Cực tiểu tổng, cực tiểu trị lớn nhất

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT VĨNH LONG KHOA CƠNG NGHỆ THƠNG TIN ĐỒ ÁN CƠ SỞ NGÀNH TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN CỰC TIỂU TỔNG, CỰC TIỂU TRỊ LỚN NHẤT VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: CÔNG NGHỆ THÔNG TIN Sinh viên thực Hồ Trần Tấn Tài MSSV: 15004094 Lê Trần Trường Thanh MSSV: 15004100 Lớp: ĐH CNTT 2015 Khóa: 2015 - 2019 Người hướng dẫn: Ths Lê Hoàng An Vĩnh Long, năm 2017 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SPKT VĨNH LONG KHOA: CÔNG NGHỆ THÔNG TIN PHIẾU GIAO ĐỒ ÁN CHUYÊN NGÀNH Tên đồ án: Tìm hiểu toán cực tiểu tổng, cực tiểu trị lớn ứng dụng Nhiệm vụ: Tìm hiểu tốn cực tiểu tổng, cực tiểu trị lớn Với giải thuật đồ thị  Lý thuyết tổng quan đồ thị  Tìm đường ngắn cặp đỉnh đồ thị dựa vào thuật toán Floyd_Warshall  Tìm cực tiểu tổng, cực tiểu trị lớn đồ thị  Chương trình minh họa tốn cực tiểu tổng, cực tiểu trị lớn Phương pháp đánh giá: □ Báo cáo trước hội đồng □ Chấm thuyết minh Ngày giao đồ án: 12/09/2017 Ngày hoàn thành đồ án: 09/12/2017 Sinh viên thực hiện: Họ tên sinh viên: Hồ Trần Tấn Tài MSSV: 15004094 Họ tên sinh viên: Lê Trần Trường Thanh MSSV: 15004100 Vĩnh Long, ngày…… tháng…… năm…… Trưởng Khoa/ Bộ môn (Ký ghi rõ họ tên) Người hướng dẫn (Ký ghi rõ họ tên) NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ ĐIỂM CỦA NGƯỜI HƯỚNG DẪN - Ý thức thực hiện: - Nội dung thực hiện: - Hình thức trình bày: - Tổng hợp kết quả: □ Tổ chức báo cáo trước hội đồng □ Tổ chức chấm thuyết minh Vĩnh Long, ngày…… tháng…… năm…… Người hướng dẫn (Ký ghi rõ họ tên) LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, nhóm chúng em xin chân thành cảm ơn đến tất thầy cô khoa Cơng Nghệ Thơng Tin nói chung hết lòng truyền đạt kiến thức hướng dẫn tận tình để nhóm chúng em hồn thành đồ án Đặc biệt, nhóm chúng em chân thành cảm ơn thầy Lê Hồng An tận tình hướng dẫn nhóm em làm đồ án Thầy truyền đạt lại kiến thức quý báu để giúp nhóm chúng em hồn thành đồ án Cuối cùng, nhóm em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè, người thân động viên, giúp đỡ nhóm em nhiều q trình học tập làm đồ án sở ngành Với điều kiện thời gian kiến thức hạn chế, đồ án khơng thể tránh thiếu sót Rất mong nhận bảo, đóng góp ý kiến thầy để nhóm có điều kiện bổ sung, nâng cao ý thức Xin chân thành cảm ơn! Vĩnh Long, ngày… tháng… năm 2017 Sinh viên thực Hồ Trần Tấn Tài Lê Trần Trường Thanh LỜI MỞ ĐẦU Trong Toán học Tin học, lý thuyết đồ thị có vai trò quan trọng, nghiên cứu tính chất đồ thị - tập đối tượng gọi đỉnh (hoặc nút) nối với cạnh (hoặc cung) Cạnh có hướng vơ hướng, cạnh gán số gọi trọng số Đồ thị thường vẽ dạng tập điểm (các đỉnh) nối với đoạn thẳng (các cạnh) Trong thực tế, đồ thị biểu diễn nhiều cấu trúc Đồ thị biểu diễn mạng lưới giao thơng, sở quan trọng đỉnh, đường chúng cạnh, độ dài đường trọng số Đồ thị biểu diễn mạng lưới Internet, máy chủ đỉnh, đường truyền cạnh số thời gian di chuyển độ rộng đường truyền đó,… Nếu sở quan trường học, bưu điện nên đặt chúng vị trí cho tổng khoảng cách vùng khác đến sở nhỏ Lớp toàn gọi Bài toán cực tiểu tổng (minsum problem) Mặt khác, sở quan phòng cháy chữa cháy, nên đặt chúng vị trí cho khoảng cách từ sở đến điểm xa cộng đồng nhỏ Lớp toán gọi Bài toán cực tiểu trị lớn (minmax problem) Trong giới hạn đề tài này, chúng tơi tìm hiểu khái niệm đồ thị, nghiên cứu cài đặt thuật toán để giải toán MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN LỜI MỞ ĐẦU CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ 1.1 Định nghĩa đồ thị 1.1.1 Đơn đồ thị 1.1.2 Giả đồ thị 1.1.3 Đa đồ thị 1.2 Một số thuật ngữ đồ thị vô hướng 1.2.1 Bậc đỉnh 1.2.2 Đường đi, chu trình, đồ thị liên thơng 1.3 Một số thuật ngữ đồ thị có hướng 1.3.1 Bán bậc đỉnh 1.3.2 Đồ thị có hướng liên thông mạnh, liên thông yếu 9 10 1.4 Một số dạng đồ thị đặc biệt 12 1.5 Những điểm cần ghi nhớ 14 CHƯƠNG 2: BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ 2.1 Biểu diễn đồ thị ma trận kề 15 15 2.1.1 Ma trận kề đồ thị vô hướng 15 2.1.2 Ma trận kề đồ thị có hướng 17 2.1.3 Ma trận trọng số 18 2.1.4 Qui ước khuôn dạng lưu trữ ma trận kề 19 2.2 Biểu diễn đồ thị danh sách cạnh (cung) 19 2.2.1 Biểu diễn đồ thị vô hướng danh sách cạnh 20 2.2.1 Biểu diễn đồ thị có hướng danh sách cạnh 20 2.2.1 Biểu diễn đồ thị trọng số danh sách cạnh 21 2.2.4 Qui ước khuôn dạng lưu trữ danh sách cạnh 22 2.2.5 Cấu trúc liệu biểu diễn danh sách cạnh 22 2.3 Biểu diễn đồ thị danh sách kề 23 2.3.1 Biểu diễn danh sách kề dựa vào mảng 24 2.3.2 Biểu diễn danh sách kề danh sách liên kết 25 2.4 Những điểm cần ghi nhớ 25 CHƯƠNG 3:BÀI TOÁN CỰC TIỂU TỔNG VÀ CỰC TIỂU TRỊ LỚN NHẤT 26 3.1 Bài toán cực tiểu tổng cực tiểu trị lớn 26 3.2 Thuật toán cực tiểu tổng cực tiểu trị lớn 26 3.2.1 Thuật toán cực tiểu tổng 26 3.2.2 Thuật toán cực tiểu trị lớn 27 3.3 Độ phức tạp thuật toán 27 3.4 Ví dụ 28 CHƯƠNG 4: Thiết kế phát triển ứng dụng 29 4.1 Thiết kế giải thuật 29 4.2 Ứng dụng 31 CHƯƠNG 5: TỔNG QUAN ĐỀ TÀI VÀ KẾT LUẬN 36 5.1 Tổng quan đề tài 36 5.2 Kế luận 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 DANH MỤC HÌNH Hình 1.1 Sơ đồ mạng máy tính Hình 1.2 Sơ đồ mạng máy tính với đa kênh thoại Hình 1.3 Sơ đồ mạng máy tính với kênh thoại thơng báo Hình 1.4 Sơ đồ mạng máy tính với kênh thoại chiều Hình 1.5 Đồ thị vơ hướng G Hình 1.6 Đường đồ thị Hình 1.7 Đồ thị vơ hướng G Hình 1.8 Đồ thị có hướng G 10 Hình 1.9 Đồ thị có hướng liên thơng mạnh, liên thơng yếu 11 Hình 1.10 Đồ thị đầy đủ 12 Hình 1.11 Đồ thị vòng 12 Hình 1.12 Đồ thị bánh xe 13 Hình 1.13 Đồ thị hai phía 13 Hình 1.14 Đồ thị phẳng 14 Hình 2.1 Ma trận kề biểu diễn đồ thị vơ hướng 16 Hình 2.2 Ma trận kề biểu diễn đồ thị có hướng 17 Hình 2.3 Ma trận kề đồ thị trọng số 18 Hình 2.4 Biểu diễn đồ thị vơ hướng danh sách cạnh 20 Hình 2.5 Biểu diễn đồ thị có hướng danh sách cạnh 21 Hình 2.6 Biểu diễn đồ thị trọng số danh sách cạnh 21 Hình 2.7 Biểu diễn đồ thị danh sách kề 24 Hình 2.8 Biểu diễn danh sách kề danh sách liên kết 26 Hình 3.1 Màn hình bắt đầu 32 Hình 3.2 Giao diện chương trình 32 Hình 3.3 Open file 34 Hình 3.4 Giao diện load file 34 Hình 3.5 Kết tốn 35 DANH MỤC BẢNG Bảng Mảng lưu trữ cho danh sách kề 24 CHƯƠNG 1: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ Lý thuyết đồ thị lĩnh vực có từ lâu có nhiều ứng dụng đại Những tư tưởng lý thuyết đồ thị đề xuất vào năm đầu kỷ 18 nhà toán học lỗi lạc người Thũy Sỹ Leonhard Eurler Chính ơng người sử dụng đồ thị để giải toán tiếng cầu thành phố Konigsberg Đồ thị sử dụng để xác định toán nhiều lĩnh vực khác Chẳng hạn, đồ thị sử dung để xác định mạch vòng vấn đề giải tích mạch điện Chúng ta phân biệt hợp chất hóa học hữu khác với công thức phân tử khác cấu trúc phân tử nhờ đồ thị Chúng ta xác định hai máy tính mạng trao đổi thông tin với hay không nhờ mô hình đồ thị mạng máy tính Đồ thị có trọng số cạnh sử dụng để giải tốn như: Tìm đường ngắn hai thành phố mạng giao thơng,bài tốn người đưa thư,bài toán người bán hang du hành,bài toán cực tiểu tổng cực tiểu trị lớn Chúng ta sử dụng đồ thị để giải tốn lập lịch, thời khóa biểu phân bố tần số cho trạm phát truyền hinh… 1.1 ĐỊNH NGHĨA ĐỒ THỊ Đồ thị cấu trúc rời rạc bao gồm đỉnh cạnh đỉnh Chúng ta phân biệt loại đồ thị khác kiểu số lượng cạnh nối hai đỉnh đồ thị » Ghi chú:  Đồ thị vơ hướng coi đồ thị có hướng cạnh e=(v,w) tương ứng với hai cung (v,w) (w,v)  Cho đồ thị (có hướng vơ hướng) G = (V,E) Ke(1) = {2, 3} Ke(2) = {1, 3, 4, 5} Ke(3) = {1, 2, 4} Ke(4) = {2, 3, 5, 6} Ke(5) = {2, 4, 6} Ke(1) = {4, 5} Hình 2.7 Biểu diễn đồ thị danh sách kề Ưu điểm danh sách kề:  Dễ dàng duyệt tất đỉnh danh sách kề;  Dễ dàng duyệt cạnh đồ thị danh sách kề;  Tối ưu phương pháp biểu diễn Nhược điểm danh sách kề:  Khó khăn cho người đọc có kỹ lập trình yếu 2.3.1 Biểu diễn danh sách kề dựa vào mảng Sử dụng mảng để lưu trữ danh sách kề đỉnh Trong đó, mảng chia thành n đoạn, đoạn thứ i mảng lưu trữ danh sách kề đỉnh thứ iV Ví dụ với đồ thị cho Hình 2.7 ta tổ chức mảng A[] gồm 18 phần tử, mảng A[] chia thành đoạn, đoạn lưu trữ danh sách kề đỉnh tương ứng 2 3 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5 6 A[i]= ? Đoạn Đoạn Đoạn Đoạn Đoạn Đoạn Bảng Mảng lư trữ danh sách kề 24 Để biết đoạn thuộc mảng phần tử đến phần tử ta sử dụng mảng khác dùng để lưu trữ vị trí phần tử bắt đầu kết thúc đoạn Ví dụ với danh sách kề gồm đoạn trên, ta cần xây dựng mảng VT[6] = {0, 2, 6, 9, 13, 16, 18} để lưu trữ vị trí đoạn mảng A[] Dựa vào mảng VT[] ta thấy: Ke(1) A[1], A[2]; Ke(2) A[3], A[4], A[5], A[6] 2.3.2 Biểu diễn danh sách kề danh sách liên kết Với đỉnh uV, ta biểu diễn danh sách kề đỉnh danh sách liên kết List(u) Ví dụ với đồ thị Hình 2.7 biểu diễn danh sách liên kết List[1], List[2], , List[6] Hình 2.8 Biểu diễn danh sách kề danh sách liên kết 2.4 Những điểm cần ghi nhớ  Nắm vững phân biệt rõ loại đồ thị: đơn đồ thị, đa đồ thị, đồ thị vơ hướng, đồ thị có hướng, đồ thị trọng số  Nắm vững khái niệm đồ thị: đường đi, chu trình, đồ thị liên thông  Hiểu nắm rõ chất phương pháp biểu diễn đồ thị máy tính Phân tích ưu, nhược điểm phương pháp biểu diễn  Chuyển đổi phương pháp biểu diễn qua lại lẫn giúp ta hiểu cách biểu diễn đồ thị máy tính 25 CHƯƠNG 3: BÀI TOÁN CỰC TIỂU TỔNG VÀ CỰC TIỂU TRỊ LỚN NHẤT 3.1 BÀI TOÁN CỰC TIỂU TỔNG VÀ CỰC TIỂU TRỊ LỚN NHẤT Trong tốn tìm địa điểm trung tâm để đặt sở dịch vụ (trường học, bưu điện, phòng cháy chữa cháy, vị trí đặt máy chủ, ) cho kinh tế hiệu có nhiều ứng dụng thực tế Bài tốn thường mơ hình hố mạng lưới dạng đồ thị, sở bố trí vài vị trí Nếu sở quan trường học hay bưu điện nên đặt chúng vị trí cho tổng khoảng cách vùng khác đến sở nhỏ Lớp toàn gọi Bài toán cực tiểu tổng (minsum problem) Mặt khác, sở quan phòng cháy chữa cháy, nên đặt chúng vị trí cho khoảng cách từ sở đến điểm xa cộng đồng nhỏ Lớp toán gọi Bài toán cực tiểu trị lớn (minmax problem) 3.2 THUẬT TOÁN CỰC TIỂU TỔNG VÀ CỰC TIỂU TRỊ LỚN NHẤT 3.2.1 Thuật toán cực tiểu tổng  Đầu vào: Trọng đồ G = (V,E,c), V = {1, 2, , n}, với trọng số cạnh không âm  Đầu ra: N cực tiểu tổng lớn nhất, {v1, v2,…, vm} tập đỉnh cực tiểu tổng lớn  Phương pháp: (1) Tìm D = [d(i,j)] ma trận khoảng cách nhỏ G (bằng thuật toán Floyd-Warshal, d(i,i)=0, i) (2) Tìm S = [s(i)] danh sách tổng hàng (i  V), s(i) tổng phần tử hàng i ma trận D 26 (3) Kết quả:  Cực tiểu tổng lớn nhất: N = min(s(i)), i  V  Tập đỉnh cực tiểu trị lớn nhất: {vi | s(i)  N, i  V} (4) Kết thúc 3.2.2 Thuật toán cực tiểu trị lớn  Đầu vào: Trọng đồ G = (V,E,c), V = {1, 2, , n}, với trọng số cạnh không âm  Đầu ra: M cực tiểu trị lớn nhất, {v1, v2,…, vm} tập đỉnh cực tiểu trị lớn  Phương pháp: (5) Tìm D = [d(i,j)] ma trận khoảng cách nhỏ G (bằng thuật toán Floyd-Warshal, d(i,i)=0, i) (6) Tìm L = [l(i)] danh sách độ lệch tâm (i  V), l(i) phần tử lớn hàng i ma trận D (7) Kết quả:  Cực tiểu trị lớn nhất: M = min(l(i)), i  V  Tập đỉnh cực tiểu trị lớn nhất: {vi | l(i)  M, i  V} (8) Kết thúc 3.3 Độ phức tạp thuật toán Độ phức tạp tính tốn bước thuật tốn: Bước (1): thuật tốn Floyd-Warshall có độ phức tạp tính tốn O(n3) nên thuật tốn có độ phức tạp O(n3), với n = |V| số đỉnh đồ thị Bước (2): tìm phần tử lớn hàng ma trận D, sử dụng thuật tốn tìm kiếm thơng thường hàng có độ phức tạp O(n2) Bước (3): thực chất tìm kiếm phần tử nhỏ mảng L danh sách đỉnh thỏa mãn l(i)  M nên độ thức tạp O(n) Như vậy, độ phức tạp thuật tốn tìm cực tiểu trị lớn O(n3), với n = |V| số đỉnh đồ thị 27 3.4 Ví dụ Tìm đỉnh cực tiểu tổng, cực tiểu trị lớn đồ thị sau: với trọng số tất cạnh Giải Sử dụng thuật tốn Floyd-Warshal tìm ma trận khoảng cách ngắn đồ thị: 0 1  2  D = 3 4  4 4  4 4 3 3 1 2 2  1 1 2 2  2 2 2 0 Độ lệch tâm đỉnh tương ứng L = {4, 3, 2, 3, 4, 4, 4} Từ mảng L ta tìm giá trị nhỏ M = (cực tiểu trị lớn nhất), đỉnh có l(3)  nên đỉnh đỉnh cực tiểu độ lệch tâm tâm đồ thị {3} Tổng hàng tương ứng 18, 13, 10, 9, 14, 14, 14 (N=9) Như đỉnh đỉnh cực tiểu tổng tập đỉnh cực tiểu tổng {4} 28 CHƯƠNG 4: THIẾT KẾ VÀ PHÁT TRIỂN ỨNG DỤNG 4.1 Thiết kế giải thuật Để giải tốn “Tìm cực tiểu trị tổng cực tiểu trị lớn nhất” nhóm đề xuất sử dụng cấu trúc liệu sau:  Tạo ma trận trọng số :  Tìm Đường nhỏ cặp đỉnh đồ thị (thuật toán Floyd_Warshall): Từ ma trận trọng số D thơng qua thuật tốn ta tìm ma trận Dn ma trận đường nhỏ cặp đỉnh 29  Tính liên thơng đồ thị:  Tìm cực tiểu trị lớn : 30  Tìm cực tiểu tổng : 4.2 Ứng dụng :  Mục đích: Xây dựng chương trình mơ trực quan đồ thị giải tốn, đồng thời đọc đồ thị từ file in kết file  Giao diện:  Màn hình bắt đầu: 31 Hình 3.1 Màn hình bắt đầu  Giao diện : Hình 3.2 Giao diện chương trình  Chức chương trình:  Vẽ đồ thị đơn trực quan, bao gồm vẽ đỉnh, vẽ cạnh trọng số Hỗ trợ vẽ đồ thị vơ hướng, có hướng hỗn hợp Hiển thị danh sách cạnh xếp theo thứ tự đỉnh đầu đỉnh cuối 32  Cho phép lưu đồ thị vẽ vùng làm việc vào file mở lại đồ thị từ file lưu trước  Đồ án mơn học Tốn ứng dụng Bài tốn cực tiểu tổng cực tiểu trị lớn  Giải toán Cực tiểu trị lớn cho đồ thị hiển thị vùng làm việc  Hướng dẫn sử dụng:  Mở giao diện : nhấn đúp vào nút hình chờ  Vẽ cạnh: o Chọn loại đồ thị cần vẽ: o Nhập số đỉnh: o Nhập đỉnh đầu, đỉnh cuối, trọng số: o Load file : Nhấp nút để chọn file cần mở 33 Hình 3.3 Open file Hình 3.4 Giao diện chương trình sau load file Ngược lại file sai hiển thị: 34  Giải toán : Nhấn nút Nếu giải tốn chương trình hiển thị kết gồm ma trận đường ngắn cặp đỉnh (ma trận D), danh sách độ lệch tâm (ma trận L), cực tiểu trị nhỏ (M) danh sách đỉnh cực tiểu (tâm đồ thị) Hình 3.5 Kết tốn  Để lưu lại nhấn vào để lưu file 35 CHƯƠNG : TỔNG QUAN ĐỀ TÀI VÀ KẾT LUẬN 5.1 Tổng quan đề tài  Lý thuyết đồ thị phần nội dung toán rời rạc, nghiên cứu tích chất đồ thị  Ứng dụng bậc lý thuyết đồ thị lĩnh vực mạng máy tính tìm đường ngắn nhất, tìm luồng cực đại trọng mạng,… Ngồi ứng dụng xây dựng trí tuệ nhân tạo (AI), nhận dạng xử lý tín hiệu,…  Có nhiều thuật tốn có liên quan đến lý thuyết đồ thị : tìm đường ngắn nhất, tốn người đưa thư tiêu biểu thuật tốn tìm cực tiểu tổng, cực tiểu trị lớn 5.2 Kết luận  Kết đạt :  Đã tìm hiểu nhiều kiến thức tảng lý thuyết đồ thị ứng dụng thực tế  Thiết kế cấu trúc liệu cài đặt thành cơng ngơn ngữ C#, chạy với liệu tương đối lớn, cho kết xác nhanh chóng  Xây dựng liệu test ngẫu nhiên có đáp án xác  Xây dựng chương trình mơ đồ thị giải tốn có nhiều chức năng, đặc biệt lưu lại đồ thị xác vị trí đỉnh cạnh Chương trình có khả hỗ trợ đắc lực cho giáo viên giảng dạy trực quan, người học tiếp cận dễ dàng với nhiều dạng đồ thị mà không nhiều công sức vẽ đồ thị giấy, hay cách nhập ma trận trọng số  Hạn chế:  Thuật tốn để giải tốn có độ phức tạp cao O(n3), nhóm cố gắng thiết kế cấu trúc liệu nhỏ gọn với liệu lớn chương trình khơng đảm bảo mặt thời gian 36  Chương trình mơ có số hạn chế như: chưa hỗ trợ di chuyển đỉnh để làm đẹp đồ thị, muốn có cách xóa đồ thị vẽ lại; chưa cho phép xóa cạnh, đổi hướng cạnh ,… Tuy nhiên, có nhiều thời gian hạn chế khắc phục dễ dàng 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Tài liệu, giáo trình giảng dạy Tốn ứng dụng PGS.TSKH Trần Quốc Chiến [2] PGS.TSKH Trần Quốc Chiến, Giáo trình Lý thuyết đồ thị, Đại học Đà Nẵng [3] PGS.TSKH Trần Quốc Chiến, Giáo trình Tốn rời rạc, Đại học Đà Nẵng [4] Giải thuật lập trình, Lê Minh Hoàng, Đại học Sư phạm Hà Nội [5] Các tài liệu mạng Internet 38