PHƯƠNG PHÁP GỌI SỐ HẠNG VẮNG Bản chất khử dạng vô định 00 là làm xuất hiện nhân tử chung để : -Hoặc là khử nhân tử chung đưa về dạng xác định.. -Hoặc là đưa giới hạn về các dạng cơ bản ,
Trang 1PHƯƠNG PHÁP GỌI SỐ HẠNG VẮNG
Bản chất khử dạng vô định 00 là làm xuất hiện nhân tử chung để :
-Hoặc là khử nhân tử chung đưa về dạng xác định
-Hoặc là đưa giới hạn về các dạng cơ bản , quen thuộc đã biết rõ kết quả hoặc cách giải
Trong các bài tập khó, trong các đề thi Đại Học, các hạng tử cấu thành nhân tử
chung thường thiếu vắng Để giải quyết bài toán, điều mấu chốt là khôi phục các hạng tử vắng đó như thế nào? Bài viết này, chúng tôi xin giới thiệu đến bạn đọc 3 phương pháp để giải quyết vấn đề này.
Xét ví dụ : Tìm: A=limx→1 F(x), với
1
7 5
)
2 3
−
+
−
−
=
x
x x x
F
Giải :
6
1 ) 1
2 7 1
2 5
(
3 2 2
2
−
− +
−
−
−
−
=
x x
x A
x
**Trong lời giải trên, ta đã thêm bớt 2 vào tử thức của F (x) Có 3 câu hỏi đặt ra là:
1) Tại sao phải có số 2
2) Tại sao phải là số 2
3) Tìm số 2 như thế nào ?
Trả lời 3 câu hỏi trên ta có phương pháp giải loại toán này:
+Trả lời câu hỏi 3: Để tìm số 2, ta đưa ra thuật toán gọi số hạng vắng.
Bước 1: ∀c∈R, ta có :
1
7 1
5
2
3 2 2
2
−
− +
−
−
−
−
x
c x
x
c x
Bước 2: Trong các số c đó , ta tìm số c sao cho x 2 -1 cùng nhân tử với
c x
x
1 ( ) 5 và f x = 3 x2 + −c
2 ( ) 7 Điều đó xãy ra khi chỉ khi c là nghiệm của
hệ sau :
2
2 2
6 0)1(
0)1(
2
1
=⇔
=
=
=
⇔
=±
=±
c c
c
c
f
f
Đáp số: c=2 là câu trả lời cho câu hỏi 1 và 2
Tổng quát :
Trang 2Bước 1: Phân tích ( ) 1(()) 2(())
x g
c x f x g
c x f x
F = + + −
Bước 2: Tìm c Gọi x 1 ,x 2 là ngiệm của g(x)=0, khi đó c là nghiệm của hệ :
= +
= +
0 )
(
0 )
(
2 1
1 1
c x
f
c x
f
=
−
=
−
0 )
(
0 )
(
2 2
1 2
c x f
c x f
Với c tìm được thì:
)
(
)
(
lim 1
c x
f
x
x
+
) (
) ( lim 2
c x f
x x
−
→ giải quyết dễ dàng
Bài tập tự giải :
1
x
x x
Lim
x
3 0
8 1
2
2 9
20 2
4
3
− +
+
− + +∞
x x
Lim
3 Lim(3 x3 3x2 x2 2x)
+∞
4
x
x x
Lim
3
cos cos −
→ Hướng dẫn: Đặt sin 2 x=y
Bằng cách đặt ẩn phụ t=n1 +ax ,
dể dàng chứng minh được:
n
a x
ax
n x
lim
0
(*)
Xét ví dụ 1: Tìm
x
x x
Lim A
x
1998 2
1 ) 1998
0
−
− +
=
x
x x
x
F( ) = ( 2 + 1998 )71−2 −1+
⇒
7
3996 1
2 1 ) 1998 (
0
7 2
=
→
x
x x
Lim
A
x
Trong ví dụ trên ta đã thêm bớt P(x)=x 2 +1998 và tử thức làm xuất hiện dạng
x
ax
Đây là điểm mấu chốt của lời giải
Tổng quát :
Để tìm Lim x→0 F(x) ta thêm bớt P(x) vào f(x) làm xuất hiện dạng
x
ax
n 1 + − 1, hạng
tử vắng ở đây là P(x) đã “ xưng danh” trong biểu thức giới hạn Nhân tử chung trong phương pháp này không giản ước được Khi tìm giới hạn thì
Const
x
P
Lim
→ ( )
Trang 3Ví dụ 2:
4 3
4 4
3
0
1 8
4 2 3
1 3
1 2 1 1
x x
x
x x
x x Lim
x
+
−
−
− +
−
− + + +
Giải: Gọi tử thức là T, mẫu thức là M ,ta có:
3
1 3
1 3
1 2
1 3
1 2
1 3
1 2 1
T
3 1 ( ) 1 2 1 ( 3 1 ) 1 1 ( 3
1
2
3 +x +x +x− + +x +x − + +x − − −x−
4
1 4 3
1 3 2
1 2 1
1
→ x
T Lim x
8 1 ( 2 ) 1 4 1 ( 3 1
8
1 4 1
2
.
2
3 4
3 − − + = + − − − − − + −
− +
Áp dụng công thức (*) ta có:
24
5 4
1 24
2 8
3
→ x
M Lim
Và do đó:
5
24 0
=
→
→
x
T Lim M
T Lim
A
x
Bài tập tự giải :
Tìm Lim0 G F((x x))
( ) 1 2 2 1 2 2 3 2 1 3 99 100 2 1 100 100 1
tgx tgx
tgx tgx
x
F = + − + − − + − −
2
3
)
G = + − − − + ( Hướng dẫn: Đặt y=tgx)
TÁCH BỘ PHẬN KÉP ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA
PHÂN THỨC CHỨA CĂN.
n m
a
x g x f Lim T
) (
) ( ) (
−
−
= → (*) có dạng vô định 00 (m,n,k∈N),
(m n)
1 ≤ ≤ , ta biến đổi bằng cách thêm bớt biểu thức k
a x
x h
) (
) (
− vào phân thức
phải tìm giới hạn
k
k
k
n m
a x
x h x g x h a
x
x h x h x f a
x
x g x
f
) (
) ( ) ( )
( )
(
) ( ) ( ) ( )
(
) ( )
−
+
− +
−
− +
=
−
− =(x−a f1)(k x Q) (x)+(x−g a1)(k x Q) (x)
Trang 4Lúc đó : ( 1)( ) ( ) ( 1)( ) ( )
x Q a x
x g Lim x
Q a x
x f Lim
T
g k a
x f
k a
=
→
Ví dụ 1: Tìm giới hạn:
0
27 27 9 9 6 8
x
x x x
x x Lim
T
x
+ +
− + + +
=
Giải: Đặt f(x) = 8x3 +x2 + 6x+ 9 = 8x3 + (x+ 3 ) 2
g(x) = 9x2 + 27x+ 27 =x3 − (x+ 3 ) 3 Ở đây h(x)=x+3
Viết lại:
( ( ) 3( 3) ( 3) 33 ( ))
x g x
x
x x f Lim
T
x
− + + +
−
=
Ta có: ( ) ( 3) 3( (8) ( 3)) 34
3 0
3 0
+ +
= +
−
x x f x
x Lim
x
x x f Lim
T
x
3 0
3 3 0
2
) ( )
( ) 3 ( ) 3 (
) ( ) 3 ( )
( ) 3 (
x g x g x
x x
x g x
Lim x
x g x
Lim T
x
− +
=
− +
=
→
→ = 0 ( 3)2 ( 3)13 ( ) 3 2( ) =271
+ +
+ +
Lim
Từ (1),(2) và (3) suy ra: T =34+271 =2737
LƯU Ý: + Biểu thức h(x) được xác định từ các biểu thức f(x), g(x) được gọi là bộ
phận kép trong bài toán tìm giới hạn dạng (*)
+ Một vài số hạng của bộ phận kép h(x) có thể bị ẩn trong f1(x), g1(x), ta phải tìm chúng để xác định chính xác biểu thức h(x)
Ví dụ 2: Tìm giới hạn:
x
x x
x x
x Lim
T
x
3
4 3
0
4
) 1 ln(
cos 3 3 cos 2
3 1 2 cos + + − + − +
=
→
Giải: Đặt
2
1 3 1 cos
2
3 1 2 cos ) ( = +3 + = 2 +3 + x−
x x
x x
f
g x = x+ x− +x = cos x− ln 1 +x
4
) 1 ln(
cos 3 3 cos )
4
Ở đây h(x)=cosx.
0 3
x g x x
x x
f Lim x
x g x f Lim T
x x
− +
−
=
−
=
→
Ta có:
) cos ) ( ( 2
1 3 1 )
cos ) ( (
cos ) ( cos
)
0 2
0 0
1
x x
f x
x Lim
x x
f x
x x
f Lim x
x x
f Lim
T
x x
− +
= +
−
=
−
=
→
→
→
31 3 1.2( ( )1 cos ) 41
+
− +
=
x Lim
Trang 5
) 6 ( 3
1 ) ( ) ( cos cos
1
) 1 ln(
) ) ( ) ( cos (cos
) ( cos
) ( cos
2 3 3
2 0
2 3 3
2
2 0
3 0
2
= +
+
+
=
+ +
−
=
−
=
→
→
→
x g x g x x
x
x Lim
x g x g x x
x
x g x Lim
x
x g x Lim
T
x
x x
Từ (4),(5)và(6) suy ra
12
7
=
Ví dụ 3: Tìm giới hạn:
0
4 1
2 2 cos
x
x x x
x Lim
T
x
− +
−
−
=
Giải: Đặt f(x)=cos2x-2x=(1-x) 2 -x 2 -2sin 2 x.
Hay f(x)- (1-x) 2 =-x 2 -2sin 2 x
g(x) = 1 + 2x2 − 4x= ( 1 +x) 4 −x4 + 4x3 − 6x2 − 1 + 1 + 2x2
Hay:
2 2
3 4 2
4
2 1 ) 1 6 4 ( 4 2 1 )
(
)
1
( +x −g x = + x − x= x − x + x + − + x Ở đây: h(x)=1-x
Viết lại: ( ( ) 2(1 ) (1 ) 24 ( ))
x g x x
x x
f Lim T
x
− + + +
−
=
Ta có:
) 8 ( 2
3 1
) (
)
sin ( 2 1
) 1 ) ( (
sin 2 )]
1 ( ) ( [
) 1 ( ) ( )
1 ( ) (
2
0
2
2 2
0 2
2 0
2 0
1
−
=
− +
−
−
=
− +
−
−
=
− +
−
−
=
−
−
=
→
→
→
→
x x
f
x
x Lim
x x
f x
x x
Lim x
x f x
x x
f Lim x
x x
f Lim
T
x
x x
x
] ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 [(
2 1 1 6 4 )
( ) 1
(
3 4 4
3 2
2 2
3 4 0
2 4 0
2
x g x g x x
g x x
x
x x
x x Lim
x
x g x Lim
T
x
+
− + +
−
=
−
−
=
→
→
) 9 ( 4
5 ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1
(
) 2 1 ( 6 4
] ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 [(
) ( )
1 (
3 4 4
3
2
2 2
0
3 4 4
3 2
4 4 0
= +
− +
− +
−
+
− +
−
=
+
− +
− +
−
−
−
=
→
→
x g x g x x
g x x
x
x x
x Lim
x g x g x x
g x x
x
x g x
Lim
x
x
Từ (7),(8) và (9) suy ra:
4
1 4
5 2
3 + = −
−
=
T
Bài tập tự giải:
0
3 1 2 1
1
x
x x
Lim
x
+
− +
2.Lim 3+2x+x2−2cos2x−4 2+4x+x3− 1+2x2
Trang 62 3 2
3
0 ( 1 2 )( 1 ) ( 1 3 )( 1 3 )
.
4
x x
x x
x Lim