Graphs and four cubes problem

Một trò chơi gây rối, được gọi dưới tên Instant Insanity Liên quan tới 4 khối lập phương, các mặt của mỗi khối được tô một trong bốn màu: đỏ (R), xanh (B), xanh lá (G), vàng (Y) Đồ thị con H1 và H2 cần thỏa mãn 3 điều kiện: (a) mỗi đồ thị chứa đúng 1 cạnh của mỗi khối lập phương. Đảm bảo hai đồ thị biểu diễn được 4 mặt của cube. (b) các đồ thị con không chứa cạnh chung. Nếu cube có 2 mặt đối diện cùng màu thì 2 mặt này không được xuất hiện ở mặt xung quanh của stack. (c) mỗi đỉnh nối đúng 2 cạnh. Mỗi màu chỉ xuất hiện một lần trên một mặt của stack

ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG MỤC LỤC Đồ thị đồ thị Sự liền kề liên thuộc Sự đẳng hình Đếm đồ thị Đồ thị Bậc đỉnh Đường chu trình 11 Đồ thị đồ thị hai phía .12 Đồ thị 12 Đồ thị hai phía 15 Ứng dụng 17 TRẦN THỊ HOA – CH K21 ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Đồ thị đồ thị Định nghĩa Một đồ thị bao gồm tập hợp đỉnh tập hợp cạnh, cạnh nối đỉnh Ví dụ, đồ thị gồm đỉnh {u, v, w, x} cạnh {1,2,3,4,5,6} Cạnh nối đinh u đỉnh x, cạnh nối đinh u w, cạnh nối đỉnh v w, cạnh nối đỉnh w x, cạnh nối đỉnh x với Chúng ta biểu diễn cạnh cách xác định hai đỉnh Ví dụ, cạnh biểu thị ux xu, cạnh biểu diễn vw wv, cạnh biểu diễn xx Đồ thị chứa nhiều cạnh nối v w, cạnh nối đỉnh x với Tiếp theo tìm hiểu đồ thị Định nghĩa Trong đồ thị, có hai nhiều cạnh nối với cặp đỉnh gọi cạnh kép (cạnh bội) Cạnh nối đỉnh với gọi khun (loop) Đồ thị khơng có cạnh kép khuyên gọi đồ thị đơn Ví dụ: đồ thị (a) có cạnh kép đồ thị (b) có khuyên, đồ thị (c) đồ thị đơn khơng chứa khun cạnh kép TRẦN THỊ HOA – CH K21 ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Sự liền kề liên thuộc (Adjacency and incidence) Để thuận tiện việc xác định mối quan hệ đối tượng lý thuyết đồ thị, người ta đưa vào số thuật ngữ Ví dụ, quan hệ đỉnh với đỉnh (hay cạnh) gần Đỉnh v w đồ thị gọi đỉnh liền kề chúng nối cạnh e Đỉnh v w gọi liên thuộc với cạnh e, cạnh e gọi liên thuộc với đỉnh v w Ví dụ, đồ thị đây, đỉnh u x liền kề, đỉnh w liên thuộc cạnh 2, 3, 4, 5, cạnh liên thuộc với đỉnh x Sự đẳng hình (Isomorphism) Từ định nghĩa, đồ thị hoàn toàn xác định biết đỉnh cạnh nó, theo hai đồ thị giống chúng có tập đỉnh tập cạnh giống Dựa vào đỉnh cạnh biết vẽ đồ thị Do đó, biết tập đỉnh tập cạnh vẽ đồ thị theo nguyên tắc hình ảnh vẽ đúng; thực tế đỉnh cạnh vẽ lại không liên quan đến – số hình vẽ trơng đơn giản hình khác Ví dụ, đồ thị ứng dụng (utilities graph), ba nhà A, B, C sử dụng ba dịch vụ gas (g), nước (w) điện (e); Đồ thị hoàn toàn xác định tập hợp: tập đỉnh V = { A, B, C, g, w, e} tập cạnh E = { Ag, Aw, Ae, Bg, Bw, Be, Cg, Cw, Ce } vẽ đồ thị theo nhiều cách sau: TRẦN THỊ HOA – CH K21 ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Mỗi đồ thị có đỉnh cạnh, mô tả thông tin - nhà nối với dịch vụ, hai nhà không nối với hai dịch vụ khơng nối với Có thể thấy hai hình vẽ khác biểu diễn đồ thị Mặt khác, hai hình vẽ trơng giống lại biểu diễn đồ khác Ví dụ, hai hình vẽ tương tự nhau, lại đồ thị giống nhau, thấy AB cạnh đồ thị thứ hai không cạnh đồ thị thứ nhất: Chúng ta biểu thị tương tự cách nói đồ thị biểu diễn hai hình vẽ đẳng hình Điều có nghĩa hai đồ thị có cấu trúc thực giống nhau: đánh lại nhãn đỉnh đồ thị để nhận đồ thị thứ hai – trường hợp này, đơn giản việc thay đổi nhãn w B Ta tới định nghĩa: Định nghĩa Hai đồ thị G H đẳng hình (đồng hình) H thu việc thay đổi nhãn đỉnh G có tương ứng – đỉnh G đỉnh H, cho số cạnh nối cặp đỉnh G số cạnh nối cặp đỉnh tương ứng H TRẦN THỊ HOA – CH K21 ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Ví dụ: Các đồ thị G H biểu diễn hình vẽ khơng giống nhau, chúng đẳng hình với nhau, ta đánh lại nhãn đỉnh đồ thị G để nhận đồ thị H, sử dụng tương ứng – đây: Các cạnh G tương ứng cạnh H, hai cạnh nối u v G tương ứng hai cạnh nối H, cạnh uw G tương ứng cạnh 42 H, khuyên ww G tương ứng khuyên 22 H Để kiểm tra hai đồ thị giống nhau, cần phải kiểm tra tất nhãn tương ứng chúng Tuy nhiên, kiểm tra nhanh hai đồ thị đẳng hình cách xem xét khả ta đánh lại nhãn đỉnh đồ thị nhãn đồ thị khác không? Để làm điều này, phải kiểm tra đồ thị có số cạnh số đỉnh giống nhau, sau nhìn vào dấu hiệu đặc biệt hai đồ thị: có khuyên, cạnh kép số cạnh đỉnh Ví dụ, hai đồ thị có đỉnh cạnh, khơng đẳng hình, đồ thị thứ có hai đỉnh có cạnh liền kề, đồ thị thứ hai có đỉnh có hai cạnh liền kề TRẦN THỊ HOA – CH K21 ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Đôi đồ thị khơng cần thiết phải có nhãn Trong trường hợp bỏ qua nhãn coi đồ thị đồ thị khơng có nhãn Ví dụ, đồ thị khơng có nhãn: tương ứng hai đồ thị đẳng hình: Hai đồ thị đẳng hình với hai đồ thị trên: Chúng ta nói hai đồ thị khơng có nhãn nhãn đẳng hình nhãn thêm vào đỉnh chúng để chúng trở thành đồ thị Từ bây giờ, sử dụng thuật ngữ đồ thị để đồ thị có nhãn, thuật ngữ đồ thị khơng có nhãn để đồ thị không đánh nhãn TRẦN THỊ HOA – CH K21 ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Đếm đồ thị (counting graphs) Câu hỏi đặt là: có mối liên hệ số lượng đồ thị có nhãn khơng có nhãn với số đỉnh? Khi đếm đồ thị có nhãn, phân biệt hai đồ thị chúng khơng giống Ví dụ, có tám đơn đồ thị có nhãn mà đồ thị gồm ba đỉnh: Khi đếm đồ thị khơng có nhãn, phân biệt hai đồ thị chúng khơng đẳng hình Ví dụ, có bốn đơn đồ thị khơng có nhãn mà đồ thị gồm ba đỉnh: Bảng liệt kê số đơn đồ thị có nhãn khơng có nhãn với tám đỉnh: Chú ý lịch sử Vào năm 1935, nhà toán học người Hungari Georg pólya phát cơng thức chung, từ tính số đồ thị khơng có nhãn với số đỉnh số cạnh Phương pháp pólya đượng áp dụng số toán đếm đồ thị khác TRẦN THỊ HOA – CH K21 ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Đồ thị (Subgraphs) Trong toán học thường nghiên cứu đối tượng phức tạp thông qua đối tượng đơn giản hơn: tập hợp tập hợp, nhóm nhóm… Trong lý thuyết đồ thị định nghĩa khái niệm tương tự Định nghĩa Một đồ thị đồ thị G đồ thị tất các đỉnh đỉnh G, tất cạnh cạnh G Chú ý: G đồ thị Ví dụ, đồ thị tất đồ thị G với tập đỉnh {u, v, w, x} cạnh {1, 2, 3, 4, 5} Ý tưởng đồ thị mở rộng từ đồ thị khơng có nhãn Các đồ thị đồ thị đồ thị khơng có nhãn H Bậc đỉnh Trong nhiều ứng dụng lí thuyết đồ thị cần thuật ngữ cho số cạnh gặp đỉnh Ví dụ, ta muốn xác định số đường gặp điểm giao nhau, số dây gặp điểm cuối mạng lưới điện, số liên kết hóa học nối nguyên tử với nguyên tử lân cận Những tình minh họa đây: TRẦN THỊ HOA – CH K21 ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Trong hóa học, thuật ngữ hóa trị (valency) sử dụng để liên kết kết nối nguyên tử với nguyên tử liền kề Ví dụ, ngun tử cacbon C có hóa trị 4, nguyên tử oxy O có hóa trị 2, nguyên tử hidro H có hóa trị Trong đồ thị, ta sử dụng thuật ngữ bậc (degree) Để biết có cạnh liên thuộc với đỉnh, đưa vào định nghĩa sau: Định nghĩa Trong đồ thị, bậc đỉnh v số cạnh liên thuộc với v Khuyên tính hai lần Bậc kí hiệu deg v Nhận xét: Mỗi khun có bậc Ví dụ: đồ thị (a) có bậc đỉnh: deg u = ; deg v = 1; deg w = 4; deg x = 3; deg y = đồ thị (b) có bậc đỉnh: deg u = 2; deg v = 5; deg w = 4; deg x = 5; deg y = Đôi cần phải liệt kê bậc tất đỉnh đồ thị Ta đến định nghĩa: TRẦN THỊ HOA – CH K21 ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Định nghĩa Thứ tự bậc đồ thị thứ tự thu cách liệt kê bậc đỉnh G theo thứ tự tăng dần, lặp cần thiết Ví dụ, theo hình trên, đồ thị (a) có thứ tự bậc (0,1,2,3,4) đồ thị (b) có thứ tự bậc (0,2,4,5,5) Bậc đỉnh có tính chất: Định lý: Handshaking Lemma Trong đồ thị, tổng bậc tất đỉnh hai lần số cạnh Hệ quả: Trong đồ thị vô hướng, số đỉnh bậc lẻ số chẵn Đường chu trình Nhiều ứng dụng đồ thị xuất phát từ mối liên hệ đỉnh với đỉnh khác.Ví dụ, muốn tìm đường ngắn hai thành phố; tổng lưu lượng (hoặc thời gian, đường truyền) gọi thuê bao thuê bao khác; lưu lượng hai điểm cuối lưới (mạng) điện Trong đồ thị, người ta đưa vào khái niệm: Giả sử G = (V, E) đồ thị Định nghĩa Đường đồ thị dãy đỉnh: < x 1, x2, , xi, xj+1, , xk-1 , xk > cho, đỉnh dãy (không kể đỉnh đầu tiên) kề với đỉnh trước cạnh đó, nghĩa là: ∀ i = 2, 3, , k-1, k : (xi-1, xi) ∈ E Ta nói đường từ đỉnh đầu x1 đến đỉnh cuối xk Số cạnh đường gọi độ dài đường Đường đơn đường mà đỉnh khác đơi Định nghĩa Chu trình đường khép kín (tức đỉnh cuối đường trùng với đỉnh đầu đường) Ta thường ký hiệu chu trình là: [x1, x2, , xi, xj+1, xk-1, xk] , x1 = xk Để cho gọn, ký hiệu chu trình thường khơng viết đỉnh cuối: TRẦN THỊ HOA – CH K21 10 ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG [x1, x2, , xi, xj+1, xk-1] Khi nói đến chu trình, ta khơng cần xác định đỉnh đầu đỉnh cuối chu trình Chu trình gọi chu trình đơn đỉnh khác đôi Trong đồ thị, đỉnh nút đỉnh kề với Hai cạnh có đỉnh chung gọi hai cạnh kề Đồ thị đồ thị hai phía Đồ thị (Regular graphs) Định nghĩa Một đồ thị tất đỉnh có bậc Một đồ thị r – đỉnh có bậc r Ví dụ đồ thị đều: Định lý G đồ thị r – có n đỉnh, G có (n*r ∕ 2) cạnh TRẦN THỊ HOA – CH K21 11 ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Chứng minh G đồ thị với n đỉnh, đỉnh có bậc r Khi đó, tổng số bậc tất đỉnh n*r Theo định lý Handshaking lemma, suy số cạnh n*r∕2 Một số ví dụ đồ thị Đồ thị đầy đủ (Complete Graphs) Một đồ thị đầy đủ đồ thị mà hai đỉnh có cạnh Kí hiệu Kn Kn với đỉnh có bậc n-1 Định lí Kn có Cn2 cạnh Đồ thị rỗng (Null Graphs) Một đồ thị rỗng đồ thị cạnh Kí hiệu Nn Nn với đỉnh có bậc TRẦN THỊ HOA – CH K21 12 ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Đồ thị vòng (Cycle Graphs) Đồ thị vòng đồ thị gồm vòng đơn đỉnh cạnh Kí hiệu Cn Cn với đỉnh có bậc Đồ thị platonic (platonic Graphs) Năm khối gọi khối platonic Nhận thấy đỉnh cạnh khối giống đỉnh cạnh đồ thị Năm đồ thị coi năm đồ thị platonic, biểu diễn sau: Trong đó, tetrahedron, cube, dodecahedron 3–đều, đồ thị octahedron 4-đều đồ thị icosahedron 5–đều TRẦN THỊ HOA – CH K21 13 ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Đồ thị petersen (petersen graphs) Đồ thị petersen đặt theo tên nhà tốn học Đan Mạch Julius petersen; ơng bàn đồ thị báo vào năm 1898 Đồ thị petersen đồ thị – với 10 đỉnh 15 cạnh; vẽ theo nhiều cách khác nhau, hai cách vẽ thơng dụng: Đồ thị hai phía (Bipartite graphs) Định nghĩa Đồ thị hai phía đồ thị mà tập hợp đỉnh phân thành hai tập A B, cạnh đồ thị nối đỉnh tập A với đỉnh tập B Chúng ta phân biệt đỉnh tập A với đỉnh tập B cách vẽ tập hợp với màu trắng tập màu đen ; cạnh nối đỉnh trắng với đỉnh đen Ví dụ : TRẦN THỊ HOA – CH K21 14 ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Một số ví dụ đồ thị hai phía Đồ thị hai phía đầy đủ Đồ thị hai phía đầy đủ đồ thị hai phía đỉnh tập A nối với đỉnh tập B Đồ thị hai phía đầy đủ r đỉnh A s đỉnh B kí hiệu Kr,s Đồ thị Kr,s có r + s đỉnh rs cạnh Ví dụ : Cây (Trees) Một phần quan trọng đồ thị hai phía Cây đồ thị liên thơng khơng có chu trình Ví dụ : Đồ thị đường (path Graphs) Đồ thị đường chứa đường đơn qua tất đỉnh Đồ thị đường n đỉnh kí hiệu pn Đồ thị pn có n-1 cạnh nhận từ đồ thị vòng C n cách bỏ số cạnh Đồ thị lập phương (Cubes) TRẦN THỊ HOA – CH K21 15 ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Hình lập phương có nhiều ứng dụng quan trọng lí thuyết mật mã Đồ thị lập phương n đỉnh, kí hiệu Q n đồ thị với đỉnh biểu diễn n xâu nhị phân độ dài n Hai đỉnh kề hai xâu nhị phân tương ứng khác bit Đồ thị Qn có 2n đỉnh, bậc k Qn có n*2n-1 cạnh Ứng dụng Bài tốn bốn khối lập phương (Four Cubes Problem) Là trò chơi gây rối, gọi tên Instant Insanity, liên quan tới khối lập phương Các mặt khối tô bốn màu: đỏ (R), xanh (B), xanh (G), vàng (Y) Các khối lập phương biểu diễn phẳng sau: Bài tốn đặt là: Có thể xếp khối lập phương chồng lên cho màu xuất mặt khối chồng (stack) hay không? TRẦN THỊ HOA – CH K21 16 ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Như thấy, chất có cách để thực yêu cầu toán tập hợp khối lập phương Cách thử sai tốn lựa chọn khơng khơn ngoan mà có tới hàng nghìn cách khác để xếp khối lập phương Chúng ta để ý, mặt khối lập phương xuất mặt stack mặt đối diện xuất mặt đối diện stack Theo đó, mấu chốt vấn đề cặp mặt đối diện, ta phải định xem hai ba cặp mặt đối diện xuất mặt stack (mặt xung quanh stack) Để giải vấn đề này, ta biểu diễn khối lập phương đồ thị để thấy cặp màu sắc xuất mặt đối diện Đồ thị khối lập phương gồm đỉnh R, B, G, Y (tương ứng màu) Hai đỉnh đồ thị liền kề khối lập phương câu hỏi có màu sắc tương ứng nằm mặt đối diện Ví dụ, khối lập phương thứ màu xanh màu vàng xuất mặt đối diện, đỉnh B Y nối với đồ thị tương ứng Đồ thị biểu diễn khối lập phương ban đầu: TRẦN THỊ HOA – CH K21 17 ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Sau ta ghép đồ thị khối lập phương thành đồ thị G: Lời giải cho toán bốn khối lập phương thu tìm hai đồ thị thành phần H1 H2 G Đồ thị H1 biểu diễn cặp màu sắc xuất mặt trước sau khối lập phương; đồ thị H2 biểu diễn cặp màu sắc xuất mặt trái mặt phải khối lập phương Đồ thị H1 H2 cần thỏa mãn ba tính chất sau: (a) đồ thị chứa cạnh khối lập phương (b) Các đồ thị không chứa cạnh chung (c) đỉnh nối cạnh Tính chất (a) đảm bảo cho khối lập phương có mặt trước mặt sau, mặt trái mặt phải H1, H2 cho biết cặp màu sắc xuất mặt khối lập phương Tính chất (b) đảm bảo mặt xuất trước sau khối lập phương giống xuất mặt stack Tức là, cube có mặt đối diện màu hai mặt khơng xuất mặt (xung quanh) stack Tính chất (c) đảm bảo màu xuất lần bên trái stack (một bên trái bên phải), lần mặt trước sau (một mặt trước mặt sau) Một lời giải cho tập hợp khối lập phương Trong lời giải này, đồ thị H1 cho thấy khối lập phương thứ có màu vàng mặt trước màu xanh mặt sau (từ H1), có màu đỏ mặt trái màu xanh mặt phải (từ H2) Tương tự khối lập phương khác TRẦN THỊ HOA – CH K21 18 ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Đồ thị lời giải H1 H2 Nhận xét  Đối với tốn có lời giải  Một số tốn có nhiều lời giải khơng có lời giải Ví dụ, tập hợp khối lập phương biểu diễn phẳng tốn khơng có lời giải TRẦN THỊ HOA – CH K21 19 ... khác bit Đồ thị Qn có 2n đỉnh, bậc k Qn có n*2n-1 cạnh Ứng dụng Bài tốn bốn khối lập phương (Four Cubes Problem) Là trò chơi gây rối, gọi tên Instant Insanity, liên quan tới khối lập phương Các... Cn2 cạnh Đồ thị rỗng (Null Graphs) Một đồ thị rỗng đồ thị khơng có cạnh Kí hiệu Nn Nn với đỉnh có bậc TRẦN THỊ HOA – CH K21 12 ĐỒ THỊ VÀ ỨNG DỤNG Đồ thị vòng (Cycle Graphs) Đồ thị vòng đồ thị... thị đường (path Graphs) Đồ thị đường chứa đường đơn qua tất đỉnh Đồ thị đường n đỉnh kí hiệu pn Đồ thị pn có n-1 cạnh nhận từ đồ thị vòng C n cách bỏ số cạnh Đồ thị lập phương (Cubes) TRẦN THỊ