Chương 1. Sách TCC 2

Chương 1. Sách TCC 2 tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh tế...

TS DƯƠNG VIỆT THÔNG (Chủ biên) NGUYỄN XUÂN TIỆP NGUYỄN VĂN Q HỆ THỐNG KIẾN THỨC MƠN TỐN CAO CẤP (Ví dụ lời giải) (Sách dùng cho sinh viên hệ cao đẳng, đại học khối ngành Kinh tế Kỹ thuật) HÀ NỘI – 2016 MỤC LỤC Lời nói đầu PHẦN I: HỆ THỐNG KIẾN THỨC Chương 1: Hàm số giới hạn Bài 1: Hàm số Bài 2: Dãy số giới hạn Bài 3: Giới hạn hàm số Bài 4: Hàm số liên tục Chương 2: Đạo hàm vi phân Bài 1: Đạo hàm hàm số Bài 2: Vi phân hàm số Bài 3: Các định lý hàm số khả vi Bài 4: Khai triển Taylor Bài 5: Ứng dụng đạo hàm Bài 6: Ứng dụng đạo hàm phân tích kinh tế Chương 3: Hàm số nhiều biến số Bài 1: Các khái niệm Bài 2: Hàm số liên tục Trang Bài 3: Đạo hàm riêng vi phân Bài 4: Hàm Bài 5: Hàm số ẩn Chương 4: Cực trị hàm nhiều biến số Bài 1: Cực trị khơng có điều kiện ràng buộc Bài 2: Cực trị có điều kiện ràng buộc Bài 3: Ứng dụng toán cực trị phân tích kinh tế Chương 5: Phép tốn tích phân Bài 1: Tích phân bất định Bài 2: Tích phân xác định Bài 3: Tích phân suy rộng Bài 4: Ứng dụng tích phân Chương 6: Phương trình vi phân Bài 1: Phương trình vi phân cấp Phần II: Một số dạng đề thi mơn Tốn cao cấp lời giải Phần III: Một số đề thi Olympic Toán sinh viên Trường Đại học KTQD mơn Giải tích Tài liệu tham khảo TS Dương Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Q Lời nói đầu Chương trình Tốn cao cấp giảng dạy cho sinh viên kinh tế chia thành phần: Phần 1: Đại số tuyến tính Phần 2: Giải tích tốn học Việc học năm khiến nhiều sinh viên bỡ ngỡ gặp khó khăn việc học giành kết tốt kỳ thi học kỳ Vì vậy, cần tài liệu giúp sinh viên hệ thống môn học cách đầy đủ từ đến nâng cao, tự kiểm tra kiến thức trước kỳ thi, hình dung mức độ đề thi học kỳ mơn Tốn cao cấp đạt kết mong muốn kỳ thi Với mục đích đó, sách “Hệ thống kiến thức mơn tốn cao cấp 1” xuất bản, viết tiếp “Hệ thống kiến thức mơn tốn cao cấp 2” Cuốn sách viết dựa khung chương trình mơn học Tốn cao cấp Trường Đại học Kinh tế Quốc dân Để sách không bị nhàm chán phù hợp với tất bạn sinh viên trung bình, giỏi, bạn sinh viên u thích mơn Tốn muốn tìm hiểu sâu mơn Tốn cao cấp 2, cố gắng đưa vào sách ví dụ, câu hỏi hay gặp đề thi kết thúc môn học ví dụ, tập khó sinh viên muốn đạt điểm 9,10 kỳ thi học kỳ kết thúc môn học Với ý tưởng trên, chúng tơi chia sách thành phần: Phần I Tóm tắt lý thuyết ví dụ Chúng tơi tóm tắt lý thuyết đưa nhiều ví dụ, câu hỏi từ dễ đến khó mà bạn hay gặp kỳ thi Phần II Giới thiệu số dạng đề thi hết môn học Phần III Giới thiệu mốt số đề thi Olympic giải tích cấp Trường Chúng tơi hi vọng sách góp phần giúp bạn sinh viên năm thứ khối Trường Kinh tế đạt kết cao kỳ thi hết học phần môn học Tác giả xin chân thành cảm ơn Thầy, Cơ giáo Bộ mơn Tốn - Khoa Toán kinh tế động viên, ủng hộ tác giả hoàn thành sách Cuốn sách chắn nhiều thiếu sót, tác giả mong đợi đóng góp bạn sinh viên, bạn đồng nghiệp để sách hoàn thiện Tác giả TS Dương Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý PHẦN I HỆ THỐNG KIẾN THỨC CHƯƠNG HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN §1 Hàm số 1.1 Các khái niệm hàm số biến số 1.1.1 Biến số a Khái niệm Biến số ký hiệu mà ta gán cho số thuộc tập số X  , X   cho trước Tập số X gọi miền biến thiên giá trị x o  X gọi giá trị biến số b Các biến số kinh tế Ta có vài biến số kinh tế hay dùng đây: P : Biến giá Q: Sản lượng Qs : Lượng cung K: Tư Qd : Lượng cầu L: Lao động U: Lợi ích TC: Tổng chi phí  : Lợi nhuận TR: Tổng doanh thu 1.1.2 Quan hệ hàm số a Khái niệm hàm số Định nghĩa 1.1 Một hàm số f quy tắc biến phần tử x thuộc tập D   thành phần tử y   Ký hiệu: f : D   x   y  f (x) TS Dương Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý Tập D gọi miền xác định hàm số f , x biến số độc lập, y gọi hàm số biến số x Ví dụ 1.1 f :    x   y  f (x)  x3 b Miền xác định, miền giá trị, đồ thị hàm số dạng biểu thức Cho hàm số dạng biểu thức y  f (x) Khi ta có định nghĩa sau: Miền xác định hàm số: D := { x   | f (x) có nghĩa} Miền giá trị hàm số: Y:=  y  f (x) x  D   Đồ thị hàm số: G :=  x, f (x)   x  D Ví dụ 1.2 Cho hàm số f (x)   x  x  Tìm miền xác định miền giá trị hàm số Giải Điều kiện:  x  x    1 1 x 2 1    Miền xác định hàm số: D   ;    2 1 5  Ta có: f (x)   x  x    x  D f (x)    x      x  D 2   5 Miền giá trị hàm số:  0;    Ví dụ 1.3 Cho hàm số y  f (x)  x Tìm miền xác định miền giá trị vẽ đồ thị hàm số Giải Miền xác định: D   Miền giá trị:  0;  TS Dương Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý Đồ thị: 1.3 Hàm số ngược a Khái niệm Cho hàm số y  f (x) với miền xác định D miền giá trị Y Giả sử y  Y có x  D cho y  f (x) Khi ta xác định hàm số f 1 : Y  D y   x  f 1 (y) Hàm số f 1 xác định gọi hàm số ngược hàm số f Ví dụ 1.4 Cho hàm số f (x)  x , ta có miền xác định hàm số  miền giá trị  Khi đó, với y   phương trình y  f (x) có nghiệm x  y Nghĩa là, giá trị y thuộc miền giá trị hàm số cho giá trị x Vậy hàm số có hàm ngược x  f 1 (y)  y hay viết lại f 1 (x)  x Ví dụ 1.5 Cho hàm số y  f (x)  x hàm số có miền xác định R miền giá trị  0,   Ta có, với y  0,   phương trình y  f (x)  x   y Nghĩa là, y thuộc miền giá trị hàm số cho hai giá trị x thuộc miền xác định Vậy hàm số khơng có hàm ngược b Tính chất Cho hàm số y  f (x) có miền xác định D, miền giá trị Y có hàm số ngược f 1 Khi đó: Tính chất f 1 : Y   D TS Dương Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý Tính chất Do y  f (x) x  f 1 (y) ta có: ) x  f 1 f (x) x  D +) y  f f 1 (y) y  Y b Hàm ngược hàm số lượng giác    ▪ Hàm số y  sin x , x    ;  y   1;1 hàm số y  sin x có hàm số  2    ngược hàm số ngược ký hiệu là: y  arcsin x với x  [  1,1], y    ;   2 ▪ Hàm số y  cos x, x   0;  y   1;1 hàm số y  cos x có hàm số ngược hàm số ngược ký hiệu là: y  arccos x với x   1;1 , y   0;     ▪ Hàm số y  tan x, x    ;  y   hàm số y  tan x có hàm số  2    ngược hàm số ngược ký hiệu là: y  arctan x với x  , y    ;   2 ▪ Hàm số y  cot x, x   0;   y   hàm số y  cot x có hàm số ngược hàm số ngược ký hiệu là: y  arccot x với x  , y   0;   Chú ý: Nếu ta sử dụng tính chất hàm số ngược ta có cơng thức sau: sin  arcsin x   x x   1;1    arcsin(sinx)  x x    ;   2 cos  arccos x   x x   1;1 arccos(cosx)  x x   0;  Ví dụ 1.6 Chứng minh arcsinx + arccosx =   x   1,1 Giải Ta có TS Dương Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý arcsin x  arccos x   arcsinx = Đặt t =   x   1,1   arccosx  x   1,1      arccosx  x   1,1 Khi t    ,   x   1,1 ta có:  2   sin t  sin   arccosx   cos  arccosx   x 2     Với t    ,  x   1,1 từ phương trình sin t  x  t  arcsin x  2 Ví dụ 1.7 Tìm miền xác định hàm số a) y  arcsin 1  x   log  log x    b) y  cot  x   arccos 2x Giải a) Điều kiện 1  x   1,1  x   0, 2   x  1,2  log x   x  MXĐ: 1,2 b) Điều kiện 2 x   1,1 x    x   ,  \  x  k. , k   x  k , k   MXĐ:  ,0  \ Ví dụ 1.8 Gọi f 1 hàm ngược hàm số f Hãy viết biểu thức f 1 (x) trường hợp sau: a) f (x)  ax  b,   x    a  0 TS Dương Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý b) f (x)  1 x , x  1 1 x Giải a) Hàm số f (x)  ax  b có miền xác định:  miền giá trị:  Với y  , giải phương trình: y  f (x)  y  a x  b  x  Vậy hàm số có hàm số ngược f 1 (y)  x  hay ta ký hiệu lại: f 1 (x)  b y  a a b y  , a a x b  a a b) Với y thuộc miền giá trị hàm số Ta giải phương trình: y  f (x)  y   y 1  1 x  1  1 x 1 x 2 1 x   x  1  1 x 1 y 1 y Vậy hàm số có hàm số ngược f 1 (y)  1 y ,  y  1 hay: 1 y f 1 (x)  1 x ,  x  1 1 x Hàm số sơ cấp 2.1 Các hàm số sơ cấp Các hàm số sau gọi hàm số sơ cấp f (x)  C, (hàm số nhận giá trị không đổi C với x) Hàm số lũy thừa: f (x)  x     const  Hàm số mũ: f (x)  a x (a > a  ) Hàm số logarit: f (x)  log a x (a > a  ) TS Dương Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý Đặt arctan x x tan t  t  tan t  x x 1 x 1  tan t x    x    t  Ta có: x 1 x  tan t    sin t    lim x   arctan  lim  t  lim     t x  x   t   tan t    t   sin t  cos t   4 4  lim  t sin t    1   t     2 sin  t    4 3.5 Vô bé a Định nghĩa 3.11 Hàm số f(x) gọi vô bé x  a lim f (x)  x a Ví dụ 3.35 Các hàm số sin x, tan x, x  (  0) vô bé x  b So sánh vô bé Định nghĩa 3.12 Giả sử f(x), g(x) vô bé x  a tồn tai giới hạn f (x)  k   Khi đó: x a g(x) lim ▪ Nếu k = f(x) gọi vơ bé bậc lớn g(x) viết: f (x)  o  g(x) ▪ Nếu k  f(x) g(x) gọi vô bé bậc ▪ Đặc biệt, k = f(x) g(x) gọi vô bé tương đương viết: f (x)  g(x) x  a sin x Ví dụ 3.36 Ta có lim  sin x  o(x) x 0 x tan x tan x sin x tan x Ví dụ 3.37 Ta có lim  lim tan x  lim  1.0  x 0 x 0 x0 x x x cos x Do tan x  (x ) Ví dụ 3.38 Ta có cặp vơ bé tương đương sau: 35 TS Dương Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý sin u ~ u u  sin m u ~ u m u  tan u ~ u u   cos u ~ u2 u  ln(1  u) ~ u u  eu  ~ u u  a u  ~ u ln a u   1  u   ~ u   u  arc sin u  u u  10 arctanu  u u  Chứng minh sin u   sin u  u u 0 u Ta có lim sin m u Ta có lim m   sin m u  u m u0 u tan u sin u  lim cosu   tan u  u u0 u0 u u Ta có lim u  cos u    cos u ~ u  lim Ta có lim u 0 u 0 u2 u   2 sin ln  u  1   ln  u  1  u u0 u Ta có lim Đặt t  eu   u  ln 1  t  eu  t  lim   eu   u u 0 t  u ln 1  t   lim 36 TS Dương Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý au 1 e u ln a  Từ câu ta có: lim  lim   a u   u ln a u 0 u ln a u 0 u ln a 1  u  Ta có lim u 0  1 u e    ln 1  u   lim  u 0  ln 1  u  u ln 1 u    1  u    u Đặt t  arcsinu  sint  u Ta có: lim u 0 arcsin u t  lim   arcsin u  u t  u sin t 10 Đặt t  arctanu  tant  u Ta có: lim u 0 arctan u t  lim   arctan u  u t  u tan t Định lý 3.4 (Thay vô bé tương đương) Giả sử ta có cặp VCB tương đương: f1 (x) ~ f (x), g1 (x) ~ g (x) x  a lim x a f (x) tồn đó: g (x) f1 (x) f (x)  lim x  a g (x) x a g (x) lim Chúng ta sử dụng định lý thay VCB tương đương ta dễ dàng tính giới hạn hàm số 5x x 0 3sin x  100x  2014x Ví dụ 3.39 Tìm lim Giải Ta có: 3sin x  100x  2014x ~ 3x x  5x 5x  lim  x  3sin x  100x  2014x x 0 3x  lim  cos3x x 0 2x  3x  x Ví dụ 3.40 Tìm lim Giải 37 TS Dương Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý Ta có: 2 3x  3x  9x x   cos 3x  2sin ~    2   2x  3x  x ~ 2x x  9x  cos3 x  lim  lim 2  x 0 2x  3x  x x 0 2x 5x  x 0 4x  3sin x  cos x  Ví dụ 3.41 Tìm lim Giải Ta có: 5x   e x ln  ~ x ln x  4x  3sin x  cos x   4x  3sin x  2sin x ~ 4x x  5x  x ln ln  lim  lim  x  4x  3sin x  cos x  x  4x Ví dụ 3.42 Tìm lim x 0 1  4x  1 2s inx  3sin x Giải Ta có: 1  4x  2   1  4x    4x x  2sin x  3sin x  2x  3x  2x x  x Vậy lim  lim  x 0 2s inx  3sin x x 0 2x 7 1  4x   ln(1  3sin x  2x )  4x x 0 ln(1  tanx)  s in x Ví dụ 3.43 Tìm lim Giải 38 TS Dương Việt Thơng (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý Ta có ln(1  3sin x  2x )  3sin x  2x  2x , đó: ln(1  3sin x  2x )  4x  4x x  Và ln(1  3tanx)  3tan x  3x; sin x  x x  0, đó: ln(1  3tanx)  s in x  3x x  ln(1  3sin x  2x )  4x 4x  lim  x 0 x 0 3x ln(1  tanx)  s in x Vậy lim ln(1  3arcsin x  2s in x)+3tanx Ví dụ 3.44 Tìm lim x 0 x  tan x  cos2 x  Giải Ta có: ln(1  3arcsin x  s in x)  3arcsin x  2s in x  3x x  tan x  3x x  , đó: ln(1  3arcsin x  s in x)+3tanx  6x x  Mặt khác: x  3tan x  cos x   x  3tan x  sin x  4x x  ln(1  3arcsin x  2s in x)+3tanx 6x Vậy lim  lim  x 0 x 0 4x x  tan x  cos x  Chú ý: Giả sử x  a ta có cặp VCB tương đương: f1 (x) ~ f (x) , g1 (x) ~ g (x) Chúng ta viết: f1 (x)  g1 (x)  f (x)  g (x) x  a Ví dụ 3.45 Ta có: sin(x )  x x  viết: sin(x )  x  x  39 TS Dương Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý §4 Hàm số liên tục 4.1 Khái niệm hàm số liên tục a Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 4.1 Cho hàm số f : D    x  D Hàm số f gọi liên tục x o lim f (x)  f (x o ) x x o Nếu f liên tục điểm x  D ta nói hàm số f liên tục miền D Nếu f không liên tục điểm x o ta nói hàm số f gián đoạn x o Hàm số f gián đoạn x o trường hợp sau: + f(x) không xác định x o + Không tồn giới hạn lim f (x) x x o + Tồn giới hạn lim f (x) lim f (x)  f (x o ) x x o x  xo Ví dụ 4.1 Xét tính liên tục hàm số điểm x  1  cos3x  x sin x x  f (x)   9 x   Giải Ta có: 3x  cos 3x lim f (x)  lim  lim x 0 x 0 x sin x x 0 x sin x 2sin 3x  lim   f (0) x 0  3x  sin x   9  x 2sin Vậy f (x) liên tục điểm x  Ví dụ 4.2 Xét tính liên tục hàm số x  40 TS Dương Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý  arcsin 3x x   f (x)   s inx  x  Giải Do arcsin 3x  3x, s inx  x nên arcsin 3x 3x  lim   f (0) x 0 x 0 x s inx lim f (x)  lim x 0 Vậy f (x) liên tục x  Ví dụ 4.3 Xét tính liên tục hàm số x   ln(2  cos 3x) x   f (x)   tan x 0 x   Giải Ta có ln(2  cos 3x)  ln(1  sin x)  sin x  x tan x  x ln(2  cos 3x) x2 Do lim f (x)  lim  lim   f (0) x 0 x 0 x 0 x tan x Vậy hàm số f (x) gián đoạn x  Ví dụ 4.4 Xét tính liên tục hàm số sau x   3x  27 x   f (x)   sin(x  3) 1 x   Giải Ta có: 3x  27 3x   x   27 lim  27 ln  f (3) x 3 sin(x  3) x 3 x  sin  x  3 lim Vậy hàm số f (x) gián đoạn x = 41 TS Dương Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý Ví dụ 4.5 Xét tính liên tục hàm số sau x   x  arctan(x-5) sin f (x)   x 5  x  Giải Ta có: + f (5)  + lim arctan  x    x 5 + sin bị chặn x 5 Do lim f (x)  lim arctan(x-5) sin x 5 x 5   f (5) x 5 Vậy hàm số f (x) gián đoạn x  Ví dụ 4.6 Xét tính liên tục hàm số sau:  2x  x   f (x)   x  m x   Giải Với x  f (x)  2x  hàm sơ cấp Vậy f(x) hàm liên tục với x  x2 Với x=2, ta có: + f (2)  m x 2 x 2  x   1 2x  eln  e   + lim f (x)  lim  lim  4lim  lim ln  4ln x2 x 2 x  x 2 x 2 x   x   ln x2 x2 Vậy: Nếu m  ln hàm số liên tục x  42 TS Dương Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý Nếu m  ln hàm số gián đoạn x  Kết luận: Nếu m  ln hàm số liên tục  Nếu m  ln hàm số liên tục  \ 2 b Liên tục phía ▪ Hàm số f(x) gọi liên tục bên phải x o lim f (x)  f (x o ) x  x o ▪ Hàm số f(x) gọi liên tục bên trái x o lim f (x)  f (x o ) x  x o Định lý 4.1 Hàm số f(x) liên tục x o lim f (x)  lim f (x)  f (x o ) x  xo x  xo Ví dụ 4.7 Xét tính liên tục hàm số sau điểm x  x , x  f (x)   ax  2, x   Giải Ta có: + f (1)  + lim f (x)  lim  ax  2  a  x 1 x 1 + lim1 f (x)  lim1 x  x 1 x 1 Nếu a    a  lim f (x)  lim f (x)  f (1)   f (x) liên tục điểm x  x 1 x 1 Nếu a    a  f (x) gián đoạn điểm x  Ví dụ 4.8 Xét tính liên tục hàm số x  43 TS Dương Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý  tan 3x  f (x)   x 3  x  x  Giải Ta có: + f (0)  + lim f (x)  lim tan 3x tan 3x  lim  x 0 x 3x (1) + lim f (x)  lim tan 3x tan 3x   lim  3 x 0 x 3x (2) x 0 x 0 x 0 x 0 Từ (1) (2) ta có lim f (x)  lim f (x) nên hàm số gián đoạn x  x 0 x 0 2ex x  Ví dụ 4.9 Tìm giá trị a để hàm số f (x)   liên tục toàn  2x  a x  Giải Với x  0,   f (x)  2x  a hàm số liên tục Với x   ,0  f (x)  2e x hàm số liên tục Do để hàm số liên tục  ta tìm a để hàm số liên tục Ta có: + f (0)  a + lim f (x)  lim  2x  a   a x 0 x 0 + lim f (x)  lim 2e x  x 0 x 0 Để hàm số liên tục x  lim f (x)  lim f (x)  f (0) hay a  x 0 x 0 Ví dụ 4.10 Tìm giá trị a để hàm số 44 TS Dương Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý 2x  a f (x)   ax  x  [0,1) x  1, 2 liên tục đoạn  0, 2 Giải Dễ thấy f(x) liên tục  0,2 \ 1 Do để hàm số liên tục  0,2 ta tìm a để hàm số liên tục Ta có: + f (1)  a  + lim f (x)  lim  ax    a  x 1 x 1 + lim f (x)  lim  2x  a    a x 1 x 1 Ta có lim f (x)  lim f (x)  f (1)  a  x 1 x 1 Vậy hàm số liên tục  0,2 với giá trị a Ví dụ 4.11 Tìm giá trị a để hàm số  ln(1  x)  ln(1  x)  x   f (x)   x a x  liên tục  1,1 Giải Dễ thấy f(x) liên tục  1,1 \ 0 Do để hàm số liên tục  1,1 ta tìm a để hàm số liên tục Ta có: + f (0)  a + lim f (x)  lim ln(1  x)  ln(1  x) ln(1  x) ln(1  x)  lim  lim  x 0 x0 x x x + lim f (x)  lim ln(1  x)  ln(1  x) ln(1  x) ln(1  x)  lim  lim  x 0 x 0 x x x x 0 x 0 x 0 x 0 45 TS Dương Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý Vậy để hàm số liên tục  1,1 a  4.2 Các phép toán hàm số liên tục Định lý 4.2 Nếu f(x) g(x) hàm số liên tục x o thì: f (x)  g(x) , f (x)  g(x) , f(x).g(x) hàm số liên tục x o f (x) g(x) hàm số liên tục x o g(x o )  Ví dụ 4.12 Có thể nói tính liên tục hàm số f (x)  g(x) điểm x trường hợp sau: a) f (x) liên tục x g(x) gián đoạn x b) f (x) g(x) gián đoạn x Giải a) f (x)  g(x) gián đoạn x Thật vậy, giả sử f (x)  g(x) liên tục x Ta có g(x)   f (x)  g( x )   f (x)  lim g(x)  lim  f (x)  g(x )   f (x)    f (x )  g(x0 )  f (x )  g(x ) x x x x Suy g(x) liên tục x mâu thuẫn b) ▪ f (x)  g(x) liên tục x Ví dụ: Chọn  1 x   x  f (x )   , g(x)   1 x  1 x   f (x)  g(x)  x  f(x) g(x) gián đoạn f(x)+g(x) liên tục ▪ f (x)  g(x) gián đoạn x Ví dụ: Chọn 46 TS Dương Việt Thơng (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý  2 x   x  f (x )   , g(x)   1 x  1 x   1 x   f (x)  g(x)    x   f(x) g(x) gián đoạn f(x) + g(x) gián đoạn Định lý 4.3 (Tính liên tục hàm hợp) Nếu f(x) hàm số liên tục x o , g(u) hàm số liên tục u o  f (x o ) hàm hợp g f (x)  hàm liên tục x o 4.3 Tính chất hàm số liên tục đoạn Định nghĩa 4.2 Hàm số f(x) liên tục  a;b  f(x) liên tục điểm x o   a; b  f(x) liên tục bên phải a liên tục bên trái b  liên tục đoạn  a;b  f (a)f (b)  Định lý 4.4 Giả sử hàm số f :  a; b  Khi tồn c   a;b cho f (c)   liên tục đoạn  a;b   số nằm Định lý 4.5 Giả sử hàm số f :  a; b  f (a) f (b) Khi tồn tai c   a;b cho f (c)    a;b liên tục Chứng minh tồn x o   a; b Ví dụ 4.13 Cho hàm số f : a;b  cho f (x o )  x o Giải Đặt g(x)  f (x)  x  g(x) hàm liên tục  a, b  Vì g(a)  f (a)  a  , g(b)  f(b)  b   g(a)g(b)   Tồn x o   a; b cho g(x o )   f (x o )  x o  liên tục đoạn  a;b  tồn x1 , x Định lý 4.6 Cho hàm số f :  a; b  cho: f (x1 )  f (x) , f (x )  max f (x) a ;b   a;b 47 TS Dương Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý  liên tục đoạn  a;b  f(x) hàm bị chặn Hệ 4.1 Nếu hàm số f :  a; b   a;b  Ví dụ 4.14 Cho f (x) hàm số liên tục khoảng (a,b) x1 , x , , x n n điểm khoảng (a,b) Chứng minh tồn điểm c   a, b  cho: n f (c)   f (x i ) n i1 Giải Đặt g(x)  n  f (xi )  f  x  Khơng tính tổng quát ta giả sử x1  x   x n Khi n i1 ta có g(x) hàm số liên tục đoạn  x1 , x n  Do tồn ,    x1 , x n  cho: f ( )  f (x), f ()  max f (x)  x1 ,x n   x1 ,x n  Ta có: g( )  n n f (x )  f   f ()  f      i   n n i1 i 1 g()  n n f (x )  f   f ()  f      i   n n i 1 i 1 Vậy g    g     g(x) liên tục  x1 , x n  nên tồn c   x1 , x n    a, b  cho g(c)  hay f (c)  n  f (xi ) n i1  hàm số liên Định lý 4.7 (Sự tồn liên tục hàm ngược) Giả sử f :  a; b  tục tăng ngặt (hoặc giảm ngặt)  a;b  tồn hàm ngược f 1 liên tục tăng ngặt  f(a);f(b) (hoặc giảm ngặt  f(b);f(a) ) 48 TS Dương Việt Thông (Chủ biên) – Nguyễn Xuân Tiệp – Nguyễn Văn Quý    Ví dụ 4.15 Cho hàm số f(x)  sin x với x    ;  Chứng minh hàm số f(x) có hàm  2 ngược hàm ngược liên tục tăng ngặt  1;1 Giải    Hàm số f(x)  sin x hàm lượng giác nên hàm số liên tục   ;   2    f(x)  sin x tăng ngặt   ;  Vậy tồn hàm ngược f 1 (x)  arcsin x liên tục  2 tăng ngặt  1;1 Ví dụ 4.16 Cho hàm số f(x)  cosx với x   0;  Chứng minh hàm số f(x) có hàm ngược hàm ngược liên tục giảm ngặt  1;1 Giải Hàm số f(x)  cos x hàm lượng giác nên hàm số liên tục  0; f(x)  cos x giảm ngặt  0;  Vậy tồn hàm ngược f 1 (x)  arccos x liên tục giảm ngặt  1;1 49 ... x0 x2 x2 x2  lim x 0 cos x  x2   cos x  2sin  lim x 0  lim x 0 x  x  cos x  cos x 2sin 2 x 4  cos x  2 1    12   cos x   lim x 0  x x    cos x  cos2 x 2 ... Ta có : x   x1     x  1   x1  1 2  x 22  2x    x  1    x1  1   x 22  2x    1  hay f (x )  f (x1 ) x  2x  x1  2x1  2 Từ f (x) đơn điệu tăng khoảng  , 1 ...  x 1 1 x 1 1   lim  x 0 2x   2x      x 1 1   2x   2x    x 1 1   2x   2x   x 11    3 2x   2x    cos x  cos x x2 Ví dụ 3.17 Tính giới hạn lim x 0