MẶT CẦU 1. C/mr: Tám đỉnh của một hình hộp chữ nhật cùng nằm trên một mặt cầu. 2. Cho ∆ABC ⊥ tại B, đoạn DA vuông góc với (ABC) a) Xác đònh mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D. b) Cho AB = 3a, BC = 4a, AD = 5a tính bán kính của mặt cầu nói trên. 3. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy AB = a và cạnh bên SA = b. Xác đònh tâm và tính bán kính của mặt cầu đi qua năm điểm S, A, B, C, D. HD: Gọi S(O ; R) tiếp xúc với 3 cạnh ∆ABC tại A’, B’, C’. Gọi I là hình chiếu của O trên (ABC) ⇒ IA’ = IB’ = IC’ ⇒ I là tâm của đường tròn (c) nội tiếp ∆ABC ⇒ O ∈ ∆ trục của (c) . Ngược lại lấy ∀ O ∈ ∆ ⇒ S(O ; R) tiếp xúc với 3 cạnh ∆ABC tại A’, B’, C’ có R = OA’với A’, B’, C’ ∈ (c) . Vậy: có vô số mặt cầu tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác có tâm nằm trên ∆ trục của đường tròn nội tiếp ∆ABC. 4. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Đặt OA = a, OB = b, OC = c. a) Xác đònh tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC theo a, b, c. b) C/mr: O, I và trọng tâm ∆ABC là ba điểm thẳng hàng. HD: Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC là giao điểm I của trung trực cạnh OA và trục d của đáy (d qua trung điểm M cạnh BC và // OA) R = 2 2 2 1 2 a b c+ + . Gọi G = AM ∩ OI . Vì AO // IM ⇒ 2 GA AO GM IM = = . ⇒ G là trọng tâm ∆ABC. 5. Ba cạnh của một tam giác có độ dài 13, 14, 15. Một mặt cầu có bán kính 5 tiếp xúc với ba cạnh tại các tiếp điểm nằm trên ba cạnh đó. Tính k/cách từ tâm mặt cầu tới mặt phẳng chứa tam giác. LG: Gọi (c) là đường tròn nội tiếp ∆ABC có r = 4. Xét ∆OIA’ ⊥ tại I ⇒ OI = 3. 6. Cho mặt cầu (O ; R) tiếp xúc với mp(P) tại I, M là một điểm nằm trên mặt cầu. Hai tiếp tuyến tại M của mặt cầu cắt (P) tại A và B . C/mr: · · AMB AIB= . HD: ∆AMB = ∆AIB ⇒ · · AMB AIB= 7. C/mr: Nếu có một mặt cầu tiếp xúc với sáu cạnh của một hình tứ diện thì tổng các cặp cạnh đối của tứ diện bằng nhau. HD: Gọi M, N, P, Q, E, F là các tiếp điểm của mặt cầu với các cạnh tứ diện . Dùng đlí 2 ⇒ ĐPCM 8. Một hình tứ diện có các cạnh đối bằng nhau. C/mr: Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó là trọng tâm của tứ diện và cách đều bốn mặt của tứ diện. HD: Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều S.ABCD là giao điểm I của trung trực cạnh bên và trục của đáy ⇒ R = a. 9. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi H là hình chiếu vuông góc của A xuống (BCD) a) C/mr: H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD. Tính AH. b) Xác đònh tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. c) Gọi K là trung điểm AH. C/mr: KB, KC, KD đôi một vuông góc . HD: Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đều là giao điểm của trung trực cạnh bên và trục của đáy AH = 6 3 a , R = 6 4 a , KB = KC = KD = 2 2 2 2 a BH KH+ = ⇒ KB 2 + KC 2 = BC 2 ⇒ KB ⊥ KB. 10. Cho ∆ABC cân có · 0 120BAC = và đường cao AH = 2a . Trên đường thẳng d ⊥ (ABC) tại A lấy 2 điểm I, J ở hai bên điểm A sao cho ∆IBC đều và ∆JBC vuông cân. a) Tính các cạnh của ∆ABC. b) Tính AI, AJ và C/mr: ∆BIJ,∆CIJ là các tam giác vuông. c) Xác đònh tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp các tứ diện IJBC, IABC. HD: a) ∆ABC cân tại A ⇒ H là trung điểm BC ⇒ AB = AC = 2 2a , BC = 2 6a b) IB = IC = BC ⇒ IA = 4a, JB = JC = 2 BC ⇒ JA = 2a, c) • Ta có · · 0 90IBJ ICJ= = ⇒ mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IJBC có đường kính IJ ⇒ R = 3a. • Dựng trục d của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC (d // IJ). Tâm O của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện IABC là giao điểm O của d và trung trực OM của đoạn IA (M ∈ IA) ⇒ OM = AK = 2 3a (AK là bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC)