de thi cao hoc
Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 1 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999 Môn: Giải tích Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu1. 1) Giả sử hàm RRf 2 : cho bởi công thức ( ) =+ + + = 0 0 0 , 22 22 22 2 yx yx yx yx yxf nếu nếu a) Xét tính liên tục của f trên 2 R . b) Xét tính khả vi của hàm f tại điểm ( ) 0,0 . 2) Tìm miền hội tụ của chuỗi n n n x x + + = 1 1 12 1 0 Câu 2. Kí hiệu 1 l = { } <= =1 ,;: n nnn xNnCxxx ; ( ) ,, 1 1 = = n nn yxyxd ( ) 2 1 1 2 2 , = =n nn yxyxd với { } n xx = ; { } n yy = thuộc 1 l . Chứng minh rằng a) 1 d , 2 d lần lượt là các mêtric trên 1 l ; b) không gian ( ) 11 ,dl đầy đủ ; khả li. c) Không gian ( ) 21 ,dl không đầy đủ. Câu 3. Giả sử [ ] 1,0 C là không gian định chuẩn các hàm số thực liên tục trên [ ] 1,0 với chuẩn sup và A: [ ] 1,0 C [ ] 1,0 C biến x thành Ax cho bởi ( )( ) ( ) txttAx 2 = với mọi x [ ] 1,0 C và [ ] 1,0t a) Chứng minh rằng A là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính A b) Chứng tỏ rằng [ ] ( ) 1,0 CA là không gian con đóng của [ ] 1,0 C . Câu 4. ánh xạ YXf : từ không gain tôpô X vào không gian tôpô Y được gọi là đóng nếu với tập đóng A bất kì ta có ( ) Af đóng trong Y. Chứng minh rằng YXf : là đóng khi và chỉ khi ( ) ( ) fAfA với mọi XA . Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 2 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 1999 Môn: Đại số Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Gọi 1+n E Là không gian véctơ tất cả các đa thức một ẩn có bậc n với hệ số thực. Trong 1+n E cho các đa thức ( ) xu k với nk 0 được xác định như sau: 0 0 =u ; ( ) xu k = ( )( ) ( ) 121 + kxxxx L với nk 0 . a) Chứng minh rằng các đa thức { } n k k u 0= lập thành một cơ sở của 1+n E . b) Hãy chứng tỏ tồn tại duy nhất một phép biến đổi tuyến tính của 1+n E tho mãn 1 +n điều kiện ( ) k k ux = , nk ,,2,1,0 K= . Và là một song ánh. c) Xác định ánh xạ : 1+n E 1+n E bởi điều kiện ( ) [ ] ( ) ( ) xpxpxp += 1 ; ( ) 1n pxE + . Hãy chứng minh là một ánh xạ tuyến tính . Tìm nhân và ảnh của . Tìm các đa thức ( )( ) xu k ; nk ,,2,1,0 K= . Câu 2. a) Cho G là một nhóm Xyclic. Chứng minh rằng mọi nhóm con G cũng là nhóm Xyclic. b) Gọi x là phần tử sinh của nhóm Xyclic G. Hãy tìm tất cả các nhóm con của G đẳng cấu với G. c) Chứng tỏ rằng mọi nhóm con cấp hữu hạn nguyên tố đều là nhóm Xyclic. Câu 3. Ta gọi một trường là nguyên tố nếu nó không chứa một trường con thực sự nào. a) Chứng minh rằng trường các ssó hữu tỉ Ô và trường các lớp đồng dư p  (với p là số nguuyên tố ) là trường các số nguyên tố. b) Cho X là một trường nguyên tố bất kì. Chứng tỏ rằng X Ô hoặc X p  (với p là một số nguyên tố nào đó). Câu 4. Giả sử phép biến đổi tuyến tính của không gian R 3 đối với cơ sở đơn vị có ma trn là: 815 231 411 A = a) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của . b) Tìm một cơ sở của R 3 mà đối với nó ma trận của có dạng tam giác . Viết ma trận đó. c) Giá trị riêng của có thay đổi không khi ta thay đổi cơ sở. Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 3 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000 Môn: Giải tích Ngành: Toán Đề số 1 Thời gian làm bài: 180 phút Câu1. Cho hàm số ( ) =+ + + = 0 0 0 , 22 22 22 2 yx yx yx yx yxf nếu nếu Khảo sát tính liên tục và tính khả vi của hàm số đã chi trên miền xác định của nó. Câu 2. Tìm miền hội tụ và tính tổng của chuỗi hàm ( ) ( ) = 1 1 3 2 1 n n n n x . Câu 3. Giả sử ( ){ } niRxxxxR in n ,,2,1,:,,, 21 LK == } và ( ) 1,0p . Vói mỗi tập ( ) n xxx ,, 1 K= ; ( ) n yyy ,, 1 K= ta đặt ( ) = = n i p ii yxyxd 1 , ; ( ) = = n i ii yxyx 1 , Chứng minh rằng: a) ( dR n , ) là không gian mêtric đầy đủ. b) ánh xạ đồng nhất : d i ( dR n , ) ( ) , n R liên tục. Câu 4. Cho hàm :f ĂĂ xác định bởi () ( ] + = = nn Axifn xif xf n 1 , 1 1 1,0 0 , K,2,1=n Với mỗi Nn ta đặt = = n k An n kf 1 ( n A là hàm đặc trưng của A n ). Chứng minh rằng a) ff n trên Ă . b) f khả tích Lơbe trên Ă và tính tích phân Lơbe ( ) fxdx Ă . c) Hàm 2 f không khả tích Lơ be trên Ă . Câu 5. Kí hiệu [ ] 1,0 C là không gian tất cả các hàm liên tục [ ] :0,1x Ă với bất kì yx, [ ] 1,0 C ta đặt ( ) [ ] ( ) ( ) 0,1 ,sup t dxyxtyt =. Chứng minh rằng a) ánh xạ [ ] [ ] 1,01,0 : CCf cho bởi () [ ] () () dssxtxf t = 0 , x [ ] 1,0 C là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính chuẩn của f. b) [ ] ( ) dC , 1,0 không phải là không gian compact. Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 4 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000 Môn: Giải tích Ngành: Toán Đề số 2 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. a) Khảo sát sự hội tụ của chuổi: 1 (1) ln n n n = . b) Tìm miền hội tụ của chuỗi: 1 2 n n x n = . c) Tính tổng của chuổi lũy thừa: 2 1 (1) n n nnx = + Câu 2. Ký hiệu { } 2 2 1 : nn n lxx = =< C . Đặt ( ) ,sup nn n pxyxy = N ( ) 1 2 2 1 , nn n dxyxy = = với { } n xx = ; { } n yy = thuộc 2 l a) Chứng minh rằng p, d là các metric trên 2 l . b) ánh xạ đồng nhất d I : 22 (,)(,)ldlp là ánh xạ liên tục. Câu 3. a) Cho hàm f 0 đo được, hữu hạn h. k. n trên tập hợp A, đặt () f(x) f(x)n 0 f(x)n n fx = nếu nếu và f n f h. k. n Chứng minh rằng lim() AnA x IfdLIfd àà = . b) Giả sử E là tập con của không gian tôpô X. Chứng minh rằng tập E đóng khi và chỉ khi E chứa tất cả các điểm giới hạn của nó. Câu 4. ánh xạ f: E F từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F được gọi là bị chặn nếu tồn tại một hằng số C > 0 sao cho ()fxC với mọi x E mà 1x . Chứng minh rằng để f: E F bị chặn, điều kiện cần và đủ là f liên tục. Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 5 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000 Môn: Đại số Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Giả sử V là không gian véc tơ thực n chiều và VVf : là ánh xạ tuyến tính. a) Chứng minh ( ) ( ) nfimf =+ kerdimdim . b) Giả sử f đơn cấu. Chứng minh f là tự đẳng cấu của V. c) Giả sử ff = 2 . Chứng minh Vfimf = ker . d) Giả sử mọi véc tơ khác không của V đều là véc tơ riêng của f . Chứng minh rằng f được xác định bởi ( ) xxf = ( là số thực cho trước). Câu 2. Giả sử X là nhóm Xyclic cấp m và Ylà nhóm Xyclic cấp n. Chứng minh rằng: a) Nhóm con của nhóm X là nhóm Xyclic. b) X chỉ có một số hữu hạn nhóm con. c) X Y khi và chỉ khi m=n. d) X ì Y là nhóm Xyclic cấp mì n khi và chỉ khi (m,n)=1. Câu 3. Giả sư X là một vành giao hoán có đơn vị . Một Iđêan A X của X được gọi là Iđêan tối đại nếu cvà chỉ nếu các Iđêan của X chứa A chính là X và bản thân A. Một Iđêan P của X được gọi là nguyên tố nếu và chỉ nếu với u,v X thì tích u.v P kéo theo u P hoặc v P . Giả sử I là Iđêan của X. Chứng minh rằng: a) X/I là một miền nguyên khi và chỉ khi I là Iđêan tối đại. b) X/I là một trường khi và chỉ khi I là Iđêan tối đại . c) Nếu I là Iđêan tối đại thì I là Iđêan tối đại. Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 6 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001 Môn: Giải tích Ngành: Toán Đề số 1 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Cho chuổi hàm: ( ) ( ) 1 1 21 3 n n n x n = . (1) a) Tìm miền hội tụ của chuỗi (1) b) Tính tổng của chuổi (1) trong khoảng hội tụ của nó. Câu 2. Cho hàm số ( ) 1 y cos 0 , x 0 0 x fxy x = = nếu nếu a) Tìm tất cả các điểm gián đoạn của f. b) Tập các điểm gián đoạn của f không đóng trong R 2 nhưng mở trong tập { } (0,):yyĂ . Câu 3. Cho dãy hàm () [ ] [ ] [ ] K,2,1, 1,0 0 1,0 1 = = n x xnx n xf n nếu nếu Chứng minh rằng a) ( ) lim n x fxx = với [ ] 1,0x b) 1 lim 2 n x If = trong đó n If là tích phân Lơbe của n f trên R, [ ] nx là phần nguyên của nx . Câu 4. Giả sử l là tập tất cả cá dãy số thực bị chặn ; 0 c là tập tất cả các dãy số thực hội tụ tới 0. a) Chứng minh rằng công thức sup n n xx = N với { } n xx = l xác định một chuẩn trên l . b) Chứng minh rằng 0 c là không gian con đóng trong l với chuẩn nói trên. c) Cho ánh xạ Rlf : xác định bởi công thức () 1 3 n n n x fx = = , với mọi { } n xx = l , Hãy chứng minh rằng f là một phiếm hàm tuyến tính, liên tục trên l và tính f . Câu 5. Giả sử E là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, B là hình cầu đơn vị đóng trong E. Chứng minh rằng với mọi x E, đều tồn tại y B sao cho xy = d(x, B). Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 7 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001 Môn: Giải tích Ngành: Toán Đề số 2 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm ( ) ( ) = + 1 1 1 n n n xn .(1) Xét tính khả vi của tổng chuỗi (1) tại những điểm trong miền hội tụ của nó. Câu 2. 1) Xét tính liên tục của hàm số ( ) = = 0 0 0 y 1 sin , y yx yxf nếu nếu 2) Chứng minh rằng tập các điểm gián đoạn của hàm f không đóng , không mở trong 2 R nhưng mở trong R. Câu 3. Cho dãy hàm () [ ] [ ] [ ] K,2,1, 1,0 0 1,0 1 = = n x xnx n xf n nếu nếu Chứng minh rằng a) ( ) lim n x fxx = với [ ] 1,0x b) 1 lim 2 n x If = trong đó n If là tích phân Lơ be của n f trên R, [ ] nx là phần nguyên của nx . Câu 4. Giả sử l là tập tất cả cá dãy số thực bị chặn ; 0 c là tập tất cả các dãy số thực hội tụ tới 0. a) Chứng minh rằng công thức ( ) nnNn yxyxd = sup, với { } n xx = ; { } n yy = l xác định một mêtric trên l và mêtric được sinh bởi một chuẩn trên l . b)Chứng minh rằng 0 c là tập con đóng trong l . c) Cho ánh xạ Rlf : bởi công thức () = = 1 2 n n n x xf với mọi { } n xx = thuộc l . Hãy chứng minh rằng f là một phiếm hàm tuyến tính , liên tục trên l và tính f . Câu 5. Giả sử E là không gian định chuẩn , E là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E và a là một điểm thuộc E. Chứng minh rằng ánh xạ CE a : được cho bởi công thức ( ) ( ) aff a = ; Ef là ánh xạ tuyến tính liên tục trên E và a a = . Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 8 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2001 Môn: Đại số Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Cho V là không gian tất cả các đa thức một ẩn có bậc n với hệ số thực và : VV là ánh xạ biến mỗi đa thức thành đạo hàm của nó. a) Chứng minh rằng là một phép biến đổi tuyến tính của không gia véc tơ V. b) Tìm giá trị riêng và véc tơ riêng của . Câu 2. Cho ánh xạ 23 :f ĂĂ xác định bởi ( ) ( ) myxyxyxyxf ++= 2,,2, a) Tìm m để f là ánh xạ tuyến tính . b) Tìm fker và ( ) imfdim trong trường hợp f ánh xạ tuyến tính. Câu 3. a) Chứng minh rằng mọi vành con của vành số nguyên  đều có dạng m với m  . b) Tìm tất cả các tự đồng cấu của vành  [5] các số thực có dạng 5ba + với a, b là các số nguyên. Câu 4. Cho K là một trường có đặc số nguyên tố p. Chứng minh ánh xạ p xx ( ) Kx là một tự đồng cấu khác không của trường K. Từ đó hãy chứng minh định lí Fecma bé: Với mọi số nguyên a và số nguyên tố p ta có ( ) paa p mod . Câu 5. Xét nhóm Ô các số hữu tỉ với phép cộng thông thường. a) Chứng minh rằng Ô không phải là nhóm Xyclic. b)Nhóm thương Ô / có đẳng cấu với Ô hay không? Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 9 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2002 Môn: Giải tích Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm ( ) = + 1 22 1 n xnn x . Câu 2. Cho hàm số ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = += 0,0, 0 0,0, 1 cos , 22 3 yx yx yx x yxf nếu nếu a)Xét tính khả vi của hàm f tại điểm ( ) 0,0 . b) Xét tính liên tục của các đạo hàm riêng của f tại điểm ( ) 0,0 . Câu 3. Khảo sát tính khả tích Rieman, khả tích Lơbe và tính các tích phân đó (nếu có ) đối với hàm ( ) = = n xe n x yxf x 1 1 sinx , nếu nếu , K,3,2,1=n trên đoạn [ ] 1,0 . Câu 4. Giả sử { } { } <= nnn xRxl sup: ; ( ){ } KKK ,2,1,,0,0,1,0,,0 === neA n Chứng minh rằng : a) Các công thức ( ) = = 1 1 , n nn yxyxd , ( ) nnn yxyxd = sup, với { } n xx = ; { } n yy = lần lượt xác định mêtric trên 1 l ; l . b) ll 1 nhưng ( ) dl , 1 không đóng trong ( ) dl , . c) SpanA trù mật trong ( ) 11 ,dl nhưng không trù mật trong ( ) dl , , trong đó SpanA là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của A. d) ánh xạ ( ) ( ) 1 1 ,,: ll với () { } , 2 n n n x xxxl == là ánh xạ tuyến tính liên tục. Tính ( nn xx sup= ; = = 1 1 n n xx ) với { } n xx = ). Câu 5. Chứng minh rằng { } n A là dãy các tập mở trong không gian mêtric đầy đủ X sao cho XA = thì với mọi n thì I = = 1n n AX . Đặng Xuân Cương - Cao học 12 - Giải tích - Đại học Vinh K nim hố 2005 10 Bộ giáo dục và đào tạo Trường Đại học Vinh Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2002 Môn: Đại số Ngành: Toán Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1. a) Cho phép biến đổi tuyến tính của 3 Ă đối với cơ sở đơn vị có ma trận là: 815 231 411 Hãy tìm giá trị riêng và vectơ riêng của . b) Chứng tỏ rằng nếu A là ma trận vuông phần tử thực thỏa mãn 2 0AI+= thì A không có giá trị riêng thực. Từ đó suy ra không tồn tại ma trận vuông A cấp 3 phần tử thực thỏa mãn 2 0AI+= (Trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với A ). Bài 2. Cho nhóm G và AutG là nhóm tất cả các tự đẳng cấu của G với phép toán nhân ánh xạ. Với mỗi a G, xét ánh xạ f a : G G x a a -1 xa a) Chứng minh rằng f a là một tự đẳng cấu của G, và ta gọi đó là tự đẳng cấu trong xác định bởi a. b) Chứng minh rằng tập tất cả các tự đẳng cấu trong của G lập thành một nhóm con, ký hiệu là IntG của nhóm AutG. Hơn nữa, IntG AutG. c) Chứng minh rằng một nhóm con H của G là ước chuẩn của G khi và chỉ khi f a (H) = H với mọi f a IntG. d) Chứng minh rằng nếu G không giao hoán thì IntG không thể là Cyclic, do đó AutG cũng không là Cyclic. Bài 3. Cho tập X = 3 :, xy xy yx Z , trong đó 3  là trường các lớp đồng dư theo modul 3. a) Chứng minh rằng X cùng với phép cộng và nhân ma trận lập thành một trường. b) Tìm đặc số của trường X. Bài 4. a) Chứng minh rằng nếu K là một trường thì vành đa thức K[x] là một vành chính. b) Chứng minh rằng miền nguyên P không phải là trường thì P[x] không là vành chính. c) Gọi I = <x, 2> là Ideal sinh bởi hai phần tử x và 2 trong vành  [x]. Chứng minh rằng I gồm tất cả các đa thức với hệ số tự do là số nguyên chẵn và I không phải là Ideal chính. . chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000 Môn: Giải tích Ngành: Toán Đề số 1 Thời gian làm bài: 180 phút Câu1. Cho. chủ nghĩa Việt Nam Độc lập - Tự do - Hạnh phúc Đề thi tuyển sinh cao học năm 2000 Môn: Giải tích Ngành: Toán Đề số 2 Thời gian làm bài: 180 phút Câu 1. a)