LTDT bai 02 tong quan LTDT

Trang 1

02 PAI CUONG LY THUYET DO THI

Trang 2

CAC LOAI DO THI

Trang 4

Da do thi

e Mot da dé thi (multigraph) G = (V, E) gồm một tập các đỉnh V, một tập các cạnh E và một hàm f từ E tới

{{u, v}|u, v e V,u z v} Các cạnh e;, e› được gọi là cạnh song song (parallel) (hay cạnh bội (multiple))

Trang 5

Giả đồ thị

e Mot gia đồ thị (pseudo graph) G = (V, E) gồm một tập đỉnh V, một tập các cạnh E và một hàm f từ E tới

{{U, Vv}|u, ve VỊ

Một cạnh là khuyén (loop) néu f(e) = {u, u} = {u} voi mot dinh u nao do

Trang 6

Đồ thị có hướng

« Một đồ thị có hướng (directed graph hoặc digraph) G = (V, E) gom tap các đỉnh V và tập các cạnh E là

các cặp có thứ tự của các phân tử thuộc V Các

Trang 7

Da do thi co huGng

s Một đa đồ thị có hướng (directed multigraph)

G =(V, E) gôm một tập các định V, tập các cạnh E và một hàm f từ E tới {{u, v} |u, v c VỊ

‹ Các cạnh e; và e› là các cạnh bội nêu f(e,) = f(e›) HCMUS - 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Đăng Nguyễn Đức Tiến Tóm tắt các loại đồ thị

Đơn đồ thị Vô hướng Không Không Đa đồ thị Vô hướng Có Không

Giả đồ thị Vô hướng Có Có

Đồ thị có hướng Có hướng Không Có Đa đồ thị có hướng Có hướng Có Có

Trang 8

Quy ước

Trang 10

Đồ thị cộng tác

e Dinh: tac gia

Trang 11

2 Xây dựng đồ thị ảnh hưởng cho các thành viên lãnh đạo của một công ty nếu:

s Chủ tịch có ảnh hưởng lên giám đốc nghiên cứu &

phát triên, giam độc marketing, giảm đôc điêu hành;

e Giám đốc nghiên cứu & phát triển có ảnh hưởng lên giám đốc điều hành;

e Giám đốc Marketing ảnh hưởng lên Giám đốc điều

hành;

e Không ai có thê ảnh hưởng lên trưởng phòng tài

Trang 12

CANH KE, DINH KE, BAC

HCMUS - 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Đăng Nguyễn Đức Tiến

Liên quan giữa cạnh và đỉnh

e Hai dinh u và v trong một đồ thị vô hướng G được

goi la ké hay lién ké (adjacent) (hay lang giéng (neibor)) néu {u, v} la mét canh cua G

e Néu e = {u, v} thi e được gọi là cạnh liên thuộc

Trang 13

Bac cua dinh

- Bậc (degree) của một đỉnh trên đồ thị vô hướng là số các cạnh liên thuộc với nó, riêng khuyên tại một đỉnh được tính hai lân cho bậc của nó Người ta ký

hiệu bậc của đỉnh v là deg(V)

Trang 14

Dinh ly bat tay (Handshaking Theorem)

e Cho G = (V, E) la một đồ thị vô hướng có e cạnh Khi đó: 2e= 3 deg(v) ve” s Có bao nhiêu cạnh trong đồ thị có 10 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc băng 7? HCMUS - 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Đăng Nguyễn Đức Tiến Chứng minh định lý bắt tay |

s Định nghĩa hàm f từ E x V tới {0, 1, 2 } trong đó:

‹ f(e, v) = 1 nêu e có 2 đỉnh phân biệt và v là một trong 2

đỉnh này

‹ f(e, v) = 2 nếu e là một khuyên và v là đỉnh của khuyên

này, và

‹ f(e, v) = 0 nêu v không phải là đỉnh thuộc cạnh e

‹ Do vậy, với cạnh e e E bất kỳ, ta có 3 ƒ(e,y)=2

Suy ra được từ định nghĩa ve

Trang 15

Chứng minh định lý bắt tay | ‹ Do vậy: 22= DL DLS) +26) 2-DY fen - TE sew Ta có deat) =) fey => 2|E| = S deat) ve” HCMUS - 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Đăng Nguyễn Đức Tiến Định lý về số đỉnh bậc lẻ e Dinh ly: Mot đồ thị vô hướng có số lượng đỉnh bậc lẻ là một sô chẵn 5s Chứng minh:

e Gia sw V1, V2 tương ứng là tập các đỉnh bac chan va tap cac dinh bậc lẻ của dé thị vô hướng G = (V, E) Khi

đé

~ 2e = )_ deg(v) =) deg(v)+ > deg( v)

ve vey, vel,

e Vi deg(v) la chan voi mdi ve Vụ, nên tông đầu tiên trong vê phải phải là số chẵn, nên tổng còn lại cũng

phải là sơ chăn VÌ tất cả các sé hang của tổng nay la số lẻ, nên suy ra số các số hạng của nó phải là số chẵn [đpcm]

Trang 16

Liên quan giữa cạnh và đỉnh

e Khi (u, v) là cạnh của đồ thị có hướng G, thì u được

gọi là nối tới v và v được gọi là nỗi từ u Đỉnh u được

gọi là đỉnh đâu (initial vertex), đỉnh v gọi là đỉnh cuối

(terminal hoac end vertex) cua cạnh (u, v)

e Canh e = (u, v) được gọi là đi từ đỉnh u tới đỉnh v

hoặc ởi ra đỉnh u vào đỉnh v

Bac — vao va bac - ra

e Trong do thị có hướng, bậc vào (in-degree) của đỉnh v, ký hiệu là degr(v) là sô các cạnh có đỉnh cuối là v

e Bac ra (out-degree) cua dinh v, ky hiéu la deg*(v) là

số các cạnh có đỉnh đâu là v

(Một khuyên sẽ góp thêm 1 đơn vị vào bậc vào va 1

đơn vị vào bậc ra của đỉnh chứa khuyên)

Trang 17

Bac - vao va bac - ra Vinh Long d-=2,d*=4 Đông Tháp Trà Vinh HCMUS - 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Đăng Nguyễn Đức Tiến Định lý về số bậc đồ thị

e Cho G = (V, E) la mét dé thi có hướng Khi đó:

Trang 18

Dinh treo, đỉnh cô lập

e Dinh treo (pendant vertex) la đỉnh có bậc bằng 1 e Dinh cé lap (isolated vertex) la đỉnh có bậc bằng 0

Trang 19

MOT SO DON BO THI DAC BIET

Đồ thị đầy đủ

Trang 20

Đồ thị chính quy

e DO thị chính quy (regular graph) la don dé thị mà

bậc của mọi đỉnh đều bằng nhau

- Nếu bậc của các đỉnh là n, thì đồ thị này được gọi là

Trang 21

Đồ thị vòng

e D6 thi vong (cycle) C,, n 2 3 là một đồ thị có n đỉnh

V1, Vo V, Va Cac canh {V,, V2}, {V›, Va}, {Va ;, V.} và

{Vis Vi}

(} ® mơ

sy gl

Đồ thị phân đồi (lưỡng phần)

- Một đơn đồ thị G được gọi là đồ thị phân đôi

(bipartite graph) néu tap các đỉnh V có thé phan lam hai tập con không rỗng, rời nhau V, va V, sao cho

Trang 22

thích

Trang 23

Do thi phan doi day đủ

e D6 thị phan déi day du (complete bipartite graph)

Émn lâ đô thị có tập đỉnh được phân thành hai tap con tương ứng có m đỉnh và n đỉnh và có một cạnh

giữa 2 đỉnh nễu và chỉ nêu một đỉnh thuộc tập con

Trang 24

ĐỒ THỊ CON —

DO THI BO PHAN

Đồ thị con - Đồ thị bộ phận

- Đô thị con (subgraph) cua dé thi G = (V, E) la do thị

H = (W, F) trong doW c VvaF cE

e D6 thị H là con của đồ thị G được gọi là đô thị bộ

phận (spanning subgraph) của G khi W = V

Trang 25

Đồ thị con — Đồ thi bộ phận

- Thế nào là 2 đỉnh kê nhau?

e Bac cua dinh la gi?

e MGi lién quan gitra sé canh va bac?

e S6 luong dinh bac lé cla mét dé thi?

Trang 26

¡ Cho G là một đô thị đơn, vô hướng có số đỉnh n > 3 Chứng minh Gï có chứa 2 đỉnh cùng bậc Huong dan: e Giả sử có 1 đỉnh bậc 0 ® đỉnh có bậc lớn nhất còn lại chỉ là n— 2 Vậy các đỉnh có thê có bậc là 0 n-2 e Nêu không có đỉnh bậc 0 ® các đỉnh có thể có bậc là 1,2 n-l ° Do vay theo Dirichlet, phai co it nhat 2 dinh cing bac

2 Có thê tôn tại đô thị đơn có 15 đỉnh, mỗi đỉnh có bậc

băng 5 hay không?

Hướng dẫn

‹ Không thê vì 15 (số đỉnh) x 5 (bậc) là một số lẻ Điêu

này trái với định lý bắt tay

Trang 27

3 Trong mot buổi chiêu đãi, mọi nguol déu bat tay

nhau Chứng tỏ răng tông sô người được bắt tay với một số lẻ người khác là một số chăn Giả sử không ai

tu bat tay minh

Huong dan

Chứng minh tương tự định lý số đỉnh bậc lẻ của đô thị

Trang 28

5 Các đô thị sau đây có bao nhiêu cạnh? a K, b Kin Huong dan e K, có số cạnh là C(2, n) = n(n-1)/2 © K,,, C086 canh la mn HCMUS - 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Đăng Nguyễn Đức Tiến

6 Đô thị sẽ có bao nhiêu cạnh nếu nó có các đỉnh bậc 4, 3, 3, 2, 2? Vẽ một đô thị như vậy

Hướng dẫn

‹ Tông sô bậc đỉnh của đồ thị là 4 + 3 + 3 + 2 + 2 = 14,

vay do thi nay co / cạnh (nêu tôn tại đồ thị)

HCMUS - 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Đặng Nguyễn Đức Tiến

Trang 29

7 Có tôn tại đô thị đơn chứa năm đỉnh với các bậc sau đây? Nêu có hãy vẽ đô thị đó a 34, 3, 3, 3, 2 b 1, 2,3,4,5 c Il, 1,1, 1,1 d 1,2, 1,2, 1 e 2, 1,0, 2, 1 Huong dan a, e) Co b, c, d) Không thé (vi có số đỉnh bậc lẻ là một số lẻ)

8 Một buỗi tiệc có 6 người tham dự Chứng minh rằng

có 3 người từng cặp quen nhau hoặc 3 người không quen nhau

Hướng dẫn

e Theo dirichlet, chắc chan phải có 1 người

quen/không quen với 3 người bất kỳ trong nhóm

Giả sử người đó là A và 3 người kia là B, C va D

e Nếu trong số 3 người đó, có 1 cặp quen nhau => Bai

toán được giải vì có 3 người từng quen nhau

‹ Nếu không có > 3 người không quen nhau

Trang 30

9 Các đô thi sau đây có phải là đồ thị phân đôi không? a Huong dan

se Đô thị bên trái: có

Trang 31

e Cac don d6 thi G, = (V, E,) va Gy = (V; E;) là dang cau (isomorphic) néu cé ham song anh f từ V, len V2 sao cho các dinh u va v la lién ké trong G, néu va

chi néu f(u) va f(v) la lién ké trong G, voi mọi u, v

Trang 32

Đồ thị đẳng cấu - Đề xác định xem các đồ thị là đẳng cấu hay không là rat khó khăn!

- Đề chứng minh 2 đồ thị là đẳng câu, cân đưa ra một quan hệ tương đương (đẳng câu) giữa 2 đồ thị này - Đề chứng minh 2 đồ thị không đẳng cấu, chỉ ra

chúng không có chung một tính chất mà các đồ thị đẳng câu phải có

Chứng minh đồ thị không đẳng cấu

Trang 34

Biểu diễn bằng danh sách kề Céc dinh ké a b,e b a,c C b, d,e d c,e e a, d

Trang 35

Biểu diễn bằng Ma trận kề

e Gia su G = (V, E) trong do V = {v, vo .}, |V| = n

° Ma tran ké (Adjacency Matrix) A (hay Ag) của G là mot ma tran 0-1 cấp nxn có phân tử ai tal dong |, cot

j bang 1 néu v, va V kê nhau và bằng 0 nêu v, và V

không kê nhau

Biểu diễn bằng Ma trận kề

Trang 37

Biểu diễn bằng Ma trận liên thuộc

e Gia sw G = (V, E) trong đó:

eV = {Vy, Vo, -$, [V] = 1 e E={e,, e, .}, |E] =

Ma tran lién thudc (incidence matrix) M cua G la mot

ma tran 0-1 kích thước nxe CÓ phân tu 3; tal dong |,

cột j bằng 1 nêu cạnh e nỗi với đỉnh v, và bằng 0

nêu cạnh e; không nồi với đỉnh v,

Trang 38

Biểu diễn bằng ma trận liên thuộc © © © [—- Oo fF OC O Fey m ơ â O Jer 2 1 1 O O © Oo C©C Fe Oo fF fF CO TES © fF FF O© Fe) 7 O O 1 1 > WwW WN Ee © © FF [Ke @ (l2) (2) (2,3) (2,3) (3) @:4) @.4) (14) c3

Trang 39

Biéu dien trén may tinh e Ma tran ké & Ma tran lién thuéc ° int a[MAXIIMAXI: HCMUS - 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Đăng Nguyễn Đức Tiến

Lựa chọn cách biểu diễn

e Chon Iwa cach biểu diễn nào là phù hợp?

Trang 40

Xac dinh do thi dang cau qua ma trận kê

se Hai định lý sau đây sẽ giúp chúng ta xác định sự

đẳng câu của hai đồ thị (đã gán nhãn):

e Dinh lý 1: Hai đồ thị là đẳng cầu với nhau khi và chỉ

khi các đỉnh của nó có thê được gán nhãn sao cho ma

trận kê tương ứng là giỗng nhau

s Định lý 2: Hai đồ thị được gán nhãn G; và G; với hai

ma trận kê tương ứng là A: vả A; đẳng cầu với nhau khi và chỉ khi tôn tại ma trận hoán vị P sao cho

PA, P' =A,

Ghỉ chú: Ma trận hoán vị là một ma trận có được băng cách hoán vị các hàng và/hoặc cột của một ma trận don vi n x n Như vậy ma trận hoán vị là một ma trận vuông mà môi hàng

va cot chi co 1 phan tu co gia tri 'I', cac phan tu con lại có giả trị '0Ẻ HCMUS - 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Đăng Nguyễn Đức Tiến

Ví dụ

e Xét hai đô thị G1 và G2 được gán nhãn như bên

Trang 41

Ví dụ 2s Xót ma trận hoán VỊ [1 00 0 0 0 10 P= 010 0 0001 e Taco: ‘100 0/0 1041/71 000] [fo 011 , |O 0 1 Of1 0 1 Of0 0 1 0Ị |0 0 1 1 PAP’ = = = A, 010 010 1 0 10 1 0 0| |1 100 0 0 0 I1 0 1 00 0 0 1| |1 100 G V có HCMUS - 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Đăng Nguyễn Đức Tiến Chứng minh đồ thị đẳng cấu - Đề chứng minh 2 đồ thị không đẳng cấu, ta chỉ cần đưa ra ví dụ phản chứng - Đề chứng minh 2 đồ thi la dang cau, cần phải chỉ ra ma trận hoán vị P

Trang 42

1 Hay biéu dién cac đồ thị sau đây bằng 3 cach biéu

diễn đã học Liệu có thê biêu diễn được?

Trang 43

1 3 2 1 2 0 1 O 1 3 O 4 2 Oo 4 2 O O 1 2 1 3 O 2 O 0 3 1 1 2 1 1 O 1 1 oO 1 0 O 3 O O 2 4 0O 2 3 HCMUS - 2010 Bài giảng Lý thuyết đồ thị - Đăng Nguyễn Đức Tiến

4 Hãy mô tả hàng và cột của ma trận kê của đồ thị

tương ứng với đỉnh cô lập

Trang 45

DUONG DI, CHU TRINH

Đường đi

e Duong ởi (path) (độ dài n) từ u tới v trong một đồ thị

Trang 46

Chu trinh |

-‹ Đường đi được gọi là chu trình (cycle/circuit) nêu nó bắt đầu và kết thúc tại một đỉnh (nghĩa là u = v)

e Duong di hay chu trình gọi là đơn nếu nó không đi

qua cùng một cạnh quá một lân

Định dạng
Số trang	60
Dung lượng	12,63 MB