Chuong6 Cay va Cay Khung

TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN TP.HCM KHOA CÔNG NGHỆ THƠNG TIN MƠN TỐN RỜI RẠC VÀ LÝ THUYẾT ĐỒ THỊ CHƯƠNG CÂY VÀ CÂY KHUNG ĐỒ THỊ GV: Võ Tấn Dũng votandung@yahoo.com Cây tính chất Định nghĩa Cây Cho G=(V,E) đồ thị vô hướng G gọi Cây (tree) G liên thơng khơng có chu trình đơn Định nghĩa Rừng - Rừng (forest) đồ thị mà thành phần liên thơng Rừng Ví dụ: a b c d e f G1 a b c d f e G2 a b c d f e a b c d f e G3 G1, G2 cây; G3, G4 G4 Định lý Định lý: Giả sử G=(V,E) đồ thị vơ hướng n đỉnh Khi mệnh đề sau tương đương: • • • • • (1) T cây; (2) T không chứa chu trình có n-1 cạnh; (3) T liên thơng có n-1 cạnh; (4) T liên thơng cạnh cầu; (5) Hai đỉnh T nối với đường đơn; • (6) T khơng chứa chu trình thêm vào cạnh ta thu chu trình Cây khung đồ thị Giới thiệu Cách tạo khung đồ thị Trong đồ thị liên thông G, thực loại bỏ cạnh nằm chu trình tạo đồ thị G' có tính liên thơng Thực tiếp việc loại bỏ cạnh chu trình khác đồ thị T khơng chu trình liên thơng thu nối tất đỉnh G - gọi khung đồ thị • Ví dụ: Đồ thị sau khung (nó có khung khác nữa) Định nghĩa khung đồ thị Định nghĩa Cho G=(V,E) đồ thị vô hướng, liên thông Cây T=(V,F) với F  E gọi khung đồ thị G B F A D G C E H Bài tốn tìm khung nhỏ Cho G=(V,E) đồ thị vơ hướng, liên thơng có trọng số Độ dài c(T) khung T tổng trọng số cạnh cây: Bài toán: Trong số tất khung đồ thị G, tìm khung có độ dài nhỏ - gọi khung nhỏ đồ thị Bài tốn tìm khung nhỏ Các toán thực tế ứng dụng khung nhỏ 1- Bài toán nối mạng máy tính: Với mạng máy tính gồm n máy đánh số từ đến n Biết chi phí nối máy i với máy j m(i,j) (chi phí phụ thuộc vào độ dài cáp nối cần sử dụng) Hãy tìm cách nối mạng cho tổng chi phí nhỏ 2- Bài toán xây dựng hệ thống đường sắt: Chúng ta muốn xây dựng hệ thống đường sắt nối n thành phố để hành khách từ thành phố đến thành phố lại Yêu cầu thiết kế để chi phí xây dựng hệ thống đường nhỏ Thuật toán Kruskal • Cho đồ thị vơ hướng liên thơng có trọng số G=(V,E) Thuật tóan tìm khung nhỏ Tmin=(V,Emin) Các bước làm sau: Bước khởi đầu: • Tập đỉnh Tmin tập đỉnh đồ thị G • Tập cạnh Tmin rỗng: Emin = Bước lặp: Mỗi lần lặp chọn cạnh cho (lặp lại chọn đủ số cạnh số đỉnh trừ 1) • Xét cạnh có trọng số nhỏ cạnh chưa xét • Nếu cạnh khơng tạo thành chu trình với cạnh chọn trước đó, chọn vào Ngược lại bỏ qua khơng chọn Thí dụ: Tìm khung nhỏ đồ thị cho hình đây: Bước khởi tạo Đặt Tmin= Bước lặp: • Xét cạnh (3,5) chọn vào • Xét cạnh (4,6) chọn vào • Xét cạnh (4,5) chọn vào • Xét cạnh (5,6) không chọn vào • Xét cạnh (3,4) khơng chọn vào • Xét cạnh (1,3) chọn vào • Xét cạnh (2,3) chọn vào Đã chọn đủ cạnh, Tmin = { (3,5) , (4,6) , (4,5) , (1,3) , (2,3) } Chính tập cạnh khung nhỏ cần tìm Thuật tốn Prim • Thuật tốn Prim gọi phương pháp lân cận gần • Trong phương pháp đỉnh s tuỳ ý đồ thị, ta nối s với đỉnh lân cận gần nhất, chẳng hạn đỉnh y Nghĩa số cạnh kề đỉnh s, cạnh (s,y) có độ dài nhỏ • Tiếp theo số cạnh kề với hai đỉnh s y ta tìm cạnh có độ dài nhỏ nhất, cạnh dẫn đến đỉnh thứ ba z, ta thu phận gồm đỉnh cạnh • Quá trình tiếp tục ta thu gồm tất đỉnh đồ thị, khung nhỏ cần tìm Thuật tốn Prim Cho đồ thị vơ hướng liên thơng có trọng số G=(V,E) Thuật tóan tìm khung nhỏ Tmin=(V,Emin) Các bước làm sau: Bước khởi đầu: • Tập đỉnh Tmin đỉnh tùy ý s: Vmin = {s} • Tập cạnh Tmin rỗng: Emin = Bước lặp: Mỗi lần lặp chọn đỉnh cạnh cho (Lặp lại chọn hết đỉnh đồ thị) • Tìm đỉnh gần Tmin • Thêm vào Tmin đỉnh này, cạnh ngắn nối đỉnh với Thí dụ:Tìm khung nhỏ đồ thị cho hình Bước khởi tạo Đặt Vmin={1} , Emin = Bước lặp: • Vmin={1,3} , Emin = {(1,3)} • Vmin={1,3,5} , Emin = {(1,3),(3,5)} • Vmin={1,3,5,4} , Emin = {(1,3),(3,5),(5,4)} • Vmin={1,3,5,4,6} , Emin = {(1,3),(3,5),(5,4),(4,6)} • Vmin={1,3,5,4,6,2} , Emin = {(1,3),(3,5),(5,4),(4,6),(3,2)} Kết thúc Bài tập • Một địa đạo gồm hầm đường hầm với độ dài hình vẽ Bài tập (tiếp theo) a) Cần tham quan tất đường hầm, cho đường hầm qua lần, phải trổ cửa lên mặt đất hầm nào, để số lần phải xuống-lên mặt đất Chỉ đường tham quan Nếu muốn trổ cửa hầm mà u cầu, phải đào thêm đường hầm nữa? b) Nếu yêu cầu hầm tới Hãy đưa phương án phải đào đường hầm đường hầm cho, để tổng chiều dài đường hầm phải đào nhỏ Nói rõ áp dụng thuật tóan Hết chương Tuần sau: ôn tập chuẩn bị thi cuối kỳ ... đỉnh G - gọi khung đồ thị • Ví dụ: Đồ thị sau khung (nó có khung khác nữa) Định nghĩa khung đồ thị Định nghĩa Cho G=(V,E) đồ thị vô hướng, liên thông Cây T=(V,F) với F  E gọi khung đồ thị G... tốn tìm khung nhỏ Cho G=(V,E) đồ thị vô hướng, liên thông có trọng số Độ dài c(T) khung T tổng trọng số cạnh cây: Bài toán: Trong số tất khung đồ thị G, tìm khung có độ dài nhỏ - gọi khung nhỏ... với đường đơn; • (6) T khơng chứa chu trình thêm vào cạnh ta thu chu trình Cây khung đồ thị Giới thiệu Cách tạo khung đồ thị Trong đồ thị liên thông G, thực loại bỏ cạnh nằm chu trình tạo đồ