Sở GD ĐT bắc giang đềthithử đại học lần 1 năm học 2008-2009 Trờng thpt bố hạ Ngày thi 22 tháng 02 năm 2009 Thời gian 180 phút. A. Phần chung cho tất cả các thí sinh (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y=-x 3 +3x 2 -2 (C) 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). 2) Tìm trên đờng thẳng (d): y=2 các điểm kẻ đợc ba tiếp tuyến đến đồ thị (C ). Câu II (2 điểm) 1) Giải phơng trình: 2 2 3 1 3 2 2 5 3 16x x x x x+ + + = + + + . 2) Giải phơng trình: 3 2 2 cos2 sin 2 cos( ) 4sin( ) 0 4 4 x x x x + + + = . Câu III (2 điểm) 1) Giải bất phơng trình: 1 2 2 log (2.2 3) log (4 4) x x x + . 2) Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác vuông tại B có AB=a, BC=a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), SA=2a. Gọi M, N lần lợt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB và SC. Tính thể tích của khối chóp A.BCNM. Câu IV (1 điểm) Cho a, b, c, d là các số dơng. Chứng minh rằng: 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 1 1 1 1 1 a b c abcd b c d abcd c d a abcd d a b abcd abcd + + + + + + + + + + + + + + + B. Phần riêng cho từng đối tợng học sinh (3,0 điểm) I. Phần cho học sinh học chơng trình chuẩn. Câu Va (2 điểm) 1) Tìm hệ số của x 7 trong khai triển nhị thức Niu-tơn 2 1 ( 3 ) n x x , trong đó n là số nguyên dơng thoả mãn: 0 1 2 2 2. 2 . . 2 .+ + + + n n n n n n C C C C = 243. ( k n C là tổ hợp chập k của n phần tử). 2) Gọi A, B là giao điểm của đờng thẳng (d): 2x-y-5=0 và đờng tròn (C):x 2 +y 2 -20x+50=0. Hãy viết phơng trình đờng tròn (C) đi qua ba điểm A, B, C(1;1). Câu VIa (1 điểm) Tính tích phân sau: 2 4 4 6 6 0 (sin cos )(sin cos )I x x x x dx = + + II. Phần cho học sinh học ban nâng cao Câu Vb (2 điểm) 1)Tìm hệ số của x 7 trong khai triển nhị thức Niu-tơn 2 1 ( 3 ) n x x , trong đó n là số nguyên dơng thoả mãn: 1 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 . n n n n n C C C C + + + + + + + + + = 1024. ( k n C là tổ hợp chập k của n phần tử). 2) Trong mặt phẳng toạ độ 0xy cho ABC có diện tích bằng 3 2 , A(2;-3), B(3;-2), trọng tâm của ABC nằm trên đờng thẳng (d): 3x-y-8=0. Viết phơng trình đờng tròn đi qua 3 điểm A, B, C. Câu VIb (1 điểm). Giải hệ phơng trình: 2 2 4 4 4 2 4 4 4 log ( ) log (2 ) 1 log ( 3 ) log ( 1) log (4 2 2 4) log ( ) 1 x y x x y x xy y y x y + + = + + + + = . --------------------Hết----------------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh .Số báo danh HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀTHITHỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 MÔN TOÁN - NĂM HỌC 2008 – 2009 -------------------------------------- Dưới đây chỉ là sơ lược cách giải và phân chia điểm; bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận chặt chẽ, chi tiết. Mọi cách giải khác đúng thì cho điểm từng phần tương ứng. A – PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC HỌC SINH : 7,0 ĐIỂM CÂU I (2,0 điểm) f(x)=-x^3+3x^2-2 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 -4 -2 2 4 x y 1 b) (1,0 điểm): Gọi M ( )d ∈ ⇒ M(m;2) Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc k ⇒ PTĐT ∆ có dạng : y=k(x-m)+2. 0,25 ĐT ∆ là tiếp tuyến của (C ) khi và chỉ khi hệ PT sau có nghiệm 3 2 2 3 2 ( ) 2 (1) 3 6 (2) x x k x m x x k − + − = − + − + = (I). 0,25 Thay (2) và (1) được: 2x 3 -3(m+1)x 2 +6mx-4=0 ⇔ (x-2)[2x 2 -(3m-1)x+2]=0 2 2 2 (3 1) 2 0 (3) x x m x = ⇔ − − + = . Đặt f(x)=VT(3) 0,25 Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị ( C) ⇔ hệ (I) có 3 nghiệm x phân biệt ⇔ PT(3) có hai nghiệm phan biệt khác 2 0 1 hoÆc m>5/3 (2) 0 m 2 m f ∆ > < − ⇔ ⇔ ≠ ≠ . Vậy M(m;2) thuộc ĐT (d): y=2 với 1 hoÆc m>5/3 m 2 m < − ≠ thì từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C) 0,25 CÂU II 2 điểm) 1. ĐK: x 1≥ − (*). Đặt 2 3 1t x x= + + + >0 Khi đó PT (1) có dạng: t 2 -t-20=0 ⇔ t=-4(loại ) hoặc t=5(thoả mãn t>0) 0,25 Với t=5 trở lại ẩn cũ được: 2 2 3 1 5 2. 2 5 3 21 3x x x x x + + + = ⇔ + + = − 0,25 2 2 21 3 0 4(2 3 1) (21 3 ) x x x x − ≥ ⇔ + + = − 2 7 3 146 429 0 x x x x ≤ ⇔ ⇔ = − + = thoả mãn (*) KL: x=3. 0,5 2. 3 2 2 cos2 sin 2 cos( ) 4sin( ) 0 4 4 x x x x π π + + − + = ⇔ 3 3 2 2 cos2 sin 2 (cos .cos sin sin ) 4(sin cos cos sin ) 0 4 4 4 4 x x x x x x π π π π + − − + = ⇔ 4cos2x-sin2x(sinx+cosx)-4(sinx+cosx)=0 ⇔ (sinx+cosx)[4(cosx-sinx)-sin2x-4]=0 0,25 sinx+cosx=0 (2) 4(cosx-sinx)-sin2x-4=0 (3) ⇔ . PT (2) có nghiệm 4 x k π π = − + . Giải (2) : Đặ s inx-cosx= 2 sin( ), §iÒu kiÖn t 2 (*) 4 t x π = − ≤ 2 sin 2 1x t ⇒ = − , thay vào (2) được PT: t 2 -4t-5=0 ⇔ t=-1( t/m (*)) hoặc t=5(loại ) 0,25 0,25 Với t=-1 ta tìm được nghiệm x là : 3 2 hoÆc x= 2 2 x k k π π π = + . KL: Họ nghiệm của hệ PT là: 4 x k π π = − + , 3 2 vµ x= 2 2 x k k π π π = + 0,25 CÂU III (2điểm) 1. ĐK: 2 3 log (*) 2 x > Khi đó bpt ban đầu 2 2 log 2 (2.2 3 log (4 4) 4 3.2 4 0 x x x x x ⇔ − ≥ + ⇔ − − ≥ 0,5 2 4 2 x x ⇔ ≥ ⇔ ≥ kết hợp với (*) ⇒ Tập nghiệm của BPT ban đầu là T=[2; ) +∞ . 0,5 2. Ta có AC=2a; Đặt V 1 =V S.AMN ; V 2 =V A BCNM ; V=V S.ABC ; Ta có 1 1 . . (1) 2 V SM SN SM V SB SC SB = = 0,25 Tính được 2 4a 4 ; SM= 5 5 5 SM AM a SB = ⇒ = Thay vào (1) được 1 2 2 2 3 3 (2) 5 5 5 V V V V V V = ⇒ = ⇒ = 0,25 Ta có 3 1 . 3 . 3 3 ABC a V S SA ∆ = = . Thay vào (2) được 3 2 . 3 (®vtt) 5 a V = 0,5 CâuIV (1 điểm) Ta có 4 4 2 2 4 4 2 2 4 4 2 2 2 (1); b 2 (2); c 2 (3)a b a b c b c a c a+ ≥ + ≥ + ≥ 0,25 Cộng các vế của (1), (2), (3) được: 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( )a b c a b b c b c c a c a a b+ + ≥ + + + + + 2 2 2 2 2 2ab c abc a bc ≥ + + =2abc(a+b+c) 4 4 4 4 4 4 ( ) ( )a b c abc a b c a b c abcd abc a b c d⇒ + + ≥ + + ⇒ + + + ≥ + + + 4 4 4 1 1 (4) ( )a b c abcd abc a b c d ⇒ ≤ + + + + + + 0,5 Hoàn toàn tương tự ta có các bất đẳng thức như (4) và cộng các vế tương ứng ta được đpcm 0,25 B– PHẨN RIÊNG CHO TỪNG ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH : 3,0 ĐIỂM I – DÀNH CHO HỌC SINH HỌC THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN : CÂU Va (2 điểm) 1. Ta có 3 n =(1+2) n = 0 1 2 2 2. 2 . . 2 . + + + + n n n n n n C C C C = 243 ⇒ n=5. 0,25 Với n=5 ta có ( ) ( ) 10 10 10 1 1 3 10 10 5 2 2 2 10 10 0 0 1 3 3 3 3 k k k k k k k k x x x C x x C x x − − − − + = = − = − = − = − ÷ ÷ ÷ ∑ ∑ Số hạng tổng quát của khai triển Nhị thức Niu-tơn trên là: ( ) 3 5 2 10 3 k k k C x − + − 0,25 Hệ số của x 7 ứng với -5+ 3 7 2 k = 8k ⇔ = Vậy hệ số của x 7 là: 8 8 8 10 .( 3) 45.3C − = 0,5 Tìm được A(3;1), B(5;5). 0,25 Gọi đương tròn cần (C)tìm có dạng:x 2 +y 2 +2ax+2by+c=0 (1) điều kiện: a 2 +b 2 -c>0 (*) Vì đường tròn (C ) đi qua 3 điểm A(3;1), B(5;5), C(1;1) suy ra ta có hệ phương trình: 6 2 10 2 10 10 50 4 2 2 2 10 a b c a a b c b a b c c + + = − = − + + = − ⇔ = − + + = − = thoả mãn (*) Khi đó đường tròn cần tìm có PT: x 2 +y 2 -4x-8y+10=0. 0,5 0,25 CÂU VIa (1,0 điểm) (sin 4 x+cos 4 x)(sin 6 x+cos 6 x)=(1- 2 2 1 3 sin 2 )(1 sin 2 ) 2 4 x x − = 3 1 5 3 ( os4x)( os4x) 4 4 8 8 c c + + = 2 15 7 3 33 7 3 os4x+ os 4 ) os4x+ os8x 32 16 32 64 16 64 c c x c c + = + 0,25 Khi đó 2 0 33 7 3 33 ( os4x+ os8x)dx= 64 16 64 128 I c c π π = + ∫ (đvdt) 0,5 II – DÀNH CHO HỌC SINH HỌC THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO : CÂU Vb (2,0 điểm) 1. Ta có 0 2 2 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ( . ) ( . ) 2 n n n n n n n n n C C C C C C + + + + + + + + + + + + + = Từ giả thiết ta có 2 2n+1 =2.1024 5n ⇔ = 0,25 Khi đó: ( ) ( ) 10 10 10 1 1 3 10 10 5 2 2 2 10 10 0 0 1 3 3 3 3 k k k k k k k k x x x C x x C x x − − − − + = = − = − = − = − ÷ ÷ ÷ ∑ ∑ Số hạng tổng quát của khai triển Nhị thức Niu-tơn trên là: ( ) 3 5 2 10 3 k k k C x − + − 0,25 Hệ số của x 7 ứng với -5+ 3 7 2 k = 8k ⇔ = Vậy hệ số của x 7 là: 8 8 8 10 .( 3) 45.3C − = 0,5 2. Ta có (1;1); AB= 2AB = uuur . Gọi C(x 0 ;y 0 ). Khi đó trọng tâmcủa tam giác ABC là 0 0 5 5 ( ; ) 3 3 x y G + − + Vì trọng tâm G thuộc đường thẳng (d) 0 0 0 0 3 4 ( ;3 4)y x C x x⇒ = − ⇒ − Ta có 0 0 ( 1;3 1)AC x x = − − uuur ; 2 2 3 0 0 0 . 4 3; ( 2) (3 1)AB AC x AC x x = − = − + − uuur uuur =10 2 0 0 10 5x x − + . 2 2 2 1 1 3 . .sin . ( . ) 2 2 2 ABC S AB AC C AB AC AB AC ∆ = = − = uuur uuur uuur uuur ⇒ 2 2 2 . ( . )AB AC AB AC − uuur uuur uuur uuur =9 0,25 0,25 2 2 2 0 0 3 0 0 2(10x 10 5) (4 3) 9 2 0x x x x ⇔ − + − − = ⇔ + − = 0 0 1 hoÆc x =-2x⇔ = Với x 0 =1 1 (1; 1)C ⇒ = − ; Với x 0 =-2 2 ( 2; 10)C⇒ = − − 0,25 +) Xét điểm C 1 =(1;-1); Gọi đường tròn cần tìm có dạng: x 2 +y 2 +2ax+2by+c=0 (1) Điều kiện a 2 +b 2 -c>0 (*) Đường tròn đi qua 3 điểm A,B, C 1 Ta có hệ phương trình 3 ẩn a, b, c ; giải hệ được 11 11 16 ; b= ; c= 6 6 3 a − = thoả mãn (*) Khi đó PT đường tròn có dạng:x 2 +y 2 - 11 3 x+ 11 3 y+ 16 3 =0 . 0,25 +) Xét điểm C 2 =(-2;-10) Đường tròn đi qua 3 điểm A,B, C 2 Ta có hệ phương trình 3 ẩn a, b, c ; giải hệ được 91 91 416 ; b= ; c= 6 6 3 a − = x 2 +y 2 - 91 3 x+ 91 3 y+ 416 3 =0 . CÂUVIb (1,0 điểm) ĐK: x>0, y>0 và 4y 2 +2y-2x+4>0 (*) 2 2 2 2 2 2 4( ) 3 3 0 2 1 2 2 4 4 0 4y +2y-2x+4 4 x y x y x xy y x xy x x xy y x y + = + − + = ⇔ ⇔ + − + − = = ( )( 2 ) 0 ( )( 2) 0 x y x y x y x − − = − − = Vậy hệ có nghiệm x=2 víi >0 tuú ý: y=1 x y α α α = = 0,25 0,5 0,25 ---------------------------HẾT----------------------------- . Sở GD ĐT bắc giang đề thi thử đại học lần 1 năm học 2008-2009 Trờng thpt bố hạ Ngày thi 22 tháng 02 năm 2009 Thời gian 180 phút --------------------Hết----------------------- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm! Họ và tên thí sinh .Số báo danh HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 MÔN TOÁN - NĂM