử giàn không gian cũng chỉ chịu lực dọc trục, ma trận độ cứng của phần tử giàn không gian dựa trên ma trận độ cứng của phần tử kéo nén dọc trục

[ ]Ke =

Hình 4-4 Phần tử giàn không gian

Việc xác định ma trận chuyển hệ trục tọa độ phức tạp hơn so với giàn phẳng Xét một thanh nằm trong không gian có hệ tọa độ cục bộ xyz Trong đó trục x luôn hướng theo trục phần tử, trục y, z tạo với trục x thành một tam diện thuận

A(X1, Y1, Z1)B(X2, Y2, Z2)

Hình 4-5 Phần tử giàn không gian trong hệ toạ độ tổng thể

Dựa vào tọa độ của nút đầu và nút cuối phương trục x luôn xác định Người sử dụng cần khai báo hướng của một trong hai trục còn lại thông thường là trục z, hướng của trục y còn lại được xác định dựa vào 2 trục đã biết x, z Trục z được xác định bằng cách khai báo thêm điểm p là điểm nằm trong mặt xy, do z vuông góc với mặt xp nên:

pxzr = r× r

Hướng của y được xác định theo x và z: yr= zr×xr

Tích có hướng của 2 véctơ được định nghĩa như sau (cr ar br×= ):

Về mặt hình học véctơ cr có phương vuông góc với mặt phẳng được tạo bởi hai véctơ ar và br, độ lớn của cr bằng diện tích của hình bình hành do ar và brtạo ra

Về mặt giải tích: nếu

thì véctơ cr được xác định như sau:

Chiều dài phần tử được xác định theo công thức:

cos ; ( )

Dựa vào 3 véc tơ của hệ tọa độ cục bộ xr ,,yr zr ta có ma trận chuyển hệ trục tọa độ như sau:

[ ]

Trong đó:

lx = cos(x,X); mx = cos(x,Y): nx = cos(x,Z) ly = cos(y,X); my = cos(y,Y); ny = cos(y,Z) lz = cos(z,X); mz = cos(z,Y); nz = cos(z,Z) Ma trận chuyển hệ tọa độ [ ]T có dạng:

[ ] [ ]

[ ]⎥⎥⎦⎤⎢

xxxx

Tại các nút chuyển vị có giá trị như sau: 1

1=v =v(x) x= =α

{ }α =[ ]A−1{ }qe, trong đó:

[ ]

Ma trận hàm dạng được xác định như sau:

x

lxlxN =− +

Theo sức bền vật liệu, chuyển vị dọc trục u và độ võng v có quan hệ

u =− ⋅θ =− , trong đó y là khoảng cách từ trục trung hòa đến một điểm nào đó trong thanh Biến dạng dọc trục được xác định theo công thức:

x = =−

dxdy 2

ε = [ ]B{ }ue

Trong đó:

[ ]B = [ ]Ndx

dy 2

2−Khai triển ta có:

⎝⎛− +⎟

⎝⎛ −⎟

⎝⎛− +⎟

⎝⎛− +−

= 62 12 3 4 6 2 62 123 2 62

Ứng suất tại một điểm của dầm chịu uốn:

σ = hay [ ]D =E

Sử dụng công thức của ma trận độ cứng ta có: [ ] =∫[ ] [ ] [ ]⋅ = ∫∫[ ] [ ]

l FT

Sau khi tích phân ta có:

[ ]

Trong đó =∫

J 2 là mômen quán tính của mặt cắt ngang so với trục Z

11

=

lal

{ } MdxdNF

=

Nếu đặt:

−−=21 ;

Sau khi thực hiện phép tích phân ta được kết quả:

⎝⎛− ++

⎝⎛ −+

⎝⎛ −+

⎛− ++

⎛− ++

4.2.3 Nội lực trên phần tử

Nội lực của phần tử dầm chịu uốn xác định như sau:

qcvMM

qcvQQQ= +

M và Q - Mômen, lực cắt nội lực;

Mcv và Qcv- Mômen, lực cắt do chuyển vị gây ra; Mq và Qq- Mômen, lực cắt do lực trên phần tử gây ra Trong đó:

N =− +

lxlN =− +

lxlN =− +

{ }e

⎝⎛− +⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −⎟⎠⎞⎜

⎝⎛− +⎟⎠⎞⎜

⎝⎛− +

N = ; ''' 22

N = ; ''' 33

N =− ; ''' 24

lN =

{ }e

Q =− ⎢⎣⎡ 32 − 32⎥⎦⎤6126

Hình 4-6 Phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục

Phần tử thanh có kéo nén dọc trục là tổ hợp của 2 loại phân tử: Khung + Kéo nén dọc trục

Do đó ma trận độ cứng của phần tử này được tạo nên từ 2 ma trận độ cứng của phần tử khung và phần tử kéo nén dọc trục

4.3.2 Kéo nén dọc trục

1 4

[ ]

4.3.3 Phần tử khung

2 3 5 6

[ ]

Từ các chỉ số của các phân tử của 2 ma trận độ cứng trên ta thiết lập được ma trận độ cứng của phần tử khung có kéo nén dọc trục:

1 2 3 4 5 6

[ ]

[ ] [ ][ ]⎥⎦⎤⎢

Góc xoay khi chuyển hệ trục tọa độ thì không đổi

23

Trong đó:

i, j - chỉ số nút đầu và nút cuối của thanh; u, v, θ - là chuyển vị dọc trục, đứng, góc xoay; N, Q, M - nội lực tại đầu thanh

Dựa vào hệ phương trình này cũng có thể xây dựng được ma trận độ cứng của khung có hai đầu ngàm, trong trường hợp liên kết đầu thanh không phải là ngàm ta có các trường hợp sau:

- Khớp tại đầu i; - Khớp tại đầu j; - Khớp tại hai đầu

Ma trận độ cứng trong trường hợp này là:

[ ]

Thay giá trị của θ vào các phương trình còn lại ta được hệ phương trình j

Ma trận độ cứng trong trường hợp này là:

[ ]

4.4.3 Khớp tại đầu i và j

Khi đó ta có hệ phương trình:

Dựa vào phương trình 3 và 6 suy ra:

Thay vào phương trình 2 và 4 ta được: 0

== j

Vậy ma trận độ cứng trong trường hợp này là:

[ ]

4.4.4 Quy tảI trọng về nút khi có liên kết khớp

Để xác định véctơ tải trọng nút trong trường hợp này ta sử dụng phương trình cân bằng của một phân tử khung phẳng độc lập không kéo nén dọc trục với liên kết bất kỳ

Trong đó:

P1, P2, P3, P4 – là các lực quy về nút trong trường hợp ngàm hai đầu;

Qi, Mi, Qj, Mj – là các nội lực hai đầu có giá trị ngược chiều với phản lực, đây đồng thời cũng là lực quy về nút khi có các liên kết khớp

Trong từng trường hợp cụ thể ta luôn có 4 đại lượng đã biết và 4 đại lượng phải tìm trong 8 biến: 4 chuyển vị, 4 nội lực

4.4.4.1 Trường hợp đầu i có khớp Khi đó: vi=0; Mi=0; vj=0; θj =0

Thay vào hệ phương trình ta tìm được:

4.4.4.2 Trường hợp đầu j có khớp Khi đó: vi=0; θi =0; vj=0; Mj=0 Thay vào hệ phương trình ta tìm được:

4.4.4.3 Trường hợp đầu i, j có khớp Khi đó: vi=0; Mi=0; vj=0; Mj=0

Thay vào hệ phương trình ta tìm được:

Xoá bỏ các dòng có chỉ số chuyển vị là liên kết khớp

4.4.6 Xác định phản lực gối tại các chuyển vị bị chặn (có điều kiện biên)

Việc xác định phản lực gối tại các chuyển vị bị chặn được xác định theo các bước sau:

- Xoá các dòng có khớp và các chuyển vị không có điều kiện biên của hệ phương trình cân bằng;

- Xóa tiếp các cột có liên kết khớp và các chuyển vị bị chặn; - Xác định các phản lực gối tại các chuyển vị bị chặn

4.4.7.3 Khớp tại đầu i, j

4.5 Khung không gian

Hình 4-7 Phần tử khung không gian

Xét một phần tử khung không gian, trên phần tử này có gắn một hệ tọa độ địa phương xyz Trục x nằm dọc theo phần tử, gốc của hệ tọa độ đặt tại nút đầu

Khi đó tại mỗi nút sẽ có 6 chuyển vị: 3 chuyển vị thẳng, 3 chuyển vị xoay Như vậy phần tử có 12 bậc tự do Gọi các chuyển vị của phần tử ứng với nút và thành phần chuyển vị như sau:

q1 - chuyển vị thẳng theo x của nút đầu; q2 - chuyển vị thẳng theo y của nút đầu; q3 - chuyển vị thẳng theo z của nút đầu; q4 - chuyển vị xoay theo x của nút đầu; q5 - chuyển vị xoay theo y của nút đầu;

q6 - chuyển vị xoay theo z của nút đầu; q7 - chuyển vị thẳng theo x của nút cuối; q8 - chuyển vị thẳng theo y của nút cuối; q9 - chuyển vị thẳng theo z của nút cuối; q10 - chuyển vị xoay theo x của nút cuối; q11 - chuyển vị xoay theo y của nút cuối; q12 - chuyển vị xoay theo z của nút cuối;

Dựa vào các chuyển vị trên ta thấy phần tử khung không gian là tổng hợp của các trạng thái làm việc sau:

- Biến dạng dọc trục; - Biến dạng xoắn;

- Trạng thái khung trong mặt phẳng xy; - Trạng thái khung trong mặt phẳng xz Có thể viết như sau:

PT khung không gian = PT dọc trục + PT khung xy + PT khung xz+ PT xoắn

Đối với các phần tử chịu biến dạng dọc trục và khung trong mặt phẳng xy ta sửdụng kết quả đã được đề cập ở các mục trước

Ta chỉ xét đến các phần tử chịu xoắn và phần tử khung trong mặt phẳng xz

4.5.2 Phần tử chịu xoắn:

Hình 4-8 Phần tử thanh chịu xoắn

Phần tử chịu xoắn chỉ có 2 chuyển vị xoay ở nút đầu và nút cuối tương ứng với chỉ số chuyển vị của khung không gian là q4 và q10 Do chịu lực xoắn thuần túy nên phân tử chỉ có 2 bậc tự do, góc xoắn tại một vị trí bất kỳ được xấp xỉ như sau:

⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −=

l - Chiều dài phần tử

Theo sức bền vật liệu, đối với một thanh tròn thì tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang ta có biến dạng góc:

ε = ; ứng suất tiếp: σyz =G.εyzTừ đây ta có: { }ε =[ ]B{ }q

Trong đó: [ ]=⎢⎣⎡ l⎥⎦⎤

Jx- Mô men quán tính độc cực của mặt cắt ngang

Trong trường hợp mặt cắt ngang là hình chữ nhật a x b thì Jx = cab3, trong đó c là hệ số phụ thuộc tỷ số

(a>b)

Bảng 4-1 Bảng tra hệ số c

ba

q3 q5 q9 q11

[ ]

- Tải trọng tập trung:

{ }

- Momen tập trung

{ }

FFF

Phần tử khung không gian là phần tử chịu tác dụng cả 4 trạng thái làm việc độc lập nhau do đó ma trận độ cứng của nó được thành lập bằng cách sắp xếp 4 ma trận độ cứng của 4 loại phần tử:

- Phần tử biến dạng dọc trục q1 q7

- Phần tử kéo nén dọc trục q4 q10

- Phần tử khung phẳng xy:

q2 q6 q8 q12

[ ]

- Phần tử khung phẳng xz: q3 q5 q9 q11

[ ]

Lấy từng phần tử trong mỗi ma trận, theo chỉ số ta đặt vào vị trí của ma trận cứng khung không gian Kết quả ma trận độ cứng của khung không gian có dạng sau:

Ma trận độ cứng của phần tử không gian

q1 q2 q3 q4 q5 q6 q7 q8 q9 q10 q11 q12

[ ]

23

lllT '

Các đại lượng l,m,n lần lượt là các cosin chỉ phương của các trục x, y, z của hệ trục tọa độ cục bộ, được xác định giống phần giàn không gian Khi đó ma trận chuyển hệ trục tọa độ của phần tử không gian sẽ là:

[ ][ ]

[ ][ ]

[ ]⎥⎥⎥⎥⎥

Ma trận này có kích thước 12 x 12

4.5.6 Nội lực của phần tử khung không gian

Nội lực của khung không gian được tính độc lập cho 4 trạng thái làm việc: - Chịu biến dạng dọc trục;

Nội lựcCV - nội lực do chuyển vị;

Nội lựcP - nội lực do tải trọng trên phần tử

4.5.7 Nội lực do chuyển vị nút của phần tử gây ra

Do nội lực của thanh chịu biến dạng dọc trục và khung phẳng xy đã được xét ở các mục trước nên ở đây chỉ xét nội lực cho thanh chịu xoắn và khung phẳng xz

4.5.7.1 Thanh chịu xoắn (do chuyển vị)

{ }

4.5.7.2 Nội lực của khung phẳng xz (do chuyển vị)

Momen của khung phẳng xz hoàn toàn dựa trên công thức của khung phẳng xy, nhưng cần chú ý đến chiều của momen My

Ta có:

[ ]{ }e

Trong đó:

My - mômen nội lực theo y; E - mođun đàn hồi của vật liệu; Jy- mômen quán tính theo y

⎝⎛− +⎟

⎝⎛− +⎟

⎝⎛− +⎟

⎝⎛ −

= 62 123 4 62 62 123 2 62

Lực cắt được xác định theo công thức sau:

Qz = y suy ra: Qz =E.Jy.[ ]A{ }ue ( 4-47) Trong đó:

[ ]=⎢⎣⎡−123 62 123 62⎥⎦⎤

4.5.8 Xác định nội lực do lực trên phần tử gây ra:

Để xác định được nội lực do lực gây ra ta cần xác định theo từng loại lực: 4.5.8.1 Nội lực do lực phân bố dọc trục qx:

2 −=

.−=

2 −=

LaPNx 1Nếu x>a:

⎠⎞⎜⎝⎛ −= 1

4.5.8.5 Nội lực do lực tập trung Py trong mặt phẳng xy:

= 2 2 23 .1 3 22 2 33

=1 3 22 2 33

aP

Nếu x>a:

= 2 2 23 .1 3 22 2 33 .

= 3 22 2 33

Trong đó:

Khoảng cách từ nút đầu đến điểm đặt lực;

x- Khoảng cách từ nút đầu đến mặt cắt tính nội lực; L- Chiều dài phần tử;

4.5.8.6 Nội lực do lực tập trung Pz trong mặt phẳng xz:

= 2 2 23 .1 3 22 2 33

=1 3 22 233

Nếu x>a:

= 3 22 233

Trong đó:

Khoảng cách từ nút đầu đến điểm đặt lực;

x- Khoảng cách từ nút đầu đến mặt cắt tính nội lực; L- Chiều dài phần tử;

4.5.8.7 Nội lực do mô men tập trung mx:

Hình 4-16 Nội lực do mô men my

Nếu x≤a:

⎟⎠⎞⎜⎝⎛ −=

Mxx 1Nếu x>a:

⎠⎞⎜⎝⎛ −= 1

4.5.8.8 Nội lực do mô men tập trung my trong mặt phẳng xz:

Hình 4-17 Nội lực do mô men my

Nếu x≤a:

=.1 4 3 22 . 62 6 32

= 62 6 32

Nếu x>a:

=.1 4 3 22 . 62 6 32

= 62 6 32

4.5.8.9 Nội lực do mô men tập trung mz trong mặt phẳng xy:

Hình 4-18 Nội lực do mô men mz

Nếu x≤a:

=.1 4 3 22 . 62 6 32

= 62 6 32

Nếu x>a:

=.1 4 3 22 . 62 6 32

= 62 6 32

Sau khi xác định được nội lực do từng loại lực ta xác định được nội lực phần tử do lực gây ra cộng với nội lực của phần tử do chuyển vị ta có nội lực toàn phần của phần tử tại vị trí x bất kỳ

4.5.9 Nội lực trên phần tử do tải trọng khi có liên kết khớp

Khi đã xác định được nội lực tại các đầu j, j việc xác định nội lực trên phẩn tử do tải trọng gây ra hoàn toàn dễ xác định bằng cách áp dụng các công thức của thanh ngàm hai đầu:

4.5.9.1 Nội lực do tải trọng phân bố đều

( )

M = i − i +

( )xQqxQ = i − ⋅

4.5.9.2 Nội lực do lực tập trung Nếu x ≤ a :

4.5.9.3 Nội lực do momen tập trung Nếu x ≤ a :

( )=−⋅+∫( )( − )

( )=−∫( )

Nếu x > b

( )=−⋅+∫b ( )( − )

( )=−∫b ( )

Trong đó Qi, Mi là các nội lực (tải trọng quy về nút) được xác định trong mục 4

4.6 Dầm trực giao

Hệ dầm trực giao là hệ dầm cùng nằm trên một mặt phẳng, các trục của dàm vuông góc với nhau và chịu lực tác dụng trong mặt phẳng của dầm Như vậy phần tử thanh trong hệ dầm trực giao là phần tử khung phẳng không kéo nén dọc trục, chịu xoắn Dựa và các đặc trưng của phần tử khung không kéo nén dọc trục và chịu xoắn ta xây dựng các đặc trưng của phần tử khung trong hệ dầm trực giao

4.6.1 Ma trận độ cứng

Nếu coi mặt phẳng của hệ dầm trực dao trùng với mặt phẳng xy thì trục z sẽ vuông góc với mặt phẳng dầm trực giao khi đó ta có các chuyển vị z, θ , x θ Các mômen quán ytính sẽ là: Jx, Jy

Ta có ma trận độ cứng của phần tử khung không kéo nén dọc trục trong mặt phẳng xz:

[ ]

Ma trận độ cứng của phần tử khung chịu xoắn:

Ma trận độ cứng của phần tử dầm trực giao:

[ ]

4.6.2 Ma trận chuyển hệ trục tọa độ

Dễ thấy mỗi nút của phần tử dầm trực giao có 3 chuyển vị: chuyển vị vuông góc với mặt phẳng hệ dầm, chuyển vị xoay trong mặt phẳng xz, chuyển vị xoay trong mặt phẳng yz Dễ thấy tại các vị trí khác nhau trong hệ tọa độ tổng thể chuyển vị thẳng đứng không thay đổi

Đặt giả thiết có một phần tử giàn nằm trong mặt phẳng nghiêng với trục x của hệ toạ độ tổng thể một góc α

Hình 4-19 Phần tử dầm trực giao trong hệ toạ độ tổng thể

Theo hình học giải tích thì toạ độ cục bộ được chuyển về tổng thể theo công thức sau:

[ ]⎭⎬⎫⎩⎨⎧⋅′=⎭⎬⎫⎩⎨⎧

Trong đó:

Các đại lượng lx, ly, mx, my được xác định như sau:

lx = cos(x,X) ; ly = cos(y,X); mx = cos(x,Y); my = cos(y,Y)

Nếu cho trước toạ độ nút đầu và nút cuối của phần tử giàn là (X1, Y1) và (X2, Y2) ta sẽ tính được các giá trị lx, ly

Ta có:

cos(x,X) =

lXX2 − 1

; cos(x,Y) =

lYY2 − 1

; 2

1221